对数的换底公式教案（共五则范文）

第一篇：对数的换底公式教案

对数的换底公式

一、教学目标：

1.知识与技能

推导对数的换底公式，培养学生分析、综合解决问题的能力，以及科学分析问题的精神和态度

2.过程与方法

让学生经历推导对数的换底公式的过程，并应用换底公式简便运算 3.情感、态度与价值观

通过对数的运算法则、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识和严谨的思维品质

二、重点、难点

重点：对数的运算性质、换底公式及应用

难点：正确使用对数的运算性质和换底公式

三、教学设计

1、课题引入

在前两节课，我们已经学习了对数的定义及性质，从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可以作为对数的底。并且科学计算器通常只能对常用对数或自然对数进行计算，这样我们求任何对数都只需将它们的底数转换为以10或e为底的对数就行了。可是应该怎样转换呢，这就需要一个换底公式，也就是我们今天所要学习的内容————对数的换底公式。

2、探究

现在就来看一个具体的对数㏒215，如何使用科学计算器计算出它的值？如何对它进行转换？

设㏒215=x，写成指数式得 2x=15 两边取常用对数得 Xlg2=lg15 所以x=lg15 lg2lg15≈3.9068906.lg2ln15≈3.9068906.ln2这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒215=同理也可以使用科学计算器计算ln键算出㏒215=大家观察一下㏒215=x =

lg15 lg这个等式有什么特点

特点：① ㏒215是用 lg15与lg2 的商来表示的② ㏒215 转换为以10为底的对数 好了，这是一些特殊的情况，那一般的情况呢？如果是任意的对数b呢？它是否可以转换为以10为底的对数呢，或者更一般的情况，它是否可以转换为任意不等于1的正数为底对数呢？比如我们设任意的对数为㏒b N，它又是否可以转换为以a为底的对数呢？

3、对数的换底公式

我们可以先猜想㏒b N=

logaN(a,b>0,a,b≠1,N>0).logab下面就来具体的证明一下

证明：设㏒b N=x,根据对数定义，有

x N=b两边取以a为底的对数，得

x㏒aN=㏒ab

故 x㏒ab =㏒aN，由于b≠1则㏒ab≠0，解得

x=logaN

logablogaN

logab1

logba故㏒b N=由换底公式易知㏒ab=

这样就证明了我们的猜想是正确的，而这就是对数的换底公式

大家要注意它是将 ㏒b N转换为以a为底数N为真数的对数与以a为底数b为真数的对数的商

这样我们就把一个数的对数变换成了与原来对数的底数不同的两个对数的商

4、例题

例1：㏒89㏒2732

分析：大家观察，在这一个问题中，两对数底数不同，要计算它，就要利用对数的换底公式统一底数的问题，先换为以10为底，再换以e为底，再换其它，总结

lg3221g351g210lg9解：原式=·=·=.lg2731g231g39lg8

下面我们来看这个对数式具体有什么特点？（8和32,9和27，分别可以写为以2为底，以3为底的对数，这样的话底数任意选取）例2.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的

84℅，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）。

四、课堂小结

在这一节课中，我们主要学习了换底公式，学习了它的推导过程，它的意义在于把对数的底数改变，把不同底的问题转换为同底问题，对于换底公式，大家重在它的运用掌握，关键在找准底数，从而为简便我们的运算创造条件。

五、作业：

本节练习题2 B组4题

第二篇：换底公式的说课稿

3.4.2 “换底公式”说课稿

瀛湖中学 李善斌

教材分析

本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式.另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产中的重要作用.教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.学情分析： 对数是一个全新的概念，对数运算是一种类似于但又不同于实数的加减乘除运算及指数运算的全新运算.要探究并证明对数换底公式，学生是有相当难度的，但是通过前两节的学习，学生能够利用对数定义及对数的运算性质进行对数式与指数式的相互转化、对数计算，之前学生还熟知指数的运算性质.有这些已有知识作为基础，教师再设计合理的导学案，是能让学生主动参与课堂的，并能自主完成对数换底公式其性质的探究、发现、证明、应用的全过程的.教学目标

一、知识与技能 1.掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.2.能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.二、过程与方法

1.结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想.2.通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力.3.通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.三、情感态度与价值观

1.通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.教学重点

1换底公式得出的过程及其应用.教学难点

推导换底公式过程中的“指、对转化”意识和对指数幂的换底想法。换底公式的灵活应用.教具准备

多媒体课件、投影仪、教学过程

一、引入新课

1、复习回顾：

（1）对数式与指数式的互化（2）对数的基本性质

（3）积、商、幂的对数运算法则: 设计意图：对数的恒等式和对数的运算性质是学习本节课的基础。通过对旧知识的回顾为新知识的学习做好认知铺垫。

2求新 问题：

（1）你能使用科学计算器计算：log215?计算器可以计算底数为多少的对数？

（2）对数的运算性质只能对同底数幂进行运算，那么对于不同底数的对数集中一起如何运算呢？如：

设计意图：通过一实例引入让学生发现问题，然后大胆探索、分析、归纳。

师：我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？（产生认知冲突，激发学生的学习欲望）

二、讲解新课 问题（1）、通过计算器的计算，问题（1）可看成 已知 lg2=0.3010, lg3=0.4771, 求log215？

设计意图：进一步体现“解指数方程常用的方法是两边取对数的方法”

（一）探求换底公式，明确换底公式的意义和作用，提问（2）、由上述计算你可得出什么结论？合作探究换底公式及证明 方法引导：关于对数换底公式的证明方法有很多，证明的基本思路就是借助指数式.设计意图：通过证明换底公式，①使学生掌握证明换底公式的基本思路就是借助指数式。②培养学生勇于探索、分析、归纳的能力。

合作探究1：常用推论及变形 logablogba? logablogbclogca?

nlogab（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1，N＞0.m合作探究：换底公式有什么重大作用？ 合作探究2：证明logambn结论：是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底问题，为使用运算法则创设条件，如换底公式可以解决如下问题：

（二）换底公式的应用（多媒体显示如下例题，）

例1(1)log927(2)log89log2732 方法引导：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.设计意图：进一步熟练应用换底公式进行计算。充分体现换底公式的作用，提高学生灵活解题能力。

知识拓展：

例2 已知 log189a,18b5 求log3645的值（用a, b表示）考察学生对本节课的掌握情况

（三）对数的实际应用问题

合作探究：现在我们来用已学过的对数知识解决实际问题.（四）小结提升

设计意图：①培养学生善于全面总结,自觉归纳的好习惯。②使知识更加系统,有利于学生掌握。

课堂练习与作业 练习:P86 2、3、4 作业：课本 P88 B组3，4

设计意图：通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容，并为学有余力和学习兴趣浓厚的学生提供进一步学习的机会。

(五)教学反思

对于课本中的“两边取对数”方法，我认真反思了很久，有些个人的感受。课本这样做的理由是此前课本中有这样的说法：“对任何正数N，log a N是存在的，并且由于指数函数是单调函数，所以log a N也是唯一的。”这就保证了“对两个相等的正数，两边取相同底数的对数后仍相等”是站得住脚的，也就保证了“两边取对数”的方法是有据可依的。

个人认为，课本这样做也是合理的。但这种做法不太适宜学生的接受，因为它的思维跨度较大，多数学生不宜想到这样做的理由，所以效果不一定会好。如果能过渡一下就好了。我想改变一下做法，让它仍然能够解决问题，同时学生也容易接受。大家知道，在“指、对互化”中，指数幂的底数就是对数的底数，所以我们可以把对数转化为指数，而后对指数幂进行换底，再把指数幂换回到对数，就达到了目的。这样做，也可以引出指数幂的换底公式，为学生的思考与拓展作了铺垫。

再者，课本的引入较为简单，突然出现一个对数让学生去计算，没有来龙，也不好确定去脉。个人在同行们的建议下，把引入变成了一个实际问题，从实际问题中提出关于一个对数的计算，从而引出问题，导入主题。当然，还有很多不成熟的地方，有待同行批评指正。

课后反思：

上课后，出乎我的意料，学生在最困难的“换底”处理上，还是首先想到的“两边取对数”的思想方法。看来，教材编排是有科学根据的，对“两边取对数”的思想方法实现作铺垫是很有必要的。

其实，关于变换指数幂的底数，教材在此之前也有铺垫，学生已经学过了公式。但从学生的实际出发，学生更愿意接受“两边取对数”的方法。

（六）板书设计

3.4.2 换底公式

一、换底公式 1.换底公式

2.换底公式的推导过程

3.使用换底公式应注意的地方

二、对数的应用问题 例1 例2

三、巩固练习

四、课堂小结与布置作业

第三篇：换底公式的两种证明方法

换底公式的几种证明

1、定义法

令 logcbq,logcap，则cqb,cpa

logablogcpcq

2、恒等式法 qqlogcb logccpplogca∵logablogcalogca∴logablogablogcb

logcb logca

第四篇：对数教案

对数函数的图像及性质

一、教材分析

本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修

（一）》第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。

二、学生学习情况分析

刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。另外我所执教的班级是程度相对较弱的学生，鉴于这一点，教学中我注重控制要求的拔高，关注学习过程。

三、设计理念

本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

四、教学目标

1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；

2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。

五、教学重点与难点

重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．

六、教学过程设计

教学流程：背景材料→ 引出课题 → 函数图象→

函数性质 →问题解决→归纳小结

（一）熟悉背景、引入课题 1．让学生看材料：

如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 „„，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 „„，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即

；

图 1

2.引导学生观察这个函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数的定义域是（0，+∞）．

注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：，且

叫做对数函数，其中是自变量，函数 都不是对数函数．②对数函数对底数的限制：3．根据对数函数定义填空；，且．

例1（1）函数 y=logax的定义域是___________(其中a>0,a≠1)(2)函数y=loga(4-x)的定义域是___________(其中a>0,a≠1)

说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止。

[设计意图：新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手”。因此，选择从材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点]

（二）尝试画图、形成感知 1．确定探究问题

教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？ 学生1：对数函数的图象和性质。

教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？ 学生2：先画图象，再根据图象得出性质。

教师：画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类？ 2学生3：按和分类讨论

教师：观察图象主要看哪几个特征？

学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图

教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象： 步骤一：（1）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

（2）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

步骤二：观察对数函数征，看看它们有那些异同点。、与、的图象特步骤三：利用计算器或计算机，选取底数，且的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有哪些共同特征？

步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象。

步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较。2．学生探究成果

（1）如图 4—

2、4—3较为熟练地用描点法画出下列对数函数，的图象

图2

图3

（2）如图4—5学生选取底数=1/

4、1/

5、1/

6、1/10、4、5、6、10，并推荐几位代表上台演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图象。由于学生自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了底数是如何影响函数图象的变化。，且

图4

（3）有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y = loga x（a>1）、y = loga x(0

（4）学生相互补充，自主发现了图象的下列特征：①图象都在y轴右侧，向y轴正负方向无限延伸；②都过（1、0）点；③当a>1时，图象沿x轴正向逐步上升；当0

3．拓展探究：

（1）对数函数有怎样的对称关系？

与、与的图象（2）对数函数y = loga x（a>1），当a值增大，图象的上升“程度”怎样？ 说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感性认识就比较全面。

[设计意图：本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性。这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受。]

（三）理性认识、发现性质 1．确定探究问题

教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。同学们，通常研究函数的性质有哪些途径？

学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。

教师：现在，请同学们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。

2．学生探究成果 在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格：

[设计意图：发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示对数函数的本质属性，我先引导学生回顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质。教学实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到这些性质必然水到渠成。]

（四）探究问题、变式训练

问题一：（幻灯）（教材p79 例8）比较下列各组数中两个值的大小：（1)log 23.4 , log 28.5

（2）log 0.31.8 , log 0.32.7（3）log a5.1 , log a5.9(a＞0 , 且a≠1)

独立思考：1。构造怎样的对数函数模型？2。运用怎样的函数性质？小组交流：（1）是增函数（2）

是减函数

（3）y = loga x，分和分类讨论

变式训练：1.比较下列各题中两个值的大小:

⑴ log106

log108

⑵ log0.56

log0.54 ⑶ log0.10.5

log0.10.6

⑷ log1.50.6

log1.50.4 2．已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：

(1)log 3 m < log 3 n

(2)log 0.3 m > log 0.3 n

(3)log a m < loga n(0 log a n(a>1)

（五）归纳小结、巩固新知 1．议一议：

（1）怎样的函数称为对数函数？

（2）对数函数的图象形状与底数有什么样的关系？（3）对数函数有怎样的性质？

2．看一看：对数函数的图象特征和相关性质

（六）作业布置、课后自评

1.必做题：教材P82习题2．2（A组）第7、8、9、12题． 2.选做题：教材P83习题2．2（B组）第2题．

七、教学反思

函数始终是高中数学教学的主线，对数函数始终是高中数学的难点。高中新课改的春风，带来了函数教学设计上的创新，促使我们在学生学习方法上、教学内容的组织上、教学辅助手段上率先尝试，但这只是一个起点，目前教学条件还受到制约，如图形计算器未能普及、课时紧容量大，都影响函数的正常教学，通过这次活动希望能引起大家的广泛关注并深入探讨！

第五篇：高一数学教案：3.4.2 换底公式(北师大版必修1)

对数换底公式

一、新课引入：

已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log56=?

像log56这样的对数值是不能直接从常用对数表中查出的。能不能将以5为底的对数，换成以10为底的对数呢？这就要学习对数换底公式。什么是对数换底公式？怎样用我们所掌握的知识来

二、新课讲解： *logaNlogbNlogab 公式：x证明：设xlogbN，则bN

xlogablogaNxlogaNlogaNlogbNlogab,即logab。

1、成立前提：b>0且b≠且a≠

12、公式应用：“换底”，这是对数恒等

10为底。

3eNe=2.71828

例11：logablogba

1nlogablogabm2：n

m

例

2、求下列各式的值。X k b 1.c o m

（1）、log98•log3227

（2）、（log43+log83）•(log32+log92)

(3)、log49•log

32(4)、log48•log39

(5)、（log2125+log425+log85）•(log52+log254+log1258)

例

3、若log1227=a,试用a表示log616.解：法

一、换成以2为底的对数。

法

二、换成以3为底的对数。

法

三、换成以10为底的对数。

练习：已知log189=a,18b=5,求log3645。

例

4、已知12x=3,12y=2,求812x

1xy的值。

22logalogb5,logbloga•b的8484练习：已知

值；

例

5、有一片树林，现有木材220002.5%，求1

5解：设15年后约有木材 A=22000（×1.02515

∴答：15年后约有木材131840方。

练习：

1、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（）个。

2、在一个容积为a升的容器里满盛着酒精。先向外倒出x升，再用水注满；第二次又倒出x升溶液，再用水注满；如此操作t次后，容器里剩余的纯酒精为b升，试用含有a、b、t的式子表示x。logaNlogbN

三、小结：对数换底公式：

logab