定积分在几何上的应用教案_2（推荐五篇）

第一篇：定积分在几何上的应用教案_2

定积分在几何上的应用教案(2)

目的要求

1．了解旋转体的概念，理解旋转体体积公式的推导过程，继续了解“分割——近似代替——求和——取极限”的思想方法．

2．掌握用旋转体的体积公式求旋转体的体积，学会用定积分解决一些在几何中用初等数学方法无法解决的体积问题．

3．对几何图形的基本度量——体积的概念有较完整的认识，知道在求旋转体的体积时，定积分是一种普遍适用的方法，进一步体会学习定积分的必要性．

4．培养学生应用数学的意识和能力，进一步培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力以及应用定积分的基本思想解决问题的能力．

内容分析

1．本节课是在学习了定积分的概念与计算的基础上，介绍定积分在几何中的又一种应用，它是微积分解决初等数学的一个生动实例，这充分体现了新教科书对培养学生应用数学的意识的重视．大家知道，微积分是十七世纪数学发展史上的里程碑，是人类思想史上的重大飞跃，微积分可以解决初等数学难以解决或无法解决的许多问题．通过这部分内容的学习，可使旋转体的体积在理论上解决得更彻底，并使学生对体积的概念有较完整的认识．

2．“旋转体的体积”这部分内容包括旋转体的定义、旋转体的体积公式的推导、旋转体体积的计算．教学中以旋转体体积的计算为重点；由于旋转体体积公式的推导比较抽象，空间想象能力要求较高，故为本节课的教学难点；突破难点的关键是数形结合，充分采用现代化的多媒体教学手段显示旋转体的形成过程，在计算机中虚拟几何体的分割过程的“真实”情景，“放大”微观世界，使抽象问题形象化、直观化．

3．考虑到本课内容比较抽象，故宜采用启发引导、讲练结合的教学方法，同时采用计算机辅助教学．在具体教学中要注意到以下几点：

关于旋转体的定义，要与以前学习过的柱、锥、球等旋转体的定义结合起来教学，使学生明确旋转体的形成有两个要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴．柱、锥、球等旋转体的平面图形都是直线或圆弧，而在这里是一般的曲线．

关于旋转体体积公式的推导，其实在第二册(下)关于体积公式的推导过程中已经渗透了定积分的思想方法．教学中，可通过对球的体积公式的推导及曲边梯形面积公式的推导作一简单的回顾，采用类比的方法，遵循“有限→无限→有限、连续→离散→连续、精确→近似→精确”的原则，化曲为直，化整为零，变未知为已知．

关于旋转体体积公式的计算，课本例3显然可直接应用圆锥的体积公式求出圆锥的体积．之所以安排这道例题，是为了让学生明白用定积分求旋转体的体积是一种普遍适用的方法，教学中切勿一带而过．在讲完例3后，要注意总结求旋转体体积的解题步骤．本课的练习要紧紧围绕旋转体的体积公式展开，让学生通过一定的练习，加深对定积分概念的了解，并达到熟练掌握公式的教学效果．

4．本节课是定积分应用的一个高潮，有必要在知识和能力方面有所突破，即安排一些综合性较强的例题或课外练习题，让学有余力的学生继续探讨，以提高他们分析问题与解决实际问题的能力．

教学过程

(一)铺垫引入，创设情景 1．铺垫引入

①数轴可表示什么样的图形？ ②什么样的图形叫做圆？

③什么样的图形叫做球？(多媒体演示球的形成过程)2．创设情景

(1)问题一 下列几何体是如何形成的？(多媒体演示形成过程)①圆柱 ②圆锥 ③花瓶 归纳：

①什么叫旋转体？(平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周所成的几何体)②旋转体形成的两个要素是什么？(一是被旋转的平面图形，二是旋转轴)③举一些日常生活中的旋转体的例子，并说明被旋转的平面图形及旋转轴分别是什么．(多媒体演示一些旋转体)(2)问题二 如何求旋转体的体积？

学生展开讨论并提出解决的几种方案，估计会出现下列情况： ①对于特殊的旋转体(如球、圆柱、圆锥)，可直接运用公式求解； ②对于一般的旋转体，可用物理中测量不规则物体的体积的方法求解； ③像求曲边梯形的面积一样，推导出一个计算一般的旋转体的体积公式．

(二)类比启迪，推导公式

1．复旧：先回忆曲边梯形面积公式的推导思路，再回顾球的体积公式的推导过程(多媒体演示)． 2．类比：将球的体积公式的推导过程与曲边梯形面积公式的推导过程进行对比：有限→无限→有限，精确→近似→精确．

3．探求：在计算机中虚拟旋转体的分割过程的“真实”情景，“放大”微观世界，然后由师生共同归纳旋转体体积的推导过程．(如图55－1)①分割：将闭区间[a，b]用n－1个分点a＝x0＜x1＜x2＜„＜ ②近似代替：过各分点xi作垂直于x轴的平面，将旋转体割成厚度 个小圆柱体，它的底面半径可以用区间上任一点ξ

i的纵坐标

f(ξi)来近

就可用与这个区间对应的小圆柱的体积来近似代替

③作和：当n很大时，每个薄片可以近似地看作圆柱，圆柱的底面半径近似地等于区间左端点的函数值．这样旋转体的体积近似地等于n个圆柱的体积之和．

④求极限： 4．深化：

[C]

A．由y＝x2、y＝0、x＝

1、x＝2所围成的曲边梯形的面积 B．由y＝x、y＝0、x＝

1、x＝2所围成的曲边梯形的面积

C．由y＝x、y＝0、x＝

1、x＝2所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体的体积 D．由y＝x2、y＝0、x＝

1、x＝2所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体的体积 ②思考2：猜想下列图中阴影部分的图形绕对称轴旋转所得的旋转体的体积公式(三)范例讲解，运用公式

三角形绕x轴旋转而成的旋转体的体积．

解：依题意知直线与两坐标轴围成的图形为△OSA，其中S(h，0)，A(0，r)． △OSA绕x轴旋转而成的旋转体为圆锥．由旋转体的体积公式得： 归纳：求旋转体体积的解题步骤： ①根据题意画出草图；

②找出曲线范围，确定积分上、下限和被积函数； ③写出求体积的定积分表达式； ④计算定积分，求出体积．

变式：利用旋转体的体积公式，求出底半径为r、高为h的圆锥的体积公式．学生讨论后，归纳出两种解法：

解法一：(以高所在直线为x轴，以底面半径所在直线为y轴，建立直角坐标系求解．)解法二：(以高所在直线为y轴，以底面半径所在直线为x轴，建立直角坐标系求解．)绕x轴旋转一周所成旋转体体积的2倍，y轴旋转一周所成旋转体体积的2倍． 转而成的旋转体的体积．

(四)练习反馈，巩固公式

[C]

A．单位圆面积的一半

B．以1为半径的球的表面积的一半 C．以1为半径的球的体积的一半 D．以1为半径的球的体积 练习2：由曲线y＝sinx，x∈[0，π]与x轴所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积是________ 练习3：椭圆x2＋3y2＝12绕y轴旋转所得的旋转体的体积是

[D]

B．9π D．32π

练习4：抛物线y2＝4x被其通径所截得部分绕x轴旋转得旋转体的体积是

[A]

A．2π

B．3π C．6π

D．8π

转体的体积是________

(五)归纳小结，内化公式 布置作业

1．必做题：教科书习题4．4第2、4题． 2．选做题：

(1)复习参考题四(B组)第5题．

(2)(2001年全国新课程高考数学试题)某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A1是双曲线的顶点，C、C1是冷却塔上口直径的两个端点，B、B1是冷却塔下口直径的两个端点，已知AA1＝14m，CC1＝18m，BB1＝22m．

(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程；

(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10m3，塔壁厚度不计，π取3.14)． 说明：

本题是一道综合性较强的试题，主要考查了选择适当坐标系建立曲线方程和解方程组等基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力．

第二篇：定积分的几何应用教案

4.3.1 定积分在几何上的应用

教材：

《高等数学》第一册第四版，四川大学数学学院高等数学教研室，2009 第四章第三节 定积分的应用

教学目的：

1.理解掌握定积分的微元法；

2.会用微元法计算平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长、旋转曲面的面积。

教学重点：定积分的微元法。

教学难点：

计算平面图形的面积、立体体积、平面曲线弧长、旋转曲面面积时的微元如何选取和理解。

教学时数：3学时

教学过程设计：通过大量例题来理解用微元法求定积分在几何上的各种应用。

部分例题：

(1)求平面图形的面积

由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。

例如：求曲线fx2和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。

分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。

所以该曲边梯形的面积为

f21x223137xdx

31333222(2)求旋转体的体积

(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b(a

ab(Ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c、y=d(c

cd(III)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)与直线x=a、x=b(0a

abx2y2例如：求椭圆221所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周而成的旋ab转体的体积。

分析：椭圆绕x轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆b2yax2(axa)，与x轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆ax2y21所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为 a2b2b2vy(ax2)aab2213a2(axx)aa3a2dxb2a2aa(a2x2)dx

4ab23椭圆绕y轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆xa2by2,(byb)，与bx2y2y轴所围成的图形绕y轴旋转一周而成的，因此椭圆221所围成的图形绕

aby轴旋转一周而成的旋转体的体积为

a2a22vy(by)dy2bbb

a2213b422(byy)babb33b2bb22(bydy)

(3)求平面曲线的弧长

(I)、设曲线弧由参数方程

{x(t)(t)

y(t)给出其中'(t),'(t)在[,]上连续，则该曲线弧的长度为s'['(t)2][t(2d)。]x()(Ⅲ)设曲线弧的极坐标方程为rr()()，其中r'()在[,]上连续，则该曲线弧的长度为sr2()[r()']2d()。

x21例如：求曲线ylnx从x=l到x=e之间一段曲线的弧长。

42解：y'x122x，于是弧长微元为

ds1y'2，x111dx1()2dx(x)dx。

22x2x所以，所求弧长为：s

e1111x21e(x)dx(lnx)1(e21)。2x224

第三篇：9.9 积的乘方2教案

9.9积的乘方

教学目标

理解积的乘方的运算性质，准确掌握积的乘方的运算性质，熟练应用这一性质进行有关计算．通过推导积的乘方的法则提高学生的抽象思维能力．

教学重点及难点

准确掌握积的乘方的运算法则．用数学语言概括运算法则． 教学过程设计 1．创设情境，复习导入

前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个幂的运算性质，请同学们通过完成一组练习，来回顾一下这两个性质：

填空：

（1）aaa32

4（2）a

5334323253 3aaaaaa

（3）

（4）2．探索新知，讲授新课 请同学们观察以下算式：

3523535……幂的意义

3355……乘法的交换律、结合律 3252

下面请同学们按照以上方法，完成书本填空：

na我们知道表示n个a相乘，那么ab表示什么呢？

3学生回答时，教师板书．

ab3ababab

aaabbb

a3b3

这又根据什么呢？（学生回答乘法交换律、结合律）

333abab 也就是44nababcab请同学们回答、的结果怎样？那么（n是正整数）如何计算呢？

；____________个

运用了________律和________律

________个________个

学生活动：学生完成填空．

abnanbn（n 是正整数）刚才我们计算的ab、abn 是什么运算？（答：乘方运算）什么的乘方？（积的乘方）

通过刚才的推导，我们已经得到了积的乘方的运算性质．

请同学们用文字叙述的形式把它概括出来．

积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：

abn anbn（n 是正整数）

提出问题：这个性质对于三个或三个以上因式的积的乘方适用吗？如abcn

（是正整数）

3．尝试反馈，巩固知识

例1计算：

（1）3a4

（2）2mx3

2（3）xy232xy2

（4）3

学生活动：每一题目均由学生说出完整的解题过程． 解:（1）3a4 34a481a4

3333

3（2）2mx2mx2m3x38m3x3 23323

（3）xyxyx3y6

2（4）222223xy3xy249x2y4

练习9.9 4．综合尝试，巩固知识

例2 计算：

34aa（1）

22333xy2xy（2）32（3）3x2x 3223解：（1）aaa1aa 347777（2）3xy（3）3x322232x3y32323x6y62x6y6x6y6

2x9x68x672x12

教师板演（1）学生板演（2）（3）5．反复练习，加深印象 6．简便计算，培养能力

7、总结、扩展

这节课我们学习了积的乘方的运算性质，请同学们谈一下你对本节课学习的体会．

8、回家作业 练习册习题9.9

第四篇：组合应用教案 2

组合数的性质学案

一、知识回顾

1、组合的概念：___________________________________________________________；

2、组合数的概念：_________________________________________________________；

3、组合数公式

Cnm=________=______________________；Cnm=___________________________；

二、自主学习

73练习求值（1）C73 与 C74 ；（2）C52 与 C53 ；（3）C10 与 C10

mnm小结：（1）组合数的性质1 Cn= Cn。

证明：

（2）针对性质1，我们说明两点：

①为简化计算，当__________时，通常将计算Cn改为计算Cn②为了使性质1在m=n时也能成立，我们规定：C0n=_____.三、知识应用

例1 一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球：

（1）共有多少种不同的取法？

（2）其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？（3）其中不含红球，共有多少种不同的取法？

mnm.小结：组合数的性质2 Cnm1CnmCnm1

证明：

例2 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查。现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：

（1）共有多少种不同的抽法？

（2）恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）至少有一件是次品的抽法有多少种？

（4）恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？

例3 有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？

（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；（3）甲、乙、丙各得3本。

例4 某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行：

（1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名。

（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场）决出胜者；（3）决赛：两个胜队参加决赛异常，决出胜负。

问全部赛程共需比赛多少场？

例5 设北京故宫博物院某日接待游客10000人，如果从这些游客中任意选出10名幸运游客，一共有多少种不同的选择（保留四位有效数字）？若把10份不同的纪念品发给选出的幸运游客每人一份，又有多少种不同的选择？

三、巩固练习

课本P22 2、4、6

四、课堂总结

五、达标检测 课本P22 2、3

六、预习纲要

二项式定理

第五篇：2、椭圆的简单几何性质复习教案

椭圆的简单几何性质

一、知识归纳：

1、几何性质：

2、椭圆的

三、强化训练：

1、求下列各椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出草图。（1）4x2y216

（2）9x2y24

2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆经过两点P(22,0),Q(0,5)；（2）长轴是短轴的3倍，椭圆经过P(3,0)；（3）离心率等于0.8，焦距是8。

3、若直线4x3y120过椭圆b2x2a2y2a2b2(ab0)的一个焦点，离心率e35，求该椭圆的方程。

225xy4、椭圆，那么P到右焦点的距离1上有一点P，它到左准线的距离等于

2259是。

5、在椭圆x225为

。y291上有一点P，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的3倍，则P的坐标

6、过椭圆4x22y21的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成ABF2，那么ABF2的周长是

（）A.2B.2

C.2

D.1

7、若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为

A．14（）

xB．222 1和

x2C．y224 D．

8、已知k＜4，则曲线

9k4k94A.相同的准线

B.相同的焦点

C.相同的离心率

D.相同的长轴

x2y21有

（）

9、若点P在椭圆2积是

（）y21上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且F1PF290，则F1PF2的面

A.2

B.1

C.22

D.10、方程2(x1)(y1)|xy2|的曲线是（）A.椭圆 B.线段 C.抛物线 D.无法确定

x3cos

11、曲线（为参数）的准线方程是。

ysin

12、若实数x,y满足

13、椭圆x2x216y2251，则y3x的最大值为。

128m2y291的离心率是2，则两准线间的距离是。

14、已知椭圆x8y8，在椭圆上求一点P，使P导直线xy40的距离最小并求出最小值。