和与差的对数公式的推导证明(公式编辑版)

第一篇：和与差的对数公式的推导证明(公式编辑版)

和与差的对数公式的推导证明 张先胜

重庆市合川区农委，重庆市合川区（401520）

E-mail ：hcnw631@163.com

摘要：本文推导证明了和与差的对数公式，丰富了对数公式体系。

关键词：和差对数公式

中图分类号：O122.6

1.引 言

对数产生于十七世纪前二十五年。对数方法是苏格兰的皮纳尔独立决发现的，在其对数专著《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，布里格斯继承纳皮尔的未竟事业，发表了《奇妙对数规则的结构》详细阐述了对数计算和造对数表的方法。十八世纪，欧拉发现了指数与对数的本质联系。

经典对数理论已发现系列对数公式，幂积商等对数公式发现已久，但没有查询到和与差的对数公式。本文运用对数理论，推导证明了和与差的对数公式。

2.和的对数公式推导证明 设logaMp，logaNq，(a>0,a≠1)，由对数的定义得

MaPNaq

则

MNapaq，那么

loga(MN)loga(apaq)

根据

所以 aaxlogaax

loga(MN)loga(apaq)

loga(alogaapalogaaq)

将Map，Naq代入，得

loga(MN)loga(apaq)

loga(alogaapalogaaq)

logaMlogaNlog(aa)a

即分别用M、N的以a为底对数——logaM、logaN表示M与N的和(M+N)以a为底的对数。

3．差的对数公式推导证明 设logaMp，logaNq，(a>0,a≠1)，由对数的定义得

MaPNaq

则

MNapaq，那么

loga(MN)loga(apaq)

根据

a

所以

loga(MN)loga(apaq)xalogaax

loga(alogaa

palogaaq)将MapNaq代入，得

loga(MN)loga(apaq)

loga(alogaapalogaaq)

logaMlogaNlog(aa)a

即分别用M、N的以a为底对数——logaM、logaN表示M与N的差(M-N)以a为底的对数。

4．结论 综上所述，除存在幂积商等对数公式外，也存在和与差的对数公式。

（1）和的对数公式

loga(MN)loga(alogaMalogaN)

（2）差的对数公式

loga(MN)loga(alogaMalogaN)

参考文献

[1]数学手册。

[2] 百度百科。

作者简介: 张先胜，男，籍贯重庆市合川区，一九八五年四川农业大学毕业，科学爱好者。通讯地址：重庆市合川区南津街南园路35号合川农业委员会

邮编：401520

工作单位：重庆市合川区农业委员会

第二篇：公式及证明

初中数学几何定理

1。同角（或等角）的余角相等。2。对顶角相等。3。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。4。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。

5。同位角相等，两直线平行。6。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。7。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

8。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。

9。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。

10。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

11。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。

12。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

13。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

14。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。15。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。16。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

17。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。

18．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

19。切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

20。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。②圆的切线垂直于经过切点的半径。③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

21。切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。

22。弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

23。相交弦定理； 切割线定理； 割线定理；

初中数学几何一般证题途径：证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等 2.同一三角形中等角对等边

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等

12.两圆的内（外）公切线的长相等 13.等于同一线段的两条线段相等

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等 2.同一三角形中等边对等角

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等 6.同圆（或等圆）中，等弦（或同弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

8.相似三角形的对应角相等 9.圆的内接四边形的外角等于内对角

10.等于同一角的两个角相等

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行

3.平行四边形的对边平行 4.三角形的中位线平行于第三边

5.梯形的中位线平行于两底 6.平行于同一直线的两直线平行 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平等行于第三边

证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角

4.邻补角的平分线互相垂直 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条

6.两条直线相交成直角则两直线垂直

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上

8.利用勾股定理的逆定理 9.利用菱形的对角线互相垂直

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦 11.利用半圆上的圆周角是直角

证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）

证明角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同 2.利用角平分线的定义

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边 2.垂线段最短

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大

5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小 6.全量大于它的任何一部分

证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角 2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大

4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大 5.全量大于它的任何一部分

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例 2.利用内外角平分线定理

3.平行线截线段成比例 4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理

5.与圆有关的比例定理：相交弦定理、切割线定理及其推论

6.利用比利式或等积式化得

证明四点共圆

1.对角互补的四边形的顶点共圆 2.外角等于内对角的四边形内接于圆

3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）

4.同斜边的直角三角形的顶点共圆 5.到顶点距离相等的各点共圆

二、空间与图形

A：图形的认识：

1：点，线，面

点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动成体。

展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。

一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

3视图：主视图，左视图，俯视图。

多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

弧，扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。

2：角

线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

3：相交线与平行线

角：①如果两个角的和是直角,那么称和两个角互为余角；如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。②同角或等角的余角/补角相等。③对顶角相等。④同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行，反之亦然。

4：三角形

三角形：①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。②三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。③三角形三个内角的和等于180度。④三角形分锐角三角形/直角三角形/钝角三角形。⑤直角三角形的两个锐角互余。⑥三角形中一个内角的角平分线与他的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。⑦三角形中，连接一个顶点与他对边中点的线段叫做这个三角形的中线。⑧三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点。⑨从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。⑩三角形的三条高所在的直线交于一点。

图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合的图形叫全等图形。全等三角形：①全等三角形的对应边/角相等。②条件：SSS/AAS/ASA/SAS/HL。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然。

5：四边形

平行四边形的性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。③平行四边形的对边/对角相等。④平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形的判定条件：两条对角线互相平分的四边形/一组对边平行且相等的四边形/两组对边分别相等的四边形/定义。

菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。

矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。②矩形的对角线相等，四个角都是直角。③对角线相等的平行四边形是矩形。④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。⑤一组邻边相等的矩形是正方形。

梯形：①一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。②两条腰相等的梯形叫等腰梯形。③一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线星等，反之亦然。

多边形：①N边形的内角和等于（N-2）180度。②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度）

平面图形的密铺：三角形，四边形和正六边形可以密铺。

中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

B：图形与变换：

1：图形的轴对称

轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。③等腰三角形的“三线合一”。

轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。

2:图形的平移和旋转

平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。3：图形的相似

比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。=M/N，那么A+C+。。+M/B+D+。。N=A/B。

黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比（根号5-1/2）。相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。②相似多边形对应

边的比叫做相似比。

相似三角形：①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。②条件：AA/SSS/SAS。

相似多边形的性质：①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

图形的放大与缩小：①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

D：证明

定义与命题：①对名称与术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义。②对事情进行判断的句子叫做命题（分真命题与假命题）。③每个命题是由条件和结论两部分组成。④要说明一个命题是假命题，通常举出一个离子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子叫做反例。

公理：①公认的真命题叫做公理。②其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。③同位角相等，两直线平行，反之亦然；SAS/ASA/SSS，反之亦然；同旁内角互补，两直线；平行，反之亦然；内错角相等，两直线平行，反之亦然；三角形三个内角的和等于180度；三角形的一个外交等于和他不相邻的两个内角的和；三角心的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。④由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。

第三篇：圆锥体积公式的推导

圆锥体积公式的推导

（定积分）

圆锥体积公式在小学的推导法是实验法，现在在这里介绍高等几何的定积分法。

首先，设圆锥的底面半径为r，高为h。如图1：

图1 定义空间直角坐标系，以圆锥底面圆心为坐标原点，线段r（半径）在x轴上，线段h（高）在z轴上。

把圆锥分割成小圆台，切面平行于平面xOy。可据此列出体积V的公式：

因此可得一个圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的三分之一，与实验法吻合。

dawny 2010-01-07

第四篇：平行四边形面积公式的推导

《平行四边形面积公式的推导》的说课

一、说教材：

今天，我说课的内容是《多边形面积的计算》中的第一课时：平行四边形面积的计算，它是“空间与图形”这一部分中的重点内容。

就教材来说，平行四边形面积的计算，它的教学是在学生了解、理解了平行四边形的特征，以及掌握了长方形、正方形面积计算的基础上进行的，同时又是为进一步学习三角形、梯形、圆等平面图形的面积乃至立体图形如长方体、圆柱等的表面积奠定良好的基础。

关于学情方面，学生已经了解了平行四边形的基本概念，已会计算长方形的面积，并且有了“用数方格的方法来推算图形面积”这一经验，但是在这一课中平行四边形上出现了斜边，这给数方格的方法带来一定的局限性。基于以上对教材和学情的分析，我制定如下： 教学目标：

1.学生通过数方格、割补等方法亲历探索平行四边形面积公式的推导过 程，在观察、探索、操作的过程中渗透转换的数学思想方法。

2.会准确说出平行四边形面积的计算公式，并能正确应用。

3.能应用平行四边形的面积公式解决相应的实际问题，感受数学与生活 的密切联系，激发学生的学习兴趣。

教学重点：推导平行四边形的面积公式，及对公式的正确应用。

教学难点：把平行四边形转换成已经学过的图形，通过找关系推导出平行四边形的面积公式。

二、说教学流程：

为了体现“自主探究”的教学理念，高效完成教学目标，我设计了如 下教学环节：

（一）、复习旧知，导入新课

引导学生复习长方形的面积计算公式、平行四边形的基本特征以及 如何做平行四边形的高等内容为新知的学习做好铺垫。

（二）、创设情境，引入课题

为了调动学生思维的活跃性，要合理创设情境，激发学生兴趣，本课我是这样导入的：

先出示一段视频动画，主要内容是：一个长方形和一个平行四边形 是一对好朋友，一天，他们在那里争吵不休，原因就是它们都认为自己的面积要比对方的大。这时提出问题：同学们，你们认为谁的面积比较大呢？你又是怎么想的呢？长方形的面积我们已经会计算了，那么平行四边形的面积我们又要如何计算呢？从而引出今天的教学课题：平行四边形面积的计算。

（三）动手实践，探究发现。这个部分我主要设计了两个模块来完成。

第一模块是数方格，引发猜想。在方格纸上分别计算出平行四边形的 面积和长方形的面积，并且比较它们的大小，因为学生前面已经有了用数方格的方法来推算图形面积的经验，所以学生很容易发现长方形的面积和平行四边形的面积相等。在学生得出这个结论后，立即抛给学生另外一个问题：当一个平行四边形很大时，我们还能用数方格的方法来求它的面积吗？从而引发思考：是不是还有其他的方法来求平行四边形的面积。

第二模块是剪拼转化，验证猜想。活动是认知的基础，动手操作是学 生学习循序渐进的探索过程。由于前面在数方格时就会有同学提到用割补法来求面积，这时教师就可以顺水推舟，让学生以小组为单位，合作并动手操作，想办法将平行四边形转化成长方形。学生肯定会有许多的方法。我会根据他们提出的方法给予相应的肯定，这个过程既培养了学生的发散性思维，又提升了学生的自信心。之后我会进行总结，概括出两种比较广泛使用的方法：一种是将一个平行四边形剪成一个三角形和一个直角梯形，通过将一个三角形平移后拼成一个长方形；另一种是将一个平行四边形剪成两个直角梯形，通过将其中一个直角梯形平移后拼成长方形。之后，让学生观察前后两个图形，提问：拼成的长方形和原平行四边形比较什么变了，什么没变？它们之间又有什么联系呢？然后顺势引导学生得出推导过程：将平行四边形剪拼转化后，得到长方形，拼成的长方形的长就是平行四边形的底，拼成的长方形的宽就是平行四边形的高。因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高，这时我们就得到了平行四边形的面积计算公式。如果用S表示平行四边形的面积，a表示平行四边形的底，h表示平行四边形的高，那么平行四边形的面积公式用字母表示就是S=ah

（四）分层训练，理解内化新知

本着“重基础，验能力，拓思维”的原则，我设计了三个层次的联系。第一层次，完成书上的试一试和练一练，巩固所学的平行四 边形的面积计算公式。

第二层次，我会提出这样一道判断纠错题，这道题主要是考察学生对平行四边形中底和高的一个对应关系。

第三层次，通过这样一道判断题得出：等底等高的平行四边形面积相 等。这样也同时呼应了导入中得到的长方形的面积和平行四边形的面积相等这一结论，因为长方形是特殊的平行四边形。

（五）全课总结，质疑问难

1、让学生说说本节课学到的知识，并说说是怎样学到的，还有什么 问题想与老师和同学商讨。培养学生整理知识的能力和质疑问难的能力。

2、布置作业，三、说教法、学法：

本节课采用了情境教学法和引导探究法，组织学生开展丰富多彩的数学活动；同时鼓励学生自主探究、合作实践，组织学生认真观察、操作、分析和讨论来解决实际问题，从中培养学生应用数学的意识和能力。

第五篇：梯形面积公式的推导

姓名：班别：

梯形面积公式的推导 1．小组合作操作讨论

（1）用两个的梯形可以拼成一个形。

（2）梯形的上底与下底的和等于平行四边形的；梯形的高等于平行四

边形的。

（3）每一个梯形的面积等于平行四边形面积的。（4）梯形的面积等于，用字母表示是 2．归纳公式

梯形面积=（+）×÷2

S=(+)×÷2

姓名：班别：

梯形面积公式的推导 1．小组合作操作讨论

（1）用两个的梯形可以拼成一个形。

（2）梯形的上底与下底的和等于平行四边形的；梯形的高等于平行四

边形的。

（3）每一个梯形的面积等于平行四边形面积的。（4）梯形的面积等于，用字母表示是。2．归纳公式

梯形面积=（+）×÷2

S=(+)×÷2

姓名：班别：

梯形面积公式的推导 1．小组合作操作讨论

（1）用两个的梯形可以拼成一个形。

（2）梯形的上底与下底的和等于平行四边形的；梯形的高等于平行四

边形的。

（3）每一个梯形的面积等于平行四边形面积的。（4）梯形的面积等于。2．归纳公式

梯形面积=（+）×÷2

S=(+)×÷2

姓名：班别：

梯形面积公式的推导 1．小组合作操作讨论

（1）用两个的梯形可以拼成一个形。

（2）梯形的上底与下底的和等于平行四边形的；梯形的高等于平行四

边形的。

（3）每一个梯形的面积等于平行四边形面积的。（4）梯形的面积等于，用字母表示是。2．归纳公式

梯形面积=（+）×÷2

S=(+)×÷2