【鼎尖教案】人教版高中数学选修系列：4.1复数的概念(第一课时)5则范文

第一篇：【鼎尖教案】人教版高中数学选修系列：4.1复数的概念(第一课时)

第四章 数系的扩充－复数

课时安排 1课时 从容说课

本节一开始就简明地介绍了数的概念的发展过程，对已经学过的数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括；然后说明数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，使得某些代数方程在新的数集中能够有解.复数，最初还是由于解方程的需要而产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展.将已经学过的数集进行概括并用表列出.

复数的概念是在引入虚数单位i，并同时规定了它的两条性质之后自然地得出的.扩充到复数集后，方程x2=-1,x2-x+1=0等才有解.

在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立，可以引导学生讨论为什么不规定除法、减法呢？由学生自己探索讨论.

把a+bi(a、b∈R)叫做复数,这是复数的代数形式，既与以后的几何表示、向量表示相对应,也说明任何一个复数均可以由一个有序实数对（a,b）唯一确定，是复数能由复平面内的点来表示的理论基础.

虚数、纯虚数、实部与虚部等概念是复数的最基本的概念.除了教科书中的一些实例外，教学中还要多举一些例子让学生判别，以加深学生理解.这里主要是分类，让学生总结实数集、虚数集、纯虚数集都是复数的真子集.让学生讨论下列两个问题：①复数相等的充要条件是什么？②两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小的原因是什么？培养学生的探索精神.第一课时

课题

§4.1 复数的概念

教学目标

一、教学知识点

1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数的单位i. 2.理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律.

3.理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）. 4.理解并掌握复数相等的有关概念.

二、能力训练要求

1.能利用复数的有关概念对复数进行分类（实数、纯虚数、虚数），并求出有关参数的取值范围.

2.会用复数相等的定义求有关参数（未知数）的值. 3.使学生学会用定义和有关数学思想解题.

三、德育渗透目标

1.培养学生分类讨论思想、等价转化思想等数学思想和方法.

2.培养学生的矛盾转化、分与合、实与虚等唯物辩证观点，让学生学会对事物归纳与认识，深刻认识事物的两个方面的重要性.

3.培养学生正确的人生观、价值观，使之深刻认识到人在事物发展变化中所应体现的价值和作用.加强学生的爱国主义教育，使他们领悟、掌握科学文化知识，为国富民强而奋.

教学重点

复数的概念、虚数单位i、复数的分类（实数、虚数、纯虚数）和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.

教学难点

虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立.

教学方法

建构主义观点在高中数学课堂教学中应用的实践的教学方法.复数的概念如果单纯地讲解或介绍定显得较为枯燥无味，学生不易接受.教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律、各种数集之间的关系有着比较清晰、完整的认识,从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类.教具准备

实物投影仪或多媒体课件（含幻灯片、幻灯机）.幻灯片两张. 幻灯片：(记作§4.１Ａ)对已经学过的数集进行概括时，要注意以下几点：（1）有理数就是一切形如

m的数，其中m∈Z,n∈N*,所以有理数集实际上就是分数集. n(2)｛有理数｝=｛分数｝=｛循环小数｝｛小数｝=R.

(3)自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R之间有如下的关系：NZQR. 幻灯片：(记作§4.１Ｂ)

两个不全为实数的复数只能说相等或不相等，不能比较大小.

(1)根据两个复数相等的定义知，在a=c,b=d两式中，只要有一个不成立，那么a+bi≠c+di.(2)如果两个复数都是实数，则可以比较大小,否则，不能比较大小.(3)“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜”，都不能使这种关系同时满足实数

集中大小关系的四条性质：

①对于任意实数a、b来说，a＜b,a=b,b＜a这三种情况有且只有一种成立； ②如果a＜b,b＜c,那么a＜c; ③如果a＜b,那么a+c＜b+c; ④如果a＜b,c＞0,那么ac＜bc.教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］从小学开始，我们就天天与各种数打交道，因而对数的概念和运算并不陌生，现在我们来回顾学过了哪些数集呢？

正整数自然数整数零有理数［生］实数 负整数分数无理数［师］由自然数经过若干年的发展，最后扩充到实数，那么还能继续扩充吗？今天我们就来学习新的数即复数（板书课题）. Ⅱ.讲授新课

(一)概念形成［放投影或多媒体］（由学生阅读）

数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N.

随着生产和科学的发展，数的概念也得到了发展.

为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数，这样就把数集扩充到了有理数集Q，显然NQ.如果把自然数集（含正整数和0）与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集. 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数（包括整数、有限小数），无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集.(学生阅读完毕，教师放出幻灯片§4.１Ａ) ［师］数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩充到实数集R以后，像x2=-1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于-1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位，并规定：（板书及以下两条）

(1)它的平方等于-1，即i2=-1;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. ［师］有哪些运算律呢？

［生］乘法交换律和加法交换律.

［师］在这种规定下，i可以与实数b相乘，结果是什么？ ［生］i·b=b·i，满足交换律.

［师］在这种规定下，i可以与实数a相加，结果是什么？ ［生］i+a=a+i，满足交换律.

［师］如果i与实数b相乘，再与实数a相加，结果是什么呢？ ［生］i·b+a=a+bi.

［师］引进了新的虚数单位i后，数的范围又扩充了，出现了形如a+bi(a、b∈R)的数，它在前面所学的数集中没有，这样人们把它们叫做复数.全体复数所成的集合叫做什么？ ［生］全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.(板书) ［师］在这种规定下，i与-1的关系如何呢？

［生］i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根. ［师］方程x2=-1的另一个根呢？ ［生］-i.

［师］复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a、b∈R).把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式.(板书)

对于复数a+bi(a、b∈R),满足什么条件时，它是实数？ ［生］当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)它是实数a. ［师］如果b≠0时，这样复数是什么样的数呢？ ［生］当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数.

［师］在虚数的情况下，如果a=0时，它又是什么数呢？ ［生］当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数.

［师］a、b满足什么条件时，z=a+bi(a、b∈R)是0？ ［生］当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

［师］这样复数z=a+bi(a、b∈R)就可以分成哪几种情况呢？

a＞0正实数b0z是实数aa0实数0a＜0负实数［生］复数zabi(a、bR)

a0纯虚数biboz是虚数(b0,bR)a0非纯虚数的虚数［师］这里的实数a、b分别叫做复数z=a+bi(a、b∈R)的实部与虚部（板书）.

11i ,i,35i的实部和虚部，有没有纯虚数？ 23111［生］它们都是虚数，它们的实部分别是2,-3,0,3;虚部分别是3, , ,-5;i是纯

233请你们说出复数2+3i,3虚数.

［师］-2i+3.14的实部和虚部是什么？ ［生］实部是-2，虚部是3.14.

［众生］(齐声说)错！实部是3.14,虚部是-2.

［师］实数集和复数集之间的关系如何呢？ ［生］实数集R是复数集C的真子集，即RC. ［师］数集扩充后，常用的数集之间有什么关系？

［生］NZQRC.

［师］有没有两个复数相等呢？如何定义？

［生］如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说：如果a、b、c、d∈R,那么a+bi=c+dia=c,b=d.［师］复数z=a+bi(a、b∈R)为零的充要条件是什么？ ［生］复数a+bi=0(a、b∈R)的充要条件是a=0且b=0.

［师］复数相等的定义是在复数集中解方程的重要依据.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小. 现有一个命题“任何两个复数都不能比较大小”,对吗？

［生］不对.如果两个复数都是实数，就可以比较大小.只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小.

［师］“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜”，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质.（打出幻灯片§4.1 B）(由学生阅读)(二)课本例题

［例1］实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m-1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

分析:因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值. 解：（1）当m-1=0，即m=1时，复数z是实数；（2）当m-1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；

（3）当m+1=0,且m-1≠0时，即m=-1时，复数z 是纯虚数. ［例2］已知(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x、y∈R, 求x与y. 分析:运用复数相等的定义求解.

2x1y5解：根据复数相等的定义，得方程组所以x,y=4.

21(3y)(三)精选例题

［例1］复数z=log2(x2-3x-3)+log2(x-3),当x为何实数时，（1）z∈R;(2)z为虚数；（3）z为纯虚数.

x23x3＞0,①解:（1）因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零，所以有

log(x3)0.②2由②得x=4,经验证满足①.

所以当x=4时，z∈R.

x23x3＞0,(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零，所以有解得

2(x3)0.log321321321321或x＜x＞＜x＜4或x＞4.所以当＜x＜4或x＞4时，22,即

22x＞3且x4z为虚数.

(3)因为一个复数是纯虚数，则其实部为零且虚部不为0，所以有

log2(x23x3)0,x或x4,解得无解. x＞3且x4,log2(x3)0.所以复数z不可能是纯虚数.

［例2］设复数z=2logax+(loga2x-1)i(a＞0,a≠1),问当x为何实数时，z是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 解:（1）当loga2x-1=0,即x=a或

1时，z为实数. aloga2x101（2）当即x≠a,x ,

ax＞0∴x＞0且x≠a且x1时，z是虚数. ax2loga0,（3）当即x=1时，z为纯虚数. xloga10,［例3］判断下列式子的对错：

(1)当z∈C,则z2≥0;

(2)若z1、z2∈C,且z1-z2＞0，则z1＞z2;(3)若a＞b,则a+i＞b+i.

解:(1)z2≥0,当且仅当z∈R时成立，如设z=i,则z2=i2=-1＜0,故（1）是错误的.

(2)反例：设z1=2+i,z2=-1+i,满足z1-z2=3＞0,因此z1、z2不能比较大小，故（2）也是错误的.(3)∵a＞b,故a、b∈R.∴a+i与b+i都是虚数，不能比较大小.故（3）错.

解题回顾：理解复数与实数的一个重要区别：两个复数如果不全是实数，就不能比较大小，因此不等式的性质在复数集中不适用. ［例4］（1）设复数z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分别满足什么条件时，z是实数、虚数、纯虚数？

（2）bi是什么数？

解:（1）当a、b同时为0时，z为实数；当a、b不全为0时，z是虚数；当a、b有且仅有一个为0或者说a、b有且仅有一个不为0时，z为纯虚数.

(2)当b=0或b为纯虚数时，bi是实数；当b为不是0的实数时，bi是纯虚数；当b为非纯虚数时，bi是非纯虚数.

解题回顾：在判断所给一个复数类型时，首先一定要弄清题目中的参数有无要求，然后再将复数中的实部与虚部分清. Ⅲ.课堂练习

(一)课本Ｐ149练习1、2.(二)补充练习 1.设集合C=｛复数｝,A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是（）A.A∪B=C

B.CSA=B C.A∩(CSB)=

D.B∪(CSB)=C 答案：D

2.若复数z1=sin2θ+icosθ,z2=cosθ+i3sinθ,z1=z2,则θ等于（） A.kπ(k∈Z) C.2kπ±

B.2kπ+ (k∈Z) 3(k∈Z) 3D.2kπ+(k∈Z)

6解析:∵z1=z2,∴其充要条件为

1sin,sin2cos,2∴ cos3sin.tan3.3∴θ=2kπ+,k∈Z.故选D. 6答案：D 3.已知集合M=｛1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i｝,集合P=｛-1，3｝.M∩P=｛3｝,则实数m的值为（） A.-1 B.-1或4

C.6

D.6或-1 解析：由题设知3∈M,∴m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.

2m3m13,∴2∴m=-1.故选A. m5m60.答案：A 4.满足方程x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0的实数对(x,y)表示的点的个数是_________.

x3或x1,2x2x30,解析：由题意知2∴ 16y6y10.y3.∴点对有(3,11)、(-1,),共有2个. 33答案：2

5.设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果z是纯虚数，求m的值.

2m3m31,log2(m23m3)0,解：由题意知∴3m1，log(3m)o23m＞0.m23m40,∴ m2且m＜3.∴m=-1.

6.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值. 解：方程化为(x2+mx+2)+(2x+m)i=0.

x2mx20,∴ 2xm0mm2m220.∴x,242∴m2=8.∴m=±22.7.已知m∈R,复数z纯虚数；(4)z=m(m2)+(m2+2m-3)i,当m为何值时，(1)z∈R;(2)z是虚数；（3）z是

m11+4i. 2m22m30,解：（1）m需满足

m10.解之得m=-3.

(2)m需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0，解之得m≠1且m≠-3.

m(m2)0,(3)m需满足m1

m22m30.解之得m=0或m=-2. m(m2)1,(4)m需满足m12

m22m34.解之得m∈.

8.(2005年湖北省五校联考)已知k∈R,方程x2+(k+3i)x+4+k=0一定有实根的充要条件是（） A.|k|≥4

B.k≥2+25或k≤2-25 D.k=-4 C.k=±32

解析:设x=t是方程的实根,

∴t2+kt+Δ+k+3t·i=0.

t2kt4k0,由复数相等的定义知

3t0.∴k=-4.故选D. 答案: D Ⅳ.课时小结

这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题. Ⅴ.课后作业

课本Ｐ150习题4.１ 1、2、3、4. 板书设计

§4.1复数的有关概念

一、虚数单位i:i2=-1. 两条规定：(1)i2=-1;

(2)i与实数满足加、乘运算的有关运算律.

二、复数定义： 1.形如a+bi(a、b∈R)叫做复数. 2.分类

b0实数zazabia0纯虚数

b0z为虚数a0非纯虚数3.复数相等的充要条件(a、b、c、d∈R)

z1=a+bi,z2=c+di,z1=z2

ac,bd.z=a+bi=0a=b=0. 例题分析

课本例题 例1 例2 精选例题 例1 例2 数系扩充

正整数有理数０实数分数复数无理数虚数预习提纲 1 2 ……

负

第二篇：【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：2.2函数的表示法(第一课时)

§2.2 函数的表示法

课时安排 1课时 从容说课

函数是由其定义域、值域、对应法则三要素构成的整体，并可用抽象符号f(x)来表示，由于f所代表的对应法则不一定能用解析式表示，故本节介绍了函数的表示方法，除了解析法还有列表法和图象法，这三种表示函数的方法之间具有内在的联系。比如本节例2的数据可以用列表法给出，教学中可引导学生先列表、再求解析式，最后画图象，例3在本质上则是训练由图象求解析式的过程等，认识函数的三种表示方法之间的联系并能相互转化，是对函数概念深化理解的重要步骤。

本节由实际问题引出了对分段函数的认识，即对于自变量不同的取值范围，用不同的解析式表示同一个函数关系，故分段函数是一个函数而不是几个函数，教学中可举一些例子帮助学生理解。

根据实际问题中的条件列出函数解析式的训练，是建立函数模型研究实际问题的关键步骤，这种应用意识的培养和应用能力的提高应不断贵穿于以后的教学过程中。

●课

题

§2.2 函数的表示法 ●教学目标(一)教学知识点 1.函数的表示方法.2.初等函数的图象.3.分段函数的意义.4.函数的应用.(二)能力训练要求

1.使学生掌握函数的三种常用表示方法.2.使学生了解初等函数图象的几种情形.3.使学生理解分段函数的意义.4.使学生初步学会用函数的知识解决具体问题的方法.(三)德育渗透目标

通过本节课的教学，使学生认识到知识无止境，对客观世界的认识也是永无止境的，树立终身学习的思想.●教学重点

1.函数的表示方法.2.函数的应用.●教学难点 函数的应用.●教学方法 指导学生自学法

让学生通过自学的实践，自己获取知识，对提高学生的自学能力是有帮助的，教师必要的指导为学生自学扫除障碍，同时也让学生在扫除障碍的过程中，学会突破难点的方法.●教具准备 幻灯片两张

第一张：P55图2—6(记作§2.2 A)第二张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲（记作§2.2B)●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师］上节课我们学习了判定两个函数是否相同的方法及映射的概念，哪位同学来回答一下如何判定两个函数是否相同呢？

［生］判定两个函数是否相同，一要看其定义域是否相同，二要看其对应关系是否相同，当两者完全一致时，这两个函数就是相同的函数，当两者有一不同或两者完全不同时，这两个函数就不是相同的函数.［师］好!谁再来回答一下函数与映射的区别呢？ ［生］函数与映射本质的区别是函数的两个集合都是非空数集，而映射的两个集合中的元素是任意的，它可以是数，也可以是点，还可以是图形等等.［师］很好!我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题（板书课题）.Ⅱ.指导自学

［师］课下同学们已经进行了自学，函数的表示方法常用的有哪几种，各有什么优点？ ［生］函数的表示方法常用的有三种，分别是解析法、列表法、图象法.解析法是用解析式表示两个变量的函数关系，它的优点是关系清楚，容易求函数值，便于研究函数的性质.列表法是用表格表示两个变量的函数关系，它的优点是不必计算就可知道自变量取某些值时的函数值.图象法是用图象表示两个变量的函数关系，它的优点是表示函数的变化情况形象直观.［师］好!（再举些例子对各种表示方法进行说明，并强调：中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数）

［师］下面请同学们看课本P54例

1、例2.（学生看课本、教师巡视）

［师］例

1、例2的图象有什么特点呢？

［生］例1的图象是一些孤立的点，例2的图象是几条线段.［师］回答完全正确，在初中，我们学过的函数图象通常是一条光滑的（不打折）曲线（或直线）.例

1、例2告诉我们函数的图象有时也可以由一些弧立的点或几段线段组成，以后我们还将看到函数的图象还可以由几段光滑的曲线组成，从例2看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数.［师］例3是生活中的实际问题，对实际问题的解决，要求我们认真分析题意，将其抽象，转化成数学问题，通过解答数学问题，使实际问题得以解决，因此，解决应用问题的关键是将实际问题分析，抽象，转化成数学问题，即将实际问题数学化.下面我们一起对例3进行分析，请大家再仔细看一遍题.（学生看题）

［师］圆形喷水池的直径为20 m，“计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头”告诉了我们什么？

［生］告诉了喷水头的位置，即喷水头距水池中心10 m,其高度与水面一致，视为 OM.［师］“喷出的水柱”其轨迹是什么类型？

［生］由物理学知识可知喷出的水柱轨迹为抛物线型.［师］“各方向喷来的水柱在装饰物处汇合”是什么意思？ ［生］各方向喷出的水柱交汇在水池的中心线上（学生比划，这条中心线实质上是过水池中心水面的垂线），关于水池中心各相对方向喷出的水柱也交汇在水池的中心线上.（学生的回答不可能一下子达到准确的程度，教师要及时予以启示，诱导）

［师］据以上分析，假如我们过水池中心线任意作一个截面，请同学们试画出截面的形状.（几位学生在黑板上试画）

（和同学们一起分析了学生画的图形，打出幻灯片§2.2A）

解：过水池中心任意选取一个竖立的截面如图所示，由物理学知识可知，喷出的水柱轨迹是抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，据已知，水柱上任意一点距中心的水平距离x（m）与此点的高度y（m）之间的函数关系是

a1(x4)26(10x0)y= 2a2(x4)6(0x10)由x=-10,y=0，得a1=-a2=-

1,由x=10,y=0得 61,于是，所求的函数解析式是 612(x4)6,(10x0)6y= 1(x4)26,(0x10)6当x=0时，y=10 310m.3即装饰物的高度应为Ⅲ.课堂练习

课本P56练习

1，2，3 Ⅳ.课时小结

［师］本节课我们学习了哪些知识呢？请同学们总结一下.[生甲]函数的图象不仅可以是一段光滑的曲线，还可以是一些弧立的点.[生乙]还可以是若干条线段.[生丙]学习了函数知识的应用.[生丁]应用数学知识解决实际问题，关键是将实际问题数学化.[生戊]实际问题数学化就是要认真分析题意，将实际问题抽象，转化成数学问题.[师]好!同学们总结了本节课所学习的知识，重要的在于掌握尤其是函数知识的应用，更要多练，才能运用自如.Ⅴ.课后作业

（一）课本P56习题2.2 1~6.（二）1.预习内容：函数的单调性.2.预习提纲：

（1）增函数、减函数的定义是什么？（2）函数单调区间的定义是什么？

（3）证明函数单调的方法步骤是怎样的？（4）单调性是个整体概念还是个局部概念？ ●板书设计 §2.2 函数的表示法

分段函数是一个函

例3 数而不是几个函数

函数的图象可以是

练习一些孤立的点或几

段线段

小结

第三篇：高中数学 第三章 第一节 第一课时 数系的扩充与复数的概念教案 新人教版选修1-2

§3.1.1 数系的扩充与复数的概念

【教材分析】

教材地位和作用：

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：

精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：

数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：

数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】

知识目标：

了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：

发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.情感目标：

初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】

教学模式： “4+1” 教学模式 教学方法：

开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.【教学程序】

以问题为载体，以学生活动为主线.自主学习合作探究

成果展示

精讲点拨

巩固提高

小结与作业

1、【自主学习】(课前完成)阅读教材P102～P104《§3.1.1 数系的扩充与复数的概念》内容，思考：

(1)你对数的发展的了解

(2)由 得

你有，何困惑？

(3)方根x-x+1=0无实根的原因是什么？如果扩充数系，使之有解，如何扩充？(4)虚数单位i的性质？i与实数的运算性质？(5)复数的有关概念？(6)实数集R与复数C的关系？

2、【合作探究】

探究任务一：数系的扩充过程。

问题1：回顾归纳从小学到昨天为止数系的扩充过程。

探究任务二 ：数系扩充的必要性。

问题2：方根x-x+1=0无实根的原因是什么？如果扩充数系，使之有解，如何扩充？

探究任务三：虚数单位

问题3：虚数单位i的性质？i与实数的运算性质？

探究任务四：复数的有关概念

问题4：复数的概念？实部、虚部？复数的代数形式？ 22探究任务五：复数相等 问题5：复数相等的充要条件？ 探究任务六：复数的分类

问题6：实数集R与复数C的关系？复数的分类图？

探究任务七：问题7：例1 实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i分别是实数，虚数和 纯虚数？

探究任务八：问题8：例2 设复数z1＝(x－y)＋(x＋3)i，z2＝(3x＋2y)－yi，若z1＝z

2，求实数x，y的值.3、【成果展示与精讲点拔】

问题1：由第1学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。

【展示：】

精讲点拔：

1、数的概念产生和发展的历史进程：N+

(增加：正分数)→Q+（增加：正无理数)→R+(增加：零和负数)→R.数系每次扩充的基本原则：

第一、增加新元素；

第二、原有的运算性质仍然成立； 第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.问题2：由第2学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。【展示：】

精讲点拔：由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果 问题3：由第3学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。【展示：】 精讲点拔：见课件

问题4：由学生举手展示，其他学生可点评或纠错和完善。由第4学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。【展示：】 精讲点拔：见课件

问题5：由第5学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。【展示：】 探精讲点拔：见课件

问题6：由第6学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。【展示：】 精讲点拔：见课件

问题7：由第7、1、3学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。【展示：】 精讲点拔：见课件

问题8：由第8、9、4学习小组展示，其他小组可点评或纠错和完善。【展示：】

5、【课 堂 小 结】(学生偿试归纳小结，教师补充完善)

(1).复数的有关概念；(2).两复数相等的充要条件；(3).数集的扩充.6、课外作业

(1)、教材106面A组第1、2题；(2)、下堂课【自主学习】

阅读教材P104～P106《复数的几何意义》内容，思考：

①在什么条件下，复数z惟一确定？

②设复数z＝a＋bi（a，b∈R），以z的实部和虚部组成一个有序实数对（a，b），那么复数z与有序实数对（a，b）之间是一个怎样的对应关系？ ③有序实数对（a，b）的几何意义是什么？复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用什么几何量来表示？

第四篇：【鼎尖教案】高中语文(人教大纲)第一册 19庄暴见孟子(第一课时)

《鼎尖教案》您的教学首选！欢迎您下载使用！庄暴见孟子

●说

课

《庄暴见孟子》记叙的是孟子晚年和齐宣王的又一次关于“好乐”问题的讨论。这是一次非常成功和精彩的游说。在孟子的层层诱导之下，齐宣王侧耳恭听了儒家“与民同乐”的“仁政”学说，虽然事后齐宣王并没有付诸实施，但让人称道的是，孟子一步一步牵着齐宣王的鼻子走到自己的“仁政”之路上来：巧妙地缩短双方距离的心理，先举事例，打比方，后逐层推进的启发；明知故问，因势利导，请君入瓮的方法令人叫绝。文章却写得很有特色，既完整地表达了孟子的思想，又体现出来的高妙的论辩艺术，使本文成了游说的名篇。

●教学目标

1.掌握课文中重要的文言实词、虚词及文言句式。

学习本文循循导入，刻意对比，语言生动形象等高明的论辩艺术。2.进一步了解孟子的“民本”思想，理解“与民同乐”的深刻内涵。3.加强朗读，把握各层次间的内在联系。●教学重点

1.文意的梳理

2.学习文中的一些文言语法现象，如词类活用、特殊句式以及常见词语、古今异义现象等并注意摘录整理。

3.了解孟子的思想，理解本文表达的“与民同乐”的思想内涵。●教学难点

1.对孟子高明的论辩艺术讨论和学习。2.对孟子思想的当时和现实意义的理解。3.音乐和古时君王治国之联系。●课时安排 一课时

●教学方法

用探究学习的方法，看透其内部结构，把文章切分为若干小段，在完成局部理解之后，完成对全文的理解，加深对孟子思想的理解。同时要求学生对文章反复朗读，力求做到熟读成诵，从而进一步理解孟子的政治思想。

●教学用具

电教或实物展示手段

●学习导航

一、导入语

孟子是继孔子之后儒家学派的杰出代表，被尊为“亚圣”。（出示幻灯片“孟子画像”和“孟子简介”）其一生的实践及所留下的言论、学说，凝聚着他思想精华，编纂而成的《孟子》一书，被列入了“四书”，成为后世文人必读的经典。

本文选自《梁惠王下》，“好乐何如”为话题，劝说齐王要“与民同乐”，体现了孟子的“王道”思想。论证中所运用的对比手法，形象而又巧妙，尤其值得我们学习。

二、整体初读

1.自读课文，梳理文句

（1）扫清读音障碍 语（yù）

好乐（hào yuè）离散（sàn）

疾首蹙（cù） 则王（wànɡ）矣（2）重点字词解释

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独乐（yuè）乐（lè）

庶几（jī）

管籥（yuè）羽旄（mǎo）《鼎尖教案》您的教学首选！欢迎您下载使用！

其庶几乎！

庶几：差不多

语：告诉 诸：相当于“之乎”

对：回答

请：请求允许我 鼓：动词，弹奏 举：全、都 蹙：皱眉 “直”通“只” “与”通“欤” “田”通“畋”

色：古义；脸色 今义：颜色

兄弟：古义：兄长和弟弟 今义：偏指弟弟

妻子：古义：妻子和儿女 今义：男子的配偶 被动句 状语后置句 介宾倒装 王尝语庄子以好乐，有诸？ 未有以对也

臣请为王言乐

今王鼓乐于此

举疾首蹙

（3）通假词

直好世俗之乐也

可得闻与

今王田猎于此（4）古今异义 王变乎色曰

兄弟妻子离散（5）文言句式 暴见于王

王语暴以好乐

何以能鼓乐于此

2.理清思路

明确：全文分为两部分： 第一部分（开头至“则齐国其庶几乎”），通过庄暴和孟子的问答，引出话题，提出论题。第二部分，写孟子就“好乐”问题与齐王的对话。一层，主动发问，提出“好乐”的话题，转入正题。二层（从“臣请为王言乐”至结尾），孟子借“为王言乐”，从正反两方面论述“与民同乐”、实行“仁政”的必要性。

三、归纳提要

1.齐王听到孟子谈到好乐一事，为什么会“变乎色”？

明确：古时历来重视礼乐，儒家认为音乐具有重要的政治教化作用，从音乐可以考察一个国家的兴亡盛衰，反对把音乐作为单纯的娱乐活动。“先王之乐”是用来教化百姓，安定民心，治理国家，巩固统治的，与“世俗之乐”截然不同。齐宣王爱好的不是“先王之乐”而是“世俗之乐”，这又与儒家的音乐主张不吻合了。因此齐王怕受到孟子的批评，因而脸上表现的有点惭愧。

2.可是作为儒学大师的孟子又为什么会说“今之乐犹古之乐”呢？

明确：今乐、古乐固不可混同，但孟子以便进一步劝导齐王在爱好今乐的情况下实现“与民同乐”，所以存异求同。在齐宣王听孟子提及“好乐”而“变乎色”时，孟子及时肯定了好乐有助于治国，掌握了谈话的主动权。

3.分析两幅画面写法及其作用

（1）两幅画面：一幅是“疾首蹙”“父子不相见，兄弟妻子离散”的悲惨图面； 一幅是“欣欣然有喜色”，祝愿国君身体健康的画面。

（2）两幅画面的作用：画面描写性语言的形象和精练，人物神态逼真，而且使用了对比的手法。用描写的手法，目的是为了避免直接的、枯燥的说教，让对方在鲜明的对比中直观地感受，作出必然的选择。最后得出“今王与百姓同乐，则王矣”的结论，水到渠成。

四、探究质疑

1.关于“民本”思想

（1）皇祖有训：民可近不可下。民惟邦本，本固邦宁。予临兆民，懔乎若朽索驭六马。有问题请您反馈邮箱 HHBEIKAO@163.COM 《鼎尖教案》您的教学首选！欢迎您下载使用！

为人上者，奈何不敬！”

——《尚书》

（2）“民为贵，社稷次之，君为轻。”

（3）“天下非一人之天下，天下之天下也。”

（4）“国有常制，利民为本。”

（5）“国以民为本，社稷亦为民而立。”

熹

——《孟子》

——《吕氏春秋》 ——《史记·赵世家》

——朱（6）“古者以天下为主，君为客，凡君之所毕世而经营者，为天下也。今也以君为主，天下为客，凡天下之无地而得安宁者，为君也。”

2.讨论：孟子“与民同乐”的思想在当时能否实现

——黄宗羲

明确：春秋战国时代征战不断、生灵涂炭，孟子继承、发展并宣扬的孔子的仁政思想，对于发展生产，减轻人民负担，减少流离之苦，确有一定的进步意义；但“劳心者治人，劳力者治于人；治于人者食人，治人者食于人”的观点使他的仁政学说带有浓厚的保守色彩，再加上阶级的必然对立，“与民同乐”不过是空想。因此，孟子的思想也存在着严重的阶级和时代的局限性。

●板书设计

●延伸阅读

阅读下面文章，完成1~3题。齐宣王见孟子于雪宫。王曰：“贤者亦有此乐乎？”孟子对曰：“有人不得，则非其上矣，人不得而非其上者，非也，为民上而不与民同乐者，非也，乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。乐以天下，忧以天下，然而不王者，未之有也。

1.解释下列句中加点词。

2.把“然而不王者，未之有也。”翻译成现代汉语。3.用《庄暴见孟子》中的话概括这段文字的中心。【参考答案】

1.（指责）（不对、错的）；（以„„为乐）（欢乐、快乐）；（以„„为忧）（忧愁）2.这样还不能称王天下的，从来没有这样的事。3.与民同乐。

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第五篇：【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：1.7四种命题(备课资料)

●备课资料

一、《教师教学参考书》《中学数学教学》

二、参考例题

［例1］写出命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的逆命题、否命题，逆否命题.并判断其真假.分析：应注意分析清楚原命题的条件与结论，并充分利用四种命题的定义，还要注意条件和结论中“或”“且”“非”的否定的语句表述的准确性.解：原命题：“若x≥2且y≥3则x＋y≥5”为真命题.逆命题为：“若x＋y≥5，则x≥2且y≥3”，为假命题.否命题是：“若x＜2或y＜3，则x＋y＜5.”其为假命题.逆否命题是：“若x＋y＜5，则x＜2或y＜3”其为真命题.评述：本题应注意理解掌握“p且q”的否定为“p或q”，“p或q”的否定为“p且q”.［例2］写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假.2(1)若x＝1，则x＝1.(2)对顶角相等.(3)等腰三角形的两腰相等.2(4)x＋2x＋8＞0的解集为空集.分析：应先将原命题改写成“如果„„，那么„„的形式”然后再构造它的逆命题.2解：(1)逆命题是“若x＝1，则x＝1.” 原命题为假命题，逆命题是真命题.(2)逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”.原命题为真命题，逆命题为假命题.(3)逆命题是“如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形.” 原命题为真命题，逆命题也为真命题.2(4)逆命题是“空集是x＋2x＋8＞0的解集”.原命题和逆命题都是假命题.［例3］写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假.(1)如果x＞－3，那么x＋8＞0.(2)如果一个三角形的三边都相等，那么这个三角形的三角都相等.(3)矩形的对角线互相平分且相等.(4)相似三角形一定是全等三角形.分析：将原命题的条件和结论同时加以否定，便得到其否命题.解：(1)否命题是：“如果 x≤－3，那么x＋8≤0”.原命题为真命题，否命题为假命题.(2)否命题是：“如果一个三角形的三边不都相等，那么这个三角形的三角不都相等.原命题为真命题，否命题也为真命题.(3)否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”.原命题是真命题，否命题也是真命题.(4)否命题是“不相似的三角形一定不是全等三角形.” 原命题是假命题，否命题是真命题.评述：一个命题的否定应当包含除了本身以外的所有情况.如：“都相等”的否定应为“不都相等”，即至少有两个元素不相等；“p或q”与“p且q”互为否定；“一定是”的否定是“一定不是”.三、参考练习题

1.命题“能被4整除的数一定是偶数”，等价命题是（）A.偶数一定能被4整除

B.不能被4整除的数一定不是偶数 C.不能被4整除的数不一定是偶数 D.不是偶数一定不能被4整除 答案：D 2.命题：“若a∈A，则{a}A”的逆命题是（）

A.若a∈A，则{a}A B.若{a}A，则a∈A C.若{a}A，则aA D.若aA，则{a}A 答案：B 3.命题：“若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形”的否命题（）A.是假命题

B.与原命题同真或同假

C.与原命题的逆否命题同真同假 D.与原命题的逆命题同真同假 答案：D 4.若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的_______命题.答案：逆否 5.命题“若a＞0，则什么命题：

(1)若a≤0，则(2)若

3a3＝”的相关命题如下，在题后括号内注明它是这一命题的4a43a3≠.（）4a43a3＝，则a＞0()4a43a3(3)若≠，则a≤0()4a4答案：（1）否命题(2)逆命题(3)逆否命题 6.写出下列命题的逆命题的逆否命题：(1)若a＞4则a＋3＞6(2)若x与y成正比关系，则y＝kx.答案：(1)若a≤4则a＋3≤6(2)x与y不成正比关系，则y≠kx.7.把下列命题改写成“若p则q”的形式：(1)15是5的倍数.(2)正方形四边相等.答案：(1)若a＝15，则a是5的倍数.(2)若一个四边形是正方形，那么这一四边形的四边相等.8.写出命题：“若ab＝0，则a、b中至少有一个为0”的逆否命题.答案：若a、b都不为零，则ab≠0.●备课资料

一、《教师教学用书》

二、参考例题

222［例1］写出命题“在△ABC中，若∠C＝90°，则c＝a＋b”的逆命题，否命题和逆否命题，并指出它们的真假.解：原命题是真命题.222逆命题为“在△ABC中，若c＝a＋b，则∠C＝90°.为真命题.222否命题为：“在△ABC中，若∠C≠90°，则c≠a＋b”，是真命题.222逆否命题为：“在△ABC中，若c≠a＋b，则∠C≠90°，是真命题.评述：此题的原命题中“在△ABC中”是大前提，在写这类命题的逆命题、否命题和逆否命题时一般保持不变.［例2］写出命题“x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.分析：本题中原命题的条件是复合条件.因此解好本题的关键是准确地写出“p且q”的否定.解：原命题是真命题.逆命题是：“x＋y≥5则x≥2且y≥3”为假命题.否命题是：“x＜2或y＜3，则x＋y＜5”为假命题.逆否命题是：“x＋y＜5则x＜2或y＜3”为真命题.评述：注意“p或q”的否定是“p且q”，“p且q”的否定是“p或q”.在否命题中的准确运用.［例3］写出下列命题的逆命题，并判断其真假.2(1)当x－3x＋2＝0时x＝2(2)ac＞bca＞b.2解：(1)逆命题为：“当x＝2时，x－3x＋2＝0”，为真命题.(2)逆命题为：“a＞bac＞bc”其为假命题.三、参考练习题

1.在下列命题中，真命题是（）

①“在同一个三角形中，大边对大角”的否命题.2②“若m≤1，则x－2x＋m＝0有实根”的逆命题.③“菱形的对角线互相垂直平分”的否命题.④“若A∩B＝B，则AB”的等价命题.A.①②④ B.③④ C.①②

D.①②③ 答案：D 2.命题“若a＞b，则am＞bm”与它的逆命题、否命题，逆否命题中真命题共有____个.答案：0 3.写出命题“对角线不互相垂直的平行四边形不是菱形.”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出它们的真假.答案：逆命题为：“不是菱形的平行四边形，对角线不互相垂直”，为真命题.否命题为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，为真命题.逆否命题为“平行四边形是菱形，其对角线互相垂直”，为真命题.4.判断下列命题的否命题的真假.(1)正方形四条边相等.(2)已知a＜0，如果x＝－a，那么x＜0(3)一个锐角的补角是钝角.答案：(1)否命题为假命题.(2)否命题为假命题.(3)否命题为真命题.●备课资料

一、《教师教学用书》

二、参考例题

［例1］用反证法证明：若｜a－b｜＞a－b，则a＜b 分析：反证法证题的关键是对命题的结论进行否定——推理——矛盾——肯定.证明：假设a≥b

则有a－b≥0即｜a－b｜＝a－b.但这与已知中｜a－b｜＞a－b矛盾.故a＜b 评述：反证法证明过程中必须对结论的反面的各种情况一一加以否定，才能证明原命题的正确性.2［例2］用反证法证明：｜a｜＜3则a＜9.2证明：假设a≥9，两边同时开方取算术根得：｜a｜≥3.这与已知条件中｜a｜＜3相2矛盾.故a＜9.［例3］如果一个整数n的平方是偶数，那么这个整数n本身也是偶数，试证之.分析：由“整数n的平方是偶数”这个条件，很难直接证明“这个整数n本身也是偶数”这个结论成立，因此考虑用反证法证明.证明：假设整数n不是偶数，那么n可写成：n＝2k＋1（k∈Ｚ）, 2222则n＝（2k＋1）＝4k＋4k＋1＝2（2k＋2k）＋1.22∵k∈Ｚ ∴2k＋2k∈Z，则2（2k＋2k）为偶数.2那么2(2k＋2k）＋1为奇数.2∴n为奇数.但这与已知条件矛盾.则假设不成立，故n是偶数.评述：否定结论是反证法的第一步，能否导致矛盾是反证法的关键，一般通过推理导致以下矛盾之一即可：

①与条件矛盾；②与定义、定理、公理矛盾；③与客观事实矛盾；④自相矛盾.三、参考练习题

1.用反证法证明命题的第二步中，得出的矛盾可以是与下列哪些内容产生的()①命题已知 ②数学定义 ③定理，公理 ④推理、演算的规律

A.① B.①③

C.②

D.①②③④ 答案：D 2.用反证法证明“一个三角形内，不能有两个钝角或直角”.证明：假设可以有两个钝角或直角，那么这两个角与任意大小的第三个角的和必大于180°，这与三角形的内角和为180°相矛盾.故一个三角形内，不能有两个钝角或直角.3.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A.有一解

B.有两解 C.有三解

D.至少有两解 答案：C 4.否定下列各结论，并写出由此可能出现的情况：(1)a＝b（2）AB∥CD（3）点A在直线a上 答案：(1)a≠b，即a＞b或a＜b

(2)AB与CD不平行，即AB与CD相交，或AB与CD重合.(3)点A在直线a外，即点A在直线a的一侧或另一侧.5.用反证法证明：若a2＝－a，则a≤0 证明：假设a＞0，可得a2＝｜a｜＝a，这与已知a2＝－a相矛盾.故a≤0.6.假设p、q都是奇数，求证：关于x的方程x＋px＋q＝0无整数根.分析：此题中含有否定用“无”，可考虑用反证法，另外关于有无整数根，可从已知方程的判别式与根和系数的关系入手分析证明.222证法一：只有在Δ＝p－4q＝（p－m）时((p－m)表示完全平方数,其中由－4q＝－2pm＋m可知m应为偶数)才可能有整数根.化简上式得出p与q的关系：q＝p·因p是奇数，不论2

mm2

－（），22m是怎样的整数，都可得q为偶数，这与已知q为奇数相矛盾，则判别2式Δ的值不会是一个完全平方数，故方程无整数根.2证法二：假设方程有整数根α，无论α是奇数还是偶数，都必有α＋pα＋q为奇数，2这与α＋pα＋q＝0矛盾.故方程无整数根.