“函数与方程思想”案例分析

教学设计案例分析

——“函数与方程思想”案例

一．主题

函数与方程是中学数学的重要概念，他们之间有着密切的联系；函数与方程的思想是中学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题。函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值，解（证）不等式，解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是历年高考的重点和热点。

1.函数的思想

用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识。

2.方程的思想

在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决。

3.函数的思想与方程的思想的关系

在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决。对于函数，当

时，就转化为方程，也可以把函数

看作二元方程，函数与方程可相互转化。

4.函数与方程的思想在解题中的应用

（1）函数与不等式的相互转化，对函数，当

时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。，当

时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。

时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。

（2）数列的通项与前

项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。

项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。

（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决。这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。

（4）立体几何中有关线段，角，面积，体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切。

二．背景

此案例的背景主要是：这是一堂与函数与方程思想有关的中学数学课，虽然本节教材是实施新的课程改革，但是这节内容与老教材的内容基本一致。选用此案例的原因是虽然该案例的授课老师授课时是一节平常课，采用的上课方式是组讨论式，但是该授课老师以前曾有过用此节内容开公开课的经历，当时采用的上课方式是普通的启发式教学。通过此案例我们可以将其进行分析比较，进而得到结果。

三．情景描述

四．教学反思研究

五．教学设想