九年级数学第一轮复习教案--圆的基本性质与概念--吴寿根（推荐阅读）

第一篇：九年级数学第一轮复习教案--圆的基本性质与概念--吴寿根

三、例题讲解： 见《中考指要》P.74页

四、变式训练:

1、在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.2、(2004·山西)如图所示，已知RtΔABC中，∠C=90°,AC= ,BC=1,若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，则AP＝。

3、如图，O是∠CAE平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠CAE的两边分别交于点B、C和D、E，连结BD、CE.求证：(1)BC=DE

(2)AC=AE

(3)DB∥CE.五、作业：见中考零距离

主备人：吴寿根

第二篇：人教版九年级圆的基本性质复习课教案

圆的基本性质复习课

教学目标：

1、在例题的分析过程中回顾并进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性；

2、在知识框架的建立过程中进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理及逆定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论；

3、通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的能力。

4、通过课堂学习，熏陶学生乐于探究、善于总结的数学学习品质。教学重点：圆的轴对称性、旋转不变性 教学难点：相关性质的应用

一、引入：

师：同学们已经发现，老师在黑板上画了好几个圆，我们今天上课的主角就是这些圆。圆是一切平面图形中最美的图形，它的美体现在哪些方面呢？让我们一起来感受一下。今天，老师也带来了一个圆，但圆心找不到了，你能通过折纸的方法帮老师来找到这个圆心吗？

生：对折两次，两条折痕的交点就是圆心。

师：非常好，两条折痕其实是圆的什么？对折后能完全重合，说明圆具有什么性质？ 生：折痕是直径。圆具有轴对称性。

师：刚才这位同学其实就抓住了圆的这个性质，直径所在直线就是圆的对称轴，轻而易举地找到了这个圆心。这两条直径所夹的弧相等吗？为什么？ 生：因为它们所对的圆心角相等。

师：在一个圆中，只要圆心角相等，它们所对的弧一定相等。这说明圆具有一种旋转不变性。圆的这两种性质使得圆中五种基本量：圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间具有特殊的关系。今天这节课我们来复习圆的基本性质。—出示课题《圆的基本性质复习》。

二、圆的基本性质复习：

例

1、（1）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD//AC。求证：CD=BD 师：在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢？下面我们以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等。每组选派一位代表，整理组员的意见，待会来汇报展示。（学生分组交流，一会后学生汇报成果。）,ACOCOD组一：连接OC，AC//OD

ABOD

OAOCAACOCODDOB

CDBD

师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等。还有其他证明方法吗？

AC//OD，组二：连接AD，OA=OD

CADODAOAD

弧CD=弧BD

CD=BD 师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或圆心角相等），从而得到弦相等。这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。这样，证弦相等，又多了两条途径：可以考虑弧相等，也可以考虑去证圆周角相等。（边总结，边在黑板上抽离基本图形）

去证

师：还有其他方法吗？

组三：连接BC，AB是直径

ACB90

0AC//OD

BCOD

由垂径定理可以得到弧CD=弧BD

CD=BD 师：这就利用了垂径定理的基本图形。（同时在黑板上画出这个基本图形）

垂径定理及逆定理体现了直径、弧、弦三种量之间的关系：直径垂直弦、直径平分弦、直径平分弧，这三个结论中，只要有一个成立，则另两个也同时成立。但要注意，若条件是直径平分弦，则这条弦必须不是直径，另两个结论才会成立。垂径定理及逆定理体现的是圆的轴对称性。

而在圆中，要构造直角，大家要想到直径所对的圆周角是直角；而90的圆周角所对的弦是直径。（同时在黑板上抽离这个基本图形。）连直径，作直角是圆中常添的辅助线方法。在圆中构造直角，还常作弦心距，弦心距、弦的一半、半径构成一个直角三角形，这在计算题中用得较多。师：还有其他方法吗？

组四：延长DO交⊙O于点E，连接AE。

AC//OD

弧AE=弧CD

AE=CD

AOEBOD

AEBD

CD=BD 师：这也是圆中的一种基本图形，由弦平行，可以得到所夹弧相等。这个结论我们书上证明过，可以证一对内错角又是圆周角相等得到。

若不添加任何辅助线，你能证明出来吗？（提示：已知的相等两角A、BOD的度数分别与弧的度数有什么关系？）

m1组五：A弧BC

BOD弧BD

21弧BC=弧BD=弧CD

CD=BD 2m0师：圆周角度数等于所对弧度数的一半，圆心角度数等于所对弧的度数。

同学们真是太了不起了，一道题目想出这么多种证法，同学们的思路很开阔。在圆中还有一对基本量，我们刚才提到过，是什么？——弦心距。弦心距于圆心角、弧、弦之间也有一定的联系。在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一对量相等，其余各对量都相等。（同时抽离出基本图形）而圆周角又与圆心角、弧之间有这样的关系，这使得弦心距与圆周角之间也有一定联系。这五种量的关系体现了圆的旋转不变性。圆的轴对称性和旋转不变性构成了圆的基本性质。这四个基本图形集中体现了圆的基本性质。同学们在平时的学习中要注意积累一些基本图形，它有时是解

题的关键。

（这个例题分析完后，黑板上出现这些量之间的关系图。）

（2）：延长AC、BD交于点E，连接BC，正确的是______________。

①AB=AE ②BD=DE ③∠E=2∠EBC ④

⑤△

ECD

∽△EBA

（3）过点D做DG⊥AE，垂足为G，则四边形DGCF为什么四边形？为什么？

（4）移动点D位置，使点D在弧AB中点处，令点C在弧AD之间，过D做DF⊥BC，DG⊥AE，垂足为E、F，则四边形DGCF是什么四边形？为什么？

师：首先这个四边形已经是一个什么四边形？——矩形。

那再证一个什么条件，矩形就能成为正方形了？

由弧AD=弧BD，你能得到哪些结论？由弧你想到了什么？

请判断：下面结论中生1：连接OD，D是弧AB中点

BOD90

BCD01BOD450

DF=CF 矩形CFDG是正方形 生2：连接AD,BD

弧AD=弧BD

AD=BD

GADFBD,AGDDFB90

DAGDBF

DGDF

矩形CFDG是正方形

师：在圆中，我们不要忽视弧的作用，它是弦与角转化的桥梁。

三、小结：

师：通过本节课的学习，你对圆的基本性质又有哪些认识呢？你还有什么收获？

通过本节课的复习，我们又重新梳理了圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距五种量之间的关系，以及直径与弧、弦之间的关系定理——垂径定理及逆定理。从这些关系中我们发现，证明圆中一对量相等的道路是四通八达的，可以考虑证明圆中的其它几对量相等。圆的这些性质是我们计算角、线段及证明角、线段、弧相等的基本依据和方法。

四、圆的基本性质的妙用：

师：复习了圆的基本性质后，老师出了道思考题：

例：圆内接八边形的四条边长为1，另四条边长为2，如图：AB=BC=CD=DE=1,EF=FG=GH=HA=2,求此八边形的面积。师：九（3）班有几位爱探究的同学课后在一起讨论解决此题。

小慧觉得很困惑：“这个八边形又不是特殊的八边形，这能求出

0

它的面积吗？怎么求哦？“

同学们是否也有这样的困惑呢？ 小聪有想法了：“但八边形是放在圆中，我们能不能利用圆的性质，把八边形的八条边重新排列一下，让它变成比较特殊的八边形呢？”

小聪的想法可行吗？对同学们可有帮助？你们有思路了吗？ 生：把长边和短边间隔排列。

师：这样排列后，形状改变了，难道面积不变吗？为什么？ 生：利用圆的旋转不变性。

师：现在如何来求这个八边形的面积呢？

生：向外补成一个正方形，因为这个八边形的一个内角是1450。师：多边形的问题就可以转化为四边形和三角形的问题来解决。

这道题的解决完美体现了圆的旋转不变性的妙用。

第三篇：九年级数学竞赛圆的基本性质优化教案

九年级数学竞赛圆的基本性质优化教案

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【例题求解】

【例1】在半径为1的⊙o中，弦AB、Ac的长分别为和，则∠BAc度数为

．

作出辅助线，解直角三角形，注意AB与Ac有不同的位置关系．

注：由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结

合起来．

圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．

【例2】

如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为

A．

B．

c．

D．

思路点拨

所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．

【例3】如图，已知点A、B、c、D顺次在⊙o上，AB=BD，Bm⊥Ac于m，求证：Am=Dc+cm．

思路点拨

用截长或补短证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．

【例4】

如图甲，⊙o的直径为AB，过半径oA的中点G作弦cE⊥AB，在cB上取一点D，分别作直线cD、ED，交直线AB于点F，m．

求∠coA和∠FDm的度数；

求证：△FDm∽△com；

如图乙，若将垂足G改取为半径oB上任意一点，点D改取在EB上，仍作直线cD、ED，分别交直线AB于点F、m，试判断：此时是否有△FDm∽△com?证明你的结论．

思路点拨在Rt△coG中，利用oG=oA=oc；证明∠com=∠FDm，∠cmo=

∠FmD；利用图甲的启示思考．

注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法．

【例5】已知：在△ABc中，AD为∠BAc的平分线，以c为圆心，cD为半径的半圆交Bc的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点m，且∠B=∠cAE，EF：FD＝4：3．

求证：AF＝DF；

求∠AED的余弦值；

如果BD＝10，求△ABc的面积．

思路点拨证明∠ADE＝∠DAE；作AN⊥BE于N，cos∠AED＝，设FE=4x，FD＝3x，利用有关知识把相关线段用x的代数式表示；寻找相似三角形，运用比例线段求出x的值．

注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．

学历训练

．D是半径为5cm的⊙o内一点，且oD＝3cm，则过点D的所有弦中，最小弦AB=

．

2．阅读下面材料：

对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．

对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．

例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．

回答下列问题：

边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是

cm；

边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是

cm；

长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是

cm．

3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．

请问以下三个图形中是轴对称图形的有

，是中心对称图形的有

．

请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案．

a．是轴对称图形但不是中心对称图形．

b．既是轴对称图形又是中心对称图形．

4．如图，AB是⊙o的直径，cD是弦，若AB=10cm，cD＝8cm，那么A、B两点到直线cD的距离之和为

A．12cm

B．10cm

c．8cm

D．6cm

5．一种花边是由如图的弓形组成的，AcB的半径为5，弦AB＝8，则弓形的高cD为

A．2

B．

c．3

D．

6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB、cD、EF，如果AB+cD=EF，那么AB+cD与E的大小关系是（）

A．AB+cD＝EF

B．AB+cD=F

c．AB+cD

D．不能确定

7．电脑cPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种cPU芯片，需要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由．

8．如图，已知⊙o的两条半径oA与oB互相垂直，c为AmB上的一点，且AB2+oB2=Bc2，求∠oAc的度数．

9．不过圆心的直线交⊙o于c、D两点，AB是⊙o的直径，AE⊥，垂足为E，BF⊥，垂足为F．

在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；

请你观察中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论；

请你选择中的一个图形，证明所得出的结论．

0．以AB为直径作一个半圆，圆心为o，c是半圆上一点，且oc2＝Ac×Bc，则∠cAB=

．

1．如图，把正三角形ABc的外接圆对折，使点A落在Bc的中点A′上，若Bc=5，则折痕在△ABc内的部分DE长为

．

2．如图，已知AB为⊙o的弦，直径mN与AB相交于⊙o内，mc⊥AB于c，ND⊥AB于D，若mN=20，AB=，则mc—ND=

．

3．如图，已知⊙o的半径为R，c、D是直径AB同侧圆周上的两点，Ac的度数为96°，BD的度数为36°，动点P在AB上，则cP+PD的最小值为

．

4．如图1，在平面上，给定了半径为r的圆o，对于任意点P，在射线oP上取一点P′，使得oP×oP′=r2，这种把点P变为点P′的变换叫作反演变换，点P与点P′叫做互为反演点．

如图2，⊙o内外各有一点A和B，它们的反演点分别为A′和B′，求证：∠A′=∠B；

如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．

①选择：如果不经过点o的直线与⊙o相交，那么它关于⊙o的反演图形是

A．一个圆

B．一条直线

c．一条线段

D．两条射线

②填空：如果直线与⊙o相切，那么它关于⊙o的反演图形是，该图形与圆o的位置关系是

．

5．如图，已知四边形ABcD内接于直径为3的圆o，对角线Ac是直径，对角线Ac和BD的交点为P，AB=BD，且Pc=0．6，求四边形ABcD的周长．

16．如图，已知圆内接△ABc中，AB>Ac，D为BAc的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2-AD2=AB×Ac．

7．将三块边长均为l0cm的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少?

8．如图，直径为13的⊙o′，经过原点o，并且与轴、轴分别交于A、B两点，线段oA、oB的长分别是方程的两根．

求线段oA、oB的长；

已知点c在劣弧oA上，连结Bc交oA于D，当oc2=cD×cB时，求c点坐标；

在⊙o，上是否存在点P，使S△PoD=S△ABD?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

第四篇：高三数学第一轮复习教案(三角函数的概念1)

3.1 角的概念和弧度制

教学内容：角的概念和弧度制（1课时）

教学目标：了解任意角的概念.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 教学重点：角的概念的推广，特殊角角度与弧度的互化． 教学难点：满足一定条件的角的位置的判断． 教学用具：三角板 教学设计：

一、知识要点

1.角的概念：角的形成，角的顶点、始边、终边． 注：运动观点定义角；安装在平面直角坐标系中． 2.角的分类（以旋转方向为标准）：正角；负角；零角.3.终边相同的角：与角终边相同的角的集合（连同角在内），可以记为

{|k360,kZ}或{|2k,kZ}．

4.象限角与轴线角（以终边位置为标准）：顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，则终边落 在第几象限，就称这个角是第几象限的角.终边落在坐标轴上则是轴线角． 注：写出各象限角的集合及各轴线角的集合． 5.区间角、区间角的集合：角的量数在某个确定的区间内（上），这角就叫做某确定区间的角． 若干个区间构成的集合称为区间角的集合．

6.度量：角度制与弧度制以及弧度与角度互换公式：

1800.01745rad．

1rad57.305718，1180注：特殊角角度与弧度的互化要熟练．

7、弧长公式：l||r，扇形面积公式：s扇形12lr12||r.2二、典型例示

例1 已知45，（1）写出与终边相同的角的集合；（2）在区间[720,0]内找出与终边相同的角.解：（2）令72045k3600,kZ，得765k36045,kZ，解得178k18,kZ，从而k2,1，故675或315.注：由指定区间得到相应的不等式，求解得到k的取值范围，找出其中的整数解就可以确定出所求的角了.例2（1）1234角的终边在第 象限；

（2）已知为第二象限角，判断22的终边所在的位置；

43呢？2呢？

解：（1）12343360154，它与154角的终边相同在第三象限；（2）由∴62k2k,kZ，得

k22k,kZ，2的终边在第一、三象限.2k3332k3,kZ，∴

3的终边在第一、二、四象限.4k224k,kZ，∴2的终边在第三、四象限或在y轴的负半轴上.注：已知角为第k（k取一、二、三、四之一）象限角，求角

n(nN*)的终边所在

位置是常规题型，一般可用直接法求解.还可用几何法，即利用单位圆来判断角

n(nN*)的

终边所在位置：把单位圆在每个象限的圆弧n等份，并从x正半轴 开始沿逆时针方向依次在每个区域循环标上1、2、3、4直到填满为 止，则有标号k的区域就是角则角3n(nN*)的终边所在位置.如k2，的终边在第一、二、四象限，右图中标有2的区域就是角

3 的终边所在位置.例3（1）扇形的中心角是2弧度，弧长是2cm，求它的面积.（2）已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？扇形的面积是多少？

解：（2）2RR2R，22，S(1)R2.注：两个公式联系着扇形的四个量.三、课堂练习

1.与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

kk2.集合M{x|x,kZ}，N{x|x,kZ}，则()2442A.MN B.MN C.MN D.MN

3.若是第二象限角，则第_____象限角。

2是第_____象限角，2的范围是________________，2是

4.在半径为R的圆中，240的中心角所对的弧长为＿＿＿，面积为2R2的扇形的中心角 等于＿＿＿弧度。

四、课堂小结

五、课外作业

1.将时钟拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是()

A.B.

C.D.

33552.已知为第三象限角，则

2所在的象限是()A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限

3.已知为第四象限角，则所在的象限是()A.第一或第三象限 B.第二或第三象限 C.第二或第四象限 D.第一或第四象限 4.终边在第一象限角平分线上的角的集合为()7} B.{|2k,kZ} A.{,444C.{|k5.函数ysinx|sinx|4,kZ} D.{|2k4,kZ}

|cosx|cosxtanx|tanx|的值域是＿＿＿＿＿＿＿。

6.的终边与6的终边关于直线yx对称，则＝＿＿＿＿＿＿。

7.已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

8.对于角(02)，若它的终边与角7的终边相同，求角的值（用弧度制）.9.已知一扇形的周长为c(c0)，当扇形的中心角为多大时，它有最大的面积？

第五篇：初三数学几何部分第一轮复习圆教案

初三数学几何部分第一轮复习教案——第六章：圆

上传: 黄水才

更新时间：2012-5-28 15:28:00

教学目的：

1、理解圆、等圆、等孤等概念及圆的对称性。

2、掌握点和圆的位置关系，会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆，掌握五种常见的轨迹。

3、掌握垂径定理及其推论以及圆心角、孤、弦、弦心距的相关定理，并会用它们进行论证和计算。

4、理解圆心角、圆周角、弦切角及多边形外接圆和圆内接多边形的概念。

5、掌握圆周角定理和弦切角定理以及它们的推论，掌握圆内接四边形性质定理，并能熟练地运用这些知识进行有关证题和计算，会作两条线段的比例中项。

6、掌握直线和圆的位置关系，掌握切线的判定定理和性质定理及其推论，掌握切线长定理；掌握切点和圆心的连线与切线垂直等性质，并会利用它们进行有关的证明和计算。

7、会过一点画圆的切线，会用尺规作三角形的内切圆。

8、掌握国与圆的位置关系，掌握相交丙圆的连心线垂直平分两回的公共弦，相切而圆的连心线经过切点和公切线长定理；并会利用它们进行有关的证明和计算；会画而圆的公切线。

9、掌握圆与三角形、四边形关系，掌握三角形内心概念和外切四边形的性质。

10、掌握相交弦定理，割线定理、切割线定理及其推论，灵活运用这些定理证明圆的有关线段的比例式或等积式问题。

11、理解正多边形及正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念、会进行正多边形的边长、半径、边心距和中心角的有关计算。

12、会计算圆的周长，孤长及简单组合圆形的周长；会计算圆的面积、弓形的面积及简单组合图形的面积。

13、会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积。知识点：

一、圆

1、圆的有关性质

在一个平面内，线段oa绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点a随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点o叫圆心，线段oa叫半径。

由圆的意义可知：

圆上各点到定点（圆心o）的距离等于定长的点都在圆上。

就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。

能够重合的两个圆叫等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

二、过三点的圆 l、过三点的圆

过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心

定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。

2、反证法

反证法的三个步骤：

①假设命题的结论不成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。

证明：设有两个以上是钝角

则两个钝角之和＞180 °

与三角形内角和等于180 ° 矛盾。∴不可能有二个以上是钝角。

即最多只能有一个是钝角。

三、垂直于弦的直径

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。

推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。

顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

五、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90 ° 的圆周角所对的弦是直径。

推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。

六、圆的内接四边形

多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

例如图6—1，连ef后，可得：

∠def＝∠b ∠def＋∠a＝180 ° ∴∠a＋∠b＝18ry ∴bc∥da

七、直线和圆的位置关系

1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线

直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。

直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。

2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：

直线和圆相交 d＜r；直线和圆相切 d＝r；直线和圆相离 d＞r；直线和圆相交 d＜r 例如：图6－2中，直线与圆o相割，有：r＞d 图6－3中，直线与圆o相切，r＝d 图6－4中，直线与圆o相离，r＜d

八、切线的判定和性质

切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径 推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。

推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

例如图6－5中，o为圆心，ac是切线，d为切点。

∠b＝90 °

则有bc是切线 od是半径 od⊥ac 九、三角形的内切圆

要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切

∵分角线上的点到角的两边距离相等。∴两条分角线的交点就是圆心。

这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。

和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。

十、切线长定理

经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。

切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，如图6－ 6 b、c为切点，o为圆心。ab＝ac，∠1＝∠2

十一、弦切角

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。

弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。

推理如果两个弦切角所央的弧相等，那么这两个弦切角也相等。例如图6－7，ab为切线，则有：∠c＝∠bae，∠bae＝∠d ∴∠c＝∠d

十二、和圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，如图6－8，若f为切点

则有：af2=ah·ac，ag·ab＝af2 em·md=bm·mg cn·nh=dn·ne

十三、圆和圆的位置关系如图6－9 若连心线长为d，两圆的半径分别为r，r，则：

1、两圆外离 d ＞r＋r；

2、两圆外切 d = r＋r；

3、两圆相交 r－r＜d＜r＋r（r＞r）

4、两圆内切 d = r－r；（r＞r）

5、两圆内含 d＜r－r。（r＞r）

定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。

如图6－10，o1，o2为圆心，则有：ab⊥o1o2，且ab被o1o2平分

十四、两圆的公切线

和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。

如图6－11，若 a、b、c、d为切点，则ab为内公切线长，cd为外公切线长

内外公切线中的重要直角三角形，如图6－12，oo1a为直角三角形。d2=（r－r）2＋e2为外公切线长，又如图 6－13，oo1c为直角三角形。d 2＝（r十r）2＋ e ’ 2为内公切线长。

十五、相切在作图中的应用

生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如图 6－ 14

十六、正多边形和圆

各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

定理：把圆分成n（n＞3）等分：

（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；

（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。

正n边形的每个中心角等于

正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。

十七、正多边形的有关计算

正n边形的每个内角都等于

定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。

十八、画正多边形

1、用量角器等分圆

2、用尺规等分圆

正

三、正

六、正

八、正四及其倍数（正多边形）。

正五边形的近似作法；

二十、圆周长、弧长

1、圆周长c＝2πr；

2、弧长 二

十一、圆扇形，弓形的面积 l、圆面积： ；

2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

在半径为r的圆中，圆心角为n ° 的扇形面积s扇形的计算公式为：

注意：因为扇形的弧长。所以扇形的面积公式又可写为

（3）弓形的面积

由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。

弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。

二十二、圆柱和圆锥的侧面展开图

1、圆柱的侧面展开图

圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形abcd绕边ab旋转一周得到的图形是一个圆柱。（图6一16）

ab叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段cd，c ’ d ’，…都叫圆柱的母线。

圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。

圆柱的两个底面是平行的。

圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中ab=高，ac=底面圆周长。

∴s侧面=2πrh

圆柱的轴截面是长方形一边长为h，一边长为2r r是圆柱底半径，h是圆柱的高。见图6－8

（2）圆锥的侧面展开图

圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。

如图6－19，把rt△oas绕直线so旋转一周得到的图形就是圆锥。

旋转轴so叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。

连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的sa、sa ’、…都叫圆锥的母线，母线长都相等。

圆锥的侧面展开图如图6一19是一个扇形sab 半径是母线长，ab是2πr。（底面的周长），所以圆锥侧面积为s侧面=πrl 例题：

例

1、如图7.2-1，ab是⊙o的直径，ad⊥cd,bc⊥cd,且ad+bc=ab，1、求证：⊙o与cd相切；

2、若cd=3，求ad?bc.[特色]本题来源于教材，主要考查切线的判定方法及相似三角形的知识.[解答](1)过o点作oe⊥cd于e.∵ ad⊥cd，bc⊥cd，∴ ad∥oe∥bc，又∵ao=bo，∴de=ce，∴ oe=(ad+bc).而ab=ad+bc，∴ oe=oa，而oe⊥cd，∴⊙o与cd相切.(2)连结ae、be，∵⊙o与cd相切，∴ oe⊥cd，∠ bae=∠bec.而∠ bae=∠ oea，∠ oea+∠ dea=90，∴∠ dea+∠bec=90.又∵ad⊥cd，∴∠ dea+∠ dae=90，∴∠ dae=∠bec，∴ △aed∽△ebc，∴ad?ec=de?bc，即ad?bc=de?ec= =.例

2、如图7.1-2.已知，ab 为⊙ o 的直径，d 为弦 ac 的中点，bc=6cm, 则 od=.[ 特色] 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题.[解答]由三角形的中位线定理知 od=bc 例

3、如图7.3-1 ⊙ o 为△ abc 的内切圆，∠ c=,ao 的延长线交 bc 于点 d,ac=4,cd=1, 则⊙ o 的半径等于（）.a、b、c、d、[ 特色]本题考查内心的性质.[解答] 过点 o 半径 oe, 则 oe ∥ cd,ae ∶ ac=oe ∶ cd, 设半径为 r, 则（4-r）∶4= r ∶ 1, 解之得r= , 选 a.例

4、圆内接四边形 abcd，∠ a、∠ b、∠ c 的度数的比是 1 ∶ 2 ∶ 3，则这个四边形的最大角是.[特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算.[解答]设 a=x，则∠ b=2x, ∠ c=3x.∵∠ a+ ∠ c=180，∴ x+3x=180，∴ x=45.∴∠ a=45，∠ b=90，∠ c=135，∠ d=90.∴ 最大角为 135.例

5、如图7.5-1，o 和 o 外切于点 c，直线 ab 分别外切⊙ o 于 a，⊙ o 于 b，⊙ o 的半径为 1，ab=2，则⊙ o 的半径是.[特色]以上各题都是圆与圆的位置关系中常见的基本题型，着眼于考查学生对两圆的位置关系的理解及运用.[解答]（1）选 b，利用两圆相交，连心线垂直平分公共弦，再根据勾股定理可求得.例

6、将两边长分别为4 cm 和6 cm 的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周，所得圆柱的表面积为 cm.[ 特色]考查圆柱的表面积的计算，着眼于考查学生思维的全面性.[解答]以边长为4 cm 作母线所得到的圆柱的表面积为80 ；以边长为6 cm 作母线所得到的圆柱的表面积为120.例

7、如图7.6-2，正六边形内接于半径为1的圆，其中阴影部分的面积是.[特色]考查学生对基本概念的理解以及基本运算能力.[解答] 答案：.作半径，用扇形的面积减去三角形的面积.