数学模型

第一篇：数学模型

数学建模的心得体会

学完数学建模，使我感触良多：它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得以到很好的锻炼和提高。

首先我想简单介绍下数学模型： 一．数学模型的定义

现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义。“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。

二．建立数学模型的方法和步骤 第一、模型准备

首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。

第二、模型假设

根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。

第三、模型构成

根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。

第四、模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。

第五、模型分析

对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。

数学模型主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物。通过对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。其实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的概念。例如，我们平时出远门，会考虑一下出行的路线，以达到既快速又经济的目的；一些厂长经理为了获得更大的利润，往往会策划出一个合理安排生产和销售的最优方案„„这些问题和建模都有着很大的联系。而在学习数学建模以前，我们面对这些问题时，解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经被数学建模中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考方式一旦被你把握，它就转化成了你自身的素质，不仅在你以后的学习工作中继续发挥作用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。

数学建模所要解决的问题决不是单一学科问题，它除了要求我们有扎实的数学知识外，还需要我们不停地去学习和查阅资料，除了我们要学习许多数学分支问题外，还要了解工厂生产、经济投资、保险事业等方面的知识，这些知识决不是任何专业中都能涉猎得到的。它能极大地拓宽和丰富我们的内涵，让我们感到了知识的重要性，也领悟到了“学习是不断发现真理的过程”这句话的真谛所在，这些知识必将为我们将来的学习工作打下坚实的基础。从现在我们的学习来看，我们都是直接受益者。毫不夸张的说，建模过程挖掘了我们的潜能，使我们对自己的能力有了新的认识，特别是自学能力得到了极大的提高，而且思想的交锋也迸发出了智慧的火花，从而增加了继续深入学习数学的主动性和积极性。再次，数学建模也培养了我们的概括力和想象力，也就是要一眼就能抓住问题的本质所在。我们只有先对实际问题进行概括归纳，同时在允许的情况下尽量忽略各种次要因素，紧紧抓住问题的本质方面，使问题尽可能简单化，这样才能解决问题。数学建模还能增强我们的抽象能力以及想象力。对实际问题再进行“翻译”，即进行抽象，要用我们熟悉的数学语言、数学符号和数学公式将它们准确的表达出来。

通过学习数学建模，对我的收益不逊于以前所学的文化知识，使我终生难忘。而且，我觉得数学建模活动本身就是教学方法改革的一种探索，它打破常规的那种老师台上讲，学生听，一味钻研课本的传统模式，而采取提出问题，课堂讨论，带着问题去学习、不固定于基本教材，不拘泥于某种方法，激发学生的多种思维，增强其学习主动性，培养学生独立思考，积极思维的特性，这样有利于学生根据自己的特点把握所学知识，形成自己的学习机制，逐步培养很强的自学能力和分析、解决新问题的能力。这对于我们以后所从事的教育工作也是一个很好的启发。

第二篇：数学模型论文[推荐]

数学模型论文（数学模型论文范文）：研究数学模型提高企业竞争力 摘要:在对研究数学模型提升企业竞争力的发展历程进行概述的基础上，探讨了煤炭企业该如何研究数学模型提高竞争力。关键词:氢数学模型;企业管理;提高企业竞争力

Stduy on Mathematical Models to ImproveEnterprise's Competence Abstract:The article is aimed to probe on how coal companies to study mathematical in anattempt to improve competence based on the developing course of enterprise's competenceenhanced by studying mathematical models Keywords:mathematical models;enterprise management;promotion of enterprise's competence 【引言】

科学技术是第一生产力。一方面先进的生产技术是一个动态的技术，它随着人类的发明创造在不断地向前发展，特别是当今在以计算机技术、网络技术、多媒体技术为核心的信息技术的推动下，其发展之迅速更是日新月异；另一方面，在知识经济时代，知识信息就是财富，谁及时地了解并掌握先进的生产技术，谁就能在成本控制与技术创新上占据优势，进而在激烈的竞争中取胜。所以最新的科学技术是一个会变化发展的，受到所有人追踪的技术。本文介绍了在高技术本质上是数学技术意义下的数学模型技术，并探讨了煤炭企业如何研究、应用她。

1研究数学模型提升企业竞争力概述

世界上成功的企业无一不是在成本上进行控制与技术上进行创新的成功中发展壮大起来的。因此，当今煤炭产业要发展，煤炭企业要壮大，煤炭人一定要追踪并善于紧跟当今世界科技发展步伐。通过文献信息检索发现：提高企业管理者信息素质，研究数学模型，对企业生产经营活动的每个环节建立数学模型，借助计算机求解、分析这些数学模型，并根据求解、分析的结果，对企业生产经营活动的每个环节进行优化和调整，是一种当今正在兴起的、能有效提高企业竞争力的、先进的企业管理技术。

数学模型是一种用数学方法对事物进行定量分析、研究的技术。它虽然古老并在人类发展史上不断显示出巨大威力。但由于运用数学模型研究事物要求研究者必须具有相关的专业知识（如要运用数学，物理，化学，经济、财会管理等知识才能建立数学模型），并且还要进行复杂的数学计算与逻辑推理，所以一直以来数学模型都只是作为少数科学家们（物理学家、天文学家、力学家等人）的神秘武器。数学模型做为一种技术真正得到推广是在高等教育和计算机技术得到普以后的事情。首先，高等教育的发展普及使得社会的新成员或多或少有了建立数学模型的能力。其次，随着计算机的发明和计算机技术的发展，一方面，人们发现可以用计算机来完成数学计算和逻辑推理工作，从而使得一些复杂的、以前靠人工不可能完成的计算与推理工作，现在都可以用计算机来完成，这样就形成了一种把计算机技术与数学技术结合起来的“高技术”，这是一种普遍的、可以实现的新技术———数学模型技术；另一方面，微型计算机不仅性能越来越好，应用软件越来越丰富，操作变得越来越容易，而且价格也是越来越便宜，使得计算机应用走进了千家万户，人人都有了使用计算机的条件，为人们研究数学模型技术奠定了基础。

随着信息技术的发展，信息高速公路使全球经济一体化，各个企业、公司之间的竞争日益激烈，残酷的竞争迫使着人们不得不对企业经营管理进行深入地研究。马克思曾经说过“：任何一门科学只有充分利用了数学才能够达到完美的境界”。遵循这一思路，人们在企业经营管理的研究中开始引进数学思想和方法，尝试对企业生产经营的各个环节建立数学模型，通过研究这些数学模型来对这些环节进行定量的分析和研究。例如人们结合各自企业的实际创建了种种数学模型，有工厂升级方案的优化模型[1]，加工流水线设计模型，设备的维修更换模型，应急设施的选址问题模型[2]，革新技术的推广模型，Van Meegeren的艺术伪造品模型[3]，生产库存问题模型，供求平衡状态下使利润最大的最优价格模型[6]，生产计划模型，运输模型，排班问题模型，分配问题模型，投入产出模型，利润分段生产计划模型，生产和库存计划模型，技术改造模型，互不相容产品存放问题模型[4]等等。依据对这些数学模型进行研究的结果，人们对企业生产经营的相应环节进行优化和调整，实现了经营管理决策最优化和最大程度地节约成本减少开支的巨大成功。任何成功的技术，必定会被纳入教育内容传播开去。今天，运用数学模型研究事物正在成为一种潮流，数学模型技术已经为越来越多的大学所传授，并迅速地应用到各行各业中。

2煤炭企业如何研究数学模型

针对上述数学模型技术发展形势，笔者以为，煤炭企业应该紧跟研究数学模型提高企业竞争力的潮流，在企业管理中重视研究数学模型，用数学模型分析企业生产经营活动的每个环节，并据此对每个环节进行优化和调整，实现最大程度地节约成本和减少开支，增强企业竞争力。具体地说就是要：

2.1培养人们的信息素质

信息素质又称“信息文化”、“信息素养”，指全球信息化需要人们具备的一种基本能力，即人们在工作中运用信息技术解决问题的能力。人类社会已经进入信息时代，对于信息时代的理解不能只限于利用电子邮件、QQ聊天、电话、短信等通信工具方便了人们之间的联系，而应该认识到信息时代还包括人们可以方便、快捷地获取、处理、发布信息。具有信息素质的人能够判断什么时候需要信息，并且懂得如何去获取信息，如何去评价和有效利用获得的信息。信息素质可以概括为信息意识、信息能力、信息道德3个方面。信息意识，是人们对信息需求的自我意识，主要表现在人们从信息的角度去感受、理解和评价自然界、社会中的各种现象、行为，判断、洞察有用信息的能力。包括人们对信息的敏锐感受和理解，对信息在工作、学习、科研等各个领域重要性的领悟。是人对各种信息的自觉心理反应，是人们掌握信息、应用信息的自觉性的内在要求，是对客观事物中有价值的信息特殊、敏锐的感受力、判断力，并力图获取和加以利用的强烈愿望。信息能力包括信息获取、加工处理和利用能力等。一个人信息能

力的大小在很大程度上决定着他的社会活动能力和工作能力。信息道德是指整个信息活动中的道德，即在整个信息活动中，信息加工者、传递者、使用者相互之间各种行为规范的总和。进入信息时代，首先要重视自己信息意识的培养，使自己具有敏锐的观察力，快速的发掘能力，能迅速有效地从庞杂散乱的事物中捕捉并掌握有价值的信息，即善于从他人看来是微不足道、毫无价值的信息中发现信息的意义和价值所在。这样我们不仅懂得信息的重要性，而且会因为管理企业的需要积极主动地去搜集企业管理方面的最新技术。其次，要重视自己信息能力的培养，增强自己的信息能力。主要是学习运用计算机网络技术从各种数字图书馆、各种文献数据库及Internet检索文献信息的方法，使自己能在需要时快速、准确、完整地获取到所需的信息，并能熟练地应用有关信息技术，充分加工利用这些信息。再次，要重视自己的信息道德培养。在搜集与利用当今企业管理最新技术活动过程中自觉遵循法律法规，尊重他人的学术成果，尊重知识产权、合理使用文献信息，自觉抵制违法信息及信息行为。

2.2明确研究方法

数学模型技术研究是一种科学研究，必须重视连续性和继承性。今天人类没有涉猎的领域是极少的，数学模型技术有其发生和发展的过程，任何一个研究者，在进行数学模型技术研究时，都必须首先占有大量的数学模型技术文献，对数学模型技术的历史、现状和未来充分了解，以前人已经取得的成果为基础，进行新的研究。如果有人已做过某数学模型技术的研究人，就可以不开展此项目研究了，而直接

利用别人的研究成果。这样通过文献检索而直接获得研究成果，不仅节约了科研经费，也避免了重复劳动和赢得了保贵的时间。如果有人正在进行某数学模型技术的研究，也要搞清楚，当前有哪些机构或个人在研究此数学模型技术，他们研究的进展如何。这样就可以从前人的研究中吸取营养，继承前人的研究成果、经验教训、避免重复他人的劳动和少走弯路，使自己的研究工作在立项时就建立在一个较高的起点上，不仅可以确保我们的数学模型研究工作始终处于领先地位，而且可以保证我们的数学模型研究成果是有价值的，还可以开拓更新的、更高层次的、更广阔的数学模型研究领域。例如，20世纪世界上的重大发明日本一项也没有，但是日本却在综合别人成果的基础上创造出了世界一流的新技术、新产品。日本科学家认为“综合就是创造”。当然，综合是要获取别人的研究成果的，日本的成功是建立在充分占有科研成果的基础上的。笔者认为，日本科学家们这种科研方法值得学习，在利用文献信息检索技术获取数学模型技术知识信息的基础上进行综合创造，是一条很好的煤炭企业研究数学模型提升竞争力渠道。

2.3努力掌握数学模型技术

对生产经营的各个环节建立数学模型，运用计算机求解这些数学模型，根据求解结果调整优化生产，这就是企业管理中的数学模型技术。只要我国煤炭企业培养信息素质把握市场技术与产品信息，运用数学模型技术指导生产经营，就可以提高竞争力。

3在企业管理中应用数学模型技术实例

如上所述，煤炭企业可以在生产计划制订、组织生产、材料采购、库存管理、产品销售等生产经营环节进行数学模型研究。下面仅举一例来说明在企业管理中运用数学模型的方法。例1广告模型[5]某工厂准备在电视上做广告，电视台的收费标准为：时间Ⅰ：星期一至星期日18：30到22：30以外的时间每30 s收费200元；时间Ⅱ：星期一至星期五18：30到22：30热门时间每30 s收费350元；时间Ⅲ：星期六及星期日18：30到22：30热门时间每30 s收费500元。该工厂计划用72 000元在电视台做1个月（30 d）每天30 s的广告。电视台规定：每周在时间Ⅱ和时间Ⅲ内播出的次数之和不能超过时间Ⅰ内播出次数的一半，而工厂希望时间Ⅲ内播出的次数不少于4次，也就是平均1周要至少1次。据估计，在时间Ⅰ内收视率为100万人次，在时间Ⅱ和时间Ⅲ的收视率分别为时间Ⅰ内的3倍和5倍，问应如何安排播放次数，才能使收视率最高？[解]第一步，建立模型。（1）该问题所要确定的量是在3种时间内播出的次数，这就是决策变量，设xi表示时间i播出的次数（i=1，2，3）。（2）该问题要受到如下条件的限制：①全月播放的总次数是30次，即x1+x2+x3=30；②在时间Ⅱ和时间Ⅲ内播出的次数之和不能超过时间Ⅰ内播出次数的一半，即：x2+x3≤(1/2)x1或x1-2x2-2x3≥0；③在时间Ⅲ内播出的次数不少于4次，即x3≥4；④每种时间内播出的次数不能为负数，即x1，x2，x3≥0；⑤广告费用不能超支，即200x1+350x2+500x3≤72 000；（3）该问题的目的是收视率最高，所以收视率是目标函数，即z=x1+3x2+5x3

因此，该问题的数学模型为：

第二步，求解模型

用Exce“l规划求解”工具求解，结果如下（具体求解方法见文[8]）：x1=20,x2=0,x3=10,z=70。可见，当在时间Ⅰ播出广告20次，在时间Ⅱ不播出广告，在时间Ⅲ播出广告10次时，既满足要求，又能使收视率达到最高达到7 000万人次。

参考文献：

[1]吴建国.数学建模案例精编[J].北京：中国水利水电出版社，2005.[2]周义仓，等.数学建模实验[M].西安：西安交通大学出版社，1999.[3]（美）W.F.LUCAS.微分方程模型[M].长沙：国防科技大学出版社，1998.[4]王冬琳.数学建模及实验[M].北京：国防工业出版社，2004.[5]朱喜安.初等数量分析[M].北京：中国财政经济出版社，2006.[6]胡运权.运筹学习题集[M].北京：清华大学出版社，2002.[7]叶艺林.文献信息检索教程[M].成都：西南交大出版社，2009.[8]叶艺林.用“规划求解”工具求解线性规划[J].景德镇高专学报，2006（4）.

第三篇：数学模型心得体会

这学期，我进行了数学建模实训的设计，我觉得他与其他科的不同是与现实联系密切，而且能引导我们把以前学得到的枯燥的数学知识应用到实际问题中去，用建模的思想、方法来解决实际问题，很神奇，而且也接触了一些计算机软件，使问题求解很快就出了答案。

数学模型既顺应时代发展的潮流，也符合教育改革的要求。对于数学教育而言，既应该让学生掌握准确快捷的计算方法和严密的逻辑推理，也需要培养学生用数学工具分析解决实际问题的意识和能力，传统的数学教学体系和内容无疑偏重于前者，而开设数学建模课程则是加强后者的一种尝试，数学建模的初衷是为了帮助大家提升分析问题，解决问题的能力。

在学习了数学模型后，它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，比如说一些数学计算软件，学习建模的同时，借用各种建模软件解决问题是必不可少的Matlab，Lingo，等都是非常方便的。数学模型是数学学习的新的方式，他为我们提供了自主学习的空间，有助于我们体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生化和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；而且数学模型还对我们有综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得到很好地锻炼和提高。而且我认为数学模型带给我的是发散性思维，各种研究方法和手段。教会我凡事要有自己的创新，自己的严密思维，不能局限于俗套。

在本次实训中我的指导老师给予了我很大的帮助，是他带领着我去研究去探索，去一步一步的接近最正确的答案，发现真理，我非常感谢我的指导老师，他教会了我探索精神，让我懂得了在困难面前绝不能放弃。

总之，通过这次数学建模的实训，不仅使我们加深了对书本知识的理解，学习了lingo软件的使用，熟知了编写报告的规范要求，培养了我们解决问题，吸取经验，团队合作的精神。我相信这些收获会伴随我们学习、工作和生活，我们将带着一颗不畏惧困难，勇敢面对困难，积极寻找解决困难的心去面对明天，寻找更美好的未来！

第四篇：数学模型心得体会

数学建模的心得体会

姓名：张秋月 专业：数学与应用数学

班级：1102班 学号：2011254010223

这学期，我学习了数学建模这门课，我觉得他与其他科的不同是与现实联系密切，而且能引导我们把以前学得到的枯燥的数学知识应用到实际问题中去，用建模的思想、方法来解决实际问题，很神奇，而且也接触了一些计算机软件，使问题求解很快就出了答案。

在学习的过程中，我获得了很多知识，对我有非常大的提高。同时我有了一些感想和体会。

本来在学习数学的过程中就遇到过很多困难，感觉很枯燥，很难学，概念抽象、逻辑严密等等，所以我的学习积极性慢慢就降低了，而且不知道学了要怎么用，不知道现实生活中哪里到。通过学习了数学模型中的好多模型后，我发现数学应用的广泛性。数学模型是一种模拟，使用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，他或能解释默写客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其他学科相结合形成的交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。数学建模和计算机技术在知识经济的作用可谓是如虎添翼。

数学建模属于一门应用数学，学习这门课要求我们学会如何将实际问题经过分析、简化转化为个数学问题，然后用适用的数学方法去解决。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力地数学手段。在学习中，我知道了数学建模的过程，其过程如下：

（1）模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。

（2）模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确地语言提出一些恰当的假设。（3）模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。

（4）模型求解：利用或取得的数据资料，对模型的所有参数做出计算。

（5）模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。

（6）模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次进行建模过程。数学模型既顺应时代发展的潮流，也符合教育改革的要求。对于数学教育而言，既应该让学生掌握准确快捷的计算方法和严密的逻辑推理，也需要培养学生用数学工具分析解决实际问题的意识和能力，传统的数学教学体系和内容无疑偏重于前者，而开设数学建模课程则是加强后者的一种尝试，数学建模的初衷是为了帮助大家提升分析问题，解决问题的能力。我认为学习数学模型的意义有如下几点：一 学习数学模型我们可以参加数学建模竞赛，而数学建模竞赛是为了促进数学建模的发展而应运而生的，它可以培养大家的竞赛能力、抗压能力、问题设计能力、搜索资料的能力、计算机运用能力、论文写作与修改完善能力、语言表达能力、创新能力等科学综合素养，它让大家从传统的知识培养转变到能力的培养，让我们的思想追求有了质的变化！这也是我们现代教育所追求的；二 学习数学可以提升我的逻辑思维能力和运算等抽象能力，但好多人觉得数学和实际遥不可及，可是呢，数学建模则成为了解决这种现象的杀手锏，因为数学建模就是为了培养大家的分析问题和分解决问题的能力。

在学习了数学模型后，它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，比如说一些数学计算软件，学习建模的同时，借用各种建模软件解决问题是必不可少的Matlab，Lingo，等都是非常方便的。数学模型是数学学习的新的方式，他为我们提供了自主学习的空间，有助于我们体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生化和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；而且数学模型还对我们有综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得到很好地锻炼和提高。而且我认为数学模型带给我的是发散性思维，各种研究方法和手段。教会我凡事要有自己的创新，自己的严密思维，不能局限于俗套。总之学习数学模型有利于激发我们的学习数学的兴趣，丰富我们学习数学探索的情感体验；有利于我们自觉体验、巩固所学的的数学知识。还锻炼了我们的耐心和意志力。

第五篇：数学模型总结

【数学建模】数学模型总结

四类基本模型 优化模型

1.1 数学规划模型

线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型

阻滞增长模型、SARS传播模型。

1.3 图论与网络优化问题

最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

1.4 概率模型

决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。

1.5 组合优化经典问题  多维背包问题(MKP)背包问题：n个物品，对物品i，体积为wi，背包容量为W。如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：n个物品，对物品i，价值为pi，体积为wi，背包容量为W。如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于NP难问题。

 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n个工作可以由n个工人分别完成。工人i完成工作j的时间为dij。如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n台机器要布置在n个地方，机器i与k之间的物流量为fik，位置j与l之间的距离为djl，如何布置使费用最小。二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

 旅行商问题(TSP)

旅行商问题：有n个城市，城市i与j之间的距离为dij，找一条经过n个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

 车辆路径问题(VRP)

车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n个客户的位置坐标和货物需求，在 【数学建模】数学模型总结

可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP问题是VRP问题的特例。

 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j个工作和m台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。如何求得从第一个操作开始到最后一个操作结束的最小时间间隔。分类模型

判别分析是在已知研究对象分成若干类型并已经取得各种类型的一批已知样本的观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分析。

聚类分析则是给定的一批样品，要划分的类型实现并不知道，正需要通过局内分析来给以确定类型的。

2.1 判别分析  距离判别法

基本思想：首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心即分组(类)的均值，判别准则是对任给的一次观测，若它与第i类的重心距离最近，就认为它来自第i类。

至于距离的测定，可以根据实际需要采用欧氏距离、马氏距离、明科夫距离等。

 Fisher判别法

基本思想：从两个总体中抽取具有p个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个判别函数或称判别式ycixi。其中系数ci确定的原则是使两

i1p组间的区别最大，而使每个组内部的离差最小。

对于一个新的样品，将它的p个指标值代人判别式中求出 y 值，然后与判别临界值(或称分界点(后面给出)进行比较，就可以判别它应属于哪一个总体。在两个总体先验概率相等的假设下，判别临界值一般取：

nyn2yy01n1n2(1)(2)

最后，用F统计量来检验判别效果，若FF则认为判别有效，否则判别无效。

以上描述的是两总体判别，至于多总体判别方法则需要加以扩展。Fisher判别法随着总体数的增加，建立的判别式也增加，因而计算比较复杂。

 Bayes判别法 【数学建模】数学模型总结

基本思想：假定对所研究的对象有一定的认识，即假设k个总体中，第i个总体Gi的先验概率为qi，概率密度函数为fi(x)。利用bayes公式计算观测样品Xqjfj(x)来自第j个总体的后验概率p(Gj/X)k，当p(Gh/X)m(pG/j)Xaxj2，1,kqifi(x)i1时，将样本X判为总体Gh。

 逐步判别法

基本思想与逐步回归法类似，采用“有进有出”的算法，逐步引入变量，每次引入一个变量进入判别式，则同时考虑在较早引入判别式的某些作用不显著的变量剔除出去。

2.2 聚类分析

聚类分析是一种无监督的分类方法，即不预先指定类别。根据分类对象不同，聚类分析可以分为样本聚类（Q型）和变量聚类（R型）。样本聚类是针对观测样本进行分类，而变量聚类则是试图找出彼此独立且有代表性的自变量，而又不丢失大部分信息。变量聚类是一种降维的方法。

 系统聚类法（分层聚类法）

基本思想：开始将每个样本自成一类；然后求两两之间的距离，将距离最近的两类合成一类；如此重复，直到所有样本都合为一类为止。

适用范围：既适用于样本聚类，也适用于变量聚类。并且距离分类准则和距离计算方法都有多种，可以依据具体情形选择。

 快速聚类法（K-均值聚类法）

基本思想：按照指定分类数目n，选择n个初始聚类中心Zi(i1,2,,n)；计算每个观测量（样本）到各个聚类中心的距离，按照就近原则将其分别分到放入各类中；重新计算聚类中心，继续以上步骤；满足停止条件时（如最大迭代次数等）则停止。

使用范围：要求用户给定分类数目n，只适用于样本聚类（Q型），不适用于变量聚类（R型）。

 两步聚类法（智能聚类方法）

基本思想：先进行预聚类，然后再进行正式聚类。

适用范围：属于智能聚类方法，用于解决海量数据或者具有复杂类别结构的聚类分析问题。可以同时处理离散和连续变量，自动选择聚类数，可以处理超大样本量的数据。

 模糊聚类分析

 与遗传算法、神经网络或灰色理论联合的聚类方法

2.3 神经网络分类方法 评价模型

【数学建模】数学模型总结

3.1 层次分析法(AHP)基本思想：是定性与定量相结合的多准则决策、评价方法。将决策的有关元素分解成目标层、准则层和方案层，并通过人们的判断对决策方案的优劣进行排序，在此基础上进行定性和定量分析。它把人的思维过程层次化、数量化，并用数学为分析、决策、评价、预报和控制提供定量的依据。

基本步骤：构建层次结构模型；构建成对比较矩阵；层次单排序及一致性检验（即判断主观构建的成对比较矩阵在整体上是否有较好的一致性）；层次总排序及一致性检验（检验层次之间的一致性）。

优点：它完全依靠主观评价做出方案的优劣排序，所需数据量少，决策花费的时间很短。从整体上看，AHP在复杂决策过程中引入定量分析，并充分利用决策者在两两比较中给出的偏好信息进行分析与决策支持，既有效地吸收了定性分析的结果，又发挥了定量分析的优势，从而使决策过程具有很强的条理性和科学性，特别适合在社会经济系统的决策分析中使用。

缺点：用AHP进行决策主观成分很大。当决策者的判断过多地受其主观偏好影响，而产生某种对客观规律的歪曲时，AHP的结果显然就靠不住了。

适用范围：尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。要使AHP的决策结论尽可能符合客观规律，决策者必须对所面临的问题有比较深入和全面的认识。另外，当遇到因素众多，规模较大的评价问题时，该模型容易出现问题，它要求评价者对问题的本质、包含的要素及其相互之间的逻辑关系能掌握得十分透彻，否则评价结果就不可靠和准确。

改进方法：

(1)成对比较矩阵可以采用德尔菲法获得。(2)如果评价指标个数过多（一般超过9个），利用层次分析法所得到的权重就有一定的偏差，继而组合评价模型的结果就不再可靠。可以根据评价对象的实际情况和特点，利用一定的方法，将各原始指标分层和归类，使得每层各类中的指标数少于9个。

3.2 灰色综合评价法（灰色关联度分析）

基本思想：灰色关联分析的实质就是，可利用各方案与最优方案之间关联度大小对评价对象进行比较、排序。关联度越大，说明比较序列与参考序列变化的态势越一致，反之，变化态势则相悖。由此可得出评价结果。

基本步骤：建立原始指标矩阵；确定最优指标序列；进行指标标准化或无量纲化处理；求差序列、最大差和最小差；计算关联系数；计算关联度。

优点：是一种评价具有大量未知信息的系统的有效模型，是定性分析和定量分析相结合的综合评价模型，该模型可以较好地解决评价指标难以准确量化和统计的问题，可以排除人为因素带来的影响，使评价结果更加客观准确。整个计算过程简单，通俗易懂，易于为人们所掌握;数据不必进行归一化处理，可用原始数据进行直接计算，可靠性强；评价指标体系可以根据具体情况增减；无需大量样本，只要有代表性的少量样本即可。

缺点：要求样本数据且具有时间序列特性；只是对评判对象的优劣做出鉴别，并不反映绝对水平，故基于灰色关联分析综合评价具有“相对评价”的全部缺点。

适用范围：对样本量没有严格要求，不要求服从任何分布，适合只有少量观测数据的问题；应用该种方法进行评价时，指标体系及权重分配是一个关键的问 【数学建模】数学模型总结

题，选择的恰当与否直接影响最终评价结果。

改进方法：

(1)采用组合赋权法：根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。(2)结合TOPSIS法：不仅关注序列与正理想序列的关联度，而且关注序列与负理想序列的关联度，依据公式计算最后的关联度。

3.3 模糊综合评价法

基本思想：是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，从多个因素对被评价事物隶属等级（或称为评语集）状况进行综合性评价的一种方法。综合评判对评判对象的全体，根据所给的条件，给每个对象赋予一个非负实数评判指标，再据此排序择优。

基本步骤：确定因素集、评语集；构造模糊关系矩阵；确定指标权重；进行模糊合成和做出评价。

优点：:数学模型简单，容易掌握，对多因素、多层次的复杂问题评判效果较好。模糊评判模型不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排序，而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度原则去评定对象所属的等级，结果包含的信息量丰富。评判逐对进行，对被评对象有唯一的评价值，不受被评价对象所处对象集合的影响。接近于东方人的思维习惯和描述方法，因此它更适用于对社会经济系统问题进行评价。

缺点：并不能解决评价指标间相关造成的评价信息重复问题，隶属函数的确定还没有系统的方法，而且合成的算法也有待进一步探讨。其评价过程大量运用了人的主观判断，由于各因素权重的确定带有一定的主观性，因此，总的来说，模糊综合评判是一种基于主观信息的综合评价方法。

应用范围：广泛地应用于经济管理等领域。综合评价结果的可靠性和准确性依赖于合理选取因素、因素的权重分配和综合评价的合成算子等。

改进方法：

(1)采用组合赋权法：根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。

3.4 BP神经网络综合评价法

基本思想：是一种交互式的评价方法，它可以根据用户期望的输出不断修改指标的权值，直到用户满意为止。因此，一般来说，人工神经网络评价方法得到的结果会更符合实际情况。

优点：神经网络具有自适应能力，能对多指标综合评价问题给出一个客观评价，这对于弱化权重确定中的人为因素是十分有益的。在以前的评价方法中，传统的权重设计带有很大的模糊性，同时权重确定中人为因素影响也很大。随着时间、空间的推移，各指标对其对应问题的影响程度也可能发生变化，确定的初始权重不一定符合实际情况。再者，考虑到整个分析评价是一个复杂的非线性大系统，必须建立权重的学习机制，这些方面正是人工神经网络的优势所在。针对综合评价建模过程中变量选取方法的局限性，采用神经网络原理可对变量进行贡献分析，进而剔除影响不显著和不重要的因素，以建立简化模型，可以避免主观因素对变量选取的干扰。【数学建模】数学模型总结

缺点： ANN在应用中遇到的最大问题是不能提供解析表达式，权值不能解释为一种回归系数，也不能用来分析因果关系，目前还不能从理论上或从实际出发来解释ANN的权值的意义。需要大量的训练样本，精度不高，应用范围是有限的。最大的应用障碍是评价算法的复杂性，人们只能借助计算机进行处理，而这方面的商品化软件还不够成熟。

适用范围：神经网络评价模型具有自适应能力、可容错性，能够处理非线性、非局域性的大型复杂系统。在对学习样本训练中，无需考虑输入因子之间的权系数，ANN通过输入值与期望值之间的误差比较，沿原连接权自动地进行调节和适应，因此该方法体现了因子之间的相互作用。

改进方法：

(1)采用组合评价法：对用其它评价方法得出的结果，选取一部分作为训练样本，一部分作为待测样本进行检验，如此对神经网络进行训练，知道满足要求为止，可得到更好的效果。

3.5 数据包络法(DEA)3.6 组合评价法 预测模型

定性研究与定量研究的结合，是科学的预测的发展趋势。在实际预测工作中，应该将定性预测和定量预测结合起来使用，即在对系统做出正确分析的基础上，根据定量预测得出的量化指标，对系统未来走势做出判断。

4.1 回归分析法

基本思想：根据历史数据的变化规律，寻找自变量与因变量之间的回归方程式，确定模型参数，据此预测。回归问题分为一元和多元回归、线性和非线性回归。

特点：技术比较成熟，预测过程简单；将预测对象的影响因素分解，考察各因素的变化情况，从而估计预测对象未来的数量状态；回归模型误差较大，外推特性差。

适用范围：回归分析法一般适用于中期预测。回归分析法要求样本量大且要求样本有较好的分布规律，当预测的长度大于占有的原始数据长度时，采用该方法进行预测在理论上不能保证预测结果的精度。另外，可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象，有时难以找到合适的回归方程类型。

4.2 时间序列分析法

基本思想：把预测对象的历史数据按一定的时间间隔进行排列，构成一个随时间变化的统计序列，建立相应的数据随时间变化的变化模型，并将该模型外推到未来进行预测。

适用范围：此方法有效的前提是过去的发展模式会延续到未来，因而这种方法对短期预测效果比较好，而不适合作中长期预测。一般来说，若影响预测对象 【数学建模】数学模型总结

变化各因素不发生突变，利用时间序列分析方法能得到较好的预测结果；若这些因素发生突变，时间序列法的预测结果将受到一定的影响。灰色预测法

基本思想：将一切随机变量看作是在一定范围内变化的灰色变量，不是从统计规律角度出发进行大样本分析研究，而是利用数据处理方法(数据生成与还原)，将杂乱无章的原始数据整理成规律性较强的生成数据来加以研究，即灰色系统理论建立的不是原始数据模型，而是生成数据模型。

适用范围：预测模型是一个指数函数，如果待测量是以某一指数规律发展的，则可望得到较高精度的预测结果。影响模型预测精度及其适应性的关键因素，是模型中背景值的构造及预测公式中初值的选取。

4.3 BP神经网络法

人工神经网络的理论有表示任意非线性关系和学习等的能力，给解决很多具有复杂的不确定性和时变性的实际问题提供了新思想和新方法。

利用人工神经网络的学习功能，用大量样本对神经元网络进行训练，调整其连接权值和闭值，然后可以利用已确定的模型进行预测。神经网络能从数据样本中自动地学习以前的经验而无需繁复的查询和表述过程，并自动地逼近那些最佳刻画了样本数据规律的函数，而不论这些函数具有怎样的形式，且所考虑的系统表现的函数形式越复杂，神经网络这种特性的作用就越明显。

误差反向传播算法(BP算法)的基本思想是通过网络误差的反向传播，调整和修改网络的连接权值和闭值，使误差达到最小，其学习过程包括前向计算和误差反向传播。它利用一个简单的三层人工神经网络模型，就能实现从输入到输出之间任何复杂的非线性映射关系。目前，神经网络模型已成功地应用于许多领域，诸如经济预测、财政分析、贷款抵押评估和破产预测等许多经济领域。

优点：可以在不同程度和层次上模仿人脑神经系统的结构及信息处理和检索等功能，对大量非结构性、非精确性规律具有极强的自适应功能，具有信息记忆、自主学习、知识推理和优化计算等特点，其自学习和自适应功能是常规算法和专家系统技术所不具备的，同时在一定程度上克服了由于随机性和非定量因素而难以用数学公式严密表达的困难。

缺点：网络结构确定困难，同时要求有足够多的历史数据，样本选择困难，算法复杂，容易陷入局部极小点。

4.4 支持向量机法

支持向量机是基于统计学习的机器学习方法，通过寻求结构风险化最小，实现经验风险和置信范围的最小，从而达到在统计样本较少的情况下，亦能获得良好统计规律的目的。

其中支持向量机是统计学习理论的核心和重点。支持向量机是结构风险最小化原理的近似，它能够提高学习机的泛化能力，既能够由有限的训练样本得到小的误差，又能够保证对独立的测试集仍保持小的误差，而且支持向量机算法是一个凸优化问题，因此局部最优解一定是全局最优解，支持向量机就克服了神经网络收敛速度慢和局部极小点等缺陷。

核函数的选取在SVM方法中是一个较为困难的问题，至今没有一定的理论方面的指导。【数学建模】数学模型总结

4.5 组合预测法

在实际预测工作中，从信息利用的角度来说，就是任何一种单一预测方法都只利用了部分有用信息，同时也抛弃了其它有用的信息。为了充分发挥各预测模型的优势，对于同一预测问题，往往可以采用多种预测方法进行预测。不同的预测方法往往能提供不同的有用信息，组合预测将不同预测模型按一定方式进行综合。根据组合定理，各种预测方法通过组合可以尽可能利用全部的信息，尽可能地提高预测精度，达到改善预测性能的目的。

优化组合预测有两类概念，一是指将几种预测方法所得的预测结果，选取适当的权重进行加权平均的一种预测方法，其关键是确定各个单项预测方法的加权系数；二是指在几种预测方法中进行比较，选择拟合度最佳或标准离差最小的预测模型作为最优模型进行预测。组合预测是在单个预测模型不能完全正确地描述预测量的变化规律时发挥其作用的。