第一篇：模型解释与应用的叙述方式使枯燥乏味的数学
新世纪小学数学实验教材（北师大版）为我国新一轮基础教育教学改革提供了良好的课程环境：它大大加强了数学与现实生活的紧密联系，使数学成为儿童的经验、常识的提炼与升华；它采取“问题情境——数学模型——解释与应用”的叙述方式，使枯燥乏味的数学变得既有趣又有用；它以实现儿童的发展为宗旨，为他们提供大量的观察、猜想、思考、操作、验证、自主探索与合作交流的机会，去收获自信，感受自尊。我们高兴地看到，学生喜欢学这样的数学，教师也喜欢教它。
为了改变学生的学习方式，实验老师们正在努力探索新的教学策略。先进的教育理念要转化为教学实践，不能没有相应的教学策略为中介。一种教学策略的优劣，要看它是否考虑到学生的个别差异，是否确能使每个学生都得到充分的发展。教学研究的真谛，就在于寻找这样的教学策略。课堂也确实在发生着可喜的变化：一言堂变成了群言堂，多了动感、生气和活力，还时有孩子的真知灼见，语惊四座，让人欣喜不已。但是，问题依然尖锐地摆在我们的面前：学生的个别差异该怎样得到关注？教学的个别化该如何得以加强？弱势学生群体的独立性、自主性的培养和发展，需要什么样的教育环境？如何才能实现“不同的人学习不同的数学”的课程目标？这些深层的、棘手的课题，我们还没有多少破解的良策。于是在课堂观察与反思中，不断生发出以下的追问。
是“说数学”重要，还是“做数学”重要？
一位初中老师告诉我：他教初一时，有个一直为学不好数学而苦恼的女孩问他什么叫自然数。他没有说教，只写了一些数让这孩子从中把自然数找出来，看她全找对了，就肯定她——已经懂得自然数了。这女孩既高兴又惊异地问他：“老师，难道不用背自然数的定义吗？”老师又肯定地回答：“不用”。接着，这女孩要求老师给她补习一下分数的加减法，直到学会了才罢休。后来，这女孩判若二人，仿佛治好了心病似的，对数学的恐惧感消失了，不到一年，她的数学成绩从不及格直升到优生行列。我想，这位老师对学生最重要的价值引导，就是“会做数学”比“会说数学”更重要。
从数学课堂的大量观察中，发现一种普遍的现象：让学生说数学比做数学的机会多得多。这是否本末倒置？存在这种现象的主要原因，是不是我们的数学教学过于迷恋集体作业的方式了？呈现一个问题情境后，经常看到的是老师很快就请学生起来应答，这几个学生把问题解决了，似乎就相信全班学生都会了。这就是所谓集体作业的教学方式。老师们之所以喜欢这种教学方式，也许是它既能活跃课堂又便于控制教学节奏和进程。可是，苏霍姆林基斯曾经指出：这种方式容易造成“表面的积极性”和“一切顺利”的假象。在这样的方式下，那
些中等学生和思维迟钝的学生是否也有独立思考、独立解决问题的体验，我们仍不得而知，我们有理由为他们感到不安。为此，苏霍姆林斯基的重要建议是：“要把学生的独立的、个别的作业做为学习数学的基础。”①
有一节小学一年级数学课，难以忘怀。课题是：在学过二位数减一位数不退位减法的基础上，进一步学习二位数减一位数的退位减法。这位老师设计了一个人人都能做数学的情境，开始了师生共同探索的历程。课前，老师为每张课桌都准备了5张卡片，上面分别写着2、3、7、—和=等五个数字或运算符号。上课伊始，教师就请同桌的两位小朋友分工合作：一位用这五张卡片摆出所有可能的二位数减一位数的算式，另一位动笔记下所摆的算式，准备汇报。孩子们都动起来了，而且兴致勃勃，热烈地讨论着，紧张地摆着、写着。尔后，老师才根据学生的汇报和补充，在黑板是写下所有可能的六道算式：
27—3=
37—2=
73—2= 23—7=
32—7=
72—3= 老师由衷地赞赏学生的探索成果，接着又提出挑战：我们班是不是每个同学都能独立地心算出这几道算式的结果？请大家把这些算式都抄在自己的本子上，并写出心算的结果；能够算出所有算式的，还要想想该怎样用口头语言表述你的算法步骤；遇到障碍的要找出难点，力争自己克服，或者翻阅课本寻求帮助。显然，老师在激励孩子发挥自己的学习潜能，并让有差异的孩子去意识、去发现自己的学习目标，使每个学生都有事做。几分钟过去了，老师巡堂了解全班学生独立学习的情况后，回到讲台，拿起粉笔在黑板上醒目地写下以下两个算式：
32—7=35
32—7=25 “同一个算式，在我们同学中为什么会得出这样两个不同的结果？它们都对？都错？还是一个对一个错呢？”老师把全班学生的目光吸引到黑板上，以一连串的追问激化他们的认知冲突，“今天的挑战是二位数减一位数，如果遇到个位数字不够减时该怎么算。”老师挑明了探索的重点之后，要求小组展开讨论：辨别上述两种计算结果的正误，对的要说出算理，错的要找出错因。课堂顿时又活跃起来。
到了小组汇报时，孩子踊跃而自信。老师把学生关于32—7=25的多种算法，一一展示在黑板上；并针对32—7=35的错误，请用竖式算法计算这道题的同学说一说：竖式算法要注
意哪些问题。
老师对课题作了简要的小结后，就让学生用自己喜欢或擅长的算法进行当堂练习„„
这节课始终以“做数学”为主旋律贯通始终，老师少教学生反而多学，让人感到踏实、放心。老师不断创设有意义的问题情境或数学活动，激励学生自己去做数学，从做中学。在做数学中，人人都必须独立思考，都能够自主探究；在做数学中，人人都可能发现问题，产生合作交流的愿望。在这里，“做数学”真正成为师生互动的基础和纽带，成为课堂发展的原动力。从这里，我们还能体验到：改变“重教轻学”、“重说轻做”的倾向，采取“先学后教”、“先做后说”的教学策略是必要的、有效的。
数学课本，让不让学生自己先学？
有位在小学、初中数学成绩蛮好的孩子，到了高中学习困难，成绩掉了，来找我指点迷津。我发现他对数学课本十分陌生，果然数学课本他从来就没有读过。他说：“学数学就靠听课、笔记、做习题。” 他的问题所在就是没有学会独立学习，没有摆脱对老师的依赖。苏霍姆林斯基说过：学会学习首先要学会阅读，“一个阅读能力不好的学生，就是一个潜在的差生。如果在小学里没有教会他迅速地阅读，他日后学习中就会遇到无法克服的困难。”②
我们的小学没有解决好这个问题，初中也没有。在一堂初中的数学课上，老师讲授了30分钟新课后，留10分钟给学生做练习。老师看到一个学生还在看书，没做练习，就上前催他动笔。“刚才没听懂，想把书看懂了再做。”老师却撂下一句：“听都听不懂，还想看懂？那简直是奇迹。”可见，在传统观念的禁锢下，老师还有意无意地在强化着学生对教师的依赖。课本是学生认识世界的窗口和工具。可是，数学老师总是有意无意地挡住这个窗口，甚至整节课也没让学生翻过书，没有意识到必须让学生主动去接触、使用这个工具。学会学习又从何谈起？
现代心理学研究表明：任何学习都是学习者自主建构的过程。在这个过程中，离不开学习主体与文本之间的交互作用。有意义的接受学习是自主建构，有意义的发现学习也是自主建构。前者的认识机制是同化，它引起认知结构的量变；后者的认识机制是顺应，它引起认知结构的质变。在学习过程中，既没有绝对的接受学习，也没有绝对的发现学习，总是两者相互交替、有机结合的。在这个过程中，建构主义强调学习者主动接触外界的信息（包括课本），并用自己已有的知识与经验去解释这些信息，从而赋予认识对象以心理意义。因此，课本必须成为学生自己赖以学会学习的读本；一个好的数学老师不是在教数学，而是激励学生
自己去学数学。
许多老师都有这样的疑问：课本让学生先读了，还有什么可探究的？其实，建构与探究是学习过程中相辅相成的、内外不同的两个向度，对外部世界是探究，在精神世界则是建构。探究性学习并不排斥对文本有意义的接受学习，相反，它很需要应用这种学习方式来扩充认知的背景，提高探究的起点。否则，像“四边形”名称之类的知识也要学生去猜想、发现，不仅浪费时间，而且毫无意义。在读书的过程中，要找出疑问进行质疑，对例题进行变式，还要解题、问题解决，寻找新的算法，思考知识与知识之间、书本知识与现实生活之间的联系等等，无一不是探究性、创造性的学习，也无一不是源于课本又高于课本的建构活动。
让学生先学课本，旨在把独立学习引进教学过程，同时也意味着教师必须把“教”建立在学生“学”的基础之上，不能再充当面面俱到、照本宣科的讲授者的角色。在学生先学之后，教师能不能有针对性地创设问题情景或数学活动，引导学生在质疑、操作、实验、探索中消除“假知”，获得真知，丰富体验，求得发展？关键还是教师自身的教育底蕴与专业素养。例如，小学数学（人教版第六册）“长方形与正方形的面积的计算”一课，学生先学之后，虽然知道“长方形的面积 = 长×宽”，但他们还难以理解：长方形的面积与它的长、宽为什么有这样的关系？学生由此产生问题意识和解决这个问题的心向，渴望老师指导。有位老师就处理得很好，他让每个学生都参与到如下的活动中去：由同桌两位同学合作，从课前准备的12个小正方形（每个都表示1平方厘米面积单位）中，任意取出几个，把它们拼成一个长方形后，记下它的面积、长、宽等一组数据。要求每桌至少拼出5个大小或形状不同的长方形，记下相应的每一组数据；然后集中观察这几组数据，看能否从中发现什么规律；向小组或全班汇报、交流所得到的结论。经历这样的数学“再创造”和交流活动，不但抽象的长方形的面积公式，已经具体地根植在儿童的经验之中，无须死记硬背，而且儿童对发现真理的归纳方法也多了几分体验。
又如，小学五年级“长方体的初步认识”一课，不能满足于学生对课本知识的直观、肤浅的把握，有必要引导学生探究一个长方体的面、棱、顶点的个数之间的内在联系，思考从长方体面的个数与形状特征出发，如何算出长方体的棱（或顶点）的个数。寻找这个算法，既有挑战，又有意义，更是学生经过努力或小组合作能够解决的。只有在探索事物内部规律性的活动中，学生的抽象思维能力才能得到培养和发展；只有抽象思维能力发展了，学生才能探究更复杂的规律性，解决更复杂的实际问题。
数学的读写能力作为数学的一种基本能力，已经成为现代社会要求每个公民必须具备的基本素养；没有这种素养，便不可能自由地分享公共媒体与网络世界的丰富资源，也不可能进行有效的交流。让每个学生先对课本进行独立阅读、思考、作业，进而对课本进行质疑、重组、超越，必须成为数学教学不可或缺的有机组成部分。实践证明：这么做了，不但能满足学生想成为探索者、研究者、发现者的强烈需要，而且正如一个学生说的“自从看懂了数学书，才发现自己并不差，所以又重新鼓起了学习的希望”那样，学生发现自己的学习潜能，找回自信与自尊，开启学习的内驱力，也有了更多机会和可能。
不同的学生怎样才能学习不同的数学？
学生的差异是显著的。一位农村初中教师曾做过一次尝试：为了检验一个学期培养学生自主学习的实验成果，进一步了解学生的学习潜力，他布置初一寒假作业，就是要求学生在家超前自学初中代数第二册的第一章——二元一次方程组（包括完成课本中的习题）。短短3周假期结束了，结果令他喜出望外：所教两个班有百余人，90%左右的学生都完成了；有50%左右的学生超额完成，自学了两章；有10%左右的学生已经学完了整本书；也有10%左右的学生自学还很困难，没有完成任务。这个结果表明：学生中蕴藏着极大的学习潜能，也存在着巨大的个体差异。可想而知，学生对课堂教学的需要与期待也不会一样，甚至很不相同。
在一所农村中学初二的数学课堂上，我遇到十几位落伍得无可救药的，因而教师干脆对他们放弃不管的学生。他们呆坐在教室的最后两排，显得一脸无奈和冷漠。我问其中一位学生：“听得懂吗？”“书能看懂吗？”他都摇头。我的心情很沉重，因为对于他们的困境，我无能为力，爱莫能助。教育是成全每一个完整的人生的，可他们却只能在课堂上虚度时光，浪费生命。这一次经历，使我对数学课堂更关注学生中弱势群体的学习状态。我注意到，即使在小学一年级的数学课堂里，学生参与学习的程度差异也是很明显的：一部分学生争先恐后地应答，表现得很出众，很活跃，但更多的孩子或缺乏勇气，或不善言辞，抑或没有机会，而沦为听众或观众。一次，我悄悄地鼓励就坐在身旁的一个小女孩举手争取发言，没想到邻座的男孩抢先说道：“她说她一举手，心脏就跳得厉害。”后来，这女孩终于举起了手，可惜没被老师瞧到。我突然悟到，这女孩此刻最需要的也许不是知识，而是一次战胜胆怯、超越自己的机会。
让不同的学生学习不同的数学，首先，要为每一个学生创造平等的参与学习的机会。我们之所以认为“先学后教”“先做后说”很重要，也是因为这些教学策略的实施，更可能为
所有学生提供平等和有效的学习机会。其次，要创造人人都有自尊，都有安全感的课堂教学氛围。重要的是教师必须学会宽容和善待“差生”。为师者要懂得，就在这些数学的“差生”中，很难保证不会产生出未来的牛顿、爱因斯坦、普希金、吴晗、钱钟书„„在有安全感的课堂里，所有的学生才能敞开心扉，发挥潜能，显露个性和才华。一位年轻的实验教师来信，高兴地告诉我：他任教的班，数学成绩仍然遥遥领先；在期末问卷调查中，有75%的学生认为数学学习是快乐的，其中还有一个数学才考30多分的学生。我也特别为这位学生感到高兴和庆幸，因为保护了一颗健康、好学、进取的心灵比什么都重要。
我们深感忧虑的，是基础教育学业失败现象的严峻性。美国教育家布鲁姆早就尖锐地揭露过，造成学业失败现象的深层原因，就在于以成绩的正态曲线为工具，对学生反复进行分等的教学制度本身。在这种分等的制度下，总有大约三分之一的学生因年复一年屡遭学业的挫折、失败，而厌学、逃学或辍学；他们不但心灵被扭曲，还会被逼到社会化的边缘，导致严重的社会问题。③ 这决不是危言耸听。学校的考试如果赋有改善教学过程，实现教学目标以外的其他价值，也会成为教育的灾难。某地为了改变教育的落后面貌，曾出台“末位下岗”的奇招：期末统考凡合格率不达标的教师一律被亮黄牌，被亮过两次黄牌的教师就得下岗。结果弄得人心惶惶，舞弊成风，适得其反。其实，因单纯追求合格率而衍生出了弄虚作假现象，在前苏联早有前车之鉴，它曾是前苏联1984年规模巨大的教育改革，要克服而没有克服的问题之一。④ 要实现“不同的人学习不同的数学”这一“数学为大众”的目标，必须同步进行考试改革，取消国家选拔和水平考试以外的一切统考及其评比，把考试权还给学校；要加强平时教学过程中，对不同学生的学习情感、态度、价值观，与学习方式、策略、水平的个性化的考察与评价；对知识、技能、能力的考试，可以设目标水平不同的几种试卷，供学生自主选择，变考试成为学生的自我挑战、主动竞取的机会。
“教学和教育的技巧和艺术就在于，要使每一个儿童的力量和可能性发挥出来，使他享受到脑力劳动中的成功的乐趣。这就是说，在学习中，无论就脑力劳动的内容（作业的性质），还是就所需的时间来说，都应当采取个别对待的态度。”⑤ 苏霍姆林斯基在数学课堂上观察到，有如下五种不同的学生：第一种是无需任何帮助就能很容易地解答任何应用题，教师刚刚读完条件就举手要求回答的学生。教师还要挑选一些“超纲”的习题，给这些学生的智慧以力所能及的、但并不轻松的、要求紧张地动脑的工作；有时候，需要给学生布置这样的习题，使他不能独立地解答出来，但是教师给予的帮助是以稍加指点和提示为限。第二种能很好地完成作业，他们是靠付出劳动和用功学习而取胜的学生。第三种能在没有帮助的情况下完成中等难度的习题，但是对复杂的习题有时解不出来。第四种学生对应用题的理解很慢，解答也很慢。他们在一节课上所能完成的作业，要比第二种、第三种学生所做的少一半到三分之二，但是教师无论如何不要催促他们。第五种学生完全没有能力应付中等难度的习题。教师要为他们专门另选一些题目，始终只能指望他们在一节课上有所进步，哪怕一点点进步也好。“如果教师善于把学生引进一种力所能及的、向他们预示着并且使他们得到成功的脑力劳动中去，就连那些调皮捣蛋的学生也能多么勤奋地、专心致志地学习啊！这些学生在紧张的劳动中显示他们那积极活动的精神，他们变得跟以前完全两样了，因为他们的全部注意力都集中在如何更好地完成作业上。”⑥ 凡是给人以成功的乐趣的脑力劳动，总会收到发展学生能力的结果的；每一个学生都在尽量靠自己的努力去达到目的，不同的学生才能真正学到不同的数学。
看我们实验数学的课堂教学，正在认真实践“算法多样化”的教学思想，把算法最优化与思维的个性化结合起来。但是，对不同的学生所需不同的学习时间，还很缺乏个别对待的共识和态度。教师预设的教案仍像幽灵一样操纵着教学同步划一的进程，尤其是肩负着一个地区、一所学校荣辱的观摩课，更容易异化为教案剧的表演；在平时课堂练习的时候，少见教师为不同的学生提供不同的习题，更多的是教师对每一道习题一般化的评点、反馈，把学生独立练习时间搞得支离破碎，最缺少的是教师沉下去对需要帮助的学生进行针对性的个别指导。
有位实验教师很有创意地把学习者分为四种角色，即追赶者、跟随者、奔跑者和飞翔者，请学生自己给自己定位。开始全班都是追赶者或跟随者，一年后就诞生20位的奔跑者和飞翔者了。在民主、开放的教育环境中，学生所焕发的潜能和展现的差异，令人吃惊。无论潜能还是差异，我们深切地体会到，它们都是急待开发利用的教育资源；越是班模大、人数多的班级，越需要小组合作学习。请飞翔者或奔跑者担任小组的领头雁与援助者；让每一个学生都有归属感，不再无助；小组学习既拓展了课堂教学的时空，又加强了教学的个别化；因小组的精诚合作，课堂才不会再有被冷落或遗忘的角落。“在这种情况下，教师和学生的相互关心与相互信任相结合。学生就不会把教师单纯地看成严厉的监督者，也不会把评分当成一种棍棒。他可以坦率地对教师说：某某地方我没有做好，某某地方我不会做。他的良心是纯洁的，他不可能去抄袭别人的作业或者考试时搞夹带。他想树立起自己的尊严。”⑦
待到不同的学生真正能够学习不同的数学的时候，也许才能说：数学学习的主动权才真正属于学生。到那时候，也许不会再有令人揪心的学业失败现象，把教师弄得心情焦躁、精疲力竭；而是更多的成就感，更深切地体验到自己在跟学生一起进步，一起发展。
注：
①苏霍姆林斯基：《给教师的建议》 教育科学出版社 1980年版 第300页 ②苏霍姆林斯基：《给教师的建议》 教育科学出版社 1980年版 第304页
③布鲁姆：《掌握学习论文集》 福建教育出版社 1986年版 第66—67页 ④吴文侃主编：《当代国外教学论流派》 福建教育出版社 1990年版 第118—119页
⑤苏霍姆林斯基：《给教师的建议》 教育科学出版社 1980年版 第2页 ⑥苏霍姆林斯基：《给教师的建议》 教育科学出版社 1980年版 第5页 ⑦苏霍姆林斯基：《给教师的建议》 教育科学出版社 1980年版 第2—3页
第二篇：解释与模型 教学设计（精选）
第五单元 解释与模型
1．解 释
教学目标：
1、过程与方法：
用多种方法，对事物进行观察，并对观察到的事实进行思考、分析。
2、知识与技能：
知道什么是解释，理解事实与解释之间的关系，知道解释与假设一样，也是科学探究中的一个重要环节，并且，一个正确的解释，需要人们经过长期的验证。
3、情感、态度与价值观：
激发学生运用解释的方法进行科学研究的兴趣。
教学重点：
知道什么是解释，理解解释是科学探究中的一个重要环节，并能对某些现象进行解释。教师准备：滤纸、水、盛水的塑料瓶、水性笔、教科书。
教学过程：
第一课时
一、直接进行新课：
1．指导学生知道解释是怎么回事。
（1）讲述：观察书上56页的图，你看到了什么？又想到了什么？（板书：看
想）（2）学生回答。（教师不作判断）（3）提问：雪地上留下了很多脚印，看过之后，你是怎样想的？（4）学生回答。（教师同样不作判断）
（5）提问：这是几位同学的身高曲线图，你能从中发现什么有什么想法？
（6）讲述：看到这三幅图之后，我想，每个同学都会有自己的想法。以前科学课我们曾经学习过，比如用眼睛看、用耳朵听、用鼻子闻等，通过这些方法得到的信息呢我们可以称之为观察到的现象，也可以叫做观察到的事实，通过观察我们可以得到许多事实，我们的大脑就会思考这些事实，并会在这些事实之间建立起一定的联系，刚才同学们的回答和你们还没来得及说的想法，其实就是对这些事实所做出的„„解释（板书：解释）
2．指导学生认识事实与解释之间的关系。
（1）提问：解释与事实之间是怎样的关系呢？（出示腐烂苹果）
（2）谈话：这是一个腐烂的苹果，这儿有五句话，在这些语言中哪些是事实？哪些是解释？
（3）学生汇报。（教师板书： 看
想
事实
解释）（4）讲述：苹果变坏只是因为温度太高吗？（学生反应）
由此来看，对某一现象的解释，不一定就是事实，它可能正确，也可能不正确。为了做出正确合理的解释，你认为还应该怎样做？（5）学生汇报。
（6）教师小结：我们应该获得充分的证据，利用已有的知识，进行合理的思考。
3．指导学生做“毛细现象”的实验。
（1）谈话：（教师介绍实验用具）滤纸、水性笔，用水性笔在滤纸上画一朵小花，然后用笔的另一端蘸点水，滴在花的中心，你有什么发现？（2）学生实验。
（3）提问：对于刚才你们观察到的现象，你怎样来解释呢？（4）学生回答。
（5）教师小结：看来，我们要对刚才这些现象做出正确、合理的解释，还需要这方面的资料。老师建议同学们回家后查找一下关于纸遇到水会怎样的这方面的资料，有了资料、有了证据以后，你才能做出合理的解释，得到一个正确的结论。
教学反思 ：
第二课时
1．指导学生认识一个正确的解释是要经过不断的修改完善的。
（1）谈话：许多科学结论就是令人信服的解释，这些结论的得出经历了怎样的过程呢？一个正常人的眼睛能看到很多东西，人眼睛是怎样看到东西的呢？你是怎样解释的？ “通过反射光看到东西”这一结论现在已经被我们接受了，那么在这个结论得出之前，人们对“人眼是怎样看到东西”是怎样进行解释的呢？
（教师指导学生理解书上58页的各种解释。）
（2）提问：看了这个资料，你认为一个正确结论的得出，经历了怎样的过程？（3）学生回答。
（4）提问：你知道日心说、板块说的结论是怎样得出来的吗？（5）学生汇报自己查找的资料。
（6）讲述：随着社会的发展，尤其是科学技术的进步，对某些现象的结论，是科学家们经过长期的观察、调查、实验、分析、思考，不断修改完善的结果。
2．指导学生了解为什么要把自己的解释分布于众。
（1）谈话：怎么知道我们对某一现象的解释是合理的呢？（2）学生汇报。
（3）提问：怎样让别人接受你的解释呢？为什么要把自己的解释公布于众呢？（4）学生讨论、汇报。
（5）讲述：看来，我们要让别人接受你的解释，你需要做很多事情。但是，我们对某些现象进行解释的时候，应该注意什么呢？
3．组织学生活动。
（1）教师提出要求：做一架小飞机，详细写下制作的步骤，然后与别人交换记录，再按照他人的步骤进行制作，你会有什么感受？（2）学生按照教师的布置进行活动。（3）成果展示。（4）学生谈感受。
（5）教师小结：看来，让别人接受你的解释，你还需要表达清楚，而如何进行表达，也有一定的技巧，老师希望同学们在今后的科学学习中，能用清楚的表达，告诉别人你更多的科学发现。教学反思：
2．用模型解释
教学目标：
过程与方法
1、能够在实际操作中，利用模型进行解释；
2、学生会通过各种途径了解模型解释的方法、作用。知识与技能
1、知道利用模型解释也是科学探究的一种形式；
2、了解简单模型可以向别人介绍自己的解释。情感、态度与价值观
1、体会做成模型后的乐趣；
2、意识到利用模型进行解释对科学研究的重要作用。
教学过程：
第一课时
一、黑匣子探秘
1．谈话：同学们，上节课我们一起学习了解释，这节课首先就请同学们来解释这只黑匣子。这是一个密封的盒子，盒子里有一个滚珠和一些用厚纸板做的障碍物。厚纸板粘在盒子的某个部位，不许打开盒子，想办法知道障碍物的位置和形状，并做出解释。现在考虑一下怎样才能知道障碍物的位置和形状以及怎样做出解释。
2．学生汇报。（板书学生提供的方法）
3．谈话：同学们已经知道怎样找障碍物的方法，而我们今天就采用画图的方法进行“解释”。
4．提供给学生同样的，包括里面障碍物的位置和形状，正面四角标有A、B、C、D的黑匣子。并提供标有A、B、C、D的图纸。
5．学生分组搜集有关盒子的事实。
6．组与组之间进行交流。7．全班交流。（学生将各组研究结果粘贴在黑板上）
二、用模型解释
1．谈话：同学们是不是非常想知道盒子内的障碍物究竟是什么样的？可惜的是我们并不能够打开这个盒子，因为在我们的生活中，还有很多这样类似与“黑匣子”的事物，我们人类并不能直接观察它而获得结果，只能依靠这样那样的方法去推测。你们能举出这样的例子吗？科学家又是如何解释的？
2．教师出示DNA模型（图）、三球仪（模型）、自然界水的循环（课件）。让学生说说对这些模型的认识以及作用，还可以说一说根据这些模型懂得了什么。3．小结：同学们，这节课我们用画图的方法解释了“黑匣子”，又知道用图可以解释DNA的样子，用模型可以解释太阳、地球、月亮之间的关系，用动画可以演示自然界水的循环，这些都是科学研究中很重要的方法——“用模型解释”（板书）。
4．思考并交流：用模型解释事物或现象要经历怎样的过程？
5．谈话：同学们现在是不是还想知道盒子内的障碍物究竟是什么样的？能否根据本课所学，采用画图以外的方法解释盒内的障碍物？ 我们下节课将继续进行“黑匣子探秘”。教学反思：
第二课时
一、“黑匣子探秘”
1．提问：想到采用画图以外的方法解释盒内的障碍物的方法了吗？
2．谈话：这节课我们用一个盒子和厚纸板，通过收集到的有关“黑匣子”的信息，再造一个“黑匣子”，用这样的模型去解释盒内的障碍物。（这一环节最好引导学生自行讨论得出）
3．学生依据图画制作模型。
4．学生依据自制模型对“黑匣子”做出解释。
5．依据各组的研究结果，推测盒内的障碍物最有可能是什么样的和在什么位置。
二、作业：做一个肘关节模型，并解释肘部。
教学反思：
第三篇：数学与应用数学
数学与应用数学
学科：理学
门类：数学类
专业名称：数学与应用数学
业务培养目标：本专业培养掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。
业务培养要求：本专业学生主要学习数学和应用数学的基础理论、基本方法，受到数学模型、计算机和数学软件方面的基本训练，具有较好的科学素养，初步具备科学研究、教学、解决实际问题及开发软件等方面的基本能力。
毕业生应获得以下几方面的知识和能力：
1．具有扎实的数学基础，受到比较严格的科学思维训练，初步掌握数学科学的思想方法；
2．具有应用数学知识去解决实际问题，特别是建立数学模型的初步能力，了解某应用领域的基本知识；
3．能熟练使用计算机(包括常用语言、工具及一些数学软件)，具有编写简单应用程序的能力；
4．了解国家科学技术等有关政策和法规；
5．了解数学科学的某些新发展和应用前景；
6．有较强的语言表达能力，掌握资料查询、文献检索及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法，只有一定的科学研究和教学能力。
主干学科：数学
主要课程：分析学、代数学、儿何学、概率论、物理学、数学模型、数学实验、计算机基础、数值法、数学史等，以及根据应用方向选择的基本课程。
主要实践性教学环节：包括计算机实习、生产实习、科研训练或毕业论文等，一般安排10-20周。
修业年限：四年
授予学位：理学学士
开设院校
全部高校>> 北京大学 云南大学 武汉大学 北京航空航天大学 北京师范大学 内蒙古大学 长安大学 北京林业大学 北京邮电大学 河北科技大学 大连海事大学 西北大学 湖南大学 辽宁大学 河北经贸大学 哈尔滨工业大学 河北工业大学 中国人民大学 西南交通大学 西安电子科技大学
第四篇：招标投标法中招标方式解释与总结
《招标投标法》中规定了几种招标方式？各有何特点？
法定招标方式
1、招标方式：公开招标，邀请招标
2、公开招标：招标人在指定的报刊、电子网络或其他媒体上发布招标公告，吸引众多的企业单位参加投标竞争，招标人从中择优选择中标单位。
3、邀请招标：也称选择性招标，由招标人根据供应商、承包资信和业绩，选择一定数目的法人或其他组织（一般不能少于3家），向其发出投标邀请书，邀请他们参加投标竞争。公开招标和邀请招标的区别
1、发布信息的方式不同。公开招标采用公告的形式发布，邀请招标采用投标邀请书的形式发布。
2、选择的范围不同。公开招标针对一切潜在的对招标项目感兴趣的法人或其他组织，招标人事先不知道投标人的数量；邀请招标针对已经了解的法人或其他组织，而且事先已经知道投标人的数量。
3、竞争的范围不同。公开招标竞争的范围较广，容易获得最佳招标效果；邀请招标中投标人的数目有限，竞争的范围有限，也有可能将某些在技术上或报价上更有竞争力的供应商或承包商遗漏。
4、公开的程度不同。公开招标中，所有的活动都必须严格按照预先指定并为大家所的民程序标准公开进行，大大减少了作弊的可能；邀请招标的公开程度逊色一些，产生不法行为的机会也就多一些。
5、时间和费用不同。邀请招标不发公告，招标文件只送几家，使整个招投标的时间大大缩短，招标费用也相应减少。公开招标的程序比较，从发布公告，投标人作出反应，评标，到签订合同，有许多时间上的要求，要准备许多文件，因而耗时较长，费用也比较高。投标基本原则
1、没有中标秘笈：以诚相待，以质取胜，突出亮点，扬长避短；
2、正确看待落选：失败乃成功之母，借机提高企业素质和知名度；
3、提高设计水平：弱电工程统畴招标，应有综合设计水平；
4、合理的性价比：并非总是价低者得；
5、时间观念精确：事事留有充分余地；
6、吃透招标文件：对每项内容的实质性要求和条件作出响应；
7、了解业主情况：指导思想、经济状况、投资意向、设计思路等；
8、熟悉标准规范：背景音乐、消防报警、综合布线„„
9、选好发言人：参加释标、询标和答辩；
10、提高文件质量：字句严谨、精炼，图文并茂，标题突出，装帧美观。投标的主要环节
1、收集信息
2、筛选项目
3、投标决策
4、成立项目小组，并适当分工
5、透彻理解招标书
6、资格预审
7、确定技术方案
8、确定报价方案
9、编制投标文件
10、按时投递投标文件
11、述标
12、开标 投标书的主要内容
1、投标书（投标公司致业主）
授权公司内某人作项目经理 投标总造价（分项再合计）注明本标有效期
本次投标函电、地址、邮编、电话、联系人 授权代表签名，加盖公司公章
2、授权书
公司法人代表（姓名，身份证号）授权本次投标负责人（姓名，身份证号）全权代表公司参加本次工程（注明工程项目及名称）招标的投标工作。
授权人、被授权人签名，签发日期，加盖公章。
3、资格证明文件
公司情况总汇 ： ①公司成立日期，资质证号，业务范围。②工程技术人员一览表 ③公司组织架构 ④上级管理部门须发的资格文件、证件（复印件）、证书、名称、颁发期、有效期、颁发单位 ⑤企业法人营业执照（复印件）⑥近年来实有资金，年营业总值和总净利，会计报表复印件，资产负债表，损益表，商品流通费用表
4、工程业绩表
5、投标价格汇总表
系统分项表 设备费、材料费、安装调试费，设备名细表
6、设计方案说明（分项目说明：灯光、音响、视频、集控，等）
7、技术设计图纸
系统图、平面布局图、布线图（也可签合同后再出）
8、主要设备的技术文件
9、工程项目组织管理架构
管理架构表，工程负责人曾参加过的工程项目陈述，施工方案，工程进度计划（表格）
10、售后服务承诺书
11、合理化建议：
除标书要求外，提出自己的合理化建议。
12、优惠政策
技术方案设计应遵循的原则
1、先进性：先进的设备、服务和管理。
2、便利性：服务用户，良好的操控性，方便使用。
3、经济合理性：尽量减少投资，取得最高的性能价格比。
4、标准化：标准化为维护和修理整个系统提供便利。
5、开放性：适应未来发展方向，通信、硬件、软件都具备开放性。
6、可扩展性：考虑将来扩大或变化，布线规划应留有20％储备。投标书制作要点
1、容易阅读：用明显的标志，区分每个部分； 装订精致：避免差错 ； 语言严密：特别是关键细节处 ； 真实有效：表格、证件等一定要真实有效 展示优势：突出展示优于竞争对手的特点；
展示实力：自身业绩、其他中标项目、有关良好评价、产品样本； 签字盖章：否则废标； 报价完整：不能缺项；
数量符合：正本与付本数量符合要求； 制造厂授权正规：要原件，签字、盖章； 修改的地方要签字； 打印，装订成册，密封；
《开标一览表》与《投标保函》单独封存； 提前送交投标文件； 评标、决标参考点
投标总价：未必最低，但求合理 价格分项和单价； 计划施工总工期； 在建及竣工工程考察情况； 设计的合理性、适用性和先进性； 施工组织设计方案和技术措施。招标投标串通行为识别 投标者之间串通
投标者约定，一致抬高或者压低投标报价； 投标者约定，在投标中轮流以高价或者以低价中标； 投标者先内部竞价，内定中标人，然后再参加投标； 投标者之间其它串通投标行为。投标者与招标者串通
泄露标底：即招标人有意向某一特定投标人透露其标底行为；
更改标书：招标者在公开开标前，开启标书，并将投标情况告知其他投标者，或者协助投标者撤换标书，更改报价；
标外补偿：投标者与招标者商定，在招标投标时压低或者抬高标价，中标后再给投标者或者招标者额外补偿；
内定中标：预先内定中标者，在确定中标者时以此决定取舍； 故意引导：作澄清事实时，做引导性提问，促成该投标人中标了； 差别对待：审查、评选标书时，对标书或投标者实施差别对待； 故意帮助：允许不符合投标资格的投标者参加投标，并让其中标； 投标报价注意事项 计算出准确的价格； 仔细阅读标书，确认工程量； 确认评标原则和方法； 应把握好确定投标报价的时机；
有经验的投标人都会在递交投标文件的前夕，根据竞争对手和投标现场的情况，最终确定投标报价或折扣率，现场填写有关方面的文件。慎重确定投标保证金的金额； 分析研究竞争对手的报价，知己知彼。
这是一项难度较大但很有实际意义的工作，如果能把对手的报价分析透，既可使自家的报价优于对手，又可避免为了中标而过多压低报价、从而在中标后获得更好的经济效益。亨是在有些情况吃不准时，最终报价以偏低不偏高为原则。
按法律规定，投标价不能低于成本价。如有特殊情况，在投标文件中应加以说明。投标报价应一步到位。
投标人要考虑到投标报价是一次性的，开标后不能更改。有些企业曾经受过一些不规范招标的影响，认为开标后还能压价，因而报价时戴了高帽子，结果吃了抬高报价的亏，与中标无缘。
在同一工程项目投多个标段时，各标段的最终报价不要在一个标准水平上，要有一定的阶梯度。
也就是说以正常预算为基本点而增降的最终报价，各标段增降幅度要有一定的阶梯差，这样可保证其中一个标段的报价接近最优报价，不会出现整体“飞标”的现象。这就是前面所讲尽可能多投标段的原因。评标办法
最低报价中标法——价低者得
优点 ：①降低造价，节约投资；②优胜劣汰；③减少腐败行为。
缺点 ： ①不计成本，盲目压价，中标后追加造价； ②货不对板，偷工减料。
报价技巧：①最大限度降低报价争取中标；②投标时采用不平衡报价，创造索赔机会并争取最大限度的索赔金额，切忌盲目压价自酿苦果。A标法 概念：业主自主确定标底价格并以此作为评标标底。在标底＋n％和标底―m％间为有效报价，并对有效区间＋n％～－m％的不同区段分别赋分，获得最高分者中标。缺点：保密性不高，或估价不准造成标底过高或过低。
报价技巧：掌握预算经验、方法，揣摩业主标底编制人员的心理，站在业主的角度去编制预算和报价，尽可能地让投标预算和业主标底相吻合，使最终报价在最佳赋分范围，争取中标。B标法
概念：招标人根据批准的预算情况，取合格投标者的报价的平均值为评标标底，规定在标底＋n％～－m％的报价为有效报价，评审时对有效区间＋n％～－m％的不同区段分别赋分，获得最高分者中标。
优点：标底和中标单位的报价反应了市场供求关系。
缺点：较少体现业主的愿望，容易让投标人钻空子，导致标底失真，不利于竞争，通常适用于施工工艺较简单的工程。
报价技巧：掌握市场行情，让报价尽可能接近当期平均生产力水平。竞争对手彼此已较为熟悉，研究竞争对手以往的报价和恰当地预测竞争对手在本项目可能采用的报价。评标办法-4
“A＋B”值评标法
概念：招标人编制一个标底A，有效平均报价B＝(B1＋B2＋„Bn）/n，复合标底 D＝A×K1＋B×K2（K1-标底A占复合标底权重系数，一般为0.4～0.7；K2-报价B占复合标底大权重系数，一般为0.6～0.3；）。
中标价：在复合标底D的＋n％～－m％范围内的报价为第二轮有效报价可进入评标阶段。评标时对＋n％～－m％区间的不同区段赋分。如：以复合标底的X％为满分60分，报价每高于此值1％扣2分，每低于此值1％扣1分，得分高报价为最优报价。
优点：兼顾业主的期望和市场实际生产力水平，便于理解和操作；不怕万一业主泄露标底，一定程度上杜绝了暗箱操作。
缺点：保护了当前平均先进的生产水平，采用新技术、新方法大幅度降低成本、报价，反而有可能被淘汰，不利于技术进步。
报价技巧：基本原则：保证报价C在业主标底A的＋n％和－m％间，保证C最接近最优报价Cw＝D×X％。经验公式：Cw＝[A×K1＋（0.91±2％）×A×K2] ×X％。
第五篇：数学思维方式与创新
集合的划分
（一）已完成 1 数学的整数集合用什么字母表示？ A、N B、M C、Z D、W 我的答案：C 2 时间长河中的所有日记组成的集合与数学整数集合中的数字是什么对应关系？ A、交叉对应 B、一一对应 C、二一对应 D、一二对应 我的答案：B 3 分析数学中的微积分是谁创立的？ A、柏拉图 B、康托 C、笛卡尔
D、牛顿-莱布尼茨 我的答案：D 4 黎曼几何属于费欧几里德几何，并且认为过直线外一点有多少条直线与已知直线平行？ A、没有直线 B、一条 C、至少2条 D、无数条 我的答案：A 5 最先将微积分发表出来的人是 A、牛顿 B、费马 C、笛卡尔 D、莱布尼茨 我的答案：D 6 最先得出微积分结论的人是 A、牛顿 B、费马 C、笛卡尔 D、莱布尼茨 我的答案：A 7 第一个被提出的非欧几何学是 A、欧氏几何 B、罗氏几何 C、黎曼几何 D、解析几何 我的答案：B 8 代数中五次方程及五次以上方程的解是可以用求根公式求得的。我的答案：³ 9 数学思维方式的五个重要环节:观察－抽象－探索－猜测－论证。我的答案：√ 10 在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立作者。我的答案：√
集合的划分
（二）已完成 1 星期日用数学集合的方法表示是什么？ A、{6R|R∈Z} B、{7R|R∈N} C、{5R|R∈Z} D、{7R|R∈Z} 我的答案：D 2 将日期集合里星期一到星期日的七个集合求并集能到什么集合？ A、自然数集 B、小数集 C、整数集 D、无理数集 我的答案：C 3 在星期集合的例子中，a,b属于同一个子集的充要条件是什么？ A、a与b被6除以后余数相同 B、a与b被7除以后余数相同 C、a与b被7乘以后积相同 D、a与b被整数乘以后积相同 我的答案：B 4 集合的性质不包括 A、确定性 B、互异性 C、无序性 D、封闭性 我的答案：D 5 A={1，2}，B={3,4},A∩B= A、Φ B、A C、B D、{1,2,3,4} 我的答案：A 6 A={1，2}，B={3,4}，C={1,2,3,4}则A，B，C的关系 A、C=A∪B B、C=A∩B C、A=B=C D、A=B∪C 我的答案：A 7 星期二和星期三集合的交集是空集。我的答案：√ 8 空集属于任何集合。我的答案：³ 9 “很小的数”可以构成一个集合。我的答案：³
集合的划分
（三）已完成 1 S是一个非空集合，A，B都是它的子集，它们之间的关系有几种？ A、2.0 B、3.0 C、4.0³ D、5.0 我的答案： 2 如果～是集合S上的一个等价关系则应该具有下列哪些性质？ A、反身性 B、对称性 C、传递性 D、以上都有 我的答案：D 3 如果S、M分别是两个集合，SХM{（a,b)|a∈S,b∈M}称为S与M的什么？ A、笛卡尔积 B、牛顿积 C、康拓积
D、莱布尼茨积 我的答案：A 4 A={1,2}，B={2,3}，A∪B= A、Φ B、{1,2,3} C、A D、B 我的答案：B 5 A={1,2}，B={2,3}，A∩B= A、Φ B、{2} C、A D、B 我的答案：B 6 发明直角坐标系的人是 A、牛顿 B、柯西 C、笛卡尔 D、伽罗瓦 我的答案：C 7 集合中的元素具有确定性，要么属于这个集合，要么不属于这个集合。我的答案：√ 8 任何集合都是它本身的子集。我的答案：√ 9 空集是任何集合的子集。我的答案：√
集合的划分
（四）已完成 1 设S上建立了一个等价关系～，则什么组成的集合是S的一个划分？ A、所有的元素 B、所有的子集 C、所有的等价类 D、所有的元素积 我的答案：C 2 设～是集合S上的一个等价关系，任意a∈S，S的子集{x∈S|x～a}，称为a确定的什么？ A、等价类 B、等价转换 C、等价积 D、等价集 我的答案：A 3 如果x∈a的等价类，则x～a,从而能够得到什么关系？ A、x=a B、x∈a C、x的笛卡尔积=a的笛卡尔积 D、x的等价类=a的等价类 我的答案：D 4 0与{0}的关系是 A、二元关系 B、等价关系 C、包含关系 D、属于关系 我的答案：D 5 元素与集合间的关系是 A、二元关系 B、等价关系 C、包含关系 D、属于关系 我的答案：D 6 如果X的等价类和Y的等价类不相等则有X～Y成立。我的答案：³ 7 A∩Φ=A 我的答案：³ 8 A∪Φ=Φ 我的答案：³
等价关系
（一）已完成 1 星期一到星期日可以被统称为什么？ A、模0剩余类 B、模7剩余类 C、模1剩余类 D、模3剩余类 我的答案：B 2 星期三和星期六所代表的集合的交集是什么？ A、空集 B、整数集 C、日期集 D、自然数集 我的答案：A 3 x∈a的等价类的充分必要条件是什么？ A、x>a B、x与a不相交 C、x～a D、x=a 我的答案：C 4 设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S的对称性 A、一定满足 B、一定不满足 C、不一定满足 D、不可能满足 我的答案： 5 集合A上的一个划分，确定A上的一个关系为 A、非等价关系 B、等价关系 C、对称的关系 D、传递的关系 我的答案：B 6 等价关系具有的性质不包括 A、反身性 B、对称性 C、传递性 D、反对称性 我的答案：D 7 如果两个等价类不相等那么它们的交集就是空集。我的答案：√ 8 整数的同余关系及其性质是初等数论的基础。我的答案：√ 9 所有的二元关系都是等价关系。我的答案：³
等价关系
（二）已完成 1 a与b被m除后余数相同的等价关系式是什么？ A、a+b是m的整数倍 B、a*b是m的整数倍 C、a-b是m的整数倍 D、a是b的m倍 我的答案：C 2 设～是集合S的一个等价关系，则所有的等价类的集合是S的一个什么？ A、笛卡尔积 B、元素 C、子集 D、划分
我的答案：D 3 如果a与b模m同余，c与d模m同余，那么可以得到什么结论？ A、a+c与b+d模m同余 B、a*c与b*d模m同余 C、a/c与b/d模m同余 D、a+c与b-d模m同余 我的答案： 4 设A为3元集合，B为4元集合，则A到B的二元关系有几个 A、12.0 B、13.0 C、14.0 D、15.0 我的答案：A 5 对任何a属于A，A上的等价关系R的等价类[a]R为 A、空集 B、非空集 C、{x|x∈A} D、不确定 我的答案： 6 在4个元素的集合上可定义的等价关系有几个 A、12.0 B、13.0 C、14.0 D、15.0 我的答案： 7 整数集合Z有且只有一个划分，即模7的剩余类。我的答案：³ 8 三角形的相似关系是等价关系。我的答案：√ 9 设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S一定是等价关系。我的答案：³
模m同余关系
（一）已完成 1 在Zm中规定如果a与c等价类相等，b与d等价类相等，则可以推出什么相等？ A、a+c与d+d等价类相等 B、a+d与c-b等价类相等 C、a+b与c+d等价类相等 D、a*b与c*d等价类相等 我的答案：C 2 如果今天是星期五，过了370天是星期几？ A、一 B、二 C、三 D、四
我的答案：D 3 在Z7中，4的等价类和6的等价类的和几的等价类相等？ A、10的等价类 B、3的等价类 C、5的等价类 D、2的等价类 我的答案：B 4 同余理论的创立者是 A、柯西 B、牛顿 C、高斯 D、笛卡尔 我的答案：C 5 如果今天是星期五，过了370天，是星期几 A、星期二 B、星期三 C、星期四 D、星期五 我的答案：C 6 整数的四则运算不保“模m同余”的是 A、加法 B、减法 C、乘法 D、除法
我的答案：D 7 整数的除法运算是保“模m同余”。我的答案：³ 8 同余理论是初等数学的核心。我的答案：√
模m同余关系
（二）已完成 1 Zm的结构实质是什么？ A、一个集合 B、m个元素 C、模m剩余环 D、整数环 我的答案：C 2 集合S上的一个什么运算是S*S到S的一个映射？ A、对数运算 B、二次幂运算 C、一元代数运算 D、二元代数运算 我的答案：D 3 对任意a∈R,b∈R,有a+b=b+a=0,则b称为a的什么？ A、正元 B、负元 C、零元 D、整元 我的答案：B 4 偶数集合的表示方法是什么？ A、{2k|k∈Z} B、{3k|k∈Z} C、{4k|k∈Z} D、{5k|k∈Z} 我的答案：A 5 矩阵的乘法不满足哪一规律？ A、结合律 B、分配律 C、交换律 D、都不满足 我的答案：C 6 Z的模m剩余类具有的性质不包括 A、结合律 B、分配律 C、封闭律 D、有零元 我的答案：C 7 模5的最小非负完全剩余系是 A、{0,6,7,13,24} B、{0,1,2,3,4} C、{6.7.13.24} D、{1,2,3,4} 我的答案：B 8 同余关系具有的性质不包括 A、反身性 B、对称性 C、传递性 D、封闭性 我的答案：D 9 在Zm中a和b的等价类的乘积不等于a,b乘积的等价类。我的答案：³ 10 如果一个非空集合R满足了四条加法运算，而且满足两条乘法运算可以称它为一个环。我的答案：√ 11 如果环有一个元素e，跟任何元素左乘右都等于自己，那称这个e是R的单位元。（）我的答案：√ 12 中国剩余定理又称孙子定理。我的答案：√
模m剩余类环Zm
（一）已完成 1 Z的模m剩余类环的单位元是 A、0.0 B、1.0 C、2.0 D、3.0 我的答案：B 2 集合的划分，就是要把集合分成一些（）。A、子集 B、空集 C、补集 D、并交集 我的答案： 3 设R是一个环，a∈R，则0²a= A、0 B、a C、1.0 D、2.0 我的答案：A 4 如果一个非空集合R有满足其中任意一个元素和一个元素加和都是R中元素本身，则这个元素称为什么？ A、零环 B、零数 C、零集 D、零元
我的答案：D 5 若环R满足交换律则称为什么？ A、交换环 B、单位环 C、结合环 D、分配环 我的答案：A 6 环R中的运算应该满足几条加法法则和几条乘法法则？ A、3、3 B、2、2 C、4、2 D、2、4 我的答案：C 7 矩阵乘法不满交换律也不满足结合律。我的答案：³ 8 环R中零元乘以任意元素都等于零元。我的答案：√ 9 整数的加法是奇数集的运算。我的答案：³ 10 设R是非空集合，R和R的笛卡尔积到R的一个映射就是运算。我的答案：√
模m剩余类环Zm
（二）已完成 1 在Zm环中一定是零因子的是什么？ A、m-1等价类 B、0等价类 C、1等价类 D、m+1等价类 我的答案：B 2 环R中，对于a、c∈R,且c不为0，如果ac=0，则称a是什么？ A、零元 B、零集 C、左零因子 D、归零因子 我的答案：C 3 环R中满足a、b∈R，如果ab=ba=e(单位元）则称a是什么？ A、交换元 B、等价元 C、可变元 D、可逆元 我的答案：D 4 设R是一个环，a，b∈R，则(-a)²（-b）= A、a B、b C、ab D、-ab 我的答案：C 5 设R是一个环，a，b∈R，则(-a)²b= A、a B、b C、ab D、-ab 我的答案：D 6 设R是一个环，a，b∈R，则a²（-b）= A、a B、b C、ab D、-ab 我的答案：D 7 环R中满足a、b∈R，如果ab=ba=e(单位元），那么其中的b是唯一的。我的答案：√ 8 Z的模m剩余类环是有单位元的交换环。我的答案：√ 9 一个环有单位元，其子环一定有单位元。我的答案：³
环的概念已完成 1 在Zm剩余类环中没有哪一种元？ A、单位元 B、可逆元
C、不可逆元，非零因子 D、零因子 我的答案：C 2 在整数环中只有哪几个是可逆元？ A、1、-1 B、除了0之外 C、0.0 D、正数都是 我的答案：A 3 在模5环中可逆元有几个？ A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案： 4 Z的模4剩余类环不可逆元的有（）个。A、4 B、3 C、2 D、1 我的答案： 5 Z的模2剩余类环的可逆元是 A、0.0 B、1.0 C、2.0 D、4.0 我的答案：B 6 设R是有单位元e的环，a∈R，有（-e）²a= A、e B、-e C、a D、-a 我的答案：D 7 在有单位元e（不为零）的环R中零因子一定是不可逆元。我的答案：√ 8 一个环没有单位元，其子环不可能有单位元。我的答案：³ 9 环的零因子是一个零元。我的答案：³
域的概念已完成 1 当m是什么数的时候，Zm就一定是域？ A、复数 B、整数 C、合数 D、素数
我的答案：D 2 素数m的正因数都有什么？ A、只有1 B、只有m C、1和m D、1到m之间的所有数 我的答案：C 3 最小的数域是什么？ A、有理数域 B、实数域 C、整数域 D、复数域 我的答案：A 4 设F是一个有单位元（不为0）的交换环，如果F的每个非零元都是可逆元，那么称F是一个什么？ A、积 B、域 C、函数 D、元
我的答案：B 5 属于域的是（）。A、（Z,+,²）B、（Z[i],+,²）C、（Q,+,²）D、（I,+,²）我的答案： 6 Z的模p剩余类环是一个有限域，则p是 A、整数 B、实数 C、复数 D、素数
我的答案：D 7 不属于域的是（）。A、（Q,+,²）B、（R,+,²）C、（C,+,²）D、（Z,+,²）我的答案： 8 有理数集，实数集，整数集，复数集都是域。我的答案：³ 9 域必定是整环。我的答案：√ 10 整环一定是域。我的答案：³
整数环的结构
（一）已完成 1 对于a,b∈Z，如果有c∈Z,使得a=cb，称b整除a,记作什么？ A、b^a B、b/a C、b|a D、b&a 我的答案：C 2 整数环的带余除法中满足a=qb+r时r应该满足什么条件？ A、0<=r<|b| B、1 C、0<=r D、r<0 我的答案：A 3 在整数环中没有哪种运算？ A、加法 B、除法 C、减法 D、乘法 我的答案： 4 最先对Z[i]进行研究的人是 A、牛顿 B、柯西 C、高斯 D、伽罗瓦 我的答案：C 5 不属于无零因子环的是 A、整数环 B、偶数环 C、高斯整环 D、Z6 我的答案： 6 不属于整环的是 A、Z B、Z[i] C、Z2 D、Z6 我的答案： 7 整数环是具有单位元的交换环。我的答案：√ 8 整环是无零因子环。我的答案：√ 9 右零因子一定是左零因子。我的答案：³
整数环的结构
（二）已完成 1 在整数环中若c|a,c|b，则c称为a和b的什么？ A、素数 B、合数 C、整除数 D、公因数 我的答案：D 2 整除没有哪种性质？ A、对称性 B、传递性 C、反身性 D、都不具有 我的答案： 3 a与0 的一个最大公因数是什么？ A、0.0 B、1.0 C、a D、2a 我的答案：C 4 不能被5整除的数是 A、115.0 B、220.0 C、323.0 D、425.0 我的答案：C 5 能被3整除的数是 A、92.0 B、102.0 C、112.0 D、122.0 我的答案：B 6 整环具有的性质不包括 A、有单位元 B、无零因子 C、有零因子 D、交换环 我的答案：C 7 在整数环的整数中，0是不能作为被除数，不能够被整除的。我的答案：³ 8 整除关系是等价关系。我的答案：³ 9 若n是奇数，则8|（n^2-1）。我的答案：√
整数环的结构
（三）已完成 1 0与0的最大公因数是什么？ A、0.0 B、1.0 C、任意整数 D、不存在 我的答案： 2 探索里最重要的第一步是什么？ A、实验 B、直觉判断 C、理论推理 D、确定方法 我的答案： 3 对于a,b∈Z，如果有a=qb+r，d满足什么条件时候是a与b的一个最大公因数？ A、d是a与r的一个最大公因数 B、d是q与r的一个最大公因数 C、d是b与q的一个最大公因数 D、d是b与r的一个最大公因数 我的答案：D 4 gac(234,567)= A、3.0 B、6.0 C、9.0 D、12.0 我的答案：C 5 若a=bq+r,则gac(a,b)= A、gac(a,r)B、gac(a,q)C、gac(b,r)D、gac(b,q)我的答案： 6 gac(126,27)= A、3.0 B、6.0 C、9.0 D、12.0 我的答案：C 7 对于整数环，任意两个非0整数a,b一定具有最大公因数。我的答案：√ 8 a是a与0的一个最大公因数。我的答案：√ 9 0是0与0的一个最大公因数。我的答案：√
整数环的结构
（四）已完成 1 如果d是被除数和除数的一个最大公因数也是哪两个数的一个最大公因数？ A、被除数和余数 B、余数和1 C、除数和余数 D、除数和0 我的答案：C 2 对于整数环，任意两个非0整数a,b一定具有最大公因数可以用什么方法求？ A、分解法 B、辗转相除法 C、十字相乘法 D、列项相消法 我的答案：B 3 对于a与b的最大公因数d存在u,v满足什么等式？ A、d=ua+vb B、d=uavb C、d=ua/vb D、d=uav-b 我的答案： 4 gcd(13,8)= A、1.0 B、2.0 C、8.0 D、13.0 我的答案：A 5 gcd(56,24)= A、1.0 B、2.0 C、4.0 D、8.0 我的答案：D 6 gac(13,39)= A、1.0 B、3.0 C、13.0 D、39.0 我的答案：C 7 用带余除法对被除数进行替换时候可以无限进行下去。我的答案：³ 8 欧几里得算法又称辗转相除法。我的答案：√ 9 计算两个数的最大公因子最有效的方法是带余除法。我的答案：³
整数环的结构
（五）已完成 1 若a,b∈Z，且不全为0，那么他们的最大公因数有几个？ A、5.0 B、4.0 C、3.0 D、2.0 我的答案：D 2 若a,b∈Z，它们的最大公因数在中国表示为什么？ A、[a,b] B、{a,b} C、(a,b)D、gcd(a,b)³ 我的答案： 3 如果a,b互素，则存在u,v与a,b构成什么等式？ A、1=uavb B、1=ua+vb C、1=ua/vb³ D、1=uav-b 我的答案： 4 在Z中，若a|bc,且(a,b)=1则可以得到什么结论？ A、a|c B、(a，c）=1³ C、ac=1 D、a|c=1 我的答案： 5 若（a,b）=1,则a与b的关系是 A、相等 B、大于 C、小于 D、互素
我的答案：D 6 由b|ac及gac(a,b)=1有 A、a|b B、a|c C、b|c D、b|a³ 我的答案： 7 若a与b互素，有 A、（a,b）=0 B、(a,b)=1 C、(a,b)=a D、(a,b)=b 我的答案：B 8 在整数环中若（a,b）=1，则称a,b互素。我的答案：√ 9 在Z中，若a|c,b|c,且(a,b)=1则可以a|bc.我的答案：³ 10 0与0的最大公因数只有一个是0。我的答案：√ 11 任意两个非0的数不一定存在最大公因数。我的答案：³
整数环的结构
（六）已完成 1 在Z中若(a,c)=1,(b,c)=1,则可以得出哪两个数是素数？ A、(abc,a)=1 B、(ac,bc)=1 C、(abc,b)=1 D、(ab,c)=1 我的答案：D 2 在所有大于0的整数中共因素最少的数是什么？ A、所有奇数 B、所有偶数 C、1.0 D、所有素数³ 我的答案： 3 对于任意a，b∈Z，若p为素数，那么p|ab可以推出什么？ A、p|a B、p|b C、p|ab D、以上都可以 我的答案：D 4 对于任意a∈Z，若p为素数，那么（p,a）等于多少？ A、1.0³ B、1或p C、p D、1，a，pa 我的答案： 5 p是素数，若p|ab，(p,a)=1可以推出 A、p|a B、p|b C、(p,b)=1³ D、(p,ab)=1 我的答案： 6 正因数最少的数是 A、整数 B、实数 C、复数 D、素数
我的答案：D 7 若（a,c）=1,(b,c)=1则（ab,c）= A、1.0 B、a C、b D、c 我的答案：A 8 所有大于1的素数所具有的公因数的个数都是相等的。我的答案：√ 9 任意数a与素数p的只有一种关系即p|a。我的答案：³ 10 a与b互素的充要条件是存在u,v∈Z使得au+bv=1。我的答案：√
整数环的结构
（七）已完成 1 素数的特性总共有几条？ A、6.0 B、5.0³ C、4.0 D、3.0 我的答案： 2 任一个大于1的整数都可以唯一地分解成什么的乘积？ A、有限个素数的乘积 B、无限个素数的乘积 C、有限个合数的乘积 D、无限个合数的乘积 我的答案：A 3 素数的特性之间的相互关系是什么样的？ A、单独关系 B、不可逆
C、不能单独运用 D、等价关系 我的答案：D 4 p与任意数a有（p,a）=1或p|a的关系，则p是 A、整数 B、实数 C、复数 D、素数
我的答案：D 5 p不能分解成比p小的正整数的乘积，则p是 A、整数 B、实数 C、复数 D、素数
我的答案：D 6 1是 A、素数 B、合数 C、有理数 D、无理数 我的答案：C 7 素数P能够分解成比P小的正整数的乘积。我的答案：³ 8 合数都能分解成有限个素数的乘积。我的答案：√ 9 p是素数则p的正因子只有P。我的答案：³
Zm的可逆元
（一）已完成 1 在Zm中，等价类a与m满足什么条件时可逆？ A、互合 B、相反数 C、互素 D、不互素 我的答案：C 2 Z8中的零因子都有哪些？ A、1、3、5、7³ B、2、4、6、0 C、1、2、3、4 D、5、6、7、8 我的答案： 3 模m剩余环中可逆元的判定法则是什么？ A、m是否为素数 B、a是否为素数 C、a与m是否互合 D、a与m是否互素 我的答案：D 4 Z5的零因子是 A、0.0 B、1.0³ C、2.0 D、3.0 我的答案： 5 不属于Z8的可逆元的是 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、5.0 我的答案：B 6 Z6的可逆元是 A、0.0 B、1.0 C、2.0³ D、3.0 我的答案： 7 在Zm中等价类a与m不互素时等价环a是零因子。我的答案：√ 8 p是素数，则Zp一定是域。我的答案：√ 9 Zm的每个元素是可逆元或者是零因子。我的答案：√
Zm的可逆元
（二）已完成 1 Z10的可逆元是 A、2.0 B、5.0 C、7.0 D、10.0 我的答案：C 2 Z9的可逆元是 A、3.0 B、6.0 C、7.0 D、9.0 我的答案：C 3 在Z91中等价类元素83的可逆元是哪个等价类？ A、91.0 B、38.0 C、34.0 D、19.0³ 我的答案： 4 当p为素数时候，Zp一定是什么？ A、域 B、等价环 C、非交换环 D、不可逆环³ 我的答案： 5 不属于Z7的可逆元是 A、1.0 B、3.0³ C、5.0 D、7.0 我的答案： 6 p是素数，在Zp中单位元的多少倍等于零元 A、1.0 B、p+1³ C、p-1 D、p 我的答案： 7 Z91中等价类34是零因子。我的答案：³ 8 Z81中，9是可逆元。我的答案：³ 9 Z91中，34是可逆元。我的答案：√
模P剩余类域已完成 1 在域F中，e是单位元，对任意n，n为正整数都有ne不为0，则F的特征是什么？ A、0.0 B、f C、p D、任意整数 我的答案：A 2 在R中,n为正整数，当n为多少时n1可以为零元？ A、1.0 B、100.0 C、n>1000 D、无论n为多少都不为零元 我的答案：D 3 在域F中，e是单位元，存在n，n为正整数使得ne=0成立的正整数n是什么？ A、合数 B、素数 C、奇数 D、偶数 我的答案：B 4 任一数域的特征为 A、0.0 B、1.0 C、e D、无穷 我的答案：A 5 设域F的单位元e，存在素数p使得pe=0，而0＜l＜p,le不为0时，则F的特征为 A、0.0 B、p C、e D、无穷 我的答案：B 6 设域F的单位元e，对任意的n∈N都有ne不等于0时，则F的特征为 A、0.0 B、1.0 C、e D、无穷 我的答案：A 7 任一数域的特征都为0，Zp的特征都为素数p。我的答案：√ 8 设域F的单位元e，对任意的n∈N有ne不等于0。我的答案：√ 9 设域F的单位元e，存在素数p使得pe=0。我的答案：√
域的特征
（一）已完成 1 Cpk=p(p-1)„(p-k-1)/k!，其中1<=k< p,则(K！，p)等于多少？ A、0.0 B、1.0 C、kp³ D、p 我的答案： 2 域F的特征为p，对于任一a∈F，pa等于多少？ A、1.0 B、p C、0.0 D、a 我的答案：C 3 在域F中，设其特征为2，对于任意a,b∈F，则（a+b）2 等于多少 A、2（a+b）B、a2 C、b2 D、a2+b2 我的答案：D 4 设域F的特征为素数p，对任意a∈F，有pa= A、p B、a C、0.0 D、无穷 我的答案：C 5 设域F的特征为2，对任意的a，b∈F，有（a+b）^2= A、a+b B、a C、b D、a^2+b^2 我的答案：D 6 特征为2的域是 A、Z B、Z2 C、Z3 D、Z5 我的答案：B 7 在域F中，设其特征为p，对于任意a,b∈F，则（a+b）P 等于ap+bp 我的答案：√ 8 设域F的特征为素数p，对任意的a，b∈F，有（a+b）^p=a^p+b^p。我的答案：√ 9 设域F的特征为3，对任意的a，b∈F，有（a+b）^2=a^2+b^2。我的答案：³
域的特征
（二）已完成 1 设p是素数，对于任一a∈Z，ap模多少和a同余？ A、a B、所有合数 C、P D、所有素数³ 我的答案： 2 用数学归纳法：域F的特征为素数P，则可以得到(a1+„as)p等于什么？ A、asp B、ap C、ps D、a1P+„asP 我的答案：D 3 6813模13和哪个数同余？ A、68.0 B、13.0³ C、136.0 D、55.0 我的答案： 4 68^13≡？（mod13）A、66.0 B、67.0 C、68.0 D、69.0 我的答案：C 5 设p是素数，则（p-1）!≡？（modp）A、-1.0 B、0.0 C、1.0 D、p 我的答案：A 6 费马小定理中规定的a是任意整数，包括正整数和负整数。我的答案：³ 7 设p是素数，则对于任意的整数a，有a^p≡a（modp）。我的答案：√ 8 9877是素数。我的答案：³
中国剩余定理
（一）已完成 1 首先证明了一次同余数方程组的解法的是我国哪个朝代的数学家？ A、汉朝 B、三国³ C、唐朝 D、南宋 我的答案： 2 一般的中国军队的一个连队有多少人？ A、30多个 B、50多个 C、100多个 D、300多个 我的答案：C 3 关于军队人数统计，丘老师列出的方程叫做什么？ A、一次同余方程组 B、三元一次方程组 C、一元三次方程组 D、三次同余方程组 我的答案：A 4 中国古代求解一次同余式组的方法是 A、韦达定理 B、儒歇定理 C、孙子定理 D、中值定理 我的答案：C 5 孙子问题最先出现在哪部著作中 A、《海岛算经》 B、《五经算术》 C、《孙子算经》 D、《九章算术》 我的答案：C 6 剩余定理是哪个国家发明的 A、古希腊 B、古罗马 C、古埃及 D、中国
我的答案：D 7 一次同余方程组在Z中是没有解的。我的答案：³ 8 “韩信点兵”就是初等数论中的解同余式。我的答案：√ 9 同余式组中，当各模两两互素时一定有解。我的答案：√
中国剩余定理
（二）已完成 1 一次同余方程组最早的描述是在哪本著作里？ A、九章算术 B、孙子算经 C、解析几何 D、微分方程 我的答案：B 2 最早给出一次同余方程组抽象算法的是谁？ A、祖冲之 B、孙武 C、牛顿 D、秦九识 我的答案：D 3 一次同余方程组（模分别是m1,m2,m3)的全部解是什么？ A、km1m2m3 B、Cm1m2m3 C、C+km1m2m3 D、Ckm1m2m3 我的答案：C 4 n被3，4，7除的余数分别是1,3,5且n小于200，则n= A、170.0 B、177.0 C、180.0 D、187.0 我的答案：D 5 n被3，5，7除的余数分别是1,2,3且n小于200，则n= A、155.0 B、156.0 C、157.0 D、158.0 我的答案：C 6 n被3，5，11除的余数分别是1,3,3且n小于100，则n= A、54.0 B、56.0 C、58.0 D、60.0 我的答案：C 7 欧拉在1743年，高斯在1801年分别也给出了同余方程组的解法。我的答案：√ 8 某数如果加上5就能被6整除，减去5就能被7整除，这个数最小是20。我的答案：³ 9 一个数除以5余3，除以3余2，除以4余1.求该数的最小值53。我的答案：√
欧拉函数
（一）已完成 1 Zp是一个域那么可以得到φ(p)等于多少？ A、0.0³ B、1.0 C、p D、p-1 我的答案： 2 φ(m)等于什么？ A、集合{1,2„m-1}中与m互为合数的整数的个数 B、集合{1,2„m-1}中奇数的整数的个数
C、集合{1,2„m-1}中与m互素的整数的个数 D、集合{1,2„m-1}中偶数的整数的个数 我的答案：C 3 Zm中所有的可逆元组成的集合记作什么？ A、Zm* B、Zm C、ZM D、Z* 我的答案：A 4 Z5的可逆元个数是 A、1.0 B、2.0 C、3.0³ D、4.0 我的答案： 5 Z7的可逆元个数是 A、2.0³ B、4.0 C、6.0 D、7.0 我的答案： 6 Z3的可逆元个数是 A、0.0 B、1.0³ C、2.0 D、3.0 我的答案： 7 求取可逆元个数的函数φ(m)是高斯函数。我的答案：³ 8 在Zm中，a是可逆元的充要条件是a与m互素。我的答案：√ 9 Zm中可逆元个数记为φ(m)，把φ(m)称为欧拉函数。我的答案：√
欧拉函数
（二）已完成 1 当m为合数时，令m=24，那么φ(24)等于多少？ A、2.0 B、7.0 C、8.0 D、10.0 我的答案：C 2 设p为素数，r为正整数，Ω={1，2,3,„pr}中与pr不互为素数的整数个数有多少个？ A、pr-1 B、p C、r D、pr 我的答案：A 3 φ(24)等于哪两个素数欧拉方程的乘积？ A、φ(2)*φ(12)B、φ(2)*φ(4)C、φ(4)*φ(6)D、φ(3)*φ(8)我的答案：D 4 φ(9)= A、1.0 B、3.0³ C、6.0 D、9.0 我的答案： 5 φ(4)= A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：B 6 φ(8)= A、2.0 B、4.0 C、6.0 D、8.0 我的答案：B 7 φ(12)=φ(3*4)=φ(2*6)=φ(3)*φ(4)=φ(2)*φ(6)我的答案：³ 8 设p是素数，r是正整数，则φ(p^r)=(p-1)p^(r-1)。我的答案：√ 9 设p是素数，则φ(p)=p。我的答案：³
欧拉函数
（三）已完成 1 欧拉方程φ(m2)φ(m1)之积等于哪个环中可逆元的个数？ A、Zm1 Zm2 B、Zm1 C、Zm2 D、Zm1*m2 我的答案：A 2 Zm1*Zm2的笛卡尔积被称作是Zm1和Zm2的什么？ A、算术积 B、集合 C、直和 D、平方积 我的答案： 3 设m=m1m2,且(m1,m2)=1,则φ(m)等于什么？ A、φ(m1)B、φ(m2)φ(m1)C、φ(m1)*φ(m1)D、φ(m2)*φ(m2)我的答案：B 4 φ(24)= A、2.0³ B、4.0 C、8.0 D、12.0 我的答案： 5 φ(10)= A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 6 φ(12)= A、1.0 B、2.0 C、3.0³ D、4.0 我的答案： 7 设m1，m2为素数,则Zm1*Zm2是一个具有单位元的交换环。我的答案：√ 8 设m=m1m2，且（m1,m2）=1则φ(m)=φ(m1)φ(m2)。我的答案：√ 9 φ(24)=φ(4)φ(6)我的答案：³
欧拉函数
（四）已完成 1 有序元素对相等的映射是一个什么映射？ A、不完全映射 B、不对等映射 C、单射 D、散射 我的答案：C 2 若有Zm*到Zm1 Zm2的一个什么，则|Zm*|=|Zm1 Zm2*|成立 A、不对应关系 B、互补 C、互素 D、双射
我的答案：D 3 Φ(7）= A、Φ(1)Φ(6)B、Φ(2)Φ(5)³ C、Φ(2)Φ(9)D、Φ(3)Φ(4)我的答案： 4 Φ(6）= A、Φ(1)Φ(5)B、Φ(3)Φ(3)C、Φ(2)Φ(3)D、Φ(3)Φ(4)我的答案：C 5 Φ(3)Φ(4)= A、Φ(3)B、Φ(4)C、Φ(12)D、Φ(24)我的答案：C 6 如果m=m1m2,且（m1,m2）=1，有m|x-y,则m1|x-y,m2|x-y.我的答案：√ 7 Φ(N)是欧拉函数，若N＞2，则Φ(N)必定是偶数。我的答案：√ 8 Φ(4)=Φ(2)Φ(2)我的答案：³
欧拉函数
（五）已完成 1 a是Zm的可逆元的等价条件是什么？ A、σ（a）是Zm的元素 B、σ（a）是Zm1的元素 C、σ（a）是Zm2的元素
D、σ（a）是Zm1，Zm2直和的可逆元 我的答案：D 2 单射在满足什么条件时是满射？ A、两集合元素个数相等 B、两集交集为空集³ C、两集合交集不为空集 D、两集合元素不相等 我的答案： 3 若映射σ既满足单射，又满足满射，那么它是什么映射？ A、不完全映射 B、双射 C、集体映射 D、互补映射 我的答案：B 4 属于单射的是 A、x → x^2 B、x → cosx C、x →x^4 − x D、x →2x + 1 我的答案：D 5 不属于单射的是 A、x → ln x B、x → e^x C、x →x^3 − x D、x →2x + 1 我的答案：C 6 数学上可以分三类函数不包括 A、单射 B、满射 C、双射 D、反射
我的答案：D 7 映射σ是满足乘法运算，即σ(xy)=σ(x)σ(y)。我的答案：√ 8 对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。我的答案：√ 9 一个函数不可能既是单射又是满射。我的答案：³
欧拉函数
（六）已完成 1 根据欧拉方程的算法φ(1800)等于多少？ A、180.0 B、480.0 C、960.0 D、1800.0 我的答案：B 2 欧拉方程φ(m)=φ(P1r1)„φ(Psrs)等于什么？ A、P1r1-1(P1-1)„Psrs-1(Ps-1)B、P1r1-1„Psrs-1³ C、(P1-1)„(Ps-1)D、P1(P1-1)„Ps(Ps-1)我的答案： 3 设M=P1r1„Psrs,其中P1，P2„需要满足的条件是什么？ A、两两不等的合数 B、两两不等的奇数 C、两两不等的素数 D、两两不等的偶数 我的答案：C 4 不属于满射的是 A、x → x+1 B、x → x-1 C、x → x^2 D、x →2x + 1³ 我的答案： 5 属于满射的是 A、x → x^2 B、x → e^x C、x → cosx³ D、x →2x + 1 我的答案： 6 属于双射的是 A、x → x^2 B、x → e^x C、x → cosx³ D、x →2x + 1 我的答案： 7 φ(m)=φ(m1)φ(m2)成立必须满足(m1,m2)=1.我的答案：√ 8 x → ln x不是单射。我的答案：³ 9 既是单射又是满射的映射称为双射。我的答案：√
环的同构
（一）已完成 1 设环R到环R'有一个双射σ且满足乘法和加法运算，则称σ为环R的什么？ A、异构映射³ B、满射 C、单射
D、同构映射 我的答案：D 2 设p是奇素数，则Zp的非零平方元a,有几个平方根？ A、2.0 B、3.0 C、4.0 D、和p大小有关³ 我的答案： 3 环R与环S同构，若R是整环则S A、可能是整环 B、不可能是整环 C、一定是整环 D、不一定是整环 我的答案：C 4 环R与环S同构，若R是域则S A、可能是域 B、不可能是域 C、一定是域
D、不一定是域³ 我的答案： 5 环R与环S同构，若R是除环则S A、可能是除环³ B、不可能是除环 C、一定是除环 D、不一定是除环 我的答案： 6 若存在c∈Zm,有c2=a，那么称c是a的平方元。我的答案：³ 7 同构映射有保加法和除法的运算。我的答案：³ 8 环R与环S同构，则R、S在代数性质上完全一致。我的答案：√
环的同构
（二）已完成 1 二次多项式x2-a在Zp中至多有多少个根？ A、无穷多个 B、两个 C、一个 D、不存在 我的答案：B 2 在Z77中，关于4的平方根所列出的同余方程组有几个？ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
我的答案：D 3 在Z77中，4的平方根都有哪些？ A、1、2、6、77 B、2、-2 C、2、9、68、75 D、2、-
2、3、-3 我的答案：C 4 Z77中4的平方根有几个 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 5 Z100中4的平方根有几个 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 6 Z7中4的平方根有几个 A、0.0 B、1.0³ C、2.0 D、3.0 我的答案：B 7 在Z77中，6是没有平方根的。我的答案：√ 8 二次多项式在Zp中至少有两个根。我的答案：³ 9 Z7和Z11的直和，与Z77同构。我的答案：√
Z﹡m的结构
（一）已完成 1 非空集合G中定义了乘法运算，如果G是一个群，则它需要满足几个条件？ A、6.0 B、5.0 C、4.0³ D、3.0 我的答案： 2 当群G满足什么条件时，称群是一个交换群？ A、乘法交换律 B、加法交换律 C、除法交换律 D、减法交换律 我的答案：A 3 Z12*只满足哪种运算？ A、加法 B、乘法 C、减法 D、除法 我的答案：B 4 非空集合G中定义了乘法运算，如有有ea=ae=a对任意a∈G成立，则这样的e在G中有几个？
A、无数个 B、2个
C、有且只有1一个 D、无法确定 我的答案：C 5 群具有的性质不包括 A、结合律 B、有单位元 C、有逆元 D、分配律 我的答案：D 6 群有几种运算 A、一 B、二³ C、三 D、四
我的答案： 7 Z12*= A、{1,2,5,7} B、{1,5,9,11} C、{1,5,7,11} D、{3,5,7,11} 我的答案：C 8 在Z12*所有元素的逆元都是它本身。我的答案：√ 9 Z12*是保加法运算。我的答案：³ 10 Z12*只有一种运算。我的答案：√
Z﹡m的结构
（二）已完成 1 Zm*的结构可以描述成什么？ A、阶为φ(m)的交换群 B、阶为φ(m)的交换环 C、阶为φ(m)的交换域 D、阶为φ(m)的交换类 我的答案：A 2 若a∈Z9*，且为交换群，那么a的几次方等于单位元？ A、1.0 B、3.0 C、6.0 D、任意次方 我的答案：C 3 Zm*是交换群，它的阶是多少？ A、1.0 B、φ(m)C、2m D、m2 我的答案：B 4 Z9*的阶为 A、2.0 B、3.0³ C、6.0 D、9.0 我的答案： 5 Z12*的阶为 A、2.0 B、4.0 C、6.0 D、8.0 我的答案：B 6 Z24*的阶为 A、2.0 B、4.0³ C、6.0 D、8.0 我的答案： 7 在群G中，对于一切m,n为正整数，则aman=amn.我的答案：³ 8 Z5关于剩余类的乘法构成一个群。我的答案：³ 9 Zm*是一个交换群。我的答案：√
Z﹡m的结构
（三）已完成 1 设G是n阶交换群，对于任意a∈G，那么an等于多少？ A、na B、a2 C、a D、e 我的答案：D 2 Z9*中满足7n=e的最小正整数是几？ A、6.0 B、4.0 C、3.0 D、1.0 我的答案：C 3 群G中，对于任意a∈G，存在n,n为正整数使得an=e成立的最小的正整数称为a的什么？ A、阶 B、幂 C、域 D、根
我的答案：A 4 Z6中4的阶是 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：C 5 Z5*中2的阶是 A、1.0 B、2.0³ C、3.0 D、4.0 我的答案： 6 Z5*中3的阶是 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 7 如果G是n阶的非交换群，那么对于任意a∈G，那么an=任意值。我的答案：³ 8 设G是n阶群，任意的a∈G，有a^n=e。我的答案：√ 9 在整数加群Z中，每个元素都是无限阶。我的答案：³
欧拉定理循环群
（一）已完成 1 若整数a与m互素，则aφ(m)模m等于几？ A、a B、2.0 C、1.0 D、2a 我的答案：C 2 Zm*是循环群，则m应该满足什么条件？ A、m=2,4,pr,2pr B、m必须为素数 C、m必须为偶数 D、m必须为奇素数 我的答案：A 3 Z9*的生成元是什么？ A、1、7 B、2、5 C、5、7 D、2、8 我的答案：B 4 群G中，如果有一个元素a使得G中每个元素都可以表示成a的什么形式时称G是循环群？ A、对数和 B、指数积 C、对数幂³ D、整数指数幂 我的答案： 5 Z3*的生成元是 A、0.0 B、2.0 C、3.0 D、6.0 我的答案：B 6 Z2*的生成元是 A、1.0 B、2.0³ C、3.0 D、4.0 我的答案： 7 Z4*的生成元是 A、0.0 B、2.0 C、3.0 D、6.0 我的答案：C 8 Z1*，Z2*，Z3*，Z5*，Z8*，Z9*，Z12*都是循环群。我的答案：³ 9 Z9*是一个循环群。我的答案：√ 10 Z9*的生成元是3和7。我的答案：³
欧拉定理循环群
（二）已完成 1 Z对于什么的加法运算是一个群？ A、整数 B、小数 C、有理数 D、无理数 我的答案：A 2 Zm*是具有可逆元，可以称为Zm的什么类型的群？ A、结合群 B、交换群 C、分配群 D、单位群 我的答案：D 3 Z12的生成元不包括 A、1.0 B、5.0 C、7.0 D、9.0 我的答案：D 4 Z16的生成元是 A、2.0 B、8.0 C、11.0 D、14.0 我的答案：C 5 Z15的生成元是 A、5.0 B、10.0 C、12.0 D、13.0 我的答案：D 6 环R对于那种运算可以构成一个群？ A、乘法 B、除法 C、加法 D、减法 我的答案：C 7 对于所有P，p为奇数，那么Zp就是一个域。我的答案：³ 8 整数加群Z是有限循环群。我的答案：³ 9 Zm*称为Zm的单位群。我的答案：√
素数的分布
（一）已完成 1 素有总共有多少个？ A、4.0 B、21.0 C、1000.0 D、无数多个 我的答案：D 2 大于10小于100的整数中有多少个素数？ A、21.0 B、27.0 C、31.0 D、50.0 我的答案：A 3 对于a，a为大于10小于100的整数，a的素因素都有哪些？ A、2、3、7、9 B、2、3、5、7 C、1、2、3、5 D、5、7、9 我的答案：B 4 小于10的素数有几个 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 5 不超过100的素数有几个 A、24.0 B、25.0 C、26.0 D、27.0 我的答案：B 6 大于10而小于100的素数有几个 A、20.0 B、21.0 C、22.0 D、23.0 我的答案：B 7 丘老师使用的求素数的方法叫做拆分法。我的答案：³ 8 97是素数。我的答案：√ 9 87是素数。我的答案：³
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