圆的解题技巧总结

第一篇：圆的解题技巧总结

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圆的解题技巧总结

一、垂径定理的应用

给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．

例1 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；

(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

例2 如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB=？

例3 如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为多少？

例4 图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？

郭氏数学

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二、与圆有关的多解题

几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解．

1．忽视点的可能位置．

例5 △ABC是半径为2的圆的内接三角形，若BC23cm，则∠A的度数为______．

2．忽视点与圆的位置关系．

例6 点P到⊙0的最短距离为2 cm，最长距离为6 cm，则⊙0的半径是______．

3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．

例7 已知四边形ABCD是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8 cm，CD=6 cm，⊙0的半径是5 cm，则梯形的面积是______．

4．忽略两圆相切的不同位置关系

例8 点P在⊙0外，OP=13 cm，PA切⊙0于点A，PA=12 cm，以P为圆心作⊙P与⊙0相切，则⊙P的半径是______．

例9 若⊙O1与⊙02相交，公共弦长为24 cm，⊙O1与⊙02的半径分别为13 cm和15 cm，则圆心距0102的长为______．

三、巧证切线

切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点． 判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径： 1．圆心到直线的距离等于半径

当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线郭氏数学

guoshishuxue 的距离等于半径．

例10 如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA于点D，以点P为圆心，PD为半径画⊙P，试说明OB是⊙P的切线．

2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径 当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．

例11 如图，已知AB为⊙O的直径，直线BC与⊙0相切于点B，过A作AD∥OC交⊙0于点D，连结CD.(1)求证：CD是⊙0的切线；

(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC的长．

四、结论巧用，妙解题

例12 已知：如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的切点，求证：sABCADBD．

该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：

例13 如图，⊙0为Rt△ABC的内切圆，切点D分斜边AB为两段，其中AD＝10，BD＝3，求AC和BC的长．

郭氏数学 3

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例14 如图，△ABC中∠A与∠B互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E、F，AC=10，BC＝13．求AE·BF的值．

五、点击圆锥的侧面展开图

圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：

解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．

例15 若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是()A．180° B．90° C．120° D．135°

例16 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是()A.2:1 B.2π:1 C．2：1 D．3：1

例17 如图，小红要制作一个高4 cm，底面直径是6 cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是()A．15πcm B．613cm C．1213cm D．30 cm

例18 下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面2积为______cm．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）

222

2郭氏数学 4

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评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．

例19 如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD，BC= CD,AB= 2AD,∠ABC＝∠ADB= 90°．

(1)求∠C的度数；

(2)以C为圆心，CB为半径作圆弧BD得一扇形CBD，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC＝a，求该圆锥的底面半径；

(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．

六、例谈三角形内切圆问题

三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20 如图，△ABC中，内切圆⊙I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．

求证：(1)FDE901A；

(2)BIC90o1A．

2郭氏数学

guoshishuxue 例21 如果△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆⊙I半径为r，那么△ABC的面积为().A．(abc)r B．1（abc）r

2C．1（abc）r D．1（abc）r

4七、阴影部分面积的求值技巧

求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．

1．直接法

当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．

例22 如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，以BC的中点E为圆心的与AD相切于点P，则图中阴影部分的面积为()

3A．2 B．3 C． D．

43432．和差法

当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．

例23 如图，AB和AC是⊙0的切线，B、C为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是()

A．32 B．3 C．23 D．23

3333．割补法

把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积． 例24 如图，正方形ABCD的顶点A是正方形EFGH的中心，EF=6 cm，则图中的阴影部分的面积为______．

4．等积变形法

把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．

例25 如图，C、D两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R，求阴影部分的面积．

5．平移法

把图形做适当的平移，然后再计算面积．

例26 如图，CD是半圆0的直径，半圆0的弦AB与半圆O' 相切，点O' 在CD上，且AB∥CD，AB＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．

郭氏数学 6

guoshishuxue 6．整体法

例27 如图，正方形的边长为a，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是()

A．1a21a2 B．2(a21a2)

244C．a21.a2 D．a21a2

227．折叠法

例28 如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点0，其直径CD，EF均和x轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是______．

8．聚零为整法 例29 如图所示，将半径为2 cm的⊙0分割成十个区域，其中弦AB、CD关于点0对称，EF、GH关于点0对称，连结PM，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）．

八、圆中辅助线大集合

圆是初中重点内容，是中考必考内容．关于圆的大部分题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：

1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形

例30 如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB=8 cm，AG＝1 cm，DE＝2 cm，则EF＝______cm．

2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角

例31 如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点0为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．

(1)求证：ABBMBCBN

(2)如果CM是⊙0的切线，N为OC的中点，当AC＝3时，求AB的值．

3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等郭氏数学

guoshishuxue 角关系

例32 如图，AB、AC分别是⊙0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙0于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．

(1)若PC＝PF，求证：AB⊥ED．

2(2)点D在劣弧的什么位置时，才能使AD＝DE·DF，为什么？

4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理

例33 如图，⊙02与半圆Ol内切于点C，与半圆的直径AB切于D，若AB=6，⊙02的半径为1，则∠ABC的度数为______．

C、数学思想方法与中考能力要求

数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用．

一、数形结合思想．

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．

例1 MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．

二、转化思想

转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．

郭氏数学

guoshishuxue 例2 如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．

在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．

三、分类思想

所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3 ⊙0的直径AB=2 cm，过点A的两条弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夹的圆内部分的面积．

在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全”的现象．

四、方程思想

通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的．

例4 如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O的切线，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．

郭氏数学

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五、函数思想

例5（2005·梅州市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．

(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．

例6(2006·烟台)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；

(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+CD＝11，求AB的长．

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第二篇：初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧

初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧

初三数学圆知识点总结

一、圆的相关概念

1、圆的定义

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、直线圆的与置位关系

1.线直与圆有唯公一共时,点做直叫与圆线切

2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心

3.弦切角于所等夹弧所对的的圆心角

4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心

5.垂于直径半直线必为圆的的切线

6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线

7.垂于直径半直线是圆的的切线

8.圆切线垂的直过切于点半径

3、圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

二、垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：

过圆心

垂直于弦

直径平分弦 知二推三

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

三、弦、弧等与圆有关的定义

1、弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB)

2、直径

经过圆心的弦叫做直径。(如途中的CD)

直径等于半径的2倍。

3、半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

4、弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)

四、圆的对称性

1、圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

六、圆周角定理及其推论

1、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

七、点和圆的位置关系

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

d＜r点P在圆内

d=r 点P在⊙O上;

d>r 点P在⊙O外。

八、过三点的圆

1、过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)

圆内接四边形对角互补。

九、反证法

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

十、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

直线l与⊙O相交 d

直线l与⊙O相切 d=r;

直线l与⊙O相离 d>r;

十一、切线的判定和性质

1、切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径。

十二、切线长定理

1、切线长

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

十三、圆和圆的位置关系

1、圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

两圆外离 d>R+r

两圆外切 d=R+r

两圆相交 R-r

两圆内切 d=R-r(R>r)

两圆内含 dr)

4、两圆相切、相交的重要性质

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。十四、三角形的内切圆

1、三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

十五、与正多边形有关的概念

1、正多边形的中心

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

十六、正多边形和圆

1、正多边形的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系

只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

十七、正多边形的对称性

1、正多边形的轴对称性

正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

2、正多边形的中心对称性

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3、正多边形的画法

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

十八、弧长和扇形面积

1、弧长公式

n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为

2、扇形面积公式

其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积

其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

初中数学圆解题技巧

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

第三篇：数列解题技巧归纳总结

知识框架

数列的分类数列的概念数列的通项公式函数角度理解数列的递推关系等差数列的定义anan1d(n2)等差数列的通项公式ana1(n1)d等差数列nn(n1)等差数列的求和公式S(aa)nadn1n122等差数列的性质anamapaq(mnpq)两个基an等比数列的定义q(n2)本数列an1n1等比数列的通项公式ana1qa1anqa1(1qn)等比数列数列(q1)等比数列的求和公式Sn1q1qna(q1)1等比数列的性质aaaa(mnpq)nmpq公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和 求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法

1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数）例

1、已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。

例

1、解 ∵an+1-an=2为常数 ∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列

∴an=1+2（n-1）即an=2n-1 例

2、已知{an}满足an11an，而a12，求an=？ 2

（2）递推式为an+1=an+f（n）

例

3、已知{an}中a111，an1an，求an.224n11111()

(2n1)(2n1)22n12n1解： 由已知可知an1an令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）

114n3ana1(1)

22n14n2★ 说明 只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。

(3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）

例

4、{an}中，a11，对于n＞1（n∈N）有an3an12，求an.解法一： 由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4 n-1n-1 n-1∴an+1-an=4·3 ∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3即 an=2·3-1

2n-2解法二： 上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·3，…，an-an-1=4·3，把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1

(4)递推式为an+1=p an+q n（p，q为常数）

bn1bnb221n1n(bnbn1)由上题的解法，得：bn32()n ∴ann3()2()33232n

(5)递推式为an2pan1qan

思路：设an2pan1qan,可以变形为：an2an1(an1an)，想

于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。

求an。

(6)递推式为Sn与an的关系式

关系；（2）试用n表示an。

∴Sn1Sn(anan1)(∴an1anan1n+1n+

1n

12n1n

∴an1)

2n22n111ann 2211上式两边同乘以2得2an+1=2an+2则{2an}是公差为2的等差数列。

n∴2an= 2+（n-1）·2=2n

2．数列求和问题的方法（1）、应用公式法

等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。

1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n

2【例8】 求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。

1解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=n(n1)个奇数，212∴最后一个奇数为：1+[n(n+1)-1]×2=n+n-1 2因此所求数列的前n项的和为

（2）、分解转化法

对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。

2222222【例9】求和S=1·（n-1）+ 2·（n-2）+3·（n-3）+…+n（n-n）

解 S=n（1+2+3+…+n）-（1+2+3+…+n）2333

3（3）、倒序相加法

适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。

例

10、求和：Sn3Cn6Cn3nCn 例

10、解 Sn0Cn3Cn6Cn3nCn

∴ Sn=3n·2 n-1 12n012n4

（4）、错位相减法

如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．

例

11、求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．

解 设Sn=1+3+5x+…+(2n-1)x． ①

(2)x=0时，Sn=1．

23n(3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得 xSn=x+3x+5x+…+(2n-1)x，②

23n-1n①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x+2x+…+2x-(2n-1)x．

2n-

1(5)裂项法：

把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：

例12、求和1111 153759(2n1)(2n3)

注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。

在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。

二、常用数学思想方法 1．函数思想

运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。

【例13】 等差数列{an}的首项a1＞0，前n项的和为Sn，若Sl=Sk（l≠k）问n为何值时Sn最大？

此函数以n为自变量的二次函数。∵a1＞0 Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函数的图像开口向下 ∵ f（l）=f（k）

2．方程思想

【例14】设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q。分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。

解 ∵依题意可知q≠1。

∵如果q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0与等比数列不符。∵q≠1

整理得 q（2q-q-1）=0 ∵q≠0 363

此题还可以作如下思考：

33336S6=S3+qS3=（1+q）S3。S9=S3+qS6=S3（1+q+q），33663∴由S3+S6=2S9可得2+q=2（1+q+q），2q+q=0

3．换元思想

【例15】 已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R+，且

求证：a，b，c顺次成等比数列。

xyz 证明 依题意令a=b=c=k ∴x=1ogak，y=logbk，z=logck

∴b=ac ∴a，b，c成等比数列（a，b，c均不为0）2 6

第四篇：解题技巧

记叙文阅读：

1.概括（？人做了？事，结果？）2.“这”“那”指代的内容（答案就在附近）3.用原文回答时，更改代词 4.赏析：角度、修辞

句式（长短句结合、对偶句）

用得生动形象的动词、形容词 5.写作方法：欲扬先抑

对比

正、侧面描写相结合 托物言志

由小见大

借景抒情、寓情于景

借物喻人

拟人（童话故事中）

夸张 6.比喻：找相似点

7.景色描写：赏析（动静结合、调动五官：听觉、视觉、嗅觉、味觉、触觉）

作用（渲染„„的气氛、烘托人物的心情、推动故事情节的发展、交代故事背景）

8.小说：情节（波澜起伏、扣人心弦）

9.人物刻画的方法：语言、动作、心理、外貌（肖像、衣着、神态）、侧面烘托

一句话新闻：找导语（新闻的第一句话或第一段）正方观点、反方观点：正：有“理”走天下

反：无“文”寸步难行 说不尽的桥：过河拆桥、过桥抽板

桥归桥，路归路；你走你的阳光道，我走我的独木桥

枯藤老树昏鸦，小桥流水人家

二十四桥明月夜，玉人何处教吹箫 古文加点字解释：用课内解释

放在语境中组词

换字法

古文划分节奏：主语、谓语分开

连词根句子分开

翻译成现代汉语，寻找断开点

说明文阅读：

1.说明中心：在总说部分找概括性的句子 分段概括

2.说明方法：举例子（真实可信、具体）

打比方（生动形象、通俗易懂、深入浅出）做比较（强调、突出）列数据（具体、准确）分类别（条理清晰）

引用

（古诗词：生动形象、有诗意、有韵味、文学性、趣味性）

（名人名言：更有说服性、权威性）摹状貌（生动形象）

列图表（直观、一目了然）

说明方法+表达效果+小组长+中心句

举两个例子：不同地方各举同一例，说明目的不一样，各为其主

同一地方举两例，怕带有偶任性，举两例会让读者相信 3.说明语言：限制性的词语（时间，范围„„）

区别两词词义“悦目”——“明显”（分别解释）

答题步骤：解释该词——具体分析——准确、科学

4.说明文结构：总分、总分总、分总（注意过渡句，有可能就是中心）5.说明顺序：时间顺序（事物的发展、制作过程、理论的发展）

空间顺序（工艺品、建筑物）

逻辑顺序（由现象到本质、由原因到结果

由主要到次要、从整体到局部 由一般到特殊）

第五篇：解题技巧

她，一双水灵灵的大眼睛镶嵌在远远的脸蛋上，闪着稚气的光，那薄薄的嘴唇一动一动像吃樱桃。头上还属这两条羊角辫，最有趣的是她的鼻子，竟是扁扁的，好像怎么也立不起来似的。他就是我的好伙伴——张艳，在她身上，我学到了不少东西呢！

那是一个星期天的下午，我们几个小书迷正在看书。这是，张艳问刘丽：“我给你的《创新作文大全》呢？”“在这里，只是封面掉了，没有找着。”刘丽边说边从包里拿出那本没有“脸”的书。张艳问刘丽：“你再找找好吗？”“我上哪找去，大不了赔钱给你！”刘丽不耐烦地说。张艳见她生气了，便不再作声了，可刘丽不依不挠地和张艳吵了起来，我见话越说越不投机，就劝他们别吵了。刘丽反而说我——狗咬耗子多管闲事。气得我七窍生烟，心想：走着瞧吧！过了几天，张艳对我说：“刘丽生病了，我想去看看她，给她补补课。”我不解的说：“你还帮助刘丽啊？上次她无事生非，你都忘了吗？这叫恶有恶报！”“报什么报，上次的事我也有不对的地方，使这宽容别人，自己也会快乐起来的！”她的一席话使我心里明朗了许多。也让我懂得了什么是宽容。

“爱护环境，人人有责。”是她的一句口头禅。他是这样说的也是这样做的。暑假的一天下午，我一个人去新华书店，路上，我边走边吃着西瓜，在炎热的夏天，吃西瓜真解暑啊。吃完后，我把西瓜皮往垃圾桶的方向扔去，不料西瓜皮从桶边弹到了地上，我只当没看见，继续往前走。“快把西瓜皮捡起来。”我吓了一大跳，可回头一看，张艳，不知她从哪儿冒出来了。我不以为然地说：“你管闲事管到太平洋去了？那边不是也有一块嘛！”说着随手指了远处的一块西瓜皮。“今天你不捡下次一定又会乱扔的，如果每个人都像你那样想，地球不就成垃圾库了吗？”我听她说的有道理，便把西瓜皮连同远处那块一起扔进了了垃圾桶。

虽然她现在转学了，我们没能在一起，但他那种以宽容为本、为大众着想的精神却值得我学习。我为我有这样一个品德高尚的朋友而自豪。

2.我的好伙伴是一名女同学，就先从她的外貌说起吧!

她留着一头乌黑的齐耳卷发，个子高而瘦，浓密的眉毛下镶着一双黑宝石般的眼睛，闪耀着快乐和智慧的光芒，高高的鼻梁下长着一张能说会道的樱桃小嘴，她很朴素，经常穿一件红色上衣，一条蓝色的牛仔裤和一双紫色的皮鞋，凑成了一个活泼可爱的小精灵。

她的学习成绩非常好，总是名列前茅。有一次，我们数学老师出了一道小学六年级的题，我看了一眼，没加思索地说不会做，还不耐烦的这儿抓抓，那儿挠挠,偶而一瞥她却是那样的仔细,正在专心致志地钻研这道难题,经过苦思冥想终于做出了这道题,然而当我请教她答案时,她却说“以后若要成大器，从现在起不管做什么事都要认认真真。”我被她的一言一行深深地打动了。从那以后，我的成绩就开始慢慢地上升。因此我最感动的还是她的行为。

她还非常活泼，尤其非常喜欢笑。俗话说“女子笑时不露齿”，可是她笑时两排洁白的牙齿立刻展现在我的面前了。有一次，我们在班上玩一个游戏，名叫——贴鼻子。游戏开始了，老师先在黑板上画了一个小姑娘，还给这个小姑娘涂上了眼睛、耳朵和嘴巴，可就是没有鼻子，大家都迷惑不解，当老师画完时才说今天我们来玩一个贴鼻子的游戏，每个人都得画一个鼻子，大家轮流来，当轮到她时她不慌不忙的走上讲台，拿起她画的鼻子就往上贴，当她贴好时，取下遮眼睛的布一看，鼻子贴在了嘴巴上，顿时她哈哈大笑，又露出了她那洁白无比的牙齿，惹得同学们也笑出了声,这笑声一直荡漾在温馨的教室里……

同时她又是一个乐于助人的人。记得有一次，我们的课程表改变了，可同学们却一无所知，其他所有同学都没有拿彩笔，只有她善于观察，看见课程表更换了，立刻把新课表填写在纸上，因而这次及时拿上了彩笔。上课时，同学们都来借她的彩笔，可她却什么也没有说就把彩笔借给了同学们，同学们都对她感激不尽，我却很疑惑，自言自语道“呀！她平时可不是这样的啊，怎么今天变了呢？”她正好听见了，就对我说“你对别人仁，别人就对你好，再说助人为乐是好事啊，这次在别人有困难时你帮助了她（他），下次在你有困难时，同学们也会挺身而出帮助你啊！”我听了之后慌然大悟。

她不仅是我的好伙伴，还是我的竞争对手哩！你们想知道她的真实姓名吗？嘿嘿，告诉你们吧，不过你们可要替我保密哦—她就是我形影不离的好伙伴

3.他，个子不算太高，却很自恋又乐于助人；脸上镶自一双水灵灵的大眼睛是那样有神；笑起来时，脸上的小酒窝使他显得十分可爱。这个少年便是我的好伙伴——小明。

说他是自恋狂还得从那一件事说起：那是在一堂自习课上，同学们都在学习，教室里顿时鸦雀无声。“啦，啦啦……”这歌声打破了教室的沉静。哦！原来小明在唱歌呀！我在点忍无可忍，便对他说：“喂，不要再唱了，小明！你以为你的歌声有多好听，还不如听鸟叫呢！”“唉，这么好听的声音，能不如鸟叫？想夸我你就直说，我一向是很谦虚的，要不我再献上一首歌曲……”小明的话刚说到一半，全班同学大笑起来，我便急忙说道：“别，别……你继续唱你的歌去，不过你先唱在心里，下课在向同学们表演。”他听我说完，向我做了个鬼脸，便又轻声地唱起了歌，我心想：这么难听的声音，还不如堵上耳朵，他却自以为好听，再怎么唱也比不过鸟叫。

不要看他这么自恋，其实他心地十分善良，喜欢乐于助人。记得那是一个乌云密布的下午，天正下着倾盆大雨，我因没有带雨伞正在着急地等待着，希望雨早点停。我心想：怎么办？我没有雨伞，妈妈正在上班无法拿伞给我，该怎么办？正当我沉思时，小明的话语打破了这个宁静。“怎么，没带雨伞吗？”他冲我笑了笑，脸上的酒窝显得十分可爱。“是呀，不知道该怎么办！”“嗯…我的雨伞先借你吧！我家就在这附近，记得明天还给我哦！”没等我回答，他便把雨伞硬塞到我的手里。“这，这怎么好意思，不过，谢谢你……”没等我说完，他早就消失在雨雾中不见了踪影。直到第二天，我才知道小明因淋湿而感冒了，没能来上学。这就是我的好伙伴——小明。