高三数学知识点总结归纳[大全五篇]

第一篇：高三数学知识点总结归纳

高三数学知识点总结归纳6篇

总结是指对某一阶段的工作、学习或思想中的经验或情况进行分析研究，做出带有规律性结论的书面材料，通过它可以全面地、系统地了解以往的学习和工作情况，我想我们需要写一份总结了吧。那么你知道总结如何写吗？下面是小编整理的高三数学知识点总结归纳，希望对大家有所帮助。

付正军：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节，主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二个是平面向量和三角函数。重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。难度比较小。

第三，是数列，数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四，空间向量和立体几何。在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五，概率和统计，这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一等可能的概率，第二事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六，解析几何，这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是20xx年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七，押轴题，考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。这是高考所考的七大板块核心的考点。

(1)先看“充分条件和必要条件”

当命题“若p则q”为真时，可表示为p=>q，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件。这里由p=>q，得出p为q的充分条件是容易理解的。

但为什么说q是p的必要条件呢?

事实上，与“p=>q”等价的逆否命题是“非q=>非p”。它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。

(2)再看“充要条件”

若有p=>q，同时q=>p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。简称为p是q的充要条件。记作p<=>q

回忆一下初中学过的“等价于”这一概念;如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作A<=>B。“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立;同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。

(3)定义与充要条件

数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。

显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。

“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。“仅当”表示“必要”。

(4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤

⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;

⒉写出点M的集合;

⒊列出方程=0;

⒋化简方程为最简形式;

⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

_直译法：求动点轨迹方程的一般步骤

①建系——建立适当的坐标系;

②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);

③列式——列出动点p所满足的.关系式;

④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;

⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

1.数列的定义、分类与通项公式

(1)数列的定义：

①数列：按照一定顺序排列的一列数.②数列的项：数列中的每一个数.(2)数列的分类：

分类标准类型满足条件

项数有穷数列项数有限

无穷数列项数无限

项与项间的大小关系递增数列an+1>an其中n∈N_

递减数列an+1

常数列an+1=an

(3)数列的通项公式：

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.2.数列的递推公式

如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式.3.对数列概念的理解

(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性.因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列.(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别.4.数列的函数特征

数列是一个定义域为正整数集N_(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)=an(n∈N_).

第一部分集合（1）含n个元素的集合的子集数为2^n，真子集数为2^n—1；非空真子集的数为2^n—2；

（2）注意：讨论的时候不要遗忘了的情况。

第二部分函数与导数

1、映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2、函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法

3、复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：

①若f（x）的定义域为〔a，b〕，则复合函数f[g（x）]的定义域由不等式a≤g（x）≤b解出

②若f[g（x）]的定义域为[a，b]，求f（x）的定义域，相当于x∈[a，b]时，求g（x）的值域。

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数的定义域是内函数的值域。

4、分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5、函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

⑵是奇函数；

⑶是偶函数；

⑷奇函数在原点有定义，则；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；

1、对于函数f（x），如果对于定义域内任意一个x，都有f（—x）=—f（x），那么f（x）为奇函数；

2、对于函数f（x），如果对于定义域内任意一个x，都有f（—x）=f（x），那么f（x）为偶函数；

3、一般地，对于函数y=f（x），定义域内每一个自变量x，都有f（a+x）=2b—f（a—x），则y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称；

4、一般地，对于函数y=f（x），定义域内每一个自变量x都有f（a+x）=f（a—x），则它的图象关于x=a成轴对称。

5、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

6、由函数奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则—x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

1.等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d.3.等差中项

如果A=(a+b)/2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n，m∈N_).(2)若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N_).(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N_)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2;

若n为奇数，则S奇-S偶=a中(中间项).注意：

一个推导

利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：

Sn=a1+a2+a3+…+an，①

Sn=an+an-1+…+a1，②

①+②得：Sn=n(a1+an)/2

两个技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法

等差数列的判断方法

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数;

(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N_)都成立;

(3)通项公式法：验证an=pn+q;

(4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.

第二篇：高三数学知识点总结黄岗

高中数学知识点总结

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C 中元素各表示什么？

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合Ax|x22x30，Bx|ax1

若BA，则实数a的值构成的集合为1）3

（答：1，0，3.注意下列性质：

（1）集合a1，a2，„„，an的所有子集的个数是2n；

（2）若ABABA，ABB；

（3）德摩根定律：

CUABCUACUB，CUABCUACUB

ax5xa

24.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式的取值范围。

（∵3M，∴a·353aa·555a220的解集为M，若3M且5M，求实数a

05a1，9，25）30

∵5M，∴

5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和

“非”().若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若p为真，当且仅当p为假

6.命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数yx4xlgx32的定义域是

（答：0，22，33，4）

10.如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定 义域是_____________。

（答：a，a）

11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：f

令tx1ex，求f(x).x1，则t0

2x

∴xt∴f(t)et

∴f(x)e21t1 x1x0 22x1

212.反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1x

如：求函数f(x)2xx0x0x0的反函数

（答：f1x1(x)xx1）

13.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1(b)a

f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

14.如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

（yf(u)，u(x)，则yf(x)（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。）

如：求ylog1x2x的单调区间

2（设ux22x，由u0则0x2

且log1u，ux11，如图： u O 1 2 x

2当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

∴„„）

15.如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于 零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)xax在1，上是单调增函数，则a的最大

3值是（）

A.0 B.1

C.2

D.3



（令f'(x)3xa3x2ax3a0 3

则xa3或xa3

由已知f(x)在[1，)上为增函数，则

∴a的最大值为3）

a31，即a3

16.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称

若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

a·2a221xx

如：若f(x)为奇函数，则实数a

（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

a·2a22100

即0，∴a1）

又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)求f(x)在1，1上的解析式。

2xx41，（令x1，0，则x0，1，f(x)x24xxxx1

又f(x)为奇函数，∴f(x)24x1214

x2x4 又f(0)0，∴f(x)x2x41x(1，0)x0x0，1）

17.你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）

又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb

即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)

则f(x)是周期函数，2ab为一个周期

如：

18.你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称

f(x)与f(x)的图象关于x轴对称

f(x)与f(x)的图象关于原点对称

f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称

f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称

f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称

yf(xa)左移a(a0)个单位

将yf(x)图象 yf(xa)右移a(a0)个单位yf(xa)b上移b(b0)个单位

 yf(xa)b下移b(b0)个单位

注意如下“翻折”变换：

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

y y=log2x O 1 x

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0)y(k>0)y=b O’(a,b)O x x=a

（1）一次函数：ykxbk0

（2）反比例函数：y的双曲线。

b2

（3）二次函数yaxbxca0ax2a2b4acbb，顶点坐标为 ，对称轴x4a2a2a2kxk0推广为ybkxak0是中心O'(a，b)

4acb4a2图象为抛物线

开口方向：a0，向上，函数ymin4acb4a22

a0，向下，ymax4acb4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

axbxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yaxbxc的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式axbxc0(0)解集的端点值。

2②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

0b2

如：二次方程axbxc0的两根都大于kk

2af(k)0 y(a>0)O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0

（4）指数函数：yaxa0，a1

（5）对数函数ylogaxa0，a1

由图象记性质！

（注意底数的限定！）

y y=a(a>1)(01)1 O 1 x(0

（6）“对勾函数”yxkxk0

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

y k O k x

1ap

20.你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a1(a0)，ammn0p(a0)

annam(a0)，a1nam(a0)

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0

logaMNlogMlogN，logaaaanM1nlogM a

对数恒等式：alogxx

对数换底公式：logab

21.如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

logcblogcalogambnnmlogab

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。

（先令xy0f(0)0再令yx，„„）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。

（先令xytf(t)(t)f(t·t)

∴f(t)f(t)f(t)f(t)

∴f(t)f(t)„„）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2„„

22.掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值：

（1）y2x32x4x3134x

（2）y

（3）x3，y2x2x3

，0， 设x3cos

（4）yx4

（5）y4x9x9x2，x(0，1]

23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l·R，S扇12l·R 1弧度 O R R 12·R）

24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sinMP，cosOM，tanAT

y T B S P α O M A x

如：若80，则sin，cos，tan的大小顺序是

又如：求函数y12cosx的定义域和值域。

2

（∵12cosx）12222sinx0

∴sinx，如图：

∴2k54x2k4kZ，0y12

25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

x1，cosxsin y x   O 2

ytgx 2

对称点为k，0，kZ

2 x的增区间为2k

ysin22，2kkZ 23kZ 2

减区间为2k，2k

图象的对称点为k，0，对称轴为xk

ycosx的增区间为2k，2kkZ

2kZ

减区间为2k，2k2kZ

图象的对称点为k，0，对称轴为xkkZ

 ytanx的增区间为k2，kkZ 2

26.正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。或yAcosx

（1）振幅|A|，周期T2||

若fx0A，则xx0为对称轴。

若fx00，则x0，0为对称点，反之也对。

（2）五点作图：令x依次为0，（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、、值）

2，，32，2，求出x与y，依点

(x1)0

如图列出

(x)22

解条件组求、值

正切型函数yAtanx，T||

27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

如：cosx

（∵x23，x，，求x值。62232，∴76x653，∴x654，∴x1312）

28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数ysinxsin|x|的值域是

（x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2）

29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）

平移公式：

x'xha(h，k)

（1）点P（x，y） P'（x'，y'），则y'yk平移至

（2）曲线f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(xh，yk)0

如：函数y2sin2x图象？

（y2sin2x1横坐标伸长到原来的2倍1y2sin2x1 4421的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的 4个单位上平移1个单位42sinx1y2sinx1y2sinx 4左平移纵坐标缩短到原来的1倍2ysinx）

30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1sincossectantan·cotcos·sectansin2cos0„„称为1的代换。22224

“k·2”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：cos97tansin2146sintancoscot，则y的值为

又如：函数y

A.正值或负值

sin

D.正值

sinB.负值

2C.非负值

（ycossincos1cos0，∵0）2coscossin1sin

31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

coscossinsin22sincos

sinsin令令22coscoscossinsincos2cossin tantantan1tan·tan 2cos112sin 22tan22tan1tan2cos 21cos22 1cos22sin

2bcos

asinabsin，tan22

ba

sincos2sin

4

sin3cos2sin

3

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）

具体方法：

（1）角的变换：如，2„„ 2

2（2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

如：已知sincos1cos21，tancos2sin23，求tan2的值。

1（由已知得：

又tansincos2sin2321，∴tan

2tantan1tan·tan212118）

∴tan2tan31·32

32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

余弦定理：abc2bccosAcosA222bca2bc222

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）a2RsinAabc

正弦定理：2Rb2RsinB

sinAsinBsinCc2RsinC

S12a·bsinC

∵ABC，∴ABC

C，sin

∴sinABsinAB2Ccos 如ABC中，2sin

（1）求角C；

2AB2cos2C1

（2）若ab22c22，求cos2Acos2B的值。

2（（1）由已知式得：1cosAB2cosC11

又ABC，∴2cosCcosC10

∴cosC12或cosC1（舍）

322

又0C，∴C

b22

（2）由正弦定理及a22122c得： 3342

2sinA2sinBsinCsin

1cos2A1cos2B

∴cos2Acos2B3434）

33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦：arcsinx，2，x1，12

反余弦：arccosx0，，x1，1

反正切：arctanx

34.不等式的性质有哪些？

（1）ab，c0acbcc0acbc2，，xR 2

（2）ab，cdacbd

（3）ab0，cd0acbd

（4）ab01a1b，ab0n1a1b

（5）ab0anbn，nab

（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa

如：若21a21b0，则下列结论不正确的是（）

A.abB.abb D.abba2

C.|a||b||ab|

答案：C

35.利用均值不等式：

ab2aba，bR22ab；ab2ab；ab求最值时，你是否注

22意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等）

注意如下结论：

ab222ab2ab2ababa，bR



当且仅当ab时等号成立。

abcabbccaa，bR 22

2当且仅当abc时取等号。

ab0，m0，n0，则

babmam1anbnab4x

如：若x0，23x的最大值为

（设y23x42212243 x23 当且仅当3x4x，又x0，∴x时，ymax243）

又如：x2y1，则2x4y的最小值为

（∵2x22y22x2y221，∴最小值为22）

36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用。

如：证明1122122132„1n22

（1132„„1n211121n123„„1n1n

11121213„„1n1

21n

2）37.解分式不等式f(x)g(x)aa0的一般步骤是什么？

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）

38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：x1x12x230

39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a1或0a1讨论

40.对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x3|x11

1）2

（解集为x|x

41.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题

如：设f(x)x2x13，实数a满足|xa|求证：f(x)f(a)2(|a|1)

证明：|f(x)f(a)||(x2x13)(a2a13)|

|(xa)(xa1)|(|xa|1)

|xa||xa1||xa1||x||a|1

又|x||a||xa|1，∴|x||a|1

∴f(x)f(a)2|a|22|a|1

（按不等号方向放缩）

42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

如：af(x)恒成立af(x)的最小值

af(x)恒成立af(x)的最大值

af(x)能成立af(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是

（设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和

umin325，∴5a，即a5

或者：x3x2x3x25，∴a5）

43.等差数列的定义与性质

定义：an1and(d为常数)，ana1n1d

等差中项：x，A，y成等差数列2Axy

前n项和Sna1ann2na1nn12d

性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列；

Sn，S2nSn，S3nS2n„„仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；

（4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则ambmS2m1T2m1；

2（5）an为等差数列Snanbn（a，b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）

2Sn的最值可求二次函数Snanbn的最值；或者求出an中的正、负分界

项，即：

an0

当a10，d0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值。

an10an0

当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值。

a0n

1如：等差数列an，Sn18，anan1an23，S31，则n

（由anan1an233an13，∴an11

又S3a1a32·33a21，∴a213

∴Sna1ann2a2an1·n211n3218

n27）

44.等比数列的定义与性质

定义：an1anq（q为常数，q0），ana1qn1

等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy

na1(q1)a11qn（要注意!）

(q1)1q

前n项和：Sn

性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则am·anap·aq

（2）Sn，S2nSn，S3nS2n„„仍为等比数列

45.由Sn求an时应注意什么？

（n1时，a1S1，n2时，anSnSn1）

46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

如：an满足

解：n1时，n2时，121212a1122a2„„12nan2n51

a1215，∴a114 122a1a2„„1an2

12n1an12n152

12得：

∴an

2∴an［练习］ n12n

14(n1)n1

(n2)2

53数列an满足SnSn1an1，a14，求an

（注意到an1Sn1Sn代入得：Sn1Sn4

又S14，∴Sn是等比数列，Sn4n

n2时，anSnSn1„„3·4n（2）叠乘法

例如：数列an中，a13，an1an23nn1，求an

解：a2a1·a3a2„„anan13n12·„„n1n，∴ana11n

又a13，∴an

（3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

n2时，a2a1f(2)a3a2f(3)

两边相加，得：

„„„„anan1f(n)

ana1f(2)f(3)„„f(n)

∴ana0f(2)f(3)„„f(n)［练习］

n1an1n2，求an

数列an，a11，an3

（an321n1）

（4）等比型递推公式

ancan1dc、d为常数，c0，c1，d0

可转化为等比数列，设anxcan1x

ancan1c1x

令(c1)xd，∴xddc1

∴and，c为公比的等比数列 是首项为a1c1c ∴andn1a1·c c1c1dn1d cc1c1d

∴ana1［练习］

数列an满足a19，3an1an4，求an

（an483n11）

（5）倒数法

例如：a11，an12anan2，求an

由已知得：1an112an22an121an

∴1an11an

1111，公差为

为等差数列，a12an

1an1n1·2n11212n1

∴an

47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

n

如：an是公差为d的等差数列，求k11akak1

解：由n1ak·ak11n1akakd111d0 dakak1

∴k1akak1k1111 dakak1

1111111„„da1a2a2a3aann1111da1an1

［练习］

求和：11121123„„1n11123„„n）

（an„„„„，Sn2

（2）错位相减法：

若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项

和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。

如：Sn12x3x24x3„„nxn11

2

234n1nnx

x·Snx2x3x4x„„n1x2n1nnx

12：1xSn1xx„„x

x1时，Sn1xn1x2nxn1x

x1时，Sn123„„nnn12

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sna1a2„„an1an相加

Snanan1„„a2a1

2Sna1ana2an1„„a1an„„ ［练习］

已知f(x)111，则f(1)f(2)ff(3)ff(4)f24231x1x2x2

x1

（由f(x)f2x1x211x2x221x11x21

∴原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f

234

12111312）111

48.你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

nn1r„„等差问题

Snp1rp12r„„p1nrpn2

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p(1r)nx1rn1x1rn2„„x1rx

11rn

x11rn1r1 xr

∴xpr1rn1rn



1p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（1）分类计数原理：Nm1m2„„mn

（mi为各类办法中的方法数）

分步计数原理：Nm1·m2„„mn

（mi为各步骤中的方法数）

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为An.m

Annn1n2„„nm1mn!nm!mn

规定：0!1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cn.m

CmnAnmmAmnn1„„nm1m!n!m!nm!

规定：C01 n

（4）组合数性质：

nmmm1m01nn

CmCn，CnCnCn1，CnCn„„Cn2 n

50.解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

xi89，90，91，92，93，(i1，2，3，4)且满足x1x2x3x4，

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）

A.24 B.15

解析：可分成两类：

C.12

D.10

（1）中间两个分数不相等，4有C55（种）

（2）中间两个分数相等

x1x2x3x4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。

∴共有5＋10＝15（种）情况

51.二项式定理

(ab)CnaCnan0n1n1bCna2n2b„Cnarnrr2rnrb„Cnb

rnn

二项展开式的通项公式：Tr1Cnarb(r0，1„„n)

Cn为二项式系数（区别于该项的系数）

性质：

r

（1）对称性：CrnCnr0，1，2，„„，n n

（2）系数和：CnCn„CnCnCnCn„CnCnCn„2135024n101nn

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

n2；n为奇数时，(n1)为偶数，中间两项的二项式 1项，二项式系数为Cn2n系数最大即第n12项及第11n12n1n11项，其二项式系数为Cn2Cn2

如：在二项式x1的展开式中，系数最小的项系数为表示）

（∵n＝11

∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第122（用数字

6或第7项

r11rr

由C11x(1)，∴取r5即第6项系数为负值为最小：

5C11C11426

又如：12x2004a0a1xa2x„„a2004x22004xR，则

a0a1a0a2a0a3„„a0a2004（用数字作答）

（令x0，得：a01

令x1，得：a0a2„„a20041

∴原式2003a0a0a1„„a20042003112004）

52.你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0

（2）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。

A B

（3）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B 的和（并）。

（4）事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A·B

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A

AA，AA

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53.对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

P(A)A包含的等可能结果一次试验的等可能结果的总数mn

（2）若A、B互斥，则PABP(A)P(B)

（3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB

（4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生 k次的概率：Pn(k)Cnpkk1pnk

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（1）从中任取2件都是次品；

2C42

P12

15C10

（2）从中任取5件恰有2件次品；

23C4C610

P2 521C10

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

213

∴mC2·464 3

∴P3C3·4·6410322344125

（4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序）

5223

∴nA10，mC4A5A6

∴P4C4A5A6A1052231021

分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

54.抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55.对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法：

（1）算数据极差xmaxxmin；

（2）决定组距和组数；

（3）决定分点；

（4）列频率分布表；

（5）画频率直方图。

其中，频率小长方形的面积组距×频率组距

样本平均值：x

样本方差：S21n1nx1x2„„xn

xx2x„„xnx222x1

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

（C10C5C15642）

56.你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。



（2）向量的模——有向线段的长度，|a|



（3）单位向量|a0|1，a0a

|a|

（4）零向量0，|0|0

长度相等ab

（5）相等的向量方向相同

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。



b∥a(b0)存在唯一实数，使ba

（7）向量的加、减法如图：



OAOBOC 

OAOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）



e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

实数对

1、2，使得a1e12e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底。

（9）向量的坐标表示



i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

axiyj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：ax，y，即为向量的坐标 表示。

设ax1，y1，bx2，y2

则abx1，y1y1，y2x1y1，x2y2

ax1，y1x1，y1

若Ax1，y1，Bx2，y2 

则ABx2x1，y2y1 

|AB|x2x1y2y1，A、B两点间距离公式 2

257.平面向量的数量积



（1）a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）。

为向量a与b的夹角，0，

B b O  a

D A

数量积的几何意义：



a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。

（2）数量积的运算法则



①a·bb·a



②(ab)ca·cb·c

③a·bx1，y1·x2，y2x1x2y1y2



注意：数量积不满足结合律(a·b)·ca·(b·c)

（3）重要性质：设ax1，y1，bx2，y2



①a⊥ba·b0x1·x2y1·y20



②a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b|



ab（b0，惟一确定）

x1y2x2y10

2

③a|a|xy，|a·b||a|·|b|

22121

④cos［练习］ a·bx1x2y1y2xy·2121|a|·|b|xy2222



（1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，ACc，则

|abc|

答案：22

（2）若向量ax，1，b4，x，当x

答案：2 时a与b共线且方向相同

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|

答案：158.线段的定比分点

o

设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在

l上且不同于P1、P2，若存在一实数，使P1PPP2，则叫做P分有向线段 P1P2所成的比（0，P在线段P1P2内，0，P在P1P2外），且

x1x2x1x2xx1 ，P为P1P2中点时，yy1y2yy1y212

如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3

则ABC重心G的坐标是x1x2x33，y1y2y3 

3※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面

线⊥线线⊥面面⊥面

线∥线线⊥面面∥面判定性质

线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

a b 

线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则

a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

O a P 

线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a O α b c

面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

α a l β

a⊥面，b⊥面a∥b

面⊥a，面⊥a∥

a b 

60.三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

＝0时，b∥或b o

（3）二面角：二面角l的平面角，0o180o

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。

证明：coscos·cos

A θ O B β C D α

（为线面成角，∠AOC=，∠BOC=）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角；

②求异面直线BD1和AD所成的角；

③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

（①arcsin34；②60；③arcsino63）

（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

P F D C A E B

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线„„）

61.空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：

（1）点C到面AB1C1的距离为___________；

（2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；

（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；

（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1

62.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE

它们各包含哪些元素？

S正棱锥侧

V锥1312C·h'（C——底面周长，h'为斜高）

底面积×高

63.球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面rRd22

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！

（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（4）S球4R，V球243R

3（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面 积为（）

A.3B.4C.33D.6

答案：A

64.熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角0，，ktany2y1，x1x2 x2x12

P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k

（2）直线方程：

点斜式：yy0kxx0（k存在）

斜截式：ykxb

截距式：xayb1

一般式：AxByC0（A、B不同时为零）

（3）点Px0，y0到直线l：AxByC0的距离dk2k11k1k2Ax0By0CA2B2

（4）l1到l2的到角公式：tan

l1与l2的夹角公式：tank2k11k1k2

65.如何判断两直线平行、垂直？

A1B2A2B1l1∥l2

A1C2A2C1

k1k2l1∥l2（反之不一定成立）

A1A2B1B20l1⊥lk1·k21l1⊥l2

66.怎样判断直线l与圆C的位置关系？

圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

67.怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”0相交；0相切；0相离

68.分清圆锥曲线的定义

椭圆PF1PF22a，2a2cF1F2

第一定义双曲线PF1PF22a，2a2cF1F2

抛物线PFPK

第二定义：ePFPKca

0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线

y b O xa2c F1 F2 a x 2222

xayb1ab0

a2b2c2

xa22

yb221a0，b0

c2a2b2 k e>1 e =1P 0

69.与双曲线xa22

yb221有相同焦点的双曲线系为xa22yb220

70.在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

弦长公式P1P21kx21x24x1x2

2

1212y1y24y1y2 k

71.会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

如：

y P(x0,y0)K F1 O F2 x l

xa22yb221

PF2PKe，PF22aex0ex0a

c

PF1ex0a

y A P2 O F x P1 B

y22pxp0

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。

72.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mx2ny21与直线y1x交于M、N两点，原点与MN中点连

22mn线的斜率为，则的值为

答案：mn22

73.如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。

（由axx'2，byy'2x'2ax，y'2by）

只要证明A'2ax，2by也在曲线C上，即f(x')y' AA'⊥l

（2）点A、A'关于直线l对称

AA'中点在l上kAA'·kl

1

AA'中点坐标满足l方程74.圆xy22xrcosr的参数方程为（为参数）

yrsin

2椭圆xa22yb22xacos1的参数方程为（为参数）

ybsin

75.求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76.对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

第三篇：高三数学知识点总结（范文模版）

高中数学知识点总结

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C

中元素各表示什么？

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合Ax|x22x30，Bx|ax1

若BA，则实数a的值构成的集合为

3.注意下列性质：

1（答：1，0，）

3（1）集合a1，a2，„„，an的所有子集的个数是2n；

（2）若ABABA，ABB；

（3）德摩根定律：

CUABCUACUB，CUABCUACUB

如：已知关于x的不等式（∵3M，∴

4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

ax50的解集为M，若3M且5M，求实数a

x2aa·35032aa·55025a的取值范围。

5a1，9，25）

3∵5M，∴ 5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和

“非”().若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若p为真，当且仅当p为假

6.命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

9.求函数的定

义

域

有

哪

些

常

见

类

型？

例：函数yx4xlgx32的定义域是（答：0，22，33，4）

10.如何

求

复

合函

数的定

义

域

？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定

义域是_____________。

（答：a，a）



11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：fx1exx，求f(x).令tx1，则t0

∴xt21

2

∴f(t)et1t2∴f(x)ex21x21x0

12.反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1x如：求函数f(x)2x奇函数性；

x0x1x11的反函数

（答：f(x)）

x0xx0

13.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1(b)a



1ff(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

（yf(u)，u(x)，则yf(x)（外层）（内层）

14.如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。）如：求ylog1x22x的单调区间

（设ux22x，由u0则0x2

2且log1u，ux11，如图： u O 1 2 x

当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

2当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

215.如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于 零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)x3ax在1，上是单调增函数，则a的最大

B.1

C.2

D.3

值是（）

A.0 2aa（令f'(x)3xa3xx033则xa或x3a3

由已知f(x)在[1，)上为增函数，则a1，即a

3∴a的最大值为3）3

16.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称

若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

a·2xa2如：若f(x)为奇函数，则实数a2x1（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

a·20a2即0，∴a1）0212x又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x，41求f(x)在1，1上的解析式。2x（令x1，0，则x0，1，f(x)x

41

2x2x

又f(x)为奇函数，∴f(x)4x114x

2xx(1，0)

又f(0)0，∴f(x)4x1x0）

2x4x1x0，1

17.你熟

悉

周期

函

数的定

义（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期函数，T是一个周期。）如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）

又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb

即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)

则f(x)是周期函数，2ab为一个周期

如：

18.你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称

f(x)与f(x)的图象关于x轴对称

f(x)与f(x)的图象关于原点对称

f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称

f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称

f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称

吗

yf(xa)

将yf(x)图象左移a(a0)个单位右移a(a0)个单位yf(xa)

上移b(b0)个单位yf(x下移b(b0)个单位a)byf(xa)b

注意如下“翻折”变换：

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

y y=log2x O 1 x

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0)y(k>0)y=b O’(a,b)O x x=a

（1）一次函数：ykxbk0

（2）反比例函数：ykxk0推广为ybkxak0是中心O'(a，b)双

曲axbxca0ab24acb2（3）二次函数y2x2a4a图象为抛物线 顶点坐标为b2a，4acbb4a，对称轴x2a

线

开口方向：a0，向上，函数ymin4acb24a4acb24a

a0，向下，ymax

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

0b2如：二次方程axbxc0的两根都大于kk

2af(k)0 y(a>0)O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0（4）指数函数：yaxa0，a1（5）对数函数ylogaxa0，a1

由图象记性质！

（注意底数的限定！）

y y=ax(a>1)(01)1 O 1 x(0

（6）“对勾函数”yxkk0 x

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

y k O k x

20.你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a01(a0)，apamn1(a0)pa

nam(a0)，amn1nam(a0)

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0 logaM1logaMlogaN，loganMlogaM Nn对数恒等式：alogaxx

logcbnlogambnlogab

logcam

（赋值法、结构变换法）对数换底公式：logab

21.如何解抽象函数问题？如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。

（先令xy0f(0)0再令yx，„„）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。（先令xytf(t)(t)f(t·t)

∴f(t)f(t)f(t)f(t)

∴f(t)f(t)„„）（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2„„



22.掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）如求下列函数的最值：

（1）y2x3134x（2）y2x4x3

2x22（4）yx49x（3）x3，y设x3cos，0，x3

（5）y4x9，x(0，1] x

23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l·R，S扇11l·R·R2）22

24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sinMP，cosOM，tanAT

y T B S P α O M A x

如：若0，则sin，cos，tan的大小顺序是8

又如：求函数y12cosx的定义域和值域。

2（∵12cosx）12sinx0 2

∴sinx2，如图：2

∴2k5x2kkZ，0y1244

25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

sinx1，cosx1

2yytgxxO

2对称点为k，0，kZ

2ysinx的增区间为2k，2k2kZ2

3减区间为2k，2kkZ

22

图象的对称点为k，0，对称轴为xkycosx的增区间为2k，2kkZ

kZ 2

减区间为2k，2k2kZ

图象的对称点为k，0，对称轴为xkkZ 2ytanx的增区间为k，k2kZ 2

26.正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。或yAcosx（1）振幅|A|，周期T2

若fx0A，则xx0为对称轴。||

若fx00，则x0，0为对称点，反之也对。

3，，2，求出x与y，依点（2）五点作图：令x依次为0，22（x，y）作图象。（3）根据图象求解析式。（求A、、值）

(x1)0

如图列出(x2) 解条件组求、值

正切型函数yAtanx，T||

27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

如：cosx2362，x，2，求x值。

（∵x372，∴6x653，∴x654，∴x1312）

28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数ysinxsin|x|的值域是

（x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2）

29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变

换、伸

缩

变

换）

平

移

公

式如：函数y2sin2x41的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的

图象？

：

（y2sin2x1横坐标伸长到原来的2倍1y2sin2x1 424左平移个单位1个单位42sinx1y2sinx1上平移y2sinx 412ysinx）纵坐标缩短到原来的倍

30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1sin2cos2sec2tan2tan·cotcos·sectan 4sin

cos0„„称为1的代换。2“k·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，297tansin2164“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：cos

又如：函数ysintan，则y的值为coscotB.负值

C.非负值

D.正值

A.正值或负值

sinsin2cos1cos（y0，∵0）coscos2sin1cossinsin

31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：

令sinsincoscossinsin22sincos 令coscoscossinsincos2cos2sin2 tantantan22 2cos112sin 1tan·tantan2

2tan 1tan2 1cos22 1cos2sin22cos2

asinbcosa2b2sin，tansincos2sin 4b a

sin3cos2sin3可

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽

能

求

值。）

（1）角的变换：如，（2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

„„ 22

2（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

sincos21，tan，求tan2的值。

1cos23sincoscos1（由已知得：1，∴tan2sin22sin22又tan

321tantan1∴tan2tan32）

2181tan·tan1·32如：已知b2c2a2余弦定理：abc2bccosAcosA2bc222

32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

a2RsinAabc正弦定理：2Rb2RsinB

sinAsinBsinCc2RsinC

S1a·bsinC 2∵ABC，∴ABC

∴sinABsinC，sin如ABC中，2sin2ABCcos 22ABcos2C1 22

2c2（1）求角C；（2）若ab，求cos2Acos2B的值。

2（（1）由已知式得：1cosAB2cos2C11 又ABC，∴2cos2CcosC10

1或cosC1（舍）

又0C，∴C 231222

（2）由正弦定理及abc得：

232222

2sinA2sinBsinCsin 343 1cos2A1cos2B

∴cos2Acos2B）

∴cosC

33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦：arcsinx，，x1，1

22

反余弦：arccosx0，，x1，1 反正切：arctanx，，xR

22

34.不等式的性质有哪些？

（1）ab，c0acbcc0acbc（2）ab，cdacbd

（3）ab0，cd0acbd

（4）ab0

1111，ab0 abab（5）ab0anbn，nanb

（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa

如：若110，则下列结论不正确的是（abB.abb2）

A.a2b2C.|a||b||ab|D.ab2 ba均

值

2答案：C

35.22利用

不等式

abab2aba，bR；ab2ab；ab求最值时，你是否注

2意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等）

注意如下结论：

a2b2ab2ababa，bR22ab

当且仅当ab时等号成立。

a2b2c2abbccaa，bR 当且仅当abc时取等号。

ab0，m0，n0，则

bbmana1 aambnb4如：若x0，23x的最大值为x4（设y23x2212243 x当且仅当3x

423，又x0，∴x时，ymax243）x3

又如：x2y1，则2x4y的最小值为

（∵2x22y22x2y221，∴最小值为22）

36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用。

如：证明1（1111„2 22223n

111111„„1„„

1223n1n2232n211

11111„„223n1n122）n

37.解分式不等式f(x)aa0的一般步骤是什么？ g(x)

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）

38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：x1x1x20 2

339.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a1或0a1讨论

40.对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x3|x11 （解集为x|x1）2

41.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题 如：设f(x)x2x13，实数a满足|xa|1 求证：f(x)f(a)2(|a|1)

f(a)||(x2x13)(a2a13)|

证明：|f(x)|(xa)(xa1)|(|xa|1)

|xa||xa1||xa1||x||a|1

又|x||a||xa|1，∴|x||a|1 ∴f(x)f(a)2|a|22|a|1

（按不等号方向放缩）

42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

如：af(x)恒成立af(x)的最小值

af(x)恒成立af(x)的最大值 af(x)能成立af(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是（设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和 umin325，∴5a，即a5

或者：x3x2x3x25，∴a5）

43.等差数列的定义与性质

定义：an1and(d为常数)，ana1n1d 等差中项：x，A，y成等差数列2Axy 前n项和Sn

a1annna21nn12d

性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列； Sn，S2nSn，S3nS2n„„仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；（4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则amS2m1； bmT2m（5）an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为 Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界 0的二次函数）

项，即：

an0当a10，d0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值。

a0n1an0当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值。

a0n 如：等差数列an，Sn18，anan1an23，S31，则n（由anan1an233an13，∴an11

又S3a1a3·33a221，∴a21

311na1anna2an1·n3∴Sn18

2n27）

44.等比数列的定义与性质

定义：an1q（q为常数，q0），ana1qn1 an

等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy na1(q

前n项和：S1)na11qn（要注意!1q(q1)）

性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则am·anap·aq

（2）Sn，S2nSn，S3nS2n„„仍为等比数列

45.由Sn求an时应注意什么？

（n1时，a1S1，n2时，anSnSn1）

46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

如：a111n满足2a122a2„„2nan2n 解：n1时，12a1215，∴a114

n2时，12a11122a2„„2n1an12n15

12得：12nan2

∴an2n1

∴a14(n1)n2n1(n2)

［练习］ 数列an满足SnSn153an1，a14，求an

（注意到aSSn1n1Sn1n代入得：S4 n

又S14，∴Sn是等比数列，Sn4n

1

2

n2时，anSnSn1„„3·4n1

（2）叠乘法

例如：数列an中，a13，an1n，求an ann

1解：a2aaa12n11·3„„n·„„，∴n a1a2an123na1n

又a13，∴an3 n

（3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

n2时，a2a1f(2)a3a2f(3)两边相加，得：

„„„„anan1f(n)ana1f(2)f(3)„„f(n)∴ana0f(2)f(3)„„f(n)

［练习］

数列an，a11，an3n1an1n2，求an

（an1n31）2

（4）等比型递推公式

ancan1dc、d为常数，c0，c1，d0

可转化为等比数列，设anxcan1x ancan1c1x

令(c1)xd，∴xd c dd∴an是首项为a，c为公比的等比数列 1c1c1∴anddn1a1·c c1c1

dn1d ∴ana1cc1c1［练习］

数列an满足a19，3an1an4，求an 4（an83n1

1）

2an，求an

an2

（5）倒数法

例如：a11，an11an1an2112an2an

由已知得：1an1

∴11 an 111为等差数列，1，公差为 a12an1111n1·n1 an22



∴an2 n1

47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

如：an是公差为d的等差数列，求1k1akak1n

解：由11111d0

ak·ak1akakddakak1

n1111∴aadaak1kk1k1kk1n

1111111„„da1a2a2a3aann1111da1an1

［练习］

求和：1111„„ 12123123„„n

（an„„„„，Sn21）n1

（2）错位相减法：

若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项

和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。

如：Sn12x3x24x3„„nxn11

x·Snx2x23x34x4„„n1xn1nxn2

12：1xSn1xx2„„xn1nxn x1时，Sn1xnxnn

1x21x

x1时，Sn123„„nnn12

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sna1a2„„an1an相加

Snanan1„„a2a1

2Sna1ana2an1„„a1an„„

［练习］ x2111已知f(x)，则f(1)f(2)ff(3)ff(4)f2341x2

x1（由f(x)fx1x22x211 2221x1x11x1x2 111∴原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f

234

111113）22

48.你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

nn1Snp1rp12r„„p1nrpnr„„等差问题

2

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p(1r)nx1rn1x1rn2„„x1rx

11rn1rn1 xx11rrnn

∴xpr1r1r1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（1）分类计数原理：Nm1m2„„mn（mi为各类办法中的方法数）分步计数原理：Nm1·m2„„mn（mi为各步骤中的方法数）

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn.Amnnn1n2„„nm1n!mn

nm!

规定：0!1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.nn1„„nm1Amn!Cn mm!m!nm!Ammn

规定：C0n1

（4）组合数性质：

nmm101nnCm，CmCmnCnnCnn1，CnCn„„Cn2

50.解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

xi89，90，91，92，93，(i1，2，3，4)且满足x1x2x3x4，则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）

A.24 B.15 C.12

D.10

解析：可分成两类：

（1）中间两个分数不相等，4有C55（种）

（2）中间两个分数相等

x1x2x3x4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。

∴共有5＋10＝15（种）情况

51.二项式定理

n1n1n22n(ab)nC0bC2b„Crnanrbr„CnnaCnananb

二项展开式的通项公式：Tr1Crnanrbr(r0，1„„n)Crn为二项式系数（区别于该项的系数）

r（1）对称性：CrnCnr0，1，2，„„，nn

性质：



1nn（2）系数和：C0nCn„Cn2 35024n1 C1nCnCn„CnCnCn„

2（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

n2；n为奇数时，(n1)为偶数，中间两项的二项式 1项，二项式系数为Cn2n1n1系数最大即第项及第1项，其二项式系数为Cn2Cn222n1n1n

如：在二项式x1的展开式中，系数最小的项系数为表示）

11（用数字

（∵n＝11

∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第126或第7项 2r由C11x11r(1)r，∴取r5即第6项系数为负值为最小： 65C11C11426

又如：12x2004a0a1xa2x2„„a2004x2004xR，则

（用数字作答）a0a1a0a2a0a3„„a0a2004

（令x0，得：a01

令x1，得：a0a2„„a20041

∴原式2003a0a0a1„„a20042003112004）



52.你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0

（2）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。

A B

（3）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B 的和（并）。

（4）事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A·B

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A AA，AA

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53.对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

P(A)A包含的等可能结果m

一次试验的等可能结果的总数n

（2）若A、B互斥，则PABP(A)P(B)（3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB



（4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

kk次的概率：Pn(k)Cknp1pnk

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（1）从中任取2件都是次品；

C224P1 2C10153C2104C6P2521C10

（2）从中任取5件恰有2件次品；

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

∴mC·46423213

23C2443·4·64∴P3

125103

（4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序）

∴nA，mCAA510242536

23C2104A5A6 ∴P4521A10

分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

54.抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55.对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法：

（1）算数据极差xmaxxmin；

（2）决定组距和组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图。

其中，频率小长方形的面积组距×频率

组距

1x1x2„„xn n1222样本方差：S2x1xx2x„„xnxn样本平均值：x

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

42C10C5（）6C1

556.你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量。

（2）向量的模——有向线段的长度，|a|



（3）单位向量|a0|1，a0a|a|



（4）零向量0，|0|0 

长度相等（5）相等的向量ab

方向相同

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。



b∥a(b0)存在唯一实数，使ba

（7）向量的加、减法如图：

OAOBOC OAOBBA



（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

实数对

1、2，使得a1e12e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底。

（9）向量的坐标表示

设ax1，y1，bx2，y2

则abx1，y1y1，y2x1y1，x2y2 ax1，y1x1，y1 

若Ax1，y1，Bx2，y2 则ABx2x1，y2y1



|AB|x2x12y2y12，A、B两点间距离公式



57.平面向量的数量积

（1）a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）。

为向量a与b的夹角，0，

B  b O  a D A

数量积的几何意义：



a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。



（2）数量积的运算法则

①a·bb·a

②(ab)ca·cb·c ③a·bx1，y1·x2，y2x1x2y1y2

注意：数量积不满足结合律(a·b)·ca·(b·c)

（3）重要性质：设ax1，y1，bx2，y2 ①a⊥ba·b0x1·x2y1·y20 ②a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b|

ab（b0，惟一确定）x1y2x2y10

22121

 ③a|a|xy，|a·b||a|·|b|



④cosa·b|a|·|b|x1x2y1y2xy·xy21212222

［练习］（1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，ACc，则

|abc|

答案：2



（2）若向量ax，1，b4，x，当x时a与b共线且方向相同



答案：2

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|13 o

答案：

58.线段的定比分点

设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在

l上且不同于P1、P2，若存在一实数，使P1PPP2，则叫做P分有向线段 P1P2所成的比（0，P在线段P1P2内，0，P在P1P2外），且

x1x2x1x2xx12，P为P1P2中点时，yy1y2yy1y212

如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3 yy2y3xx2x3则ABC重心G的坐标是1，1

3

3※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面

判定性质线⊥线线⊥面面⊥面

线∥线线⊥面面∥面

线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

a b 

线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则 a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

线面垂直：

P O a

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a O α b c

面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

α a l β

a⊥面，b⊥面a∥b 面⊥a，面⊥a∥

a b 

60.三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

＝0o时，b∥或b

（3）二面角：二面角l的平面角，0o180o

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

三类角的求法： ①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。

证明：coscos·cos

A θ O β B C D α

（为线面成角，∠AOC=，∠BOC=）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角；

③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

36（①arcsin；②60o；③arcsin）

43（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

P F D C A E B

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线„„）

61.空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：（1）点C到面AB1C1的距离为___________；

（2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；

（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；

（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1

62.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

它们各包含哪些元素？

RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE

S正棱锥侧63.1C·h'（C——底面周长，h'为斜高）

2有

哪

些

性

质

？ V锥1底面积×高

3球（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面rR2d2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！

（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（4）S球4R2，V球4R3 3

（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面

积为（）

A.3熟B.4记

下

C.33列

D.6

答案：A

公

式

了

吗

？

64.（1）l直线的倾斜角0，，ktan

y2y1，x1x2

x2x12P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k

点斜式：yy0kxx0（k存在）

斜截式：ykxb

（2）直线方程：

截距式：xy

1一般式：AxByC0（A、B不同时为零）abAx0By0CAB2（3）点Px0，y0到直线l：AxByC0的距离d

（4）l1到l2的到角公式：tank2k11k1k2

l1与l2的夹角公式：tank2k11k1k2

65.如何判断两直线平行、垂直？

A1B2A2B1l1∥lk1k2l1∥l2（反之不一定成立）A1C2A2C1

A1A2B1B20l1⊥l2

k1·k21l1⊥l2

66.怎样判断直线l与圆C的位置关系？

圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

67.怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”0相交；0相切；0相离

68.分清圆锥曲线的定义

椭圆PF1PF22a，2a2cF1F2第一定义双曲线PF1PF22a，2a2cF1F2抛物线PFPK

第二定义：e y PFPKc 0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线 a

b c O F1 F2 a x xa2

x2y21ab0 a2b2

a2b2c2

x2y221a0，b0

c2a2b22ab

e>1 e=1 P 0

x2y2x2y269.与双曲线221有相同焦点的双曲线系为220

abab

70.在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

弦长公式P1P21k22xx124x1x2

1212y1y24y1y2k

71.会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

如：

PF2a2x2y2e，PF2ex0ex0a

PF1ex0a 

1PKca2b2 y A P2 O F x P1 B

y22pxp0

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。

有关中点

弦

问

题

可

考

虑

用

“

代

点

法

”。

72.如：椭圆mx2ny21与直线y1x交于M、N两点，原点与MN中点连 线的斜率为2m，则的值为2n

答案：

m2n2A

73.“对称”问题？（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设

A'（x'，y'）为

关于点

M的对称点。

（由axx'yy'，bx'2ax，y'2by）22只要证明A'2ax，2by也在曲线C上，即f(x')y'AA'⊥l（2）点A、A'关于直线l对称AA'中点在l上kAA'·kl1AA'中点坐标满足l方程xrcos74.圆xyr的参数方程为（为参数）

yrsin222

xacosx2y2椭圆221的参数方程为（为参数）

ybsinab

75.求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76.对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

第四篇：高三化学知识点总结

1．理解分子、原子、离子、元素；

理解物质分类：混合物和纯净物、单质和化合物、金属和非金属等概念；

理解同素异形体和原子团的概念；

理解酸、碱、盐、氧化物的概念及其相互联系；（见高中第一邻课笔记）

2．掌握有关溶液的基本计算；有关化学方程式的基本计算；根据化学式计算等；（用物质的量进行计算）

3．常见气体（氧气、氢气、二氧化碳）的发生、干燥、收集装置；（见盐酸补充提纲）常见物质酸（盐酸、硫酸）、碱（氢氧化钠、氢氧化钙）、盐（碳酸钠、氯化钠）检验与鉴别； 过滤、蒸发等基本操作。（见2.1提纲中粗盐提纯）

第一章 打开原子世界的大门

1．1从葡萄干面包模型到原子结构的行星模型

1．2原子结构和相对原子质量

1．3揭开原子核外电子运动的面纱

1．对原子结构认识的历程：

古典原子论：惠施、墨子、德谟克利特；

近代原子论：道尔顿；

葡萄干面包模型：汤姆孙；

原子结构行星模型：卢瑟福；

电子云模型：波尔。——了解

2．重要人物及成就：

道尔顿（原子论）、汤姆孙（发现电子及葡萄干面包模型）、伦琴（X射线）、贝克勒尔（元素的放射放射性现象）、卢瑟福（α粒子的散射实验及原子结构行星模型）。

3．原子的构成；（看第一章例题）

原子核的组成：质子数、中子数、质量数三者关系；原子、离子中质子数和电子数的关系； ①原子 原子核 质子（每个质子带一个单位正电荷）——质子数决定元数种类

AZ X（+）中子（不带电）质子与中子数共同决定原子种类

核外电子（-）（带一个单位负电荷）

对中性原子：顾电荷数 = 质子数 = 核外电子数 = 原子垿数

对阳离子： 核电荷数 = 质子数＞核外电子数，∴电子数=质子数-阳离子所带电荷数

如：ZAn+ e=Z-n，Z=e+n

对阴离子： 核电荷数 = 质子数＜核外电子数，∴电子数=质子数+阴离子所带电荷数

如：ZBm+ e=Z+m，Z=e-m

②质量数（A）= 质子数（Z）+ 中子数（N）。即 A = Z + N

质量数（A）（原子核的相对质量取整数值被称为质量数）。

——将原子核内所有的质子和中子相对质量取近似整数值，加起来所得的数值叫质量数。

4．知道同位素的概念和判断；同素异形体；（看第一章例题）

同位素——质子数相同而中子数不同的同一元素的不同原子互称为同位素。

①同位素讨论对象是原子。②同位素原子的化学性质几乎完全相同。

③在天然存在的某种元素里，不论是游离态还是化合态，也不论其来源如何不同，各种同位素所占的原子个数百分比保持不变。（即丰度不变）

（见1.2提纲）

5．相对原子质量：原子的相对原子质量、元素的相对原子质量（简单计算）；

a（设某原子质量为a g）

①同位素原子的相对原子质量 m12c×1/2 此相对质量不能代替元素的相对质量。②元素的相对原子质量（即元素的平均相对原子质量）

——是某元素各种天然同位素的相对原子质量与该同位素原子所占的原子个数百分比（丰度）的乘积之和。

即：M = Ma×a% + Mb×b% + Mc×c% +

③元素的近似相对原子质量——用质量数代替同位素的相对原子质量计算，所得结果为该元素的近似相对原子质量。（看第一章例题）

6．核外电子排布规律：能量高低；理解电子层（K、L、M、N、O、P、Q）表示的意义； ①电子按能量由低到高分层排布。②每个电子层上最多填2n2个电子。

③最外层不超过8个电子，次外层不超过18个电子，依次类推，（第一层不超过2个）④最外层电子数为8或第一层为2的原子为稳定结构的稀有气体元素。

7．理解原子结构示意图（1~18号元素）、电子式的含义；

原子、离子的结构示意图；

原子、离子、分子、化合物的电子式。（见1~20号元素和第三章提纲）

第一章 拓展知识点 P173

常用的稀型离子有氖型微粒（电子层结构相同微粒的含义）：

氖型离子：原子核外为10电子，包括N3&#;、O2－、F－、Na+、Mg2+、Al3+。NH4+； 常见10电子微粒：分子（CH4、NH3、H2O、HF）；原子（Ne）；离子（N3&#;、O2－、F－、OH-、Na+、Mg2+、Al3+、NH4+、H3O+）

第二章 开发海水中的化学资源

2．1以食盐为原料的化工产品

2．2海水中的氯

2．3从海水中提取溴和碘

1．海水利用：

海水晒盐：原理、方法、提纯；（见2.1提纲）

海水提溴：主要原理和步骤，三个步骤——浓缩、氧化、提取；（见2.3提纲）

海带提碘：简单流程步骤、仪器操作、原理；（见2.3提纲）

2．以食盐为原料的化工产品（氯碱工业）：

电解饱和食盐水：化学方程式、现象，氯气的检验；氢氧化钠用途

制HCl和盐酸：氯化氢的物理性质、化学性质；盐酸的用途；（见2.1提纲）

漂粉精：主要成分、制法和漂白原理；制“84”消毒液（见2.2提纲）

漂粉精漂白、杀菌消毒原理：Ca（ClO）2+2CO2+2H2O—→Ca（HCO3）2 +2HClO 2HClO—→2HCl+O2↑

3．氯气的性质：（见2.2提纲及卤素中的有关方程式）

物理性质：颜色、状态、水溶性和毒性；

化学性质：①与金属反应、②与非金属反应、③与水反应、④与碱反应、⑤置换反应

4．溴、碘卤素单质的性质；（见2.3提纲）

溴的特性：易挥发

碘的特性：升华、淀粉显色、碘与人体健康

5．结构、性质变化规律：（见2.3提纲中几个递变规律）

Cl2、Br2、I2单质的物理性质、化学性质递变规律；

Cl—、Br—、I—离子及其化合物的化学性质递变规律；

6．氧化还原反应：概念；根据化合价升降和电子转移判断反应中的氧化剂与还原剂；氧化还原反应方程式配平（基本）（见2.1提纲）

氧化还原反应——凡有电子转移（电子得失或电子对偏移）的反应叫化还原反应。反应特征：有元素化合价升降的反应。

氧化剂： 降 得 还 还原剂：失 高 氧

具有 化合价 得到 本身被还原 具有 失去 化合价 本身被氧化

氧化性： 降低 电子 发生还原反应 还原性：电子 升高 发生氧化反应

（特征）（实质）（实质）（特征）

（注意：最高价只有氧化性，只能被还原；最低价只有还原性，只能被氧化）（中间价：既有氧化性，又有还原性；既能被还原，又能被氧化）

氧化性强弱：氧化剂＞氧化产物（还原剂被氧化后的产物）

还原剂强弱：还原剂＞还原产物（氧化剂被还原后的产物）

7．电离方程式：

①电解质——在水溶液中或者熔化状态下能够导电的化合物叫做电解质；反之不能导电的（化合物）化合物称为非电解质。

②电离——电解质在水分子作用下，离解成自由移动的离子过程叫做电离。③强电解质——在水溶液中全部电离成离子的电解质。（强酸6个、强碱4个、大部分盐）

弱电解质——在水溶液中部分电离成离子的电解质。（弱酸、弱碱）

④电离方程式——是表示电解质如酸、碱、盐在溶液中或受热熔化时离电成自由移动离子的式子。强电解质电离用“→”表示，弱电解质电离用“ ”表示

H2SO4 → 2H++SO42-H2SO4 H++HSO3-HSO3-H++SO32-

（多元弱酸电离时要写分步电离方程式，几元酸写靖步电离方程式。）

⑤电荷守恒——在溶液中或电离方程式，阳离子带的电荷总数等于阴离子带的电荷总数。⑥离子方程式——用实际参加反应的离子符号来表示离子反应的式子叫做离子方程式。离子方程式：置换反应与复分解反应的离子方程式书写

（凡是①难溶性物质②挥发性物质③水及其弱电解质④单质⑤氧化物⑥非电解质⑦浓H2SO4均写化学式）离子共存，出现①沉淀②气体③弱电解质④氧化还原反应不能共存。

第二章 拓展知识点 P181

1．Cl2与还原性物质反应：H2S、SO2（H2SO3）、HBr、HI

2．氧还反应有关规律：

①电子守恒规律； ②性质强弱规律；③价态转化规律；④反应先后规律；

3．氧化性或还原性强弱比较：

①相同条件下，不同的氧化剂与同一种还原剂反应，使还原剂氧化程度大的(价态高的)氧化性强。

例如：2Fe+3Br2△2FeBr3 Fe+S△FeS，由于相同条件下，Br2将Fe氧化为Fe3+

第五篇：高三英语知识点总结

知识点总结：

1.obviously=clearly（adv.）明显地，清楚地2.for example= for instance 例如，举例子

3.look after=take care of 照顾，照料4.litter(n.)垃圾（v.）乱扔垃圾

5.kind(adj.)和蔼的，亲切的（n.）种类all kinds of =different kinds of 各种各样的kind of 有几分6.obey(v.)遵守，遵循7.traffic regulations=traffic rules 交通规则

8.tell sb to do sth 告诉某人做某事tell sb not to do sth 告诉某人不要做某事

9.avoid(v.)避免avoid doing sth 避免做某事10.cyclist(n.)骑自行车的人

11.signal(n.)信号traffic signals 交通信号12.prevent（v.）防止，预防

13.stop(v.)停止stop doing sth 停止正在做的事情stop to do sth 停下来去做另外一件事

14.follow(v.)跟随15.without(prep.)没有without doing sth 没有做某事

16.take …into consideration 把。。纳入考虑之中consider doing sth 考虑做某事

17.true(adj.)真实的（n.）truth 真相，真话18 lie(v.)说谎lie—lay—lainlying

19.ever 曾经never 从不20.accept(v.)接受acceptable(adj.)可接受的unacceptable 不可接受的21.live in 居住make a living 谋生22.stick to 坚持

23.mean(v.)意味着24.steal(v.)偷东西25.argue(v.)争论，辩论 argument(n.)论证，论据26.however(prep.)然而27.different(adj.)不同的 Be different from….与。。不同differ in 不同于

28.other 其他的others 别人，其他人another 另外一个one ….the other… 一个。。另一个。。29.decide to do sth 决定做某事decide on sth 决定某事

30.get into trouble 陷入麻烦