“钉子板上的多边形”教学设计与评析

“钉子板上的多边形”教学设计与评析

【教学内容】

苏教版义务教育数学教科书五年级上册第108-109页及相应习题 一、谈话引入，产生问题

1．出示钉子板。

同学们，知道我们今天要学习什么吗？（出示钉子板）钉子板大家都见过吗？看，这就是一个钉子板。在钉子板上可以围出各种各样的多边形。谁来试着围一个？（指名上台操作）

为了研究方便，我们可以把钉子板简化一下，用这样点子图来代替钉子板（出示点子图），而且规定两个点子之间的距离是1厘米，这样一个小方格的面积就是——1平方厘米。在这个点子图上，老师任意地围了几个多边形，大家一起来看一看。

2．引出问题。

观察这些多边形，你觉得我们可以研究什么呢？

预设：

①可以研究钉子板上多边形的面积（板书：多边形的面积）；

②可以研究钉子板上多边形的周长。

今天我们主要研究钉子板上多边形的面积。再来看一看这些多边形，它们的面积一样吗？（不一样）。你觉得钉子板上多边形的面积可能和什么有关系？

引导学生发现多边形的面积可能和图形内部的钉子数有关，也可能和图形边上的钉子数有关。（板书：内部钉子数，边上钉子数）

二、尝试研究，形成思路

看来大家都认为，钉子板上多边形的面积可能跟它内部的钉子数有关系，也可能跟边上的钉子数有关系。那它们之间存在怎样的关系？这个问题有点复杂。遇到复杂的问题，我们不妨从简单的情况开始研究。

（1）出示：

这个多边形的面积是多少？（4平方厘米）内部的钉子数呢？（1个）边上的钉子数呢？（8个）我们一起数一数（演示数边上钉子数）。

如果把这个多边形改变一下，就能得了一个新的多边形。

（2）出示：

现在多边形的面积是多少？（3平方厘米）内部的钉子数呢？（0个）边上的钉子数呢？（还是8个）如果再改变一下图形呢？

（3）出示：

这个多边形的面积是多少？（4平方厘米）给大家指一指你是怎么算的？内部的钉子数呢？（2个）边上的钉子数呢？（6个）

引导：观察上面的数据，能看出多边形的面积与边上的钉子数和内部钉子数之间的关系吗？同时要考虑三个数量的变化比较复杂，有没有什么好办法？

预设：

①可以让其中的一个数量不变，另外两个数量变化一下，看看有没有规律。

②可以先把内部钉子数固定不变，改变多边形面积，看边上钉子数有没有变。

三、自主合作，探索交流

1．探索“内部钉子数为1”的情况。

讲述：是啊！三个数量都变化，关系太复杂了，我们可以先把其中一个数量控制住。这样，我们先研究内部钉子数是1的情况，可以吗？也就是，我们要研究当多边形的内部钉子数是1时，多边形的面积和多边形边上的钉子数之间的关系。这个问题你会研究吗？你准备怎样研究呢？谁来给大家读一读研究提示。

出示研究步骤：

为了方便研究，老师为每个小组准备了一张研究单。下面大家开始研究吧！

学生分组进行合作探究，教师巡视指导后交流。

预设：

①我们小组画了3个不同多边形，内部钉子数都是1，我们发现多边形的面积是边长钉子数的一半。

②我们发现多边形边上的钉子数是面积的2倍。边上的钉子数除以2就是多边形的面积。

提问：怎样用算式表示多边形的面积与边上钉子数之间的关系？（用字母式表示是S=n÷2。）

总结：通过研究，我们发现多边形的面积与边上钉子数之间的关系。这个关系用表示就是S=n÷2。这里S代表什么？n呢？S=n÷2是什么意思？

2．探索“内部钉子数为2”的情况。

讲述：通过刚才的研究我们发现，这里S=n÷2是有一个前提的，那就是当内部钉子数就是1的时候。如果内部钉子数是2呢？又会是什么情况呢？下面请大家拿出探究学习单，我们2人一组再来探索一下。

学生同桌合作探究，教师巡视指导后交流。

预设：

①小组画了3个多边形。我们发现，多边形的面积是边上的钉子数除以2再加1，用字母表示就是S=

n÷2+1。

②我们发现：多边形边上钉子数加2的和再除以2等于多边形的面积。用字母表示是S=(n+2)÷2。

比较指出：其实第2个式子只要简化一下，与第一个式子是一样的。

3．举例验证。

刚刚我们画出的多边形各不相同，不管是内部钉子数为1或者2，为什么每次都是同一个关系式表示呢？经过了刚才我们初步的探索和实验，初步得出了关系式，也就是初步形成了猜想。那么，有了猜想，我们还需要干什么？（验证）我们可以怎样来验证呢？（可以再画几个图形，看是不是符合上面的规律）。

学生分别选择一种情况，再任意画一个图形，验证一下，看是否符合如下两个规律：①当内部钉子数是1时，多边形的面积就是S=n÷2；②当内部钉子数是2时，面积就是S=n÷2+1。

学生独立进行举例验证，教师巡视反馈。

总结：通过全班同学的举例验证，我们发现大家画的多边形都符合上面的规律，看来这里规律是正确的。在数学研究就是这样的一方面要进行大胆的假设，同时，也需要小心的验证。

四、归纳总结，揭示规律

刚刚我们研究了钉子板上的多边形面积与钉子数之间的内在规律，已经知道内部钉子数为1和2这两个情况，如果内部钉子数为3呢？你认为多边形的面积可以怎么计算呢？（S=n÷2+2）内部钉子数是4呢？(S=n÷2+3)如果图形内部没有钉子呢？（S=n÷2-1）

同学都进行了大胆地猜想，当然我们也可以举例验证。还记得老师之前任意画的几个多边形，其中就有一个图形中间没有钉子，我们一起来看看。我们一起来验证一下它符号我们猜想的规律吗？

出示：

指出：12÷2-1=5。看来，这个图形也是符合规律。

提问：刚刚通过研究，我们发现了钉子板上多边形存在好多的规律。你能把这些规律概括一下，变成一条规律吗？（我们用字母S表示多边形面积，n表示图形边上的钉子数，ａ表示图形内部的钉子数。）

总结：看来大家都认为，可以用S=n÷2+a-1表示，这个公式是什么意思呢？其实，这个公式早在1899年就被奥地利数学家皮克发现了。一起来了解一下。

出示：

五、回顾总结、应用提升

1．解决问题。

你能用上面的公式计算出刚刚老师任意画的几个多边形的面积吗？

出示：

用一个公式计算简单吗？有了这个公式，计算钉子板上多边形的面积就容易多了！课后感兴趣的同学还可以钉子板多画几个多边形，去考考你的同学或家长。

2．回顾小结。

今天，我们一起探索了钉子板上多边形。回顾探索与发现规律的过程，你有什么体会？

“钉子板上的多边形”一课是苏教版数学义务教育教科书五年级上册“探索规律”内容。这是一次研究平面图形面积的活动，安排在形成了面积概念、掌握了常用面积单位、能计算简单图形面积的基础上进行的。这也是一次既有趣又有挑战性的活动，在钉子板上围图形、数钉子的枚数、算图形的面积，这些都是学生喜欢做、能够做的事情，他们会乐意参与这次活动。然而，钉子板上围出来的图形大多数不是规则图形，也不是简单图形，求它们的面积没有现成的方法可以使用，得出图形的面积比较难。而且，这次活动要探索围成的图形面积与图形边上的钉子数、内部钉子数之间的关系，还要用含有字母的式子表达这种关系，有相当的难度。但也正是这些“趣”与“难”，有助于体现活动的教育价值，培养学生探索精神和数学思维能力。

赵兆兵老师设计执教的这节课，很好地处理了“趣”与“难”之间的关系，体现了其本源性教学的特色追求。本课主要有以下三个方面的教学特色：

01从简单出发，向本质迈进。

“钉子板上的多边形”是修订后的苏教版教材新增加的内容，属于探索给定情境中隐含的规律和变化趋势。在钉子板上用线围图形，围成的平面图形一定是多边形，顶点一定是钉子板的钉子。每个小正方形都表示1平方厘米，围成图形的面积是几平方厘米能够数出来或者算出来。围成的多边形边上有几枚钉子，与图形的面积是否有关，如果有关，是什么关系，这些都是要探索的规律。

赵老师在教学过程中，从简单的规则图形出发，进而逐步演变为不规则图形，从不规则图形再转变为规则图形；从内部钉子数1出发，到内部钉子数是2的，再到内部钉子数3、4、0的……，由浅入深；从简单的列举开始，到规律猜想和规律表达，进而抽象为字母表达规律。这样的教学设计，层层递进，丝丝入扣，从规律直观感知到规律抽象表达，从初步规律寻找到规律原因探寻，逐步走向规律本质，有效地培养了学生的探索意识。

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TITLE02从直观出发，用模型表达。

大数学家华罗庚曾经说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非。”本课虽然探寻的是图形规律，但是图形面积需要测算，图形面积与钉子数量之间的关系需要表达，因此形离不开数，数蕴涵于形，通过数形结合可以帮助学生完成从动作思维到形象思维的过渡，再从形象思维到抽象思维的发展。

由于“皮克定理”的基础是S=n÷2-1，赵老师采取“特殊化”的教学策略，让学生从内部有1个钉子的图形开始研究，符合学生的认知规律和数学自身发展的规律。赵老师设计的教学过程中，并没有始终停留在直观图形的钉子个数或者面积测算上，而是先让学生操作与观察，初步寻找图形面积与内部钉子个数之间的联系，进而提出假设与猜想，再举例验证。在这一探究过程中，巧妙运用数形结合的思想，以数助形，以形辅数，充分利用图形理解用边上的钉子数计算出图形的面积的算理，从而巧妙化解了教学的“难点”。尤其是在分别探索了内部钉子数不同的情况规律之后，引导学生把几个不同的计算公式进行简化，从而建立了更为一般性的数学模型。同时，适度的数学文化介绍，既深化了学生对数学知识的理解，又丰富学生的数学感受，增加了数学学习的情趣。

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TITLE03从猜想出发，以实验求证。

猜想和验证是探索规律需要着力培养与经历的重要目标与过程，而由此积累的数学活动经验又是提高学生数学素养的重要标志。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。

赵老师在教学过程中没有一味地深陷于形象的图形测算或抽象的字母公式，而是结合学生的探索与表达，抓住“猜想”和“求证”两个环节，让学生合理猜想，小心求证，并及时组织学生回顾探索发现规律的过程，交流活动的体会，分享探索的经验。这是激发数学学习兴趣和积累数学活动经验的重要环节，也是数学课程改革以来十分重视的教学方式。赵老师主要设计了三次猜想与求证的环节：首先是在课始，让学生观察钉子板上的多边形，猜测面积与钉子数的关系，然后初步验证；其次是分别动手实验，探索内部钉子数为1、2的规律，归纳后形成猜想，并分别再次验证；而在初步发现规律后进一步猜想钉子数与面积之间的一般关系式，并继续实验求证。

让我们重温中国现代思想家胡适谈治学方法时说过一句简单扼要的话：“大胆假设，小心求证”。