高中必修1-5错误解题分析系列-《5.3 基本不等式的证明》

第一篇：高中必修1-5错误解题分析系列-《5.3 基本不等式的证明》

§5.3 基本不等式的证明

一、知识导学

1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.+(2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤

ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法.2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ.3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有„，这只需证明Ｂ2为真，从而又有„，„„这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题；(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元.二、疑难知识导析

1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向.2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分

离的.如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语.4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾.5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用.三、经典例题导讲

[例1] 已知a>b(ab0),比较

1与的大小.ab11

错解： a>b(ab0)，<.ab

错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正确的结论是：当两数同号时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正解：

11ba，又 a>b(ab0)，abab

ba11

0,<.abab

(1)当a、b同号时，即a>b>0或b0,b－a<0,(2)当a、b异号时，则a>0,b<0,111

1>0,<0>.abab

[例2] 当a、b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（）

aba1b11a2b

2)A.B.abC.D.（222

错解：所以选B.aba2b2

错因是由于在、ab、中很容易确定ab最小，所以易误选B.而事

2实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可

a1b1

1)与前三者的大小比较.遗漏（正解：由均值不等式

ab

2

ab及a2+b22ab,可知选项A、B、C中，ab最小，而

2aba1b1

1()＝，由当ab时，a+b>2ab,两端同乘以ab，可得（a+b）·ab

ab

2＞2ab,

2ab

＜ab，因此选D.ab

a

b

1212

[例3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ +(b+)的最小值.错解:(a+

1212221121)+(b+)=a+b+2+2+4≥2ab++4≥4ab+4=8, abababab

∴(a+

1212)+(b+)的最小值是8.ab

错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a+b≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=第二次等号成立的条件是ab=最小值.,2，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是ab

11111122222

++4=(a+b)+(+)+4=[(a+b)－2ab]+[(+)－]+

4ababa2b2a2b2

=(1－2ab)(1+22)+4，ab

ab211111

由ab≤()= 得：1－2ab≥1－=, 且22≥16，1+22≥17，2422abab1251

∴原式≥×17+4=(当且仅当a=b=时，等号成立)，22212122

5∴(a +)+(b +)2ab

[例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|loga(1x)|和 |loga(1x)|的大小.正解：原式= a+b+

解法一：|loga(1x)|2 |loga(1x)|2loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)

1x

1x

1x1x2

1∴loga(1x2)loga0∵0 < 1  x < 1,0

1x1x

loga(1x)loga

∴|loga(1x)| |loga(1x)| 解法二：

loga(1x)11x

log1x(1x)log1x(1x)log1xlog1x

loga(1x)1x1x

1log1x(1x2)

∵0 < 1  x < 1,1 + x > 1,∴log1x(1x2)0

∴1log1x(1x2)1∴|loga(1x)| |loga(1x)| 解法三：∵0 < x < 1,∴0 < 1  x < 1,1 < 1 + x < 2,∴loga(1x)0,loga(1x)0

∴左  右 = loga(1x)loga(1x)loga(1x2)∵0 < 1  x < 1, 且0 < a < 1∴loga(1x2)0

∴|loga(1x)| |loga(1x)|

[例5]已知x = a + b，y = c + d，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd

证：证法一（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数∴要证：xy≥ac + bd

只需证：(xy)≥(ac + bd)

222222 22

即：(a + b)(c + d)≥ac+ bd + 2abcd22222222 22

展开得：ac+ bd + ad + bc≥ac+ bd + 2abcd

2222

即：ad + bc≥2abcd由基本不等式，显然成立∴xy≥ac + bd

证法二（综合法）xy =a2b2c2d2

a2c2b2c2a2d2b2d2

(acbd)2acbd

2222

≥ac2abcdbd

证法三（三角代换法）

222

∵x = a + b，∴不妨设a = xsin,b = xcos

y2 = c2 + d2c = ysin,d = ycos

∴ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos(  )≤xy [例6] 已知x > 0，求证： x

1x

1x

1x

2

证：构造函数f(x)x

(x0)则x2，设2≤<xx

由f()f()

11()(1)11

()()

显然∵2≤<∴   > 0,  1 > 0, > 0∴上式 > 0 ∴f(x)在[2,)上单调递增，∴左边f(2)

四、典型习题导练

1.比较（a+3）(a－5)与（a+2）（a-4）的大小.2.已知a,b,c,d都是正数，求证：

(abcd)(acbd)4abcd

3.已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：

322 xy

4.若x2y21，求证：|x22xyy2|

5.若x > 1，y > 1，求证：xy1x1)(y1)

6．证明：若a > 0，则a

112a2

aa2

第二篇：高中必修1-5错误解题分析系列-《6.1 两条直线之间的位置关系》

§6.1 两条直线之间的位置关系

一、知识导学

1.平面的基本性质.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2.空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.3.公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理4：如果一个角的两边和另一个角的两

边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4.异面直线.异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距

离.5.反证法.会用反证法证明一些简单的问题.二、疑难知识导析

1．异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面.2．异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.3．异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，4．异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线.5．异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b,A且Ab,aA,则a与b异面.三、经典例题导讲

[例1]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM().A.是AC和MN的公垂线.B.垂直于AC但不垂直于MN.C.垂直于MN，但不垂直于AC.D.与AC、MN都不垂直.错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A.[例2]如图，已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，G,H

分别是BC,CD上的点,且GCBGDHHC2,求证:直线EG,FH,AC相交于一

点.错解：证明：E、F分别是AB,AD的中点,EF∥BD,EF=2BD, BG

GC又DH

HC

2, GH∥BD,GH=3BD,

 四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,DH

2,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点

正解：证明：E、F分别是AB,AD的中点,1EF ∥BD,EF=2BD, 又GCBGDHHC2, GH∥BD,GH=3BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,EG平面ABC,FH平面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,TAC,直线EG,FH,AC相交于一点T.[例3]判断：若a,b是两条异面直线，P为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b都平行.错解：认为正确.错因：空间想像力不够.忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行.正解：假命题．

[例4] 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）．分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．证明 ∵ AB//CD，AB，CD确定一个平面β．

又∵AB ∩α＝E，ABβ， Eα，Eβ，即 E为平面α与β的一个公共点．

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．

∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直

线，∴ E，F，G，H四点必定共线．

点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．

[例5]如图，已知平面α，β，且α∩β＝．设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB

CDβ，求证：AB，CD，共点（相交于一点）． lα，l

分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在l上，而l是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．

证明： ∵ 梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．

∴ AB，CD必定相交于一点，设 AB ∩CD＝M．

又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．

∴ M∈α∩β．

又∵ α∩β＝，∴ M∈，即 AB，CD，共点．

点 评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．

[例6]已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．

分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．

证明 1º若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点 A∴ 直线d和A确定一个平面α．

又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则 A，E，F，G∈α．

∵ A，E∈α，A，E∈a，∴ aα．

同理可证 bα，cα．

∴ a，b，c，d在同一平面α内．

2º当四条直线中任何三条都不共点时，如图．

∵ 这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．

设直线c与a，b分别交于点H，K，则 H，K∈α． 又∵ H，K∈c，∴ cα．

同理可证 dα．

∴ a，b，c，d四条直线在同一平面α内．

点 评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．

[例7] 在立方体ABCD－A1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；

（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？

（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？

解：(1)连结BD, 交AC于点O DD1平面AC,BD就是斜线BD1在平面AC上的射影.(2)BD1和AC是异面直线.(3)过O作BD1的平行线交DD1于点M，连结MA、MC，则

∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角.不难得到MA＝MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即lll

∠MOA＝90°，∴异面直线BD1与AC所成的角为90°.[例8] 已知：在直角三角形ABC中，A为直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足为D，求证：AD⊥PC

证明：∵ PA ⊥平面ABC∴ PA⊥BA

又∵ BA⊥AC ∴ BA⊥平面PAC

∴ AD是BD在平面PAC内的射影

又∵ BD⊥PC∴ AD⊥PC.（三垂线定理的逆定理）

四、典型习题导练

1．如图, P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为()

A.2对B.3对C.4对D.6对

2.两个正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，则异面直线AC和BF

所成角的大小为．

3.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，体对角线DB1与面对角线BC

1所成的角是，它们的距离是.4.长方体ABCDA1B1C1D1中，BC，CD，DD12

2则A1C和B1D1所成角的大小为____.5.关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；

②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是_____.（注：把你认为正确的序号都填上）.6．在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求证：BH⊥CD

7．如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；F、H分别是棱

PA、PB上的点，且与P点不重合．

求证：EF和DH是异面直线．

第三篇：高中必修1-5错误解题分析系列-《11.1 数系的扩充与复数的概念》

§11.1 数系的扩充与复数的概念

一、知识导学

1.复数：形如abi的数（a,bR），复数通常有小写字母z表示，即zabi,其

中a叫做复数的实部、b叫做复数的虚部，i称做虚数单位.2.分类：复数abi(a,bR)中，当b0时，就是实数；除了实数以外的数，即当

b0时，abi叫做虚数；当a0,b0时，叫做纯虚数.3.复数集：全体复数所构成的集合.4.复数相等：如果两个复数abi与cdi的实部与虚部分别相等，记作：

abi=cdi.5.复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，x轴叫做实

轴，y 轴叫做虚轴.6.复数的模：设oz=abi,则向量oz的长度叫做复数abi的模（或绝对值），记作

abi.(1)zabia2b2；(2)z1z2=z2z1；(3)z1z1； z2z

27．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析

1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小

2222．zR,则z0，而zC，则z0不一定成立，如zi时i10；

23．zR,zz2，而zC则zz2不一定成立；

24．若z1,z2,z3C,(z1z2)2(z2z3)20不一定能推出z1z2z3；

25．若z1,z2R，则z1z2=(z1z2)4z1z2，但若z1,z2C,则上式不

一定成立.三、经典例题导讲

[例1]两个共扼复数的差是（）

A.实数B.纯虚数C.零D.零或纯虚数

错解:当得到zz2bi时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为zabi及zabi(a,bR)则zz2bi 或

zz2bi

当b0时，zz，zz为纯虚数

当b0时，zz0，zz0，因此应选D.注：要认真审题，看清题设条件，结论.学会全面辩证的思考问题，准确记忆有关概念性质.[例2]判断下列命题是否正确

(1)若zC, 则z0

(2)若z1,z2C,且z1z20，则z1z

2(3)若ab，则aibi

错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正

确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复

数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件.22正解：(1)错，反例设zi则zi10 2

(2)错，反例设z12i，z21i，满足z1z210，但z1z2

不能比较大小.(3)错，ab，a,bR，故ai，bi都是虚数，不能比较大小.a2a6(a22a15)i是(1)实数； [例3]实数a分别取什么值时，复数za

3(2)虚数;(3)纯虚数.a2a6(a2)(a3)2解：实部，虚部a2a15(a3)(a5).a3a3

（1）当

（2）当

（3）当 时，z是实数；，且 或时，z是虚数；时是纯虚数． 2 [例4] 设z1(m2m3)(m4m3)i(mR),z253i，当m取何值时，(1)z1z2;(2)z10.分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值．

2m2m35解：(1)由可得：2解之得m4，m4m33

即：当

(2)当 时 可得：

或，即 时z10.22[例5]z1,z2是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且4z12z1z2z20，证明△OPQ为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数．

22分析本题起步的关键在于对条件4z1等式左边是关于z1,z2的二次2z1z2z20的处理．

齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方．

22解：由4z12z1z2z20（，不为零），得

z1

223i13iz2z284 z11cosisinz2233

即向量OP与向量OQ的夹角为，3

1|z2|，设|z1|r,|z2|2r，2在图中，POQ

3，又|z1|

在△OPQ中，由余弦定理

△OPQ为直角三角形，．

四、典型习题导练

1.设复数z满足关系z|z|2i，那么z等于（）．

A．B．C．D．

2.复数系方程(1i)x2(1i)x26i0有实数根，则这个实数是_________.3.实数m取何值时，复数的对应点位于第二象限．

4.已知f(z)zz且f(z)103i,求复数z

5.设复数z满足z5且(34i)z在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，是(1)纯虚数；(2)在复平面上2zm52(mR),求z和m的值

第四篇：基本不等式的证明

课题：基本不等式及其应用

一、教学目的(1)认知：使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和

abab(a、b∈R+，当且仅当a=b时取“=”号)，并能应用它们证明一些不等

2式．

(2)情感：通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力．

二、教学重难点

重点：两个基本不等式的掌握；

难点：基本不等式的应用。

三、教材、学生分析

教材分析：两个基本不等式为以后学习不等式的证明和求函数的最大值或最小值提供了一种

方法，基本不等式的理解和掌握对以后的解题是很有帮助的。

学生分析：学生在上新课之前都预习了本节内容，对上课内容有一定的理解。所以根据这一

情况多补充了一些内容，增加了课堂容量。

四、教学过程

（一）引入新课

客观世界中，有些不等式关系是永远成立的。例如，在周长相等时，圆的面积比正方形的面积大，正方形的面积又比非正方形的任意矩形的面积大。对这些不等关系的证明，常常会归结为一些基本不等式。今天，我们学习两个最常用的基本不等式。

（二）推导公式

1．奠基

如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0①

把①左边展开，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，也就是基本不等式1，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？

学生回答：a=b，因为a=ba+b=2ab 2

2充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)．

以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索．

2．探索

公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有

a2＋b2≥2ab；

b2＋c2≥2bc；

c2＋a2≥2ca．

把以上三式叠加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

（当且仅当a=b=c时取“=”号)．

以此类推：如果ai∈R，i=1，2，„，n，那么有

22a12a2ana1a2a2a3ana

1④

(当且仅当a1=a2=„=an时取“=”号)．

④式是②式的一种推广式，②式就是④式中n=2时的特殊情况．③和④式不必当作公式去记，但从它们的推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法——迭代与叠加．

3．练习

222求证：a+b+c+3≥2（a+b+c）

4．基本不等式

2直接应用基本不等式1可以得到基本不等式2

如果a、b、∈R，那么abR，在公式②中用a替换a，用替换b，立即得+到

22a））2ab 即ab2ab ∴abab⑤

2(当且仅当a=b时取“=”号)．

这就是课本中基本不等式2 我们把ab和ab分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数。

25、公式小结

(1)我们从公式①出发，运用综合法，得到许多不等式公式，其中要求同学熟练掌握的是公式①、②、③、⑤．它们之间的关系可图示如下： 展开 迭代、叠加①

配方

② ③ 降换

次元

⑤

(2)上述公式的证法不止综合法一种．比如公式②，在课本上是用比较法证明的．但是不论哪种推导系统，其理论基础都是实数的平方是非负数．

(3)四个公式中，②、⑤是基础，最重要．它们还可以用几何法证明．

+222几何法：构造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，则a＋b=c表

示以斜边c为边的正方形的面积．而

2ab4ab4SABC 2

如上左图所示，显然有c421ab 2

∴a＋b≥2ab 22

(当且仅当a=b时取“=”号，这时Rt△ABC等腰，如上右图)．这个图是我国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”，同学们在初中已经见过． 公式

示：

abab也可以用几何法证明，它的几何意义是半径大于等于半弦，如下图所2

（三）例题

1、已知x，y∈R，证明：+xy2，并指出等号成立的条件。yx2、已知a,b∈R，并且ab=4，求证：ab8，并指出等号成立的条件。223、已知x，y∈R，并且x+y=1，求证：xy≤+1 4

（其中一题作为练习）

（四）应用

下面我们来解决开始上课时所提到的：在周长相等时，正方形的面积又比非正方形的任意矩形的面积大。

求证：在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。

证明：设矩形的长和宽分别a，b(a，b为正数，且a≠b)，同样周长的正方形的边长为ab，2

'可计算得矩形的面积S=ab，正方形的面积S(ab2)，2

由基本不等式2，得abab0（因为a≠b等号不成立）。2

ab2)(ab)2，即S′>S.2又由不等式性质，得（（五）作业

练习册P10/6

第五篇：基本不等式与不等式基本证明

课时九 基本不等式与不等式基本证明

第一部分：基本不等式变形技巧的应用

基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。

技巧一：加减常数

例

1、求函数yx

点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。

技巧二：巧变常数

例

2、已知0x

点评：形如f(x)x(1ax)或f(x)x2(1ax2)等可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。

技巧

三、分离常数

例

3、已知x

5452121x1(x1)的值域。，求函数y＝x（1－2x）的最大值。，则f(x)x3x32x4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值

32点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。

技巧

四、活用常数

例

4、若x,yR且满足

点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。

技巧

五、统一形式

例

5、已知a,b,cR，求(abc)(4x16y1，求x＋y的最小值。1

ab1

c)的最小值。

点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数yxx2(0x1)可变形为y第二部分：均值定理证明不等式的方法技巧

。x(1x)等）

1．轮换对称型

例1 若a,b,c是互不相等的实数，求

证：abc

222

abbcac.点评：分段应用基本等式，然后整体相加(乘)得结论，是证明轮换对称不等式的常用技

巧。

2．利用“1”的代换型

111

已知a,b,cR,且 abc1,求证 9.abc例2

点评：做“1”的代换。

.3.逆向运用公式型

a,bR,ab1求证： a



b

2.例3已知

点评：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。为脱去左边的根号，a

12,b

将

11

转换成 1a,1b,然后逆向运222

用均值不等式： 若

a,bR则 ab



ab2

.4．挖掘隐含条件证明不等式

111

a,bR,ab1求证：11.ab9 例4 已知

a,bR,ab1

12

ab说明a,bR,ab1的背后隐含ab

4ab

2点评:由于

着一个不等式ab

.5．用均值不等式的变式形式证明不等式

ab例5已知a,b,cR,求证：



bc

ca



2abc.点评：本题的关键在于对ab,bc,ca的处理，如果能找出

ab与ab间的关系，问题就可以

222222

解决，注意到



ab2ab2ab





ab2

2ab

ab 其中a,b,cR即可。解题时要注意a

b2ab的ab

变式应用。常用



ab2

(其中a,bR)来解决有关根式不等式的问题.