实数的运算教学设计

第一篇：实数的运算教学设计

17.5 实数的运算

〖教学目标〗

（－）知识目标

1．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算.3.正确运用公式.4.了解二次根式和最简二次根式的概念.（二）能力目标

1．让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能力.2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.（三）情感目标

通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心。

时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此在校学习期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题.其中类比的学习方法就是一种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则，类比地学习在实数范围内的有关计算，重要的是培养

这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务.〖教学重点〗

1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算.2.发现规律：.并能用规律进行计算.〖教学难点〗

类比的学习方法.2.发现规律的过程.〖教学方法〗 尝试法 〖教学过程〗

一、课前布置

自学：阅读课本P112~P113，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）.二、师生互动

（一）二次根式的理解：形如()的式子叫做二次根式 说明：1.被开方数大于0； 2.()具有非负数的特性.3.性质：一般地是a的算术平方根，于是有 ? 练习：

1.若有意义，则______ 2.（06泸州中考）要使二次根式有意义，字母x的取值必须满足的条件是（）A.x≥1

B.x≤1

C.x>1

D.x<1 3.（06海淀）已知实数x，y满足，求代数式的值。4.计算：（1）；（2）； ? 解：1.2.A 3.解：依题意

解得

当时，4.解：（1）；（2）。

（二）一起交流课本P112的“做一做”

［师生共析］在有理数范围内，可以进行加、减、乘、除和乘方运算，运算后所得到的数仍然是有理数。把数从有理数扩充到实数以后，在实数范围内不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和零可以进行开平方和开立方运算，负数可以进行开立方运算。即：正数和零的平方根是实数，任何一个实数的立方根是实数。

关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立。1．理解积的算术平方根的性质，必须注意：

（1）被开方数的每一个因子或因式必须是非负数，没有这个条件，性质不成立.（2）这个公式的作用是化简二次根式，如果被开方数中有的因式（或因子）能开得尽方，可以利用此公式及公式＝a（a≥0），将这些因式（或因子）开出来，因此化简二次根式时，一般先将被开方数进行因式分解或因子分解.（3）积的算术平方根的性质对于当因子是三个或三个以上时仍然成立.如：＝ ···（a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）.（4）积的算术平方根的性质反过来，就得到二次根式的乘法公式，即·＝（a≥0，b≥0），运用这个公式可以进行简单的二次根式的乘法运算.2.二次根式的性质： ＝·(a≥0，b≥0)，＝(a≥0,b>0).（三）利用性质化简

［师］利用你自学的知识，说一说什么样的二次根式需要化简

［生］被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来.这时就需要对其进行化简.［生］被开方数中含有分母，需要化简，化简后被开方数中没有了分母.如：

［师］如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母.（鼓励学生讲解教师提供的例题）如：

巩固练习：

化简：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).（四）最简二次根式

［师生共析］最简二次根式所满足的条件：

条件一，即为被开方数不含分母；条件二，即为被开方数的每一个因子或因式的指数都小于根指数.要判断一个根式是否为最简二次根式，两个条件缺一不可.（五）引导学生小结：

1．化二次根式为最简二次根式的方法：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简.（2）如果被开方数是整数或整式，先将它分解因子或因式，然后把能开得尽方的因子或因式开出来，从而将式子化简.2.二次根式的化简应注意以下问题：

（1）被开方数含有带分数，通常化成假分数.（2）被开方数是和、差的形式，应把它分解因式，化成积的形式.（3）根号内的分子或分母移到根号外时，应保留其对应的位置（即原来是分母的移到根号外后还是分母）．

（4）在整个化简过程中应注意符号问题，特别是注意被开方数是非负数这个隐含条件.练习：1 下列各式中哪些是最简二次根式?哪些不是?并说明理由.(1)；(2);(3);(4);

(5);(6)(x≤0)；(7)

本题考查最简二次根式的定义，解题思路是根据二次根式的定义逐个判断.1.解

只有(3)、(5)、(6)是最简二次根式.理由：

(1)中的0.3不是整数，所以不是最简二次根式；

(2)中的27x＝32·3x，因数含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式.(3)的8a2b＝(2a)2·2b，因式含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式；(4)中的a2+a4＝a2(1+a2)，因式含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式； 总结

本题的易错点是误认为,不是最简二次根式，误认为是最简二次根式.三、补充练习作业：P114习题 〖巩固练习〗

1.下列各式：，，(a<),中是二次根式的有

.2.x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.(1)；

(2)；

(3).3.计算下列各式：(1)()2；

(2)；

(3)(2)2.〖答案提示〗

1.分析：本题考查二次根式的定义，解题思路是根据二次根式的定义去判断.解

∵，的根指数不是2，∴

它们不是二次根式.∵

在中，被开方数-4<0，∴

不是二次根式.∵

在中的被开方数2a-1有可能小于0，∴

不是二次根式.∵

在中，被开方数4>0，∴

是二次根式.∵

在＝中被开方数(a+1)2≥0，∴

是二次根式.∵

在中被开方数a2+2>0,∴

是二次根式.总结

本题的易错点是忽视二次根式中被开方数是非负数的隐含条件，注意这个隐含条件是本题的解题关键.2.解

(1)2x+3≥0，即x≥-.∴

当x≥-时，有意义.(2)1-3x≥0，即x≤.∴

当x≤时，有意义.(3)∵

x不论取何实数，总有(x-5)2≥0，∴

x为任意实数，有意义.3.分析：(1)由()2＝a(a≥0)直接可得，(2)要注意应先计算，然后再求算术平方根，(3)根据积的乘方法则，这里2也要平方.解

(1)()2＝15；(2)＝＝；

(3)(2)2＝22×()2＝4x.总结

本题的易错点是第(3)小题的2不平方，错成(2)2＝2x.八、板书设计

课题 实数的运算 二次根式

利用性质化简

例2 二次根式性质

例1

最简二次根式

课堂练习

第二篇：实数教学设计[推荐]

实 数

教学目标： 知识与能力

1、了解无理数和实数的意义，能对实数按要求进行分类。

2、了解实数和数轴上的点一一对应，会用数轴上的点表示实数。

3、了解有理数范围内的运算法则、运算律、运算公式和运算顺序在实数范围内同样适用。

4、会进行实数的大小比较，会进行实数的简单运算。过程与方法

1、通过计算器与计算机的应用，形成自觉应用的意识，从而能应用与实数有关的运算。

2、经历作图和观察的过程，掌握实数与数轴一一对应的关系。情感与态度

1、感受数系的扩充，通过自主探究，感受实数与数轴上点的一一对应的关系，体验数形结合的优越性，发展学生的类比与归纳能力。

2、学生经历数系扩展的过程，体会到数系的扩展源于社会实际，又为社会实际服务的辩证关系。教学重难点及突破 重点

1、了解实数的意义，能对实数进行分类；

2、了解数轴上的点与实数一一对应，并能用数轴上的点来表示无理数。难点

1、用数轴上的点来表示无理数；

2、能准确无误地进行实数运算。教学突破

通过让学生对比有理数和无理数的特点，总结无理数的概念，以加深对无理数的概念的记忆。同时，让学生动手作图，直观展现实数和数轴的一一对应关系。教学中通过回忆有理数的运算规则过渡到实数的运算，学生容易接受和掌握。教学准备：直尺，圆规。教学过程

一、创设情境，导入新课

1、小学学习阶段，我们学习了整数、分数和小数，均为整数，进入初一阶段，引入负数，从而把数的范围扩充到了有理数。下面 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3、1/4 2/5 1/3 学生计算后举手回答，教师将答案书写出来。3=3.0 0.25 0.4

2、问题：你发现了什么？

学生回答：有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式（或任何有限小数或无限循环小数也都是无理数）。

问题：那我们前面所学的许多平方根和立方根都是无限不循环小数，那这些小数是不是有理数？

学生很自然的回答不是，从而引入新的数——无理数，把数扩充到实数范围也就顺利成章。

二、自主探索，领悟内涵

由前面我们知道，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。无限不循环小数又叫无理数；有理数和无理数统称为实数。分类如下： 整数 实数

有限小数或无限循环小数

有理数分为正有理数和负有理数，那么无理数呢？是无理数吗？

学生回答：可化为无限不循环小数，所以也只能化为无限不循环小数，可见与均是无理数。可知，无理数也有正、负之分，因此把正有理数、正无理数和在一起形成正实数，同样，负有理数、负无理数合在一起称为负实数，而0既不是正数也不是负数。从而得到实数的另一种分类方法： 正有理数 负有理数 0

三、拓展延伸，操作感知

探究1 如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？ O1 学生之间互相交流、讨论，一段时间后请学生回答：点01的坐标是π。肯定学生的回答，说明：无理数π可以用数轴上的点表示出来。探索2 你能在数轴上找到表示的点，这说明一个什么问题？ 学生讨论交流，并举手回答。教师肯定学生的表现，并总结：

每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点，有些表示有理数，有些表示无理数，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数.与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。

四、练习巩固，应用提高

例1 整数有： { } 无理数有：{ } 有理数有：{ } 学生认真完成，并举手回答。根据学生的回答，适当讲解。

五、课堂总结，作业布置

1、什么叫做无理数？什么叫做有理数？

2、有理数和数轴上的点一一对应吗？无理数和数轴上的点一一对应吗？实数和数轴上的点一一对应吗？

P86-87习题14.3第1、2、3题； 板书设计： 实数

1、有理数和无理数统称为实数。

2、实数分类结构图(略)

3、实数与数轴上的点一一对应。课后反思

本节课，结合前面的有理数，能使学生在给出的一些数中判断出哪些是有理数，哪些是无理数是本节难点，再通过多的举例练习，让他们找到判断的关键，达到了设计的目标。

第三篇：数学实数复习教学设计

一、知识疏理，形成体系。（课前要求学生对本章知识进行总结）

师：本章的主要内容是开方运算。下面，我们以组为单位小结一下本章的知识点。

生：我们认为这一章主要学习了一种新的运算——开方，开方与乘方是互为逆运算的关系。

开方包括开平方与开立方。通过开平方可求一个非负实数的平方根；通过开立方可求一个实数的立方根。依据这一思路，我们画出的知识结构图是：

师：好！他们组是以运算为线索总结的，侧重总结了开方运算，还有补充吗？

生：我们认为平方根、算术平方根、立方根的定义、性质也都非常重要。因此我们是这样总结的：

师：同样是开方运算，算术平方根，平方根，立方根有哪些区别和联系呢？

生：比较算术平方根，平方根，立方根的概念和性质，我们总结出了如下表的区别与联系。

师：同学们总结的非常好！不仅全面而且重点突出。下面我们针对刚才总结的内容做几道练习。

二、强化基础，巩固拓展。（也可以由学生提出典型薄弱题型进行讲解）

1.求下列各数的平方根：

（1）；（2）；（3）.师：本题要审清是求哪个实数的平方根，只有非负实数才有平方根。

生：

（1）是求 的平方根；

（2）是求16的平方根；

（3）是求 的平方根。

由学生独立完成。

2.x取何值时，下列各式有意义。

（1）；（2）；

（3）

师： 在什么情况下有意义？

生：对于，必须满足a≥0，它才有意义，所以被开方数必须是非负数。

（1）4+x≥0；

（2）4+x ≥0；

（3）2x-1取任意实数。

师：如何求出x的范围呢？

生：我们讨论后，得出如下结论：

（1）x≥4；

（2）不论x取什么实数，x ≥0，4+x ≥0，即x的取值范围是：x为全体实数。

（3）2x-1取任意实数，即x的取值范围是全体实数。

3.已知：|x－2|＋ ＝0，求：x＋y的值。

师：认真审题，考虑一下所给的这些数有什么特点。

生：|x－2|和 都是非负数。

师：两个非负数的和可能是0吗？

生：只有当两个非负数都取0时，其和才为0，其他情况下，都大于0.由学生独立完成。

师：哪些数为非负数呢？

生：实数a的绝对值，表示为|a|，|a|是非负数；实数a的平方，表示为a2，a2是非负数；非负实数a的算术平方根表示为，是非负数。

师：非负数有什么特点？

生：（1）几个非负数的和仍为非负数；

（2）若几个非负数的和为0，则每一个非负数都必须为0.4.掌握规律

那么：0.17201的平方根是多少呢？师：同学们仔细观察这道题，你发现了什么规律？如果是立方根呢？

由学生自己观察归纳。

三、查缺补漏，归纳提升。

1.通过今天的探究学习，你们有哪些收获？

2.非负数的和等于零的条件是：当且仅当每个非负数的值都等于零。此性质在解题时经常会被用到。

3.对于本章的内容你还有那些疑问？

第四篇：七年级数学实数教学设计

人教版七年级数学下册第六章第三节 《实数》教学设计(第1课时）执教：丰城市蕉坑中学

江莎莎

一、教学目标

1.了解无理数和实数的意义，掌握实数的分类，能够判断一个数是有理数还是无理数；

2.了解实数绝对值的意义,了解实数与数轴上的点一一对应的关系;3.掌握有理数的运算法则在实数运算法则中仍适用； 4.通过实数的分类,是学生进一步领会分类的思想;

5.通过实数与数轴上的点一一对应关系,使学生了解数形结合思想,提高思维能力;6.数形结合体现了数学的统一性的美.二、教学重点和难点

教学重点：使学生了解无理数和实数的意义及性质，实数的运算律和运算性质.教学难点：无理数意义的理解．

三、教学方法

讲练结合 启发教学 学生为主

四、教学手段 多媒体

五、教学过程(一)复习提问

什么叫有理数?有理数如何分类?由学生回答，教师帮助纠正： 1．整数和分数统称为有理数． 2．有理数的分类有两种方法：

第一种：按定义分类： 第二种：按大小分类：

(二)引入新课

同学们，有理数由整数和分数组成，下面我们用小数的观点来看，整数可以看做是小数点后面是0的小数，如3可写做3.0、3.00；而分数，我们可以将分数化为有限小数或无限循环小数，由此我们可以看到有理数总是可以用有限小数或无限循环小数表示。如3=3.0，限循环小数形式呢?，但是是不是所有的数都可以写成有限小数或无答案是否定的，我们来看这样一组数：

我们会发现这些数的小数位数是无限的，而且是不循环的，这样的小数叫做无限不循环小数，显然它不属于有理数的范围．这就是我们今天要学习的一个新的概念：无理数．

1．定义：无限不循环小数叫做无理数． 请同学们判断以下说法是否正确?(1)无限小数都是无理数．(2)无理数都是无限小数．(3)带根号的数都是无理数．

答：(1)错，无限不循环小数都是无理数．(2)错，无理数是无限不循环小数．

现在我们不仅学过了有理数，而且又定义了无理数，显然我们所学的数的范围又扩大了，我们把有理数和无理数统称为实数，这是我们今天学习的又一新的概念．

2．实数的定义：有理数和无理数统称为实数． 3．实数的分类：

对于实数，我们可按定义分类如下：

由上述分类，我们发现有理数和无理数都有正负之分，所以对实数我们还可以按大小分类如下：

对于这两种分类的方法，同学们应牢固地掌握．

4．实数的相反数：如果a表示一个正实数，那么-a就表示一个负实数，a与-a互为相反数，0的相反数依然是0．

由上述定义，我们看到实数的相反数概念与有理数相同．其实不仅如此，绝对值的定义也是如此．

5．实数的绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．用数字表示仍可表示为：

6．实数的运算：

关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立．在实数范围内可进行加、减、乘、除、乘方和开方运算．运算顺序依然是从高级到低级．值得注意的是在进行开方运算时，正实数和零可开任何次方，负数能开奇次方，但不能开偶次方．

(3)若｜x｜=π，求x值．

例2 判断题：

(1)任何实数的偶次幂是正实数．()

(2)在实数范围内，若｜x｜=｜y｜，则x=y．()(3)0是最小的实数．()(4)0是绝对值最小的实数．()

解：(1)错，0的偶次幕是0，它不是正实数．(2)错，若x=3，y=-3，则满足｜x｜=｜y｜，但x≠y．(3)错，负实数都小于0．

(4)对，因为任何实数的绝对值都为非负实数，0自然是绝对值最小的实数．

六、总结

今天我们学习了实数这一新的内容，请同学们首先要清楚，实数我们是如何定义的，它 与有理数是怎样的关系，再有就是对实数两种不同的分类要清楚．并应对照有理数中有关相反数、绝对值的定义以及运算律和运算性质，来理解在实数中的定义和运用．

七、作业

教科书习题 6.3第1，2题;

八、板书设计 6.3实数

1．无理数定义 5.绝对值 例1.例2.2.实数定义 6.运算 3.分类 4.相反数

第五篇：6.3_实数_教学设计_教案

七年级数学下册教学设计

6.3、实数

教学准备

1.教学目标

1、了解无理数和实数的意义，能对实数按要求进行分类。

2、了解实数范围内，相反数、绝对值的意义。

3、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。

2.教学重点/难点

教学重点：了解实数意义，能对实数进行分类，明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。

教学难点：用数轴上的点来表示无理数。

3.教学用具 教学过程

一、创设问题情景，复习引出实数的概念

1、有理数的分类：

2、练一练，把下列有理数写成小数的形式：

有限小数

无限循环小数

归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式；

任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

3、共同探究：

以上都是无限不循环小数，我们把无限不循环小数叫做无理数。无理数的特征：

①圆周率π以及一些含有π的数；

②开不尽方的数（注意“带根号的数不一定是无理数”）③有一定的规律，但不循环的无限小数 如：12.010010001……

4、实数：有理数和无理数统称为实数。实数的分类（二分法）

你知道怎样区分有理数和无理数吗？

例

1、下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？

2、把下列各数分别填入相应的集合内。

正有理数集合： 负无理数集合： 有理数集合： 无理数集合：

教师引导学生得出实数概述并板书：有理数和无理数统称实数。教师点明：实数可分为有理数与无理数。

二、随堂练习

1、判断下列说法是否正确：（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；

（3）带根号的数都是无理数。

2、在数轴上作出 课堂小结 小结

1、实数的概念

2、实数可以怎样分类

3、数轴上的点和实数一一对应。作业: 课后习题 课本习题板书设计：略

教学反思：本节内容并不复杂，大部分同学都能很好的掌握。很大部分是借助新知识回顾旧内容。

对应的点。