第一章
复数
=-1
欧拉公式
z=x+iy
实部Re
z
虚部
Im
z
2运算
①
②
③
④
⑤
共轭复数
共轭技巧
运算律
P1页
3代数，几何表示
z与平面点一一对应，与向量一一对应
辐角
当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg
z=
k=±1±2±3…
把位于-π＜≤π的叫做Arg
z辐角主值
记作=
4如何寻找arg
z
例：z=1-i
z=i
z=1+i
z=-1
π
极坐标：，利用欧拉公式
可得到
高次幂及n次方
凡是满足方程的ω值称为z的n次方根，记作
即
第二章解析函数
1极限
2函数极限
①
复变函数
对于任一都有
与其对应
注：与实际情况相比，定义域，值域变化
例
②
称当时以A为极限
☆
当时，连续
例1
证明在每一点都连续
证：
所以在每一点都连续
3导数
例2
时有
证：对有
所以
例3证明不可导
解：令
当时，不存在，所以不可导。
定理：在处可导u，v在处可微，且满足C-R条件
且
例4证明不可导
解：
其中
u,v
关于x,y可微
不满足C-R条件
所以在每一点都不可导
例5
解：
不满足C-R条件
所以在每一点都不可导
例6：
解：
其中
根据C-R条件可得
所以该函数在处可导
4解析
若在的一个邻域内都可导，此时称在处解析。
用C-R条件必须明确u,v
四则运算
☆
例：证明
解：
则
任一点处满足C-R条件
所以处处解析
练习：求下列函数的导数
解:
所以
根据C-R方程可得
所以当时存在导数且导数为0，其它点不存在导数。
初等函数
Ⅰ常数
Ⅱ指数函数
①
定义域
②
③
④
Ⅲ对数函数
称满足的叫做的对数函数，记作
分类：类比的求法（经验）
目标：寻找
幅角主值
可用：
过程：
所以
例：求的值
Ⅳ幂函数
对于任意复数，当时
例1：求的值
解：
例2：求
Ⅴ三角函数
定义：对于任意复数，由关系式可得的余弦函数和正弦函数
例：求
解：
第三章复变函数的积分
1复积分
定理3.1
设C是复平面上的逐段光滑曲线在C上连续，则在C上可积，且有
注：①C是线
②方式跟一元一样
方法一：思路：复数→实化
把函数与微分相乘，可得
方法二：参数方程法
☆核心：把C参数
C：
例：
求
①C：0→的直线段②；
解：①C：
②
★
结果不一样
2柯西积分定理
例：
C：以a为圆心，ρ为半径的圆，方向：逆时针
解：C：
☆
积分与路径无关：①单联通
②处处解析
例：求，其中C是连接O到点的摆线：
解：已知，直线段L与C构成一条闭曲线。因在全平面上解析，则
即
把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于
故
★关键：①恰当参数
②合适准确带入z
3不定积分
定义3.2
设函数在区域D内连续，若D内的一个函数满足条件
定理3.7
若可用上式，则
例：
计算
解：
练习：计算
解：
4柯西积分公式
定理
处处解析在简单闭曲线C所围成的区域内则
例1：
解：
例2：
解：
例3：
解：
注：①C：
②
一次分式
③找到
在D内处处解析
例4：
解：5
解析函数的高阶导数
公式：
n=1，2……
应用要点：①
②
③精准分离
例：
调和函数
若满足则称叫做D内的调和函数
若在D内解析
所以
把称为共轭调和函数
第四章
级数理论
1复数到
距离
谈极限
对若有使得
此时
为的极限点
记作
或
推广：对一个度量空间都可谈极限
极限的性质
级数问题
部分和数列
若
则收敛，反之则发散。
性质：1若
都收敛，则收敛
2若一个收敛，一个发散，可推出发散
若
绝对收敛
若
但收敛，为条件收敛
等比级数
：
时收敛，其他发散
幂级数
则
求收敛域
例：求的收敛半径及收敛圆
解：因为
所以级数的收敛半径为R=1，收敛圆为
泰勒级数
泰勒定理：设函数在圆K：内解析，则在K内可以展成幂级数
其中，（n=0,1,2……），且展式还是唯一的。
例
1：求在处的泰勒展式
解
：在全平面上解析，所以在处的泰勒展式为
例2：
将函数展成的幂级数
解：
罗朗级数
罗朗定理
若函数在圆环D：内解析，则当时，有
其中
例：将函数在圆环（1）
（2）
内展成罗朗级数。
解：（1）在内，由于，所以
（2）在内，由于，所以
孤立奇点
定义：若函数在的去心邻域内解析，在点不解析，则称为的孤立奇点。
例
：
为可去奇点
为一级极点
为本性奇点
第5章
留数理论（残数）
定义：
设函数以有限项点为孤立奇点，即在的去心邻域内解析，则称积分的值为函数在点处的留数
记作：
其中，C的方向是逆时针。
例1：求函数在处的留数。
解：因为以为一级零点，而，因此以为一级极点。
例2：求函数在处的留数
解：是的本性奇点，因为
所以
可得
第7章
傅里叶变换
通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。
定义：对满足某些条件的函数
在上有定义，则称
为傅里叶变换。
同时
为傅里叶逆变换
注：①傅里叶变换是把函数变为函数
②傅里叶逆变换是把函数变为函数
③求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分
④两种常见的积分方法：凑微分、分部积分
复习积分：①
②
③
④
⑤
注：
例1：求的解：
例2：求的解：
-函数
定义：如果对于任意一个在区间上连续的函数，恒有，则称为-函数。
例1：求-函数的解：
例2：求正弦函数的傅氏变换
解：
☆
第8章
拉普拉斯变换
设在时有定义
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