第2章
特殊三角形
2.8直角三角形全等的判定
1.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性.2.进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感.3.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理.进一步理解证明的必要性.1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？
2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形.想一想，怎么画？同学们相互交流.3.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论.【教学说明】教师顺水推舟，询问能否证明：“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”，从而引入新课.探究：“HL”定理.已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.证明：在Rt△ABC中，AC2=AB2一BC2(勾股定理)．
又∵在Rt△
A＇
B＇
C＇中，A＇
C＇
2=A＇B＇2一B＇C＇2
(勾股定理)．
∴AB=A＇B＇，BC=B＇C＇，AC=A＇C＇．
∴Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇
(SSS)．
【归纳结论】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．)
【教学说明】讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达.分析命题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理.例1.填空：如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°.（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是ASA.（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是HL.（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是SAS.例2.已知：Rt△ABC和Rt△A＇B＇C＇，∠C=∠C＇=90°，BC=B＇C＇，BD、B＇D＇分别是AC、A＇C＇边上的中线，且BD=B＇D＇.求证：Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．
证明：在Rt△BDC和Rt△B＇D＇C＇中，∵BD=B＇D＇,BC=B＇C＇，∴Rt△BDC≌Rt△B＇D＇C＇
(HL定理)．
∴CD=C＇D＇．
又∵AC=2CD，A＇C＇=2C＇D＇，∴AC=A＇C＇．
∴在Rt△ABC和Rt△A＇B＇C
＇中，∵BC=B＇C
＇，∠C=∠C
＇=90°，AC=A＇C＇，∴Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C(SAS)．
例3.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来，并证明.解：AC=DB.∵AC=DB,AB=BA，∴△ACB≌△BDA（HL）
其他条件：CB=DA或四边形ACBD是平行四边形等.证明略.【教学说明】这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．
例4.如图，在△ABC与△A＇B＇C＇中，CD、C＇D＇分别分别是高，并且AC＝A＇C＇，CD=C＇D＇．∠ACB=∠A＇C＇B＇．求证：△ABC≌△A＇B＇C＇．
分析：要证△ABC≌△A＇B＇C＇，由已知中找到条件：一组边AC=A＇C＇，一组角∠ACB=∠A＇C＇B＇．如果寻求∠A=∠A＇，就可用ASA证明全等；也可以寻求∠B=∠B＇，这样就可用AAS；还可寻求BC=B＇C＇，那么就可根据SAS……注意到题目中有CD、C＇D＇是三角形的高，CD=C＇D＇．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证得Rt△ADC≌Rt△A＇D＇C＇，因此证明∠A=∠A＇
就可行．
证明：∵CD、C＇D＇分别是△ABC、△A＇B＇C＇的高(已知)，∴∠ADC=∠A＇D＇C＇=90°．
在Rt△ADC和Rt△A＇D＇C＇中，AC=A＇C＇(已知)，CD=C＇D＇
(已知)，∴Rt△ADC≌Rt△A＇D＇C＇
(HL)．
∠A=∠A＇，(全等三角形的对应角相等)．
在△ABC和△A＇B＇C＇中，∠A=∠A＇
(已证)，AC=A＇C＇
(已知)，∠ACB=∠A＇C＇B＇
(已知)，∴△ABC≌△A＇B＇C＇
(ASA)．
【教学说明】通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结.本节课应掌握：
直角三角形的判定方法有五种，注意“HL”仅适用于直角三角形.
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