「专项突破」黑龙江大庆市2021-2022学年中考数学模拟试题（二模）解析版

【专项突破】黑龙江大庆市2021-2022学年中考数学模拟试题（二模）

（解析版）

一、选一选（每小题3分，共30分）

1.下列计算正确的是（）

A.B.C.D.【答案】C

【解析】

【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则和二次根式加减运算法则、完全平方公式分解计算得出答案．

【详解】A．2a+3b无法计算，故此选项错误；

B．，故此选项错误；

C．，正确；

D．，故此选项错误；

故选C．

2.下列所给图形是对称图形但没有是轴对称图形的是（）

A.B.C.D.【答案】D

【解析】

【详解】A.此图形没有是对称图形，没有是轴对称图形，故A选项错误；

B.此图形是对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误；

C.此图形没有是对称图形，是轴对称图形，故D选项错误．

D.此图形是对称图形，没有是轴对称图形，故C选项正确；

故选D.3.若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是

（）

A.菱形

B.对角线互相垂直的四边形

C.矩形

D.对角线相等的四边形

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．

【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，∴EH∥FG，EF=FG，∴四边形EFGH是平行四边形，假设AC=BD，∵EH=AC，EF=BD，则EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形，即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，故选：D．

【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键．

4.从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（）

A.B.C.D.【答案】C

【解析】

【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．

【详解】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7共4种，其中构成三角形的有3，5，7共1种，∴能构成三角形的概率为：，故选C．

点睛：此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

5.如图，点，，在上，是的一条弦，则（）．

A.B.C.D.【答案】D

【解析】

【分析】连接CD，由圆周角定理可得出∠OBD=∠OCD，根据点D(0，3)，C(4，0)，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形OCD中利用三角函数即可求出答案．

【详解】解：连接CD，∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴，∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD=，故选：D．

【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．

6.将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和没有可能是（）

A.360°

B.540°

C.720°

D.900°

【答案】D

【解析】

【详解】根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可.解：①将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和：180°+180°=360°；

②将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；

③将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：180°+540°=720°，④将矩形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°，故选D.7.如图，已知直线y＝﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y＝交于E，F两点，若AB＝2EF，则k的值是（）

A.﹣1

B.1

C.D.【答案】D

【解析】

【详解】作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AB=OA=2，∴EF=AB=，∴△DEF为等腰直角三角形，∴FD=DE=EF=1，设F点横坐标为t，代入y=﹣x+2，则纵坐标是﹣t+2，则F的坐标是：（t，﹣t+2），E点坐标为（t+1，﹣t+1），∴t（﹣t+2）=（t+1）•（﹣t+1），解得t=，∴E点坐标为（，），∴k=×=

．

故选D．

8.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象，则反比例函数与函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）

A.B.C.D.【答案】C

【解析】

【分析】根据二次函数的图象确定的正负，再反比例函数、函数系数与图象的关系即可得出结论．

【详解】观察二次函数图象可知：

开口向上，；

对称轴y轴右侧，异号，则b＜0；

二次函数图象与y轴交点在y轴的正半轴，c＞0．

∵反比例函数中，∴反比例函数图象在第二、四象限内；

∵函数中，∴函数图象第二、三、四象限．

故选：C．

【点睛】本题考查了二次函数的图象、反比例函数的图象以及函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出的正负．

9.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）

A.84

B.336

C.510

D.1326

【答案】C

【解析】

【详解】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为：1×73+3×72+2×7+6=510，故选：C．

点睛：本题考查记数的方法，注意运用七进制转化为十进制，考查运算能力，属于基础题.10.如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC

运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时，；③直线NH的解析式为；④若△ABE与△QBP相似，则t=秒．其中正确的结论个数为【

】

A.4

B.3

C.2

D.1

【答案】B

【解析】

【详解】根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5cm．∴AD=BE=5，故结论①正确．

如图1，过点P作PF⊥BC于点F，根据面积没有变时△BPQ的面积为10，可得AB=4，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF．

∴．

∴PF=PBsin∠PBF=t．

∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=．故结论②正确．

根据5～7秒面积没有变，可得ED=2，当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC=11，故点H的坐标为（11，0）．

设直线NH的解析式为y=kx+b，将点H（11，0），点N（7，10）代入可得：，解得：．

∴直线NH的解析式为：．故结论③错误．

如图2，当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，∵tan∠PBQ=tan∠ABE=，∴，即．

解得：t=．故结论④正确．

综上所述，①②④正确，共3个．故选B．

考点：动点问题的函数图象，双动点问题，矩形的性质，锐角三角函数定义，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的性质，分类思想的应用．

二、填

空

题（每小题3分，共24分）

11.若式子有意义，则x的取值范围是___．

【答案】且

【解析】

【详解】∵式子在实数范围内有意义，∴x+1≥0，且x≠0，解得：x≥-1且x≠0，故答案为x≥-1且x≠0．

12.据报载，2016年我国发展固定宽带接入新用户260000000户，其中260000000用科学记数法表示为_____．

【答案】2.6×108

【解析】

【详解】由科学记数法的定义知：260000000=2.6×108．

故答案：2.6×108．

13.已知是二元方程组的解，则2n﹣m的平方根是_____．

【答案】±2

【解析】

【详解】∵是二元方程组的解，∴，解得

∵2n﹣m=2×3﹣2=4，∴2n﹣m的平方根为±2．

故答案为±2．

14.对于任意实数m、n，定义一种运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

【详解】解：根据题意得：2※x=2x﹣2﹣x+3=x+1，∵a＜x+1＜7，即a﹣1＜x＜6解集中有两个整数解，∴a的范围为，故答案为．

【点睛】本题考查一元没有等式组的整数解，准确理解题意正确计算是本题的解题关键．

15.已知关于x的分式方程=1的解是非负数，则a的取值范围是__________．

【答案】a≥1且a≠2

【解析】

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．

【详解】解：分式方程去分母得：a﹣2=x﹣1，解得：x=a﹣1，由方程的解为非负数，得到a﹣1≥0，且a﹣1≠1，解得：a≥1且a≠2．

故答案为：a≥1且a≠2．

【点睛】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母没有为0这个条件．

16.如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是_____cm．

【答案】8

【解析】

【详解】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x，则DH=AD﹣AH=8﹣x，在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x，EH=DH=8﹣x，∴EH2=AE2+AH2，即（8﹣x）2=42+x2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C△AEH=12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF∽△HAE，∴．

∴C△EBF==C△HAE=8．

考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A＇落在AB边上时，旋转角α的度数是_____度，阴影部分的面积为_____．

【答案】

①.60

②.【解析】

【详解】试题分析：连接CA′，证明三角形AA′C是等边三角形即可得到旋转角α的度数，再利用旋转的性质求出扇形圆心角以及△CDB′的两直角边长，进而得出图形面积即可．

试题解析：

∵AC=A′C，且∠A=60°，∴△ACA′是等边三角形．

∴∠ACA′=60°，∴∠A′CB=90°-60°=30°，∵∠CA′D=∠A=60°，∴∠CDA′=90°，∵∠B′CB=∠A′CB′-∠A′CB=90°-30°=60°，∴∠CB′D=30°，∴CD=CB′=CB=×2=1，∴B′D=，∴S△CDB′=×CD×DB′=×1×=，S扇形B′CB=，则阴影部分的面积为：.考点：1.旋转的性质；2.扇形面积的计算．

18.如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从数1这点开始跳，第1次跳到数3那个点，如此，则经2015次跳后它停的点所对应的数为______．

【答案】2

【解析】

【详解】解：根据题意可得：第1次跳到数3那个点；

则第2次跳到数5那个点；

第3次跳到数2那个点；

第4次跳到数1那个点；…

所以4次跳后一个循环，依次在3，5，2，1这4个数上循环，因为2015÷4=503…3，所以2015次跳后它停在2上．

故答案为：2

【点睛】本题考查探寻规律．

三、解

答

题：（共66分）

19.计算：﹣sin60°+

．

【答案】.【解析】

【详解】试题分析：根据角的三角函数、二次根式的化简进行计算即可．

试题解析：原式=﹣+4×=﹣+2=+2=．

20.先化简，再求值：（﹣）÷，其中x是方程3x2﹣x﹣1=0的根．

【答案】，.【解析】

【详解】试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值，把x的值代入化简后的式子进行计算即可．

试题解析：原式=×=×=，∵3x2﹣x﹣1=0，∴x+1=3x2，∴原式==．

21.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．

（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；

（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2，并写出点A2、C2的坐标．

【答案】（1）作图见解析，点A1的坐标为（2，﹣4）；（2）作图见解析，点A2、C2的坐标分别为（﹣2，2），（﹣1，4）．

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2，然后写出点A2、C2的坐标．

试题解析：（1）△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）；

（2）△A2BC2为所作，点A2、C2的坐标分别为（﹣2，2），（﹣1，4）．

22.已知关于x的方程x2+3x+=0有两个没有相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若m为符合条件的整数，求此时方程的根．

【答案】（1）m＜3；（2）x1=，x2=．

【解析】

【分析】（1）先根据方程有两个没有相等的实数根可知△＞0，由△＞0可得到关于m的没有等式，求出m的取值范围即可；

（2）由（1）中m的取值范围得出符合条件的m的整数值，代入原方程，利用求根公式即可求出x的值．

【详解】解：（1）∵关于x的方程x2+3x+=0有两个没有相等的实数根，∴△=32﹣4×1×=9﹣3m＞0，∴m＜3；

（2）∵m＜3，∴符合条件的整数是2，∴原方程为x2+3x+=0，解得：x1=，x2=．

23.如图所示，已知AB是圆O的直径，圆O过BC的中点D，且DE⊥AC．

（1）求证：DE是圆O的切线；

（2）若∠C=30°，CD=10cm，求圆O的半径．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：（1）连接OD，利用三角形的中位线定理可得出OD∥AC，再利用平行线的性质就可证明DE是圆O的切线．

（2）利用30°角度，可求出AD的长，由两直线平行同位角相等，可得出∠ODB=∠C=30°，从而△ABD为直角三角形，圆O的半径可求．

试题解析：（1）连接OD，∵D是BC的中点，O为AB的中点，∴OD∥AC．

又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为半径，∴DE是圆O的切线．

（2）连接AD；∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°=∠ADC，∴△ADC是直角三角形．∵∠C=30°，CD=10，∴AD=．

∵OD∥AC，OD=OB，∴∠B=30°，∴△OAD是等边三角形，∴OD=AD=，∴圆O的半径为cm．

【考点】切线的判定；等边三角形的性质；圆周角定理．

24.学校为统筹安排大课间体育，在各班随机选取了一部分学生，分成四类：“篮球”、“羽毛球”、“乒乓球”、“其他”进行，整理收集到的数据，绘制成如下的两幅统计图．

（1）学校采用的方式是

；学校在各班共随机选取了

名学生；

（2）补全统计图中的数据：羽毛球

人、乒乓球

人、其他

人、其他

﹪；

（3）该校共有1100名学生，请计算喜欢“篮球”的学生人数．

【答案】（1）抽样；100；（2）21，18，25，25

（3）396

人

【解析】

【分析】（1）根据条件：在各班随机选取了一部分学生，可知学校采用的方式是抽样，利用喜欢篮球的人数和百分比可求出总人数；（2）用总人数乘以各项的百分比即可求出各项的人数，其他所占百分比为：1-36%-21%-18%；（3）根据36%×1100计算即可

【详解】解：（1）学校采用的方式是抽样；

由题意可得：喜欢篮球的人数为：36人，所占比例为：36%，所以学校在各班随机选取了学生：36÷36%=100（名）；

（2）喜欢羽毛球人数为：100×21%=21（人），喜欢乒乓球人数为：100×18%=18（人），其他所占百分比为：1-36%-21%-18%=25%，喜欢其它人数为：100×25%=25（人），如图所示：

（3）根据题意得：36%×1100=396，即估计喜欢“篮球”学生人数为396人．

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从没有同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体的思想．

25.如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．

（1）求该反比例函数和函数的解析式；

（2）求点B的坐标．

【答案】（1）反比例函数的解析式为，函数的解析式为y=2x+4；（2）点B坐标为（﹣3，﹣2）.【解析】

【分析】（1）先过点A作AD⊥x轴，根据tan∠ACO=2，求得点A的坐标，进而根据待定系数法计算两个函数解析式；（2）先联立两个函数解析式，再通过解方程求得交点B的坐标即可．

【详解】解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D．由A（n，6），C（﹣2，0）可得，OD=n，AD=6，CO=2

∵tan∠ACO=2，∴=2，即，∴n=1，∴A（1，6）．将A（1，6）代入反比例函数，得m=1×6=6，∴反比例函数的解析式为．

将A（1，6），C（﹣2，0）代入函数y=kx+b，可得：，解得：，∴函数的解析式为y=2x+4；

（2）由可得，解得=1，=﹣3．∵当x=﹣3时，y=﹣2，∴点B坐标为（﹣3，﹣2）．

【点睛】本题考查反比例函数与函数的交点问题，利用数形思想解题是关键．

26.在2014年“元旦”前夕，某商场试销一种成本为30元的文化衫，经试销发现，若每件按34元的价格，每天能卖出36件；若每件按39元的价格，每天能卖出21件．假定每天件数y（件）是价格x(元)的函数．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式.（2）在没有积压且没有考虑其他因素的情况下，每件的价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P？

【答案】（1）；（2）38．

【解析】

【详解】试题分析：(1)设y与x满足的函数关系式为y=kx+b,由题意可列出k和b的二元方程组，解出k和b的值即可；

（2）根据题意：每天获得的利润为：，转换为，于是求出每天获得的利润P时的价格.试题解析：（1）；

（2）每天获得的利润

答：每件的价格定为38元时，每天获得的利润.考点:．1.二次函数的应用；2.函数的应用.27.以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．

（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，1秒后点P运动到点（2，0），此时PQ恰好是⊙O的切线，连接OQ．求∠QOP的大小；

（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处没有动，求点Q再5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．

【答案】（1）∠QOP=60°；（2）QD=.【解析】

【详解】（1）解：如图一，连结AQ．

由题意可知：OQ=OA=1.∵OP=2,∴A为OP的中点.∵PQ与相切于点Q,∴为直角三角形

∴

即ΔOAQ为等边三角形.∴∠QOP=60°．

（2）解：由（1）可知点Q运动1秒时的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在与y轴负半轴的交点的位置（如图二）.设直线PQ与的交点为D，过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点.∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2,∴QP=

∵,∴OC=

∵OC⊥QD，OQ=1，OC=,∴QC=.∴QD=

28.已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；

（3）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若没有存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣；（2）存在，满足条件的P点坐标为（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；（3）满足条件的点E为（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0）．

【解析】

【分析】（1）因为抛物线点A（﹣4，0），B（1，0），所以可以设抛物线为y=﹣（x+4）（x﹣1），展开即可解决问题；

（2）先证明∠ACB=90°，点A就是所求的点P，求出直线AC解析式，再求出过点B平行AC的直线的解析式，利用方程组即可解决问题；

（3）分AC为平行四边形的边，AC为平行四边形的对角线讨论即可解决问题．

【详解】解：（1）抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣1），即；

（2）存在．当x=0，=2，则C（0，2），∴OC=2，∵A（﹣4，0），B（1，0），∴OA=4，OB=1，AB=5，当∠PCB=90°时，∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25

∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为（﹣4，0）；

当∠PBC=90°时，PB//AC，如图1，设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣4，0），C（0，2）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为y=x+2，∵BP//AC，∴直线BP的解析式为y=x+p，把B（1，0）代入得+p=0，解得p=﹣，∴直线BP的解析式为y=x﹣，解方程组：得：

或，此时P点坐标为（﹣5，﹣3）；

综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；

（3）存在点E，设点E坐标为（m，0），F（n，），分三种情况讨论：

①当AC为边，CF1//AE1，易知CF1=3，此时E1坐标（﹣7，0）；

②当AC为边时，AC//EF，易知点F纵坐标为﹣2，∴=﹣2，解得n=，得到F2（，﹣2），F3（，﹣2），根据中点坐标公式得到：

=

或

=，解得m=或，此时E2（，0），E3（，0）；

③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4（﹣1，0）．

综上所述满足条件的点E为（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0）．

【点睛】本题考查二次函数综合题、函数、勾股定理、平行四边形的判定和性质、中点坐标公式等知识，解题的关键是构建函数利用方程组解决点P坐标，学会分类讨论，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．