固体物理课后答案（样例5）

第一篇：固体物理课后答案

1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构 x简单立方 π / 6 ≈ 0.52 体心立方 3π / 8 ≈ 0.68 面心立方 2π / 6 ≈ 0.74六方密排 2π / 6 ≈ 0.74

金刚石 3π /16 ≈ 0.34

解：设钢球半径为r，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r

金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有

1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。证明：体心立方格子的基矢可以写为

面心立方格子的基矢可以写为

根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为

同理

与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π / a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为

同理

而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4π a的体心立方晶格的基矢。

证明：根据定义，密勒指数为的截距分别为 的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢

即为平面的法线

根据定义，倒格子基矢为

则倒格子原胞的体积为

1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足

其中 a 为立方边长。

解：根据倒格子的特点，倒格子

与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系

因此只要先求出倒格，求出其大小即可。

因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为

则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。

1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a，写出最近邻和次近邻的原子间距。

答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于

次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；

面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于

次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a。

2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α = 2ln 2 证明：设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，取一负离子作参考离子，用r表示相邻离子间的距离，于是有

根据假设，马德隆常数求和中的正负号这样选取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号。因子 2 是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面。则马德隆常数为

当x =1时，有

所以α = 2ln 2 根据平衡条件，即稳定结合时

求得 则可以求得每一摩尔氢分子晶体的结合能为

计算中没有考虑零点能的量子修正，这是造成理论和实验值之间巨大差别的原因。

是1.5的图

是3.2的图

是3.3的图 3.2 讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N 个格波解，当M = m时与一维单原子链的结果一一对应。

解：如图所示，质量为M 的原子位于2n −1, 2n +1, 2n + 3 质量为m 的原子位于2n, 2n + 2,2n + ….牛顿运动方程为

每个原胞有两个，共有2N 个形式相同的独立方程。形式解为：

代回运动方程有

这是一个以 A、B 为未知量的齐次线性方程组，有解的条件是系数行列式为零

有两组不同的解：

q 的取值范围是：对应于每个 q 值，有两个格波，共计2N 个格波。

当M = m时，两组解变为

初看似乎仍为双值函数，但是由于原来取布里渊区为为实际区域大小的一半，所以当我们把布里渊区扩展为时，就不必用双值表示了，变为

这时当然就没有光学波了 3.3 考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为c 和10c。令两种原子质量相同，且最近邻间距为a / 2。求在k = 0和k =π / a处的ω(k)。大略地画出色散关系。此问题模拟如2 H 这样的双原子分子晶体。

解：可以这样考虑这个问题，H2分子组成一维晶体，分子内部的相互作用较强，力常数为 10c，相邻的原子间作用较弱，力常数为c，第s 个分子中的两个原子的位移分别用表示：

将试探解

代入上式 有是u，ν 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为

当k = 0时，当k =π / a 时

ω2与k 的关系如下图所示，这是一个双原子(例如2 H)晶体。令

3.6 求出一维单原子链的频率分布函数。解：设单原子链长度 L = Na

频率分布函数

3.7 设三维晶格的光学振动在q = 0附近的长波极限有

求证：

解：

依据

现在

带入上边结果有

3.8 有N 个相同原子组成的面积为S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于T 2。

解：在德拜近似下

式中出现 2N，是由于二维晶格中每个原子的自由度为2，总自由度为2N。则

则 3.11 一维复式格子 中

求

解：（1）

（2）

第二篇：固体物理答案

第一章 晶体结构

1.1、（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）

43r，Vc=a3，n=1 34343rr33∴x0.52 336a8ra=2r，V=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=3a4ran=2, Vc=a3

43x 32∴x434r2r33330.68 38a433(r)3（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=2a4r,a22r n=4，Vc=a3

444r34r3233x0.74 336a(22r)（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6SABO6晶胞的体积：V=SCaasin60332a =223328aa32a3242r3 23n=12121123=6个 6246r323x0.74 36242r（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a42ra8rn=8, Vc=a3 448r38r3333x0.34 336a8r333

aa12(jk)a1.3证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：a2(ik)

2aa32(ij)由倒格子基矢的定义：b12(a2a3)0,a1(a2a3)a,2a,2a,20,a,2ai,2aa3a，a2a3,242a0,2j,0,a,2kaa2(ijk)2404a22b123(ijk)(ijk)

a4a2(ijk)a同理可得：即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

2b3(ijk)ab2所以，面心立方的倒格子是体心立方。

aa12(ijk)a（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：a2(ijk)

2aa32(ijk)由倒格子基矢的定义：b12(a2a3)aaa，i,j,k222aaaa3aaaa2a1(a2a3),,，a2a3,,(jk)

22222222aaaaaa，，2222222a22b123(jk)(jk)

a2a2(ik)a同理可得：即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

2b3(ij)ab2所以，体心立方的倒格子是面心立方。

1.4、1.5、证明倒格子矢量Ghb1h2h3)的晶面系。11h2b2h3b3垂直于密勒指数为(h

证明：因为CA

a1a3aa,CB23，Ghb11h2b2h3b3 h1h3h2h3利用aibj2ij，容易证明

Gh1h2h3CA0Gh1h2h3CB0

所以，倒格子矢量Ghb1h2h3)的晶面系。11h2b2h3b3垂直于密勒指数为(h1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系，面间距d满足：d2a2(h2k2l2)，其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。解：简单立方晶格：a1a2a3，a1ai,a2aj,a3ak 由倒格子基矢的定义：b12倒格子基矢：b1a2a3a3a1a1a2，b22，b32

a1a2a3a1a2a3a1a2a3222i,b2j,b3k aaa222ikjlk 倒格子矢量：Ghb1kb2lb3，Ghaaa晶面族(hkl)的面间距：d2G1

h2k2l2()()()aaaa2 d222(hkl)2面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。

第二章 固体结合

2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（2ln2）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N。

＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有

rj(1)1111 ]2[...rijr2r3r4r前边的因子2是因为存在着两个相等距离ri的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为 111 2[1...]2342xx3x4...n(1x)xx34111...234n当X=1时，有1

22n22.3、若一晶体的相互作用能可以表示为

u(r)试求：（1）平衡间距r0；

（2）结合能W（单个原子的）；

（3）体弹性模量；

rmrn

（4）若取m2,n10,r03A,W4eV，计算及的值。解：（1）求平衡间距r0 由du(r)0，有：

drrr01mnmmn0r0m1n1r0r0.nnm1nm

结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w表示）（2）求结合能w（单个原子的）

题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。

显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即Umin

即：WU(r0)（3）体弹性模量

rm0rn0（可代入r0值，也可不代入）

r02由体弹性模量公式：k9V02Ur2 r0（4）m = 2，n = 10，r03A，w = 4eV，求α、β

10 r02

U(r0)1858

① 1r20r.1045r02(r085代入)

WU(r0)44eV

② 25r019将r03A，1eV1.60210J代入①②

7.2091038Nm2 9.45910115Nm2详解：（1）平衡间距r0的计算 晶体内能U(r)N(mn)2rr1nnmn)m 0，m1n10，r0(mr0r0dU平衡条件drrr0（2）单个原子的结合能

11nnWu(r0)，u(r0)(mn))m，r0(2mrrrr01mnnmW(1)()m

2nm2U)V0（3）体弹性模量K(2V0V晶体的体积VNAr，A为常数，N为原胞数目 晶体内能U(r)3N(mn)2rrUUrNmn1(m1n1)2VrV2rr3NAr2UNrmn1[()] 2m1n12V2Vrrr3NAr2UV2N1m2n2mn[mnmn] 29V02r0r0r0r0VV0由平衡条件UVVV0mnNmn1，得n(m1n1)0m2r0r02r0r03NAr02UV22UV2VV0N1m2n2[mn] 29V02r0r0N1mnNnm[mn][n] 2mn2m29V0r0r029V0r0r0VV0U02UV2N(mn)2r0r0VV0mnmn(U)

体弹性模量 KU009V029V0（4）若取m2,n10,r03A,W4eV

1nn1mnnmmr0()，W(1)()m

m2nmW10r0，r02[102W] 2r01.210-95eVm10，9.01019eVm2

第三章 固格振动与晶体的热学性质

3.2、讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当M= m时与一维单原子链的结果一一对应。

解：质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3 ……；质量为m的原子位于2n，2n+2，2n+4 ……。

牛顿运动方程

m2n(22n2n12n1)M2n1(22n12n22n)

N个原胞，有2N个独立的方程

设方程的解2nAei[t(2na)q]2n1Bei[t(2n1)aq]，代回方程中得到

2(2m)A(2cosaq)B0 2(2cosaq)A(2M)B0A、B有非零解，2m22cosaq22cosaq2M20，则

1(mM)4mM2{1[1sinaq]2} 2mM(mM)两种不同的格波的色散关系

1(mM)4mM2{1[1sinaq]2}2mM(mM)22(mM)4mM2{1[1sinaq]}2mM(mM)12

一个q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.当Mm时4aqcosm24aqsinm2，两种色散关系如图所示： 长波极限情况下q0，sin(qaqa)，22(2m)q与一维单原子晶格格波的色散关系一致.3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为和10，令两种原子质量相等，且最近邻原子间距为a2。试求在q0,qa处的(q)，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如H2这样的双原子分子晶体。

答：（1）

浅色标记的原子位于2n-1，2n+1，2n+3 ……；深色标记原子位于2n，2n+2，2n+4 ……。

第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程：

m2n(12)2n22n112n1m2n1(12)2n112n222n体系N个原胞，有2N个独立的方程

1i[t(2n)aq]21i[t(2n1)aq]21iaq2

方程的解：2nAe，令121/m,222/m，将解代入上述方程得：

2n1Be21222()A(e(e1iaq22121e221iaq2)B0e1iaq222

2)A(1222)B0A、B有非零的解，系数行列式满足：

(),(e21211iaq22121222(e211iaq2e221iaq2)e1iaq2220

1iaq21iaq21iaq21iaq22),(1222)()(e()(e2222212222211iaq21iaq2ee222221iaq21iaq2)(e)(e2121ee2222)0)0

因为1、210，令0124(1102)2(10120cosaq)00

2c10c22,2100得到 mm22两种色散关系：0(1120cosqa101)

22当q0时，0(11121)，2200

当qa时，(1181)，22020020

（2）色散关系图：

第三篇：固体物理07--08

1、固体物理学是研究及

与运动规律以及阐明其性能与用途的学科。

2、晶体结合类型有、范德瓦耳斯键结合晶体四种。

3、典型的晶体结构类型、体心立方晶格、4、对于含有N个原胞的某晶体，每个晶体中含n个原子则其格波数，光学波支数（3n—3）N，声学支数3N。

1、基元：能够周期性排列出某种晶体的最小原子集团称为基元。

2、声子：谐振子的能量量子称为声子（格波的量子）其能量为h。

3、布洛赫定理：

在周期性势场中运动的电子，波函数有如下形式

且 ikRn(r)eu(r)u(r)u(rRn)

4、费米面：K空间中，占有电子和未占有电子区域的分界面。

5、德哈斯—范阿尔芬效应：

磁化率随磁场倒数做周期性振荡现象称为德哈斯—范阿尔芬效应。

1、按照晶体点群的对称性，所有的晶体从结构上可以归为几个晶系？写出其名称。按照晶体点群的对成性，所有的晶体从结构上可以归为7个晶系，即三斜晶系、单斜晶系、三方晶系、四方晶系、六方晶系、正交晶系、立方晶系。

2、对比离子结合和金属结合中原子提供电子的情况？

离子结合中相互结合的两个原子都提供电子结合成离子键，而金属晶体结合时，所有的原子都提供电子，形成共有化电子，负电子云和正离子实之间相互作用形成金属键。

3、请分析满带电子不导电的原因？

满带情况下电子在有外场和无外场下状态分布是均匀的，在k和-k状态下，速度

（《固体物理学》 课程）

相反，导致所产生的电路为零，所以不导电。

4、写出波恩—卡门条件，并描述波恩卡门模型。

eiqL1

包含N个原胞的环状链看作一个有限链的模型，此模型中，每个原子周围的情况完全相同，类似于一维无限模型。

1、固体物理学是研究及

与运动规律以及阐明其性能与用途的学科。

2、晶体从结构上可以归为七大晶系晶系、六方晶系、正交晶系、立方晶系。

3、对称素有1、2、3、4、6和、、八种。

4、对于一维单原子链N个原胞的某晶体，则其格波数，波矢数。

1、结点：代表结构相同的位置，是基元中某一原子位置或基元重心。

2、格波：晶格振动模式具有波的形式，称为格波。

3、布洛赫定理：

在周期性势场中运动的电子，波函数有如下形式

4、费米球：称N个电子所占据的球为费米球。

5、德哈斯—范阿尔芬效应：

磁化率随磁场倒数做周期性振荡现象称为德哈斯—范阿尔芬效应。

1、能带理论的三种近似分别是？



ikRn

(r)e

u(r)

绝热近似、单电子近似和周期场近似

绝热近似：由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运动跟不上电子的运动。所以在考虑电子的运动时，认为原子实不动。

单电子近似：一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动。又称hartree-Fock自洽场近似

周期场近似：原子实和电子所形成的势场是周期性的2、对比离子结合和范德瓦耳斯键结合中原子提供电子的情况？

离子结合中相互结合的两个原子都提供电子结合成离子键，而范德瓦耳斯键结合中原子不提供电子，依靠瞬时偶极距互作用吸引形成晶体。

3、请分析未满带电子为什么在有外场时会导电的原因？

未慢带电子在有外场时，电子分布状态不均匀一部分电子产生的电流不能被抵

消所以有电流产生能导电。

4、分析固体物理学原胞和结晶学原胞的区别。

固体物理学原胞是晶体中最小重复单元，只反映晶体的周期性，而结晶学原胞除反映周期性外，还反映对称性，不是最小重复单元。

1、写出体心立方晶格的基矢，并证明体心立方晶格的倒格子是面心立方。

（10分）解：

由倒格子定义

a2a3f(r)a3a1a1a2

b12b22b32

a1a2a3a1a2a3a1a2a3

………………………………………………………………….3分

体心立方格子原胞基矢

aaaa1(ijk),a2(ijk),a3(ijk)

222

a2a32aa

倒格子基矢b12(ijk)(ijk)

a1a2a3v022

22a2

(jk)(ijk)(ijk)av0

42a3a12

(ij)同理b22(ik)b3aa1a2a3a



可见由b1,b2,b3为基矢构成的格子为面心立方格子

2、若一晶体的相互作用能可以表示为u(r)求 1）平衡间距r0

2）结合能W（单个原子的）（10分）解1）晶体内能U(r)



r

m





r

n

N

(mn)2rr

nnmn)m0m1n10r0(mr0r0

dU

平衡条件

dr

rr0

2)单个原子的结合能W

u(r0)2

mnm

1mn

u(r0)(mn)W(1

2nmrrrr0

)

ikRlat3、根据紧束缚近似的结果，S态电子能量为E(k)EsJ0J1e、应用最



Rl

近邻近似，导出1）晶格常数为a的一维s态电子能量表达式；2）并求电子的平均

速度；3）带顶和带底的有效质量；4）能带宽度（20分）

ikRlat

解：1）E(k)EsJ0J1e考虑最近临格点，其坐标分别为（-a、0）和



Rl

at

（a、0）代为公式可得其结果为：E(k)EsJ02J1coska

2Ja

2）v1dE1sinka

dk

3）m*2dE2(2J1a2coska)1

dk

2带底k=0，有效质量m*2dE2(2J1a2)1

dk2

带顶k则有效质量m*2dE2(2J1a2)1

adk2

4）4J12、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为 2ln2。（10分）证：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参

考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有



r



j

(1)1111

]2...rijr2r3r4r

前边的因子2是因为存在着两个相等距离ri的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为 111

2[1...]2342

xx3x4

n(1x)x...x34

当X=1时，有1

...n22n2234

ikRlat3、根据紧束缚近似的结果，S态电子能量为E(k)EsJ0J1e、应用最



Rl

近邻近似，导出晶格常数为a的一维s态电子能量表达式。（5分）

ikRlat

解：E(k)EsJ0J1e考虑最近临格点，其坐标分别为（-a、0）和



Rl

at

（a、0）代为公式可得其结果为：E(k)EsJ02J1coska

271

(cokasco2ska)

4、设有一维晶体的电子能带可以写成E(k)

8ma28

其中a是晶格常数，试求：1）能带宽度；

1）电子在波矢k状态的速度；

2）能带底部和顶部的有效质量。（15分）

271

(coskacos2ka)解：1)能带的宽度的计算E(k)2

ma88

能带底部k0E(0)0

22

能带顶部kE()

aama2



22

能带宽度EE()E(0) 2

ama



2）电子在波矢k的状态时的速度

271

E(k)(coskacos2ka)

ma288

1dE(k)

dk

1

(sinkasin2ka)v(k)ma4

电子的速度v(k)

271

(coskacos2ka)3）能带底部和能带顶部电子的有效质量E(k)

ma288

2Em

电子的有效质量m/ k2coska(1/2)cos2ka

*

*

能带底部k0有效质量m2m

能带顶部k



a

有效质量m

*

2m 3

第四篇：固体物理大题整理

双原子链，，10，质量均为m，最近邻a2,求q0,2处的q,画出色散关系。d2mU2n10(U2n1U2n)(U2nU)解：dt212nmd2U2n1dt2(U2n2U2n1)10(U2nU2n1)i(qnat)U2neUi(qnat)2n1em210()(eiqa)m2(eiqa)10()(11m2)(10eiqa10)0(eiqa10)(11m2)0m2)2(eiqa10)(eiqa10)012 m11(10110eiqa10eiqa)2 =1m11(10120(cosqa)2

220q0时，2 +=11m +=,q时，m2 022 2m一维单原子链，晶格常数a，质量M,最近邻力常数1，次近邻2。<1>试求一维原子链的色散关系；<2>长波极限下声波的速度和一维原子链的弹性模量。解：<1>Md2Undt21(Un1+Un-12Un)2(Un2Un22Un)

得 ：Unei(qat)M2U2iqan1(eiqaeiqa2)Un2(ee2iqa2)UnM2=21(1cosqa)22(1cos2qa)112 =21sinqa2222sinqaMM22f2T2VV=22(1)2sin2a11222aM2(M)sin2(11当0时，V=1)222sina222aM2(M)sin112 =1a222MaMV=YM,YV2=a2M1222a=a1222 二维立方点阵，m,a,最近邻，每个原子垂直点阵平面作横振动，证明：m222cosqxacosqya.证明：设U,m,则：f,mU1,mU,mU1,mU,m+U,m1U,m+U,m-1U,m2mdU,md2tU1,m4U,mU,m1U,m1设UAei(qxaqymat),mm2eiqxaeiqxaeiqyaeiqya4 =2cosqxacosqya4 =2(cosqxacosqya4)=2(cosqxcosqya4)m22(2cosqxacosqya)(113.6.一维无限长简单晶格，若考虑原子间的长程作用力，第n个与第nm个原子间的恢复力系数为m，试求格波的色散关系。解：设原子的质量为M,第n个原子对平衡位置的位移为un,第nm个原子对平衡位置的位移是Unm(m1,2,3),则第nm个原子对第n个原子的作用力为fn,mm(UnmUn)m(UnmUn)=m(UnmUnm2Un)，第n个原子受力的总合为Fnfm1n,mU2Um1m(Unmnmn),因此第n个原子的运动方程为：Md2U2nd2tm1m(UnmUnm2Un)将格波的试解UnAei(qnat)代入运动方程，得：M2em1m(eiqmaiqma2)=2m(cosqma1)m1 =-4qmam1msin2(2)由此得格波的色散关系为：242qmam1msin2.2.8.一维离子链，其上等间距载有2N个离子，设离子间的泡利排斥势只出现在最近邻离子之间，并设离子电荷为q,试证平衡间距下U(R2Nq2ln210)R1n；0令晶体被压缩，使R0R0(1),试证明在晶体被压缩单位长度的过程中外力做功的主2项为c,其中cn1qln22R2；0求原子链被压缩了2NR0e(e1)时的外力.解答：(1)因为离子间是等间距的，且都等于R，所以认定离子与第j个离子的距离rj总可表示成为rjajR,aj是一整数，于是离子间总的互作用势能U(R)=2N2'qq2'2rbnN(12bjjrjRja)Rnj其中+、-号分别对应相异离子和相同离子的作用.一维离子的晶格的马德隆常数为'(1a)=2ln2.jj利用平衡条件dUdRR00n得到b=Nq2ln2Rn110n,U(R)2Nq2ln2(1RR0nRn).在平衡间距下U(R2Nq2ln210)-R(1).0nU(R)U(RdU1d2将相互作用势能在平衡间距附近展成级数U0)(dR)R(RR0)2(dR2)R(RR0)2+，00由外力作的功等于晶体内能的增量，可得外力作之功的主项为)1d2W=U(R)-U(RU02(dR2)R(RR0)2,0其中利用了平衡条件.将R=R0(1)代入上式，得到W=122n1qln2(2NRR20).0晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项W1n1q2ln2NR2R2020令cn1q2ln2R2(CGS)0得到在晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项为c2.设=e时外力为Fe，由此在弹性范围内，外力与晶体的形变成正比，所以F(2NR0),Fe(2NR0e),其中为比例系数.离子键被压缩2NR0e过程中外力作的功W2NR0ee0Fdxe(2NR0)2NR0d(2NR0)2122e1022NR0eFe.由于Wceq2ln2n1ee22NR0e,所以离子键被压缩了2NR0e时的外力为Fece=R2.0(2)

(1)(2)(3)(3)2.10.两个原子间互作用势为Urr2r8,当原子构成一稳定分子时，核间距为3，解离能为4eV,求和.解答：当两原子构成一稳定分子即平衡时，其相互作用势能取极小值，于是有dur28dr30rrr0r9001460,1而平衡时的势能为ur0r2834r2,20r00根据定义，解离能为物体全部离解成单个原子时所需要的能量，其值等于ur.已知解离能为4eV,因此得30424eV.30再将reV1.602101203,1erg代入(1),(3)两式，得=7.6910-27ergcm2,=1.4010-72ergcm8.3.5.设有一长度为L的一价正负离子构成的一维晶格，正负离子间距为a，正负离子的质量分别为mme2b+和,近邻两离子的互相作用势为u(r)=-rrn，式中e为电子电荷，b和n为参量常数，求参数b与e,n及a的关系；恢复力系数；解答：(1)若只计算近邻离子的互作用，平衡时，近邻两离子的互作用势能

2n1取极小值，即要求du(r)dr0，由此得到b=ea.ran恢复力系数=d2u(r)e2(dr2n1)3.raa5.1.将布洛赫函数中的调制因子uk(r)展成傅里叶级数，对于近自由电子，当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下，此级数有何特点？在紧束缚模型下，此级数有有何特点？解答：由布洛赫定理可知，晶体中电子的波函数k(r)eikruk(r),对比《固体物理教程》(5.1)和(5.39)式可得u1k(r)N(Kam)eiKmr.m对于近自由电子，当电子波矢远离布里渊区边界时，它的行为与自由电子类似，uk(r)近似一常数.因此，uk(r)得展开式中，除了a(0)外，其他项可忽略.当电子波矢落在倒格矢Kn正交的布里渊区边界时，与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射，uk(r)展开式中除了a(0)和a(Kn)两项外，其他项可忽略.在紧束缚模型下，电子在格点R2n附近的几率k(r)大，偏离格点Rn的几率k(r)2小.对于这样的波函数，其傅里叶级数的展式包含若干项.也就是说，紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造.5.2.布洛赫函数满足(r+Rn)eikRn(r),何以见得上式中k具

有波矢的意义？解答：人们总可以把布洛赫函数(r)展成傅里叶级数(r)=a(k'Ki(k'Kh)rh)e,h其中k'是电子的波矢.将(r)代入(r+Rnn)=eikR(r)，得到eik'RneikRn.其中利用了K'hRn=2p(p是整数),由上式可知，k=k，即k具有波矢的意义.5.3.波矢空间遇倒格空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准确连续的？解答：波矢空间与倒格空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为b1,b2,b3,而波矢空间的基矢分别为b1N,b2bN1,N2,N3分别是沿正格子基矢a1,a2,a3方向晶体1N,32N;3的原胞数目.由此得平衡时两原子间的距离为r(1)(2)(2)倒格空间中一个倒格点对应的体积为b*1(b2b3),波矢空间中一个波矢点对应的体积为b1Nb2b3*N,即波矢空间中一个波矢点对应的体积，是倒格空间中一个1N2N3倒格点对应的体积的1N.由于N是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的.也就说，波矢点在倒格空间看是极其稠密 的.因此，在波矢空间内的状态点看成是准连续的.5.4.与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？解答：当电子的波矢k满足关系式Kn(k+Kn2)=0时，与布里渊区边界平行且垂直于Kn的电子具有强烈的散射作用.此时电子的波矢很大，波矢的末端落在了布里渊区边界上，k垂直与布里渊区边界的分量的模等于Kn2.1.10.求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族(h1h2h3)的面间距.解答：面心立方正格子的原胞基矢为aa1=2(j+k),aa2=2(ki),aa3=2(ij).由b2a2a31,b2a3a1,b32a1a22,可得其倒格基矢为b=2a(-i+j+k),b2aj+k),b212=(i-3=a(i+j-k).倒格矢Khh1b1+h2b2+h3b3.根据《固体物理教程》(1.16)式d2h1h2h3K,h的面心立方晶体晶面族(h1h2h3)的面间距d2h1h2h3Kha.(h1h222h3)(h1h2h3)(h1h2h3)212体心立方正格子原胞基矢可取为a1=a2(-i+j+k),aa2=2(i-j+k),a3=a2(i+j-k).其倒格子基矢为b221=a(j+k),b2=2a(k+i),b3=a(i+j).则晶面族(h1h2h3)的面间距为d2h1h2h3Ka1.h(h222h3)(h3h1)(h1h2)2211001.18.利用转动对称操作，证明六角晶系介电常数矩阵为0220.0033解答：由《固体物理教程(1.21)式可知，若A是一旋转对称操作，则晶体的介电常数ε满足εAεAt.对六角晶系，绕x(即a)轴旋180和绕z(即c)轴旋转120都是对称操作，1300220坐标变换矩阵分别为A1x010Az3.0012120.001111213假设六角晶系的介电常数为212223.3132331313则有εAt11121112xεAx得2122232123.31322233313233可见12=0，13=0，21=0，33=0.11001100即02223.将上式代入εAt得zεAz002223323303233111+322-344411+34-322223-34311+3422411+1422-1223。-31232-23233由上式可得23=0，32=0，11=22.1100于是得到六角晶系的介电常数0220.0033

第五篇：固体物理选择题

选择题

1.（）布拉伐格子为体心立方的晶体是 A.钠 B.金 C.氯化钠 D.金刚石 2.（）布拉伐格子为面心立方的晶体是 A.镁 B.铜 C.石墨 D.氯化铯 3.（）布拉伐格子为简立方的晶体是 A.镁 B.铜 C.石墨 D.氯化铯

4.（）银晶体的布拉伐格子是 A.面心立方 B.体心立方 C.底心立方 D.简立方

5.（）金属钾晶体的布拉伐格子是 A.面心立方 B.体心立方 C.底心立方 D.简立方 6.（）金刚石的布拉伐格子是 A.面心立方 B.体心立方 C.底心立方 D.简立方 7.（）硅晶体的布拉伐格子是 A.面心立方 B.体心立方 C.底心立方 D.简立方

8.（）氯化钠晶体的布拉伐格子是 A.面心立方 B.体心立方 C.底心立方 D.简立方 9.（）氯化铯晶体的布拉伐格子是 A.面心立方 B.体心立方 C.底心立方 D.简立方 10.（）ZnS晶体的布拉伐格子是 A.面心立方 B.体心立方 C.底心立方 D.简立方 11.（）下列晶体的晶格为简单晶格的是 A.硅 B.冰 C.银 D.金刚石 12.（）下列晶体的晶格为复式晶格的是 A.钠 B.金 C.铜 D.磷化镓 3 3313.（）晶格常数为a的简立方晶格，原胞体积Ω等于 A.2aB.a C.a/2 D.a/4 14.（）晶格常数为a的体心立方晶格，原胞体积Ω等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 15.（）晶格常数为a的面心立方晶格，原胞体积Ω等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 16.（）晶格常数为a的CsCl晶体的原胞体积等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 3 3317.（）晶格常数为a的NaCl晶体的原胞体积等于 A.2aB.a C.a/2 D.a/4 18.（）晶格常数为a的Cu晶体的原胞体积等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 19.（）晶格常数为a的Na晶体的原胞体积等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 3 3320.（）晶格常数为a的Au晶体的原胞体积等于 A.2aB.a C.a/2 D.a/4 21.（）晶格常数为a的金刚石晶体的原胞体积等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 3 3322.（）晶格常数为a的Cu晶体的单胞体积等于 A.2aB.a C.a/2 D.a/4 23.（）晶格常数为a的Li晶体的单胞体积等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 24.（）晶格常数为a的Ge晶体的单胞体积等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 25.（）晶格常数为a的GaP晶体的单胞体积等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 26.（）晶体铜的配位数是 A.12 B.8 C.6 D.4 27.（）金属钠晶体的配位数是 A.12 B.8 C.6 D.4 28.（）金刚石的配位数是 A.12 B.8 C.6 D.4 29.（）面心立方密集的致密度是 A.0.76 B.0.74 C.0.68 D.0.62 30.（）体心立方密集的致密度是 A.0.76 B.0.74 C.0.68 D.0.62 31.（）晶体的布拉伐格子共有几种？ A.12 B.13 C.14 D.15 32.（）立方晶系的布拉伐格子共有几种？ A.1 B.2 C.3 D.4 33.（）表征晶格周期性的概念是

A.原胞或布拉伐格子 B.原胞或单胞 C.单胞或布拉伐格子 D.原胞和基元 34.（）晶体共有几个晶系？ A.4 B.5 C.6 D.7 35.（）晶体点群有 A.230种 B.320种 C.48种 D.32种 36.（）晶格常数为a的一维单原子链，倒格子基矢的大小为 A.a B.2a C.π/a D.2π/a 37.（）晶格常数为a的一维双原子链，倒格子基矢的大小为 A.a B.2a C.π/a D.2π/a 38.（）晶格常数为a的简立方晶格的(010)面间距为A.a B.239.（）晶格常数为a的简立方晶格的(110)面间距为A.a22a C.3a33a4a D.1/2 a D.a5 B.C.40.（）晶格常数为a的简立方晶格的(111)面间距为A.a2 B.a3 C.a4 D.a5

41.（）晶格常数为a的简立方晶格的(210)面间距为A.a2 B.a3 C.a2a4 D.a3a5

42.（）晶格常数为a的体心立方晶格的(100)面间距为A.a B.a/2 C.D.43.（）晶格常数为a的体心立方晶格的(110)面间距为A.a B.a/2 C.a2a3a2D.a4a3

a644.（）晶格常数为a的体心立方晶格的(111)面间距为A.B.C.a2 D.a3

45.（）晶格常数为a的面心立方晶格的(100)面间距为A.a B.a/2 C.a2a3D.a4

a646.（）晶格常数为a的面心立方晶格的(110)面间距为A.B.C.D.47.（）晶格常数为a的面心立方晶格的(111)面间距为A.a2 B.a3 C.a4 D.a6

48.（）一个二维简单正交晶格的倒格子原胞的形状是 A.长方形 B.正六边形 C.圆 D.圆球

49.（）体心立方的倒格子是A.二维正方形 B.面心立方 C.体心立方 D.简立方 50.（）面心立方的倒格子是A.二维正方形 B.面心立方 C.体心立方 D.简立方

51.一个二维简单正交晶格的第一布里渊区形状是A.长方形 B.正六边形 C.圆 D.圆球 52一个简立方晶格的第一布里渊区形状是A.正六边形 B.面心立方 C.体心立方 D.简立方 53.（）体心立方晶格的第一布里渊区形状是

A.平行六面体 B.正八面体 C.菱形十二面体 D.截角八面体 54.（）面心立方晶格的第一布里渊区形状是

A.平行六面体 B.正八面体 C.菱形十二面体 D.截角八面体 55.（）三维晶格的原胞体积

与倒格子的原胞体积

之积等于

A.（2π）3 B.（2π）2 C.（2π）1 D.（2π）0

56.（）若简立方晶格的晶格常数由a增大为2a，则简约布里渊区的体积变为 A.1/2倍 B.1/8倍 C.2倍 D.8倍

57.（）由N个原子组成的一维单原子链，简约布里渊区中的分立波矢取值有

2A.N个 B.2N个 C.N/2个 D.N个

58.（）有N个初基原胞的二维简单正方形晶格，简约布里渊区中的分立波矢状态有 A.N种 B.2N种 C.N/2种 D.N2种

59.（）N个基元构成的钠晶体，其相邻两原子之间的相互作用能为u，只计最近邻相互作用，则钠晶体总的相互作用能U为

A.Nu B.2 Nu C.6Nu D.8Nu

60.（）对于一维单原子链晶格振动的频带宽度，若最近邻原子之间的力常数β增大为4β，则晶格振动的频带宽度变为原来的 A.2倍 B.4倍 C.16倍 D.不变

61.（）一维双原子链晶格振动光频支与声频支之间的频隙宽度，与最近邻原子之间力常数的关系是 A.无关 B.单调增加 C.单调减少 D.其它

62.（）对于一维双原子链晶格振动光频支与声频支之间的频隙宽度，若最近邻原子之间的力常数β增大为4β，则频隙宽度变为原来的 A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.不变 63.（）晶格振动的能量量子称为 A.极化子 B.激子 C.声子 D.光子

64.（）含有N个原胞的铜晶体，晶格振动的声学波支数为 A.0 B.1 C.2 D.3 65.（）含有N个原胞的铜晶体，晶格振动的光学波支数为A.0 B.1 C.2 D.3 66.（）含有N个原胞的铜晶体，晶格振动的总格波支数为A.0 B.1 C.2 D.3 67.（）含有N个原胞的铜晶体，不同的波矢总数为A.3N B.2N C.N D.N/2 68.（）含有N个原胞的金刚石晶体，晶格振动的声学波支数为A.0 B.1 C.2 D.3 69.（）含有N个原胞的金刚石晶体，晶格振动的光学波支数为A.0 B.1 C.2 D.3 70.（）含有N个原胞的二维蜂巢晶格，晶格振动的声学波支数为A.0 B.1 C.2 D.3 71.（）有N个原胞的二维简单正方形晶格，晶体中的声子有多少种可能的量子态 A.N B.2N C.N/2 D.N2

72.（）对于体积为V的NaCl晶体，设原胞体积为Ω，则该晶体包含的晶格振动总模式数为 A.V/Ω B.2V/Ω C.4V/Ω D.6V/Ω

73.（）低温下一维晶格振动的德拜态密度与晶格振动频率ω的关系是正比于 A.ω0 B.ω1 C.ω2 D.ω3 74.（）低温下二维晶格振动的德拜态密度与晶格振动频率ω的关系是正比于 A.ω0 B.ω1 C.ω2 D.ω3 75.（）低温下三维晶格振动的德拜态密度与晶格振动频率ω的关系是正比于 A.ω0 B.ω1 C.ω2 D.ω3 76.（）低温下d维晶格振动的德拜态密度与晶格振动频率ω的关系是正比于 A.ω2 B.ωd-1C.ωd D.ωd+1 77.（）低温下一维晶格热容与温度T的关系是正比于A.T0 B.T1 C.T2 D.T3 78.（）低温下二维晶格热容与温度T的关系是正比于A.T0 B.T1 C.T2 D.T3 79.（）低温下三维晶格热容与温度T的关系是正比于A.T0 B.T1 C.T2 D.T3 83.（）紧束缚近似下晶格常数为a的简立方晶体的s电子能带函数E(k)为

kyakyakxakakakacoscoscoszcoszcosx)A.E(k)E0J04J1(cos222222kyakakacosz B.E(k)E0J08J1cosxcos222C.E(k)E0J02J1(coskxacoskyacoskza)

D.E(k)E0J06J1coska

84.（）紧束缚近似下晶格常数为a的面心立方晶体的s电子能带函数kyakyakxakakakacoscoscoszcoszcosx)A.E(k)E0J04J1(cos222222为

kyakakaB.E(k)E0J08J1cosxcoscosz

222C.E(k)E0J02J1(coskxacoskyacoskza)

D.E(k)E0J06J1coska

85.（）紧束缚近似下晶格常数为a的二维正方形晶格的s电子能带函数为

kyakaA.E(k)E0J04J1cosxcos

22B.E(k)E0J04J1coskxacoskya C.E(k)E0J02J1(coskxacoskya)

D.E(k)E0J02J1coska

86.（）二维自由电子的能态密度，与能量E的关系是正比于 A.E121 B.E0 C.E2 D.E 187.（）三维自由电子的能态密度，与能量E的关系是正比于 A.E12 B.E0 C.E2 D.E

态电子速度v(k)88.（）紧束缚近似下，一维单原子链中s电子的kA.v(4a)v(0)B.v(满足

a)89.（）紧束缚近4a)v(2a)C.v(4a)v(34a)D.v(4a)v(似下晶格常数为a的一维单原子链中s电子的k态电子速度满足

A.与 coska 成正比 B.与sinka成正比 C.与k成正比 D.与k无关

90.（）紧束缚近似下晶格常数为a的一维单原子链中s电子的k态电子有效质量满足 A.与coska成反比 B.与sinka成反比 C.与k成正比 D.与k成反比

91.（）由N个原胞组成的简单晶体，不考虑能带交叠，则每个S能带可容纳的电子数为 A.N/2 B.N C.2N D.4N 92.（）N原子组成晶格常数为a的简立方晶体，单位k空间可容纳的电子数为

A.N B.2N C.Na3/(2π)3 D.2Na3/(2π)3 93.（）半导体中电子有效质量的实验研究方法是

A.X射线衍射 B.中子非弹性散射 C.回旋共振 D.霍耳效应