数 学 开 放 题 参 考 文 献

第一篇：数 学 开 放 题 参 考 文 献

数 学 开 放 题 参 考 文 献

专 著

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

[10] [11] ICMI.国际展望:九十年代的数学教育.上海:上海教育出版社,1990,79 NRC.人人关心数学教育的未来.北京:世界图书出版公司,1993.NCTM.美国学校数学课程与评价标准.北京:人民教育出版社,1994.张奠宙 戴再平.中学数学问题集.上海:华东师大出版社,1996.戴再平.初中数学习题研究.长沙：湖南教育出版社,1996.戴再平.数学习题理论(第二版).上海：上海教育出版社,1996.张奠宙等.素质教育教案精编.北京：中国青年出版社，2000.戴再平倪明等.高中数学开放题集.上海：上海教育出版社,2000.戴再平龚雷等.初中数学开放题集.上海：上海教育出版社,2000.戴再平朱乐平等.小学数学开放题集(上).上海：上海教育出版社,2000.戴再平朱乐平等.小学数学开放题集(下).上海：上海教育出版社,2000.总 论

[12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] 王慧斌.数学教学新方法:开智法简介.外国教育资料,1988(1).王慧斌.开放性数学问题研究.王建军.学生的认知发展与习题改革.教育研究,1988(10).周学祁.“开放型题”及其思维对策.数学通报,1990(6).张世贤.高中数学教材中的“开放性问题”.湖南教育,1991(12);中国人大复印资料 忻再义.从上海市新编教材看开放性问题的编制与使用.数学教学,1992(3).凌振吉.从培养发散思维能力的角度谈编制开放性问题.数学教师,1993(6).戴再平.数学开放题.中学数学教学参考,1993(12).张必华.试谈探索性题的分类.中学数学教学参考,1993(12).梁俊奇.“开放型题”的几个特点.中等数学,1993(1).戴再平.一组开放型题的试验与分析.数学教育学报,Vol.2(2),1993(11).北京开放型问题研讨组。对开放型问题的认识.数学通报,1994(3).刘梅金等.开放探索型命题解法分析.数学通报,1995(4).龚 雷.数学开放题的分类.中学数学,1995(4).赵雄辉.开放性问题教学初探.数学通报,1996(9).李国安.浅谈初中数学中的开放型问题.中学生数学,1996(5).伊 红.开放题的功能浅析.教学月刊(中学理科版),1997(9).熊跃农.隐去结论,让学生自己去探索.中学数学教学参考,1997(4).曾 峰.做一点开放题,开拓你的思路.中学生数学,1997(10).宋世良.一个综合图形的性质和应用.中学数学(苏),1998(3).何龙泉.开放题在思维培养中的积极作用.湖南数学通讯,1998(3).刘 萍.数学开放题与学生主体意识的培养.中学数学,1998(4).范黎明．浅谈数学开放题与教学的课堂文化，数学教学,199８(5).李永桃.数学开放题之我见.中小学数学（小学版），1998（7-8）.戴再平.时代的呼唤—谈数学开放题.小学教学,1999(4).G35,1992(1).1 [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60]

[61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] 全国教育科学“九五”规划重点课题组.开放题—数学教学的新模式.小学教 俞求是.中学数学教学中的开放题.中学数学杂志,1999(1).俞求是.中学数学教科书中的开放题.中学数学教学参考,1999(4).戴再平.时代的呼唤—数学开放题研究进展综述.中学数学教学参考,1999(4).编辑部.“数学开放题及其教学”学术研讨会在沪举行.中学数学教学参考,1999(4).龚 雷.数学开放题的常见题型.中学数学教学参考.1999（5）.戴再平.数学开放题——一个方兴未艾的领域。教学月刊(中学理科版),1999(7-8).张奠宙.数学教育中的“创新”工程大纲.数学教学,1999(4).孔企平黄毅英.开放性问题对数学教学的意义.数学教学,1999(4).钱从新.有关开放题的几点探讨.数学通报,1999(11).朱乐平.小学数学开放题的含义及分类.小学教学,1999(4).朱乐平.小学数学开放题的教育价值..小学教学,1999(6).林敏鹤.浅谈数学开放性命题解题能力的培养.赵小平等.随机思想〃归纳推理〃问题开放——九年制义务教育“统计” 知识的学习戴运恩.浅谈数学开放题.中小学数学(小学版).1999(6).顾建华.谈“不附图”的几何题与开放性.数学教学,1999(3).胡挺员.关于一题多解的开放性的认识.数学教学,1999(3).曹始好.从另一侧面看应用题的教训.数学教学,1999(4).张远增等.对数学开放性问题的几点认识。数学教育学报，Vol.9（4），2000（4）.朱乐平.谈开放性应用题.小学数学教师,2000(3).高军民.浅谈开放型题的思维价值。中学教研(数学),2000(8)姚祥尹.应用开放题是数学教育的新趋势.数学教学通讯.2000(5).任明中.现代数学教学呼唤开放题。数学教学通讯，2000（11）.张树兴.开放型问题的解题策略.中小学数学（初中版），2000（11）.陈国良.“开放型题”及其思维对策.数学通讯，2001（1）.人大复印资料G35 李兴贵.数学开放性问题探究.数学教学通讯，2001（1）.中 研.数学开放题的解法.中学数学研究.2001（3）.郑毓信.开放题与开放式教学.中学数学教学参考,2001(3).学,1999(4).的比较研究之二, 数学教学,1999(2).2001（8）.郑迪华.一类半开放性问题的解答策略.数学通讯,2001(7).何光峰.数学开放题及其教学的研究综述.数学通报，2001（5）；人大复印资料G35 2001（9）.何龙泉.开发数学开放题 培养创造性能力.中学数学教学研究，2001（3）.何龙泉.数学开放题求解与创造性能力培养.中学数学研究，2001（6）； 人大复印资料

G35，2001（10）.教学设计与教学记实

[69] 戴再平.钟面数字问题.备课资料集粹.杭州:浙江教育出版社,1993.2 [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] 王利明等.探索隐含条件,激发学习兴趣.浙江教学研究,1993(5).单庆国.“正方体的截面形状”教学记实.数学通报,1994(12).戴再平林 霄.激发学习兴趣,提高思维能力.数学教师,1994(6).戴再平丁沛华等.重要的是让学生参与.中学数学,1994(9).赵仁安等.运用开放型问题进行教学的一次尝试.数学教学,1995(1).高向斌.发现平行四边形判定方法的一个教学设计.数学通报,1996(6).汤伯禹等.一堂强化参与意识的好课---寻找数组规律.数学通报,1996(6).赵雄辉.开放性问题教学初探.数学通报,1996(9).时承权.一道课本习题的挖掘.中学数学教学参考，1997（7）.贝跃敏.滚珠有多少颗——开放题教学设计一例.数学通报.1998(9).王吉林．一堂培养学生创造性思维的复习课．数学教学,1998(6).彭雅雅.开放--引导式教学的实践与认识.福建中学数学,1998(1).罗绮薇.“充要条件”的“开放性”教学模式设计.数学教学,1998(3).王世忠等.“答案开放型”问题教学初探.中学数学月刊.1998(1).邬云德等.关于数学开放题能否进课堂的研究.中学教研(数学),1998(9).龚 雷.数学开放题的设问方式.数学教学,1998(5).毛淑丽.格点三角形.数学教学,199８(5).刘 萍.用开放题引入“平行线的性质”的教学设想.中学数学,1999(3).刘 萍.建构观下数学开放题的教学探索.数学通讯,1999(4).孙联荣等.“简单邮路问题”的设计和实践.小学教学,1999(4).上海市金汇学校课题组.简单邮路问题与对称.数学教学,1999(2).王朝明.初中数学开放题研究与实践.中学教研(数学),1999(8).张雪霖.“问题解决——可以发展的问题”的教学实践与研究．数学教学,1999(５).王邴图.一堂开放式习题教学课的尝试.福建中学数学,1999(6).王井文.挖掘教材中开放性例习题之我见。中学数学教学参考,1999(8).张嘉瑾.解析几何中的开放型题及其思维对策.中学数学月刊，1999（3）.王思俭.数学开放题教学思考。中学数学杂志,2000(2).赵雄辉 戴再平朱.乐平等.让开放性问题进入课堂.湖南教育,2000(10).孔企平、黄毅英.开放性问题对教育评估改革的意义。小学数学教师，2000（6）.吴玉兰等。设计租车方案。小学数学教师，2000（7，8）.[100] 郭瑾芳等.游乐园中的数学问题.小学数学教师，2000（7，8）.[101] 罗永军等.可能性的大小.小学数学教师，2000（7，8）.[102] 张钰平等.方向和路线.小学数学教师，2000（7，8）.[103] 项海刚等.长方体物体的包装.小学数学教师，2000（7，8）.[104] 徐伟荣等。大数量的估算.小学数学教师，2000（7，8）.[105] 郑建等.用立方体拼摆立体图形。小学数学教师，2000（7，8）.[106] 张浩强等。购物问题.小学数学教师，2000（7，8）.[107] 徐伟国等.收集数据.小学数学教师，2000（7，8）.3 [108] 朱乐平.主动参与，迎接数学教学的变革。小学数学教师，2000（7，8）.[109] 唐绍友.论数学开放式教学及其数学教育功能。数学通报,2000(8).[110] 任升录、张远增.对数学开放性问题的认识及其教学尝试.数学教学，2000（6）.[111] 徐国胜.例谈众数、中位数的开放型教学。中学数学，2000（7）.[112] 罗秋佳.一道平面几何问题的开放性教学.中学数学，2001（2）.[113] 张维忠 周晓红.培养学生创新意识的初中数学课堂教学案例简析.中学数学教学参

考,2001(4).[114] 张绪琼.让学生在探索中创新.数学教学通讯，2001（4）.[115] 陶兴模等.一道开放性例题的教学实录.中学数学，2001（6）.[116] 杨海燕.一堂开放性应用题教学实录.数学通报,2001(7).开放式教学

[117] 王 凝.中小学数学的开放式教学法评介.课程〃教材〃教法，1988（2）.中国人大复

印资料G35,1988(4)[118] 施仿范.数学复习课中发散思维能力的培养.中学数学教学参考,1993(9).[119] 凌国华 孙联荣.挖掘现有问题,引用开放性设计.数学教学,1998(4).[120] 李学军.例谈数学教学中的开放型设计.数学教学,1996(5).[121] 胡志发.一堂开放式的数学课的尝试.中学数学杂志,1998(3),中学数学月刊,1998(7〃8).[122] 张缙红.如何培养学生的数学思维素养---谈平面几何教学中的开放性思维训练。教学月刊(中学理科版),1998(11).[123] 张奠宙.数学教育的开放性趋势．数学教学,199８(5).[124] 彭建平.思维品质素养与“开放型题”.中学数学研究,1999(2).[125] 胡同祥.开放型——数学教学的新模式.数学教学通讯,1999(3).[126] 王立军.提高数学教学开放度的探索和思考.中学教研(数学),1999(4).[127] 姚祥尹.应用，探索，开放.中学数学教学,1999(5).[128] 陈锡龙.设计开放性的数学教学初探.中学数学教学参考,1999(10).[129] 汤德祥.开放型课堂教学的设计与评估.数学教学，2000（3）.[130] 邵 琼.数学开放式教学的实践与认识。载于中国教育学会中学数学教学专业委员会。开创 21世纪数学教育新局面。上海：上海科技出版社，2000年，407-414 [131] 叶建国.关于当前数学问题开放化的几点思考.中学教研(数学),2000(4).[132] 张明龙.浅谈中学数学教学的开放性.数学通报.2000(5).[133] 王智庆.实施开放式教学，培养学生创新能力.小学教学，2000（4）.[134] 张天孝.开放式教学与《现代小学数学》的修订。小学数学教学教师，2000（7-8）.[135] 张梅玲.开放式教学与创新型人才。小学数学教学教师，2000（7-8）.[136] 商祝泉.初中几何“无结论”练习实验研究.中小学数学（初中版），2001（1）.[137] 童仕贤.运用课本进行开放式教学.数学教学通讯，2001（2）.[138] 徐广华.加强开放性问题的教学 培养创新思维能力.数学通讯,2001(7).[139] 佚 名.一种开放式的数学复习课教学模式.中国中小学教育教学网（K12），2001-05-05.[140] 崔世明.挖掘例题要具有开放性——两圆位置关系练习课.中学教研(数学),2001(5).4 [141] 吴信昌.让学生学会交流——谈开放性教学.福建中学数学，2001（3）.[142] 郑冰俏.数学开放式教学尝试——一堂数学习题课教学.中学教研(数学),2001(7).[143] 石恩文.中学数学与开放式教学.中学数学教学参考，2001（11）.研究性课题

[144] 哈家定.“探索研究题”的教学功能及其编制.福建中学数学,1991(3).[145] 刘冀生等.改变学习模式 激发学习潜能——向明中学“自创性研究课程”的构想与实践.中学教育，1999（10）.[146] 孟召平等.数学活动课的实践与认识.中小学数学（初中版），1999（11）.[147] 耿立顺.表面展开图为三角形的四面体.中学数学月刊，2000（2）.[148] 冯 华.表面展开图为四边形的四面体.中学数学，2001（1）.[149] 姚志敏.让学生在“做”中学习——一堂教学研究课的简介与评析.中学数学杂志（高

中），2000（6）.[150] 许文生.例说“研究性学习”——从2000年一道高考数学题谈起.中学数学教学参考，2000（11）.[151] 游家来.研究性课程的设计与实施一例.中学数学，2001（1）.[152] 赵力红等.开展课题研究（实验类）的实践与思考.教学月刊（中学理科版），2001（1）.[153] 王秀彩.一个游戏引起的思考.数学通报，2001（1）.[154] 韩 予等.怎样烧开水最快最省煤气.中学生数学，2001（2下）.[155] 杨 丽.研究性学习，让学生变学者.钱江晚报，2001-02-04.[156] 陈仁彪.电梯运行方法引发的思考.中学数学教学.2000（4）；中国人大复印资料G35, 2001(2).[157] 郭立昌等.初中数学探究性活动的内容、形式及教学设计.中学数学教学参考,2001（1-2）.[158] 游余祥.研究性课题“多面体欧拉定理的发现”教学漫谈.中学数学教学参考2001（1-2）.[159] 方维华.“课题研究”的实施.教学月刊（中学理科版），2001（2）.[160] 吴振奎.公说公有理，婆说婆有理——几个貌视荒唐的数学故事.中等数学，2001（2，3）.[161] 游余祥.研究性课题——抛物线的有关性质.中学数学，2001（4）.[162] 周根龙.让学生在研究中学习.中学数学教学参考，2001（4）.[163] 吴振奎.公说公有理，婆说婆有理——几个貌似荒唐的数学故事.中等数学，2001（2）.[164] 张征海.高中数学教学中开展研究性学习的尝试.数学教学，2001（4）.[165] 张 华.论“研究性学习”课程的本质.教育发展研究，2001（5）；人大复印资料G35 2001（9）.[166] 霍益萍.研究性学习对教师的挑战和要求.教育发展研究，2001（5）；人大复印资料G35 2001（9）.[167] 周微微.初中数学研究性学习的设计与实施.中学教研(数学),2001(5).[168] 张惠良.研究性课题：分期付款中的有关计算.中学数学，2001（5）.[169] 金 良等.也谈“抽签有先后，对各人公平吗？”中学数学，2001（5）.[170] 孙立群.高中数学研究性学习内容的构建与实践.数学通讯，2001（11）.[171] 金 良等.从两道习题看数学在“研究性学习”中的作用.中学数学研究，2001（6）.5 [172] 孙立群.分期付款问题的研究性学习设计.高中数学教与学，2001（7）.[173] 戴海君.一类复数习题的自然引申——研究性学习的一次尝试.中学数学，2001（8）.[174] 丁雪梅.例说“研究性课题”教学中学生思维的调整与深化.中学数学教学参考，2001（10）.[175] 徐芳芳.探索“研究性课题” 开展“研究性学习”.中学教研（数学），2001（10）.[176] 冯 寅.课堂中研究性学习的策略、中学数学研究，2001（10）.[177] 罗碎海。研究性学习示例、中学数学研究，2001（10）.[178] 项莉敏.学生探究性学习能力的培养.数学教学通讯.2001（10）.[179] 刘作雄.《〈研究性学习〉系列讲座

（一）》，数学通讯，2001（19）.编 制

[180] 凌振吉.从培养发散思维能力的角度 谈编制开放性问题.数学教师,1993(6);中国人大复印

资料G35,1993(7).[181] 郭立昌.平面几何“开放型”题目的编制.数学通报,1994(6).[182] 胡庆彪.解析几何开放题的编制.数学通报,1998(11).[183] 叶芳琴等.浅议立体几何开放题.数学通报,1996(11).[184] 潘淑萍.引导学生参与编题初探．数学教学通讯，1993(4).[185] 孙小民.开放型数学习题的若干编制方法.数学教学,1997(3).[186] 戴再平.数学开放题(专栏).中学生数学,1998(1-12),1999(1-12),2000(1-12).[187] 《小学数学教师》编辑部。开放题设计(专栏).小学数学教师,2000(3-).[188] 顾伟民等.浅述数学开放题设计的策略.小学数学教师,2000(7，8).[189] 潘素珍.折纸中的数学.数学教学,1998(4).[190] 数学教育沙龙.欢迎一试.数学教学,1989(3).[191] 孙耀庭.结合教材编制开放型题.数学通讯,1996(5).[192] 夏国良.立体几何开放题的编制.福建中学数学,1999(3),数学教学,1999(4).[193] 王井文.挖掘教材中开放性例题之我见.中学数学教学参考,1999(8).[194] 张金良.与空间不共面的四点距离为定比的平面个数讨论.中学教研(数学),1999(12).[195] 夏昌华.用模型法编制数学开放题若干例.数学通报,1999(12).[196] 张 彦.数学开放题及其编制方法.数学教学,1999(6);载于中国教育学会中学数学教学专 业委员会。开创21世纪数学教育新局面。上海：上海科技出版社，2000年，477-484 [197] 杜吉贵.以正三角形作为面的凸多面体模型及制作。数学教学，2000（1）.[198] 孙联荣、凌国华.对一道常规题的开放性设计.数学教学,2000(2).[199] 齐建华.等面图形堆垒问题.数学教学,2000(2).[200] 宋德瑜.钟面行程问题.小学数学教师,2000(1,2).[201] 季巧玲.开放题的设计原则与教学例谈。小学数学教师,2000(5).[202] 朱银坪.编拟函数开放题的做法.数学通讯，2000（15）.[203] 叶建国.关于当前数学问题开放化的几点思考。中学教研(数学),2000(4).[204] 朱银坪.编拟函数开放题的作法.数学通讯，2000，（15）.[205] 方晓霞.编制“开放性初中数学题”浅谈.数学教学通讯，2000（9）.6 [206] 李佩风.中考考生编拟数学题举例.中小学数学（初中版），2000（10）.[207] 石 华.两道开放题 供你试刀枪.数理天地（初中版），2000（12）.[208] 徐丹阳.精心设计开放题 培养创新意识.中学教研(数学),2001(1).人大复印资料G35 2001（4）.[209] 闻黎明.平面几何题改编为开放题的一些做法.数学教学,2001(2).人大复印资料G35 2001（8）.[210] 刘 达.由开放性问题设计而产生的开放性问题.数学教学,2001(2).[211] 沈 翔.开放性问题设计的几个要点.数学通讯,2001(7).人大复印资料G35 2001（8）.[212] 孙树伟.也谈开放型的解析几何题.中学数学研究，2001（6）.[213] 孙明恩.一道由例题演变的开放题.中学生数学，2001（8下）.开放题与考试

[214] 龚 雷.尝试用开放题编拟试题.中学数学教学参考,1998(3).[215] 孙联荣.论考试中的开放性试题.上海中学数学，1998（5）.[216] 时承权.试谈近几年初中升学数学试题的发展趋势.中国人大复印资料G35,1993(6).[217] 彭 林.中考数学探究型试题的分类及解法.中学生数学,1997(3).[218] 何昌俊.中考命题改革新举措.数学教学,1995(2).[219] 胡敬民.例谈中考数学探索性试题的类型及解法.中学教研(数学),1998(12).[220] 罗时建.试析今年全国高考数学开放探索题．数学教学,1998(６)． [221]习禾生等.平面几何开放型试题初探.数学教学,1997(1).[222] 付东峰等.中考开放性试题的几种常见类型.数学教学,1999(2).[223] 胡兴余.数学应用开放题解法初探.中学数学教学,1999(5).[224] 魏明华.数学开放题与考试.数学教学通讯,1999(6).[225] 郑玉君等.1999年高考第（18）题：开放题又有新突破.中学数学教学参考，1999（9）.[226] 张继海.开放题——数学考试的新题型.试题研究（高中数学），1999（20）.[227] 刘应平.解答中考开放型题试题的八种思维方法.中学数学教学参考,1999(12).[228] 王 珂.从高考新题型——开放题引起的思考.数学通报,1999(12).[229] 王思俭.高考数学开放型试题的解题探微。中学数学杂志,2000(1).[230] 杨 丽.你会算24点吗.钱江晚报，2000-06-15.[231] 陈德前.考查学生创新意识的数学中考题.试题研究（初中数学），2000（14）.[232] 孙铁斌.高考物理开放题试题分类例析.中学理科参考资料，2000（8）.[233] 郭立昌.中考对学法改革的启示.中小学数学（初中版），2000（9）.[234] 赵成海等.突出STS和开放题.中学数学教学参考，2000（9）.[235] 裴光辉.几类开放题.高中数学教与学，2000（10）.[236] 周 毅.一个开放性几何计算题求解研讨.数学教学，2000（5）.[237] 张继海 蔡红.对一道开放性应用题的研究.试题研究（高中数学），2000（20）.[238] 赵春祥.填空题中的开放型问题解法评析。试题研究（高中数学），2000（20）；教学月刊（中学理科版）2000（11）.[239] 李世凯.一道有特色的中考开放型试题.中小学数学（初中版），2000（11）.7 [240] 贺长军.高考数学热点开放性问题浅析.数学教学通讯，2000（11）.[241] 肖绍菊.谈中考开放题对数学教学的导向作用.数学教学通讯，2000（12）.[242] 林益富.中考数学创新试题的特征与教学对策浅析.中学教研(数学),2000(12).[243] 徐太玉.一道重应用、注重动手动脑的中考题.数学教学，2001（1）.[244] 尹志春.关于中考命题中“应用性问题”题型的探析.教学月刊（中学理科版），2001（1）.[245] 费镇域.由一道英语竞赛题说起.中学数学教学参考,2001(1-2).[246] 陈先海等.注重创新性试题的设计——2000年中考数学命题特点之三.中学数学教学参

考,2001(1-2).[247] 冯 玲.一道饶有趣味的中考开放题.中学数学研究，2001（2）.[248] 王大通等.难得一见的中考题.数学教学通讯，2001（2）.[249] 周光建等.对一道几何“镶嵌”题的评析与再研究.数学教学通讯，2001（2）.[250] 何昌俊.创新型的中考题.数学教学通讯，2001（2）.[251] 江兴代.中考新视点之一—开放探索性问题.中小学数学（初中版），2001（3）.中国人大 复印资料G35,2001(6).[252] 陆海泉.中考新题型解法探讨.中学教研(数学),2001(4).[253] 芮 滋.着眼素质 注意基础 突出实用 加强开放——试析2000年中考数学试题的特点 及其导向.中学数学月刊，2001（5）；中国人大复印资料G35,2001(9).[254] 张宜成.例谈中考开放型试题.中学生数学，2001（7下）.[255] 朱青锋.开放性试题呼唤开放式教学——2000年全国高考数学试题之我见.数学通报，2001（8）.[256] 郭保胜.例谈中考试卷中的开放题.中学生数学，2001（9下）.现代教育技术

[257] 江一鸣.自然数的等差分拆.数学教学,1997(5).[258] 万福永．例谈应用计算机模拟解答竞赛题．数学教学,199８(６).[259] 邓继业.开放型教学方法的实践——数学多媒体网络教学的应用。数学教学,1999(1).[260] 金黎芬 黄荣金.例谈信息科技对解数学开放题的影响.数学教学，2000（3）.[261] 周平.谈应用几何画板辅助数学教学.福建中学数学,2001(2).[262] 徐达炎.建构主义学习理论与计算机多媒体课件的设计.教学月刊（中学理科版），2001（2）.[263] 刘 燕.网络CAI在数学教学中的应用.福建中学数学,2001(3).[264] 郭 璋.运用TI—92Plus进行一次探究性活动.中学生数学，2001（8下）.国外的数学开放题

[265](日)泽田利夫.从“未完结问题”提出的算术、数学课的教学的方案.外国教育,1980(4).[266](日)相马一彦.问题与学生反映.数学通讯,1988(9).[267] 胡林瑞.国外数学题的一次测试所见.数学教学,1990(3).[268] 刘学质.问题解决在美国和日本.数学教学.1993(2).[269] 方学荣.日本“课题学习”的一次试验实录.数学教学.1993(2).8 [270] 胡启迪.日本一堂开放性的问题解决课.数学教学,1994(1).[271](日)川口廷.日本初中数学“课题学习”的构造及其展开.数学通报.1994(3).[272] 赵雄辉.一道开放型应用题的教学试验.数学教学,1994(6).[273] 孙联荣.日本数学教育中的“课题学习”.数学教学,1995(1).[274] 孙联荣.再谈“课题学习”中的课题.数学教学,1995(2).[275] 杨立公.记一堂开放式的教学实验课.中学教研(数学),1996(7-8).[276] 孙连举.浅析日本数学教育中的课题学习.数学教育学报.Vol.6(2),1997(5).[277](日)泽田利夫.儿童的思维与数学思维方法的培养。上海中学数学.1997（1）.[278](日)能田伸彦.日本课堂活动中的开放式教学.黄荣金译。ICMI-EARCOME1 Proceedings 185-192．见1998年10月上海会议文献选编。ICMI-EARCOME1于1998年8月17-21日 于韩国忠清北道韩国教员大学校举行.[279] 汤慧龙等.数学题型应当拓宽—国内外数学题型比较.数学教育学报,Vol.7(4),1998(11).[280] 开放题——数学教学的新模式课题组等。西湖之春——小学数学开放式教学研讨会通知.小学数学教师,2000(1,2).其 他

[281] 书讯.我国首套《中小学数学开放题丛书》即将陆续出版.小学数学教师,2000(3).[282] 《中小学数学开放题丛书》出版信息.中学数学教学参考.2000(5)第10页.9

第二篇：小学数学教学论文 数学开放题

小学数学教学论文：数学开放题

人类已进入二十一世纪的信息时代，国民创新素质的高低将成为衡量一个国家竞争力的重要标志。江总书记曾指出：“创新是一个民族的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。”因此提高全民族素质，培养学生的创新意识、创新精神也就必然成为小学数学教学所面临的迫切任务。反观我国的基础中小学数学教育中，课程仍在“学科中心”理念的支配之下，教材还一直采取“定义—定理—练习”的编写方式，只突出学科系统性的编写方法，而把学生的个性发展置于无足轻重的地位；教学模式也过分单一，教学要求同一化；学生厌学，产生大量的“差生”，学有余力的学生的兴趣和能力也得不到充分发展；学生只埋头于题海中、“模拟试卷”中，学生被训练成了解题机器；而数学教材中的习题又基本是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习过程中产生了以死记硬背代替主动参与，以机械模仿代替智力活动的倾向……。为了突破我国数学教育当前的局面，改变这一状况，顺应时代的发展和需要，我们在数学教学中，引进了数学开放题，作为积极推进数学素质教育、创新教学的一个切入口，同时希望通过开放题的引入，促进数学教育的改革和发展。

一、数学开放题的含义

1、特征

数学开放题相对于传统的封闭题而言。传统的数学习题条件完备、结论确定，此类题称为封闭题。而数学开放题通常是指那些条件不完备、结论不确定的习题，或称为“问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余”的习题。数学开放题一般具有下列特征：

⑴ 问题的条件不完备

开放题的条件可以不足，也可以多余。条件不足时要求学生予以补充，条件多余时可要求学生有所选择。

例

1、小敏有一些1元和5角的硬币，合起来是10元钱。小敏有几个硬币？

在本题中，给出的条件不足以确定硬币的个数，学生需要补充一些条件才能得出结论。正是由于条件的不足，从而使本题的结论具有很大的开放性。

例2、从2、3、4、5、6、7、8这七个数中，挑出六个数填在下面的括号内，使等式成立

（）+（）=（）+（）=（）+（）

在本题中，可根据七个数中的某六个数就可确定算式，条件是多余的。多余的条件使本题的解题策略具有开放性。

⑵ 问题的答案不确定

开放题的答案具有多样性，它决定了能够满足各种层次水平的学生的需求，使他们可以在自己的能力范围内解决问题，从而体现出层次性。

例3、小刚家离学校45米，小红家离学校55米，小刚家与小红家之间有多少米？

在道题有三种不同层次的解答思路：①小刚和小红家在一条直线上且在学校的两边，俩家相距 45+55=100（米）②小刚和小红家在一条直线上且在学校的一边，俩家相距 55－45=10（米）③小刚和小红家不在一条直线上，俩家相距大于10米，小于100米

⑶问题的解决策略具有创新性

解答开放题时，没有一般的解题模式可以遵循，有时需要打破原有的思想模式，从多个不同的角度思考问题，有时发现一个新的解答需要一种新的方法或开拓一个新的研究领域。

例

4、一次，小敏、小红、小丽三位朋友合乘一辆出租车，大家商定，出租车费一定要合理分摊，小敏在全程三分之一处下了车，到了三分之二处，小红也下了车，最后小丽一个人坐到终点，付出18元钱，他们三人如何承担车费比较合理。

本题的一般解题方法是：按路程的多少来合理分配车费。因路程的比是1∶2∶3，所以小敏：18÷（1+2+3）=3（元）；

小红：18÷（1+2+3）×2=6（元）；

小丽：18÷（1+2+3）×3=9（元）。

本题还有特殊的解题方法：共有三段路，每段6元，每段路所花的钱平均分配。第一段路三人都乘，每人应付2元；第二段路小红和小丽合乘，两人各付3元。这样每人应承担的车费如下：

小敏：2（元）小红：2+3=5（元）小丽：2+3+6=11（元）

如果考虑出租车的起步价，车费的分配又有所不同。

解答本题时并没有一定的解题模式可以遵循，思维呈发散性，如能找到一个新角度，就可以发现新的解答。

2、分类

对数学开放题进行分类，这不但有助于我们对开放题有一个深入的认识，而且也有利于开放题的各种研究工作。数学开放题可以选择不同的标准进行不同的分类。以下仅从思维形式这一角度对开放题进行分类。数学命题一般可根据思维形式分成“假设—推理—判断”三个部分。

⑴一个数学开放题若其未知的要素是假设，则为条件开放题。这类开放题给出了结论，要求从多种不同角度去寻求这个结论成立的条件。

例

5、有三个整数，问这三个数具备什么条件时，它们的和能被3整除？

⑵一个数学开放题若其未知的要素是推理，则为策略开放题.这类开放题一般都给出了条件和结论，而怎样由条件去推断结论或怎样根据条件去判断结论是否成立的策略未知。

例6 制作书架时需要一块长100厘米，宽20厘米的木板，现只有一块长80厘米，宽30厘米的木板。问怎样将木板锯开，可以拼接成所需尺寸的木板？

⑶一个数学开放题若其未知的要素是判断，则为结论开放题。结论开放题就是给出了一定的条件，满足条件的答案有多个。

例

7、在2、4、6、7、10的五个数中，哪一个与众不同？

⑷有的问题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论要求主体在情境中自行设计与寻找，这类题称为综合开放题。

例

8、在一个3×4（米）的长方形地块上，欲辟出一部分作为花坛，使花坛的面积是长方形地块的一半，请给出你的设计。

二、数学开放题的使用价值

由于开放题的特点是条件开放、结论开放、策略开放的问题，开放题教学作为一种新的教学形式，为学生由课堂走向社会实际架起了一座桥梁，为新知和学做的结合开辟了课程的新渠道。本人通过对开放题教学的研究，觉得数学教学中引进开放题是必要的也是必须的，其独特的作用主要有以下几个方面：

1、有利于全体学生的积极参与

素质教育的本质应该体现在面向全体和全面发展上，而每个学生发展的关键是要在教与学的活动中给每个学生 提供参与机会，使他们在参与中得到发展。新鲜而具有丰富答案的开放题使每个学生都可以从事自己力所能及的探索，优生可做得多而深一些，基础差的学生也不至于无从下手，而通过自己的努力发现的结论或设计的方案，无论程度如何，都会给学生带来快乐，而没有无可奈何的被迫练习的感觉，这样的参与带有极大的主动性。每个学生在这样的参与中都得到更好的发展。开放题教学让每个学生在积极参与中求得了发展。

2、有利于学生的主体地位得以保障、自信心得以增加

素质教育观中，主体性是衡量学生学习质量高低的主要标志。学生的主体性越突出，独立探索的机会就越多；创造性情感就越强；其创新意识和实践能力越有可能得以培养。在开放题教学中，由于学生的活动是开放的，学生自己可以提出问题来展开并进一步发展教学内容，学生可以按自己的意愿来选择其所喜欢的思维方式解决问题。这样的学习，可以使学生的自主权受到尊重，使他们的主体地位得以保障。同时学习的内容和方式是学生自己感兴趣的，从而激发了他们的学习积极性和主动性，增强了他们对学习的自信心。

3、有利于培养学生的创新意识和能力

素质教育的制高点就是要培养学生的创新意识和能力，开放题教学具有此功能。在解决开放性问题时，学生探求多种答案，有利于培养思维的独创性、发散性；学生发现使结论成立的多种条件时，有利于提高学生联想、猜测、直觉等非逻辑思维能力及分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力；学生在寻找多答案中的最优解与在寻找多种条件中最优条件时，训练了学生的创造性思维能力。又开放题教学能够提供学生提高创新思维的空间。学生间的讨论、师生间的交流、学生提出质疑时，学生发展了自己、超越了自己，使创新思维能力得到有效提高。

4、有利于因材施教，发掘每个学生的潜能

心理学家加德纳（Howard Gardner）曾指出：每个人都具备有多种智慧，其差异之一，仅仅是某人这几方面的智慧占优势，某人那几方面的智慧占优势；

其差异之二，某些智慧已被人所显示（显能），某些智慧还没有被人所显示（潜能）；人人都具有多方面的智慧。这告诉我们，起主导地位的教师应该为每个学生创设一个良好的情境，以使每个学生的智慧得以展示，使每个学生的潜能得以发掘。以开放题为载体的开放式教学就为学生创设了一个这样好的情境：开放题由于答案、条件的不唯一性，方法的多样性，起点低、层次多，适应多层次的学生，为因材施教提供了好的材料，为每个学生提供了更多的参与机会和成功可能。

20世纪已离我们远去了，数学教育的观念已发生了巨大的变化，数学不再仅仅是为未来的科学家和工程师作准备，而是21世纪每一个公民的基本素质之一。在这种观念下，我们可以看到，数学开放题较为有效地反映了学生高层次的思维，在开放题的解答过程中，往往没有固定的、现成的模式可循，仅靠死记硬背、机械模仿不可能找到问题的解答，学生必须充分调动自己的知识储备，积极开展探索活动，从多角度用多种思维方法进行探索。课堂中引进数学开放题，可以较好地培养学生的创新意识和能力，数学开放题，创新教学的切入口。

参考文献

〔1〕戴再平。《为了每个学生的发展，为了中华民族的振兴》

小学数学骨干教师国家级培训班学习材料 2000年10月

〔2〕张梅玲。《开放式教学与创新型人才》

小学数学骨干教师国家级培训班学习材料 2000年10月

〔3〕孔企平。《开放性问题对数学教学的意义》

数学教学，1999年第4期

〔4〕戴再平。《小学数学开放题集》上海教育出版社。2000年5月

〔5〕龚 雷。《数学开放题及其分类》上海。数学教学2000年5月

第三篇：小学数学开放题教学策略研究

小学数学开放题教学策略研究

摘 要：随着我国素质教育和创新教育的推进，以计算技能和解决常规问题为重点的数学教育已经不能满足时代发展的需要了。开放题教学作为一种新的教学形式，更好的为传统数学教学作补充使其得以发展，使学生的创新意识和“双基”训练得到科学的平衡。本文着重探讨了小学数学开放题的教学策略及教学过程中的注意事项。

关键词：小学数学；开放题教学；教学策略数学开放题的教学策略

所谓教学策略是指当教学目标确定以后，根据己定的教学任务和学生的实际情况，有针对性地选择和组织相关的教学内容、教学组织形式、教学方法和手段，从而形成具有较高效率的特定的教学方案。它既包含解决某一实际问题的教学理论，又包含解决某一实际问题带有规律性的教学方法，具有综合性、可操作性和灵活性的特点。根据数学开放题的教学原则，本文提出如下数学开放题教学策略。

1.1 展示问题，开放有度

教学中展示的开放题要有趣、有新意，开放度要适当，能激发所有学生的学习兴趣。所以，教师要努力研究如何才能让学生产生对数学的学习兴趣是非常必要的，这就需要教师用心去了解每位学生，不但要了解他们的学习状况，而且要明白他们所处于青春期的叛逆心理，教师要走进他们的内心世界，让学生喜欢上你，和你没有距离感，才能相信你，信任你，这样才会喜欢上你的课。教师必须更高的要求自已，教师必须考虑教材中有关教学内容的可开放性和开放度：分析哪些内容学生可以自主探究获得，哪些内容不适合开放题教学，要考虑学生现有的认知基础和思维能力，很好的去理解所学的教学内容。同时，在开放题课堂教学中，开放题编排能够围绕教学目标，由易到难、由旧知识到新知识逐步过渡，开放题的数量和开放度都要适中。教师要相信每位学生，课堂的主动权要交给学生，保证学生在掌握“双基”的基础上能得到最大限度的发展。教师在课前要做好准备工作，考虑到课堂上学生出现的各种状况都能处理的恰到好处，教师要非常熟练教学内容，要有清晰的思路，一环紧扣一环的引导和启发，使学生学起来水到渠成。

1.2 探究问题，及时反馈

分析所展示的开放性问题，要做好心理暗示，我们通过合作、讨论探究一定能把问题解决的心理，这样你就有一股永不服输的力量支撑着你勇往直前，达不到目的永不罢休的蛮劲。在数学开放题教学中，教师不能简单的只看学生解决问题的答案对与错，而更应注重观察学生的解题方法和过程，教师要及时纠正和指导。解决数学开放题不要受时间的限制，要留给学生足够时间让他们充分发挥自已的智慧和想象思维能力。教师要认真细心地记录学生在学习过程的每一个细节、动向、情景等表现，逐一进行研究、探讨、反思总结得失，为数学开放题收集资料，积累经验。

1.3 讨论辨析，多向交流

由于数学开放题的特征，它们有的有多个条件，有的有多个答案，有的有多种解法。因此课堂教学中要留出相对充足的时间给学生，让学生自由发言、讨论。归纳总结，充分发挥学生的主观能动性。打破教师事先准备控制课堂教学过程的习惯，代之形成根据学生课堂的反应确定教学过程的习惯。其中有的问题不可能由一个学生在有限的时间内完成，需要有几个人的力量和集体的智慧去解决。因此在数学开放题的教学中，要采用集体教学、小组教学、个别教学相结合等多种渠道相结合的方式，并合理优化分组，让每个小组中的每个成员都能畅所欲言、发表所见、集思广义、同力协作，并让不同学习水平的学生，解决不同的层次的问题。根据合作学习理论，学生在小组中要有不同的角色地位，每个人应明确责任，各有侧重，让学生具有独立、竞争、合作三种意识。在这个过程中，教师要起到教学组织者、调控者的作用，使课堂环境井然有序，生机勃勃。当小组讨论遇到困难和挫折时，教师应给予启发帮助和鼓励，及时引导并帮助小组走出困境；当小组讨论有成果时，教师应及时给予恰如其分的鼓励和赞扬，并引导他们的思维更上一层楼向高一级活动升级。

1.4 点评小结，寻找规律

当开放题教学进入尾声，即各种解题方法都以运用，结论都推断出来时，应及时让学生自已进行总结。开放题教学的课堂总结应作为画龙点睛的环节，让学生比一比各种策略孰优孰劣，找一找各种结论的规律乃至上升到理论的途径。教师做好最后的评判，对学生的解题情况和结果进行正确的点评并给予鼓励表扬。归纳总结，启发学生对结论一般化的认识，寻找数学学习的规律，能挖掘题目中所包含的数学思想和数学方法。通过开放题教学实践，需注意的事项

2.1 做好开放题教学课堂前的准备工作

问题的科学性是衡量问题质量的重要标志，要按照数学课程标准要求设计开放性问题，要反映数学核心知识、基本方法和基本技能。开放性问题的内容要正确无误，陈述性语言要精确，不能有歧义。数学课堂中开展开放题教学要恰到好处，比如在一章知识点讲完以后需要大量的练习，并且要把知识点达到综合性的应用，就应该引进一节开放题教学进行学习，在开放题的解决过程中，学生通过交流合作运用所学的知识和已有的解题技能，有创意的方法或途径解决开放题，有助于学生对所学知识的理解和巩固。教师在编制开放题时要考虑到学生的最近发展区以及学生在情感方面的需要，通过解决开放题，学生对所学的知识进行巩固和提升。

2.2 要精心设计教学过程

开放题教学是对教师临场应变能力的一种挑战，教师要了解每位学生，不能低估不同能力水平学生的潜能，要耐心、细心的指导任何一位需要帮助的学生，教师既要关注到差生的解答情况，又要鼓励优生寻找最佳的解答方法。教师要为学生们提供平等、和谐的学习氛围。教师要给每一位学生动手实践、创造发明的机会，事实上学生动手能力最强、想象力最丰富的学生并非是数学成绩最好的学生，教师要利用开放题这个载体发掘每一位学生的数学潜能。

2.3 教师需明确自己角色，课后进行总结

在开放题的教学中，教师明确自己的地位是非常重要的。在开放题教学中教师是知识的呈现者，学习的指导者，纪律的管理者，还是课堂学习过程中各种信息的重组者。问题的开放度要有层次，在设计这类问题时要遵循学生的学习实际，既要考虑深化发展又要依据基础知识的掌握情况，既要考虑优等生的发展，又要照顾到学习困难的学生，做到难易结合，由低到高，节节上升，推进对开放题的认知和解决。

开放题教学对教师综合能力和素质提出了较高的要求。课前、课中、课后教师需要花费更多的时间进行思考和反思，课前要根据所授课的学生的学习情况而进行开放性问题的设置，同时要想到学生在课堂上的反应，所以教师要精心设计开放题。课后教师要及时的反思和总结，修正自己在课堂教学中的不足以及在那些方面做的比较满意，并对所授新知进行总结让学生能有个整体的把握。在开放题教学中教师要重新建立起教学观念，要时刻关注学生、关心学生，让学生所学的数学知识和能力终身受用，用把眼光放长远，不仅要求学生有好数学成绩，而且更希望的是学生要学会解决各种数学问题的能力，在教学中教师要尊重学生、相信学生、让学生成为学习的主人。

参考文献

[1]杨传冈.《小学数学开放题教学行思》[J].教育探索，2015.11

[2]孔琴.《有效实施小学数学开放式教学探析》[J].基础教育研究，2015.06

第四篇：例谈小学数学开放题教学策略

例谈小学数学开放题教学策略

小学数学开放题由于具有题目条件不充分或结论不唯一等特征，其解题过程具有较强的探究性、发展性与创新性等特点。因此，开放题的解题策略更加灵活多变，要求学生灵活运用已学知识和数学思想方法，通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括等必要的逻辑思维去得出结论，其解题过程更加关注学生分析问题与解决问题的能力，以及创新意识的培养。

由于数学开放题具有不同的结构特点，其教学策略更加灵活多变。如何更好地提高数学开放题教学的实效呢？本文拟根据开放题的类型特点提几点意见供参考。

一、条件开放型教学策略

条件开放型开放题具有多种表现形式：可以是条件不充分或条件有余，可以是解决问题的条件具有多种可能性。解决这类问题的关键在于引导学生抓住问题的本质和要害，从众多已知条件中排除各种表象的干扰。同时要防止长期解答封闭题形成的思维定势影响。其教学策略可概括为“认真审题、深刻分析、准确思考、创造性解决问题”。

例1，习题“少年宫美术组有24人，航模组比美术组少6人，书法组的人数是美术组的3倍，美术组和航模组一共有多少人？”通过审题分析条件和问题可知：书法组人数是美术组的3倍为多余条件。面对多余条件，教学的重点是训练学生不受干扰，不因思维定势影响正确解题。

例2，习题 “李强有5角硬币1枚，2角硬币4枚，1角硬币8枚，他想从这些钱中拿出8角购买水笔，请问他可以怎样拿？”本题的结果就是要拿出8角钱买笔，而怎样从这些硬币中拿出8角就变成这一结果的条件，是典型的条件开放题。教学的关键在引导学生思考：用这些硬币组成8角钱有几种可能性？同时在分析各种可能性的同时培养学生思考及解决问题的条理性，学会用枚举的方法有序分析、全面考虑、一个不漏，最后用列表的方法将分析思考的结果表示出来。

例3，习题“从58盒牛奶中拿走几盒后，余下的能够平均放在8个盘子中吗？”本题的“拿走几盒”是使余下的能平均放在8个盘子里的条件。因此属于条件开放且要补充完整的题型。其解题策略的关键在于让学生理解“余下的能平均放在8个盘子中”，并将其转化成余下的数量可以平均分成8份这个数学模型。在学生很快想到56之后，还要启发学生思考还有无其他可能情况，培养其开放思维及勇于探索的意识。并通过本问题的解决培养学生思维的条理性、求异性，并从中悟到拿出的盒数与“2”和“8”的关系，从而建立数学模型。

二、结论开放型教学策略

结论开放型习题，其答案不唯一是因为这类问题的条件和情境存在多种可能性，这就需要教师在教学过程中适时对学生进行组织、管理与调控，并辅以必要的巡视、聆听、指导与纠错，以促进学生学习方式的转变并掌握一定的学习方法。

例4，习题“小明家离学校450米，小红家离学校550米，小明与小红他们两家之间大约相距多少米？”教学这道题时，教师先组织学生在理解题意的基础上联系生活实际进行想象、思考和讨论：小明、小红的家与学校这三幢建筑物可能存在怎样的空间位置关系？教师引导学生用线段图或直观空间图帮助理解，并在此基础上寻求解决问题的方法。学生在画图理解的基础上就能从几个角度来思考：即小明与小红的家与学校都在同一条直路上，或小明、小红的家与学校都不在一条路上。而三者都在同一条直路上又存在几种不同情况。通过联系生活实际学生都能得出小明与小红两家之间的距离在100米到1000米之间。这样的教学，使学生逐步学会用运动变化的观点分析和解决问题，领悟数学思考的方法和魅力。

例5，习题“把24个边长为1厘米的小正方形拼成一个大长方形，拼成的长方形的周长与面积各是多少？”这类题型的教学策略关键在引导学生动手操作，通过实际的拼摆，学生化抽象为具体，能够较好地理解题意。同时教师还要引导学生在计算每个拼摆成的长方形周长与面积后去探索发现，并总结得出“虽然拼成的长方形面积都一样大，但它们的周长却各不相同”。在此基础上又组织学生研究“用一根24厘米长的细铁丝围成一个长方形，长方形的面积是多少？”有上一题的教学做基础，学生有了学习与思考方法的牵引，他们通过画图分析和思考，把本题的条件转化成为已知拼成的长方形周长24厘米，并通过推导得出这个长方形的一条长与一条宽的和是12厘米。在此基础上通过数形结合，把12分拆成“1+11、2+10、3+9、4+8、5+7、6+6”这六种情况。最后在学生计算出每个长方形面积的基础上，引导学生进一步归纳发现：周长相等的长方形，他们的面积不一定相等。通过这样的两道题的学习，学生对长方形的面积与周长的意义有了进一步的理解，并不断地进行对比、发现，也对学生巩固长方形面积与周长的计算起到较好的促进作用，以此方式学到的知识都是活的数学知识。

类似的还有策略型、综合型开放题的教学，其关键是在教学中创设宽松和谐的学习氛围，引导学生积极、主动、创造性地思考，通过师生共同研究，集体合作等方式，让学生体验做数学开放题的乐趣，提高学生的数学素养。

（作者单位：福建省厦门双十中学海沧附属学校）

第五篇：数学建模文献综述

数学建模文献综述

摘要：综述 数学建模方法

前言：数学建模，就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。数学模型是一种模拟，是用数学符号，数学式子，程序，图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。在21世纪新时代下，信息技术的快速发展使得数学建模成了解决实际问题的一个重要的有效手段。

正文：自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充，使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。而数学建模作为数学方面的分支，在其中起到了关键性的作用。

谈到数学建模的过程，可以分为以下几个部分：

一.模型准备

了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。

二.模型假设

根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

三.模型建立

在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构。

四.模型计算

利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。其中需要应用到一些计算工具，如matlab。

五.模型分析

对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。

六.模型检验

将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。

数学建模中比较重要的是，我们需要根据实际问题，适当调整，采取正确的数学建模方法，以较为准确地对实际问题发展的方向进行有据地预测，达到我们解决实际问题的目的，在近些年，数学建模涉及到的实际问题有关于各个领域，包括病毒传播问题、人口增长预测问题、卫星的导航跟踪、环境质量的评价和预测等等，这些就能说明数学建模涉及领域之广泛，针对这些问题我们需要采取对应的数学建模方法，采用不同的数学模型，再综合起来分析，得出结论，这需要我们要有一定的数学基础和掌握一些应用数学方法，以适应各种实际问题类型的研究，也应该在一些数学方法的基础上，进行不断地拓展和延伸，这也是在新时代下对于数学工作者的基本要求，我们对数学建模的所能达到的要求就是实现对实际问题的定性分析达到定量的程度，更能直观地展现其中的内在关系，体现数学建模的巨大作用。

而在对数学建模中的数据处理中，我们往往采用十类算法：

一.蒙特卡罗算法

也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。如粒子输运问题。

二.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法

比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具，而在其中有一些要用到参数估计的方法，包括矩估计、极大似然法、一致最小方差无偏估计、最小风险估计、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法。最基本的方法是最小二乘法和极大似然法。数据拟合在数学建模中常常有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系。

三.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题

建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现。它尤其适用于传统搜索方法难于解决的复杂和非线性问题，在运筹学和模糊数学中也有应用。

四.图论算法

这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备，其中，图论具有广泛的应用价值,图论可将各种复杂的工程系统和管理问题用“图”来描述,然后用数学方法求得最优结果，图论是解决许多工程问题中算法设计的一种有效地数学模型,便于计算分析和计算机存储。

五.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法

动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。回溯算法是深度优先策略的典型应用，回溯算法就是沿着一条路向下走，如果此路不同了，则回溯到上一个分岔路，在选一条路走，一直这样递归下去，直到遍历万所有的路径。八皇后问题是回溯算法的一个经典问题，还有一个经典的应用场景就是迷宫问题。回溯算法是深度优先，那么分支限界法就是广度优先的一个经典的例子。回溯法一般来说是遍历整个解空间，获取问题的所有解，而分支限界法则是获取一个解。分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，就可得到原问题的解。即一种分目标完成程序算法，简单问题可用二分法完成。

这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。

六.最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法

模拟退火算法的依据是固体物质退火过程和组合优化问题之间的相似性。物质在加热的时候，粒子间的布朗运动增强，到达一定强度后，固体物质转化为液态，这个时候再-进行退火，粒子热运动减弱，并逐渐趋于有序，最后达到稳定。
　　“物竞天择，适者生存”，是进化论的基本思想。遗传算法就是模拟自然界想做的事。遗传算法可以很好地用于优化问题，若把它看作对自然过程高度理想化的模拟，更能-显出它本身的优雅——虽然生存竞争是残酷的。遗传算法以一种群体中的所有个体为对象，并利用随机化技术指导对一个被编码的参数空间进行高效搜索。

神经网络从名字就知道是对人脑的模拟。它的神经元结构，它的构成与作用方式都是在模仿人脑，但是也仅仅是粗糙的模仿，远没有达到完美的地步。和冯·诺依曼机不同-，神经网络计算非数字，非精确，高度并行，并且有自学习功能。

这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。

七.网格算法和穷举法

对于小数据量穷举法就是最优秀的算法，网格算法就是连续问题的枚举。网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。

八.一些连续离散化方法

很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。

九.数值分析算法

在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

十.图像处理法

赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。

这十类算法对于数据处理有很大的帮助，甚至从其中可以发现在它们中的很多算法都是数学某些分支的延伸，可能我们不一定能掌握里面的所有算法，但是我们可以尽可能学习，相信这对我们今后的数学学习有很大的帮助，然后，就是数学模型的类别。

常见的数学模型有离散动态模型、连续动态模型、库存模型、线性回归模型、线性规划模型、综合评价模型、传染病模型等数学模型、常微分方程模型、常微分方程的数值稳定性、人口模型、差分方程模型，这些模型都有针对性地从实际问题中抽象出来，得到这些模型的建立，我们在其中加入适当合理的简化，但要保证能反映原型的特征，在数学模型中，我们能进行理性的分析，也能进行计算和演绎推导，我们最终都会通过实践检验数学建模的正确性，加以完善和提升，在对现实对象进行建模时，人们常常对预测未来某个时刻变量的值感兴趣，变量可能是人口、房地产的价值或者有一种传染病的人数。数学模型常常能帮助人们更好的了解一种行为或者规划未来，可以把数学模型看做一种研究特定的实际系统或者人们感兴趣的行为而设计的数学结构。

例如人口增长模型：

中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。

人口增长模型是由生育、死亡、疾病、灾害、环境、社会、经济等诸多因素影响和制约的共同结果，如此众多的因素不可能通过几个指标就能表达清楚，他们对人口增长的潜在而复杂的影响更是无法精确计算。这反映出人口系统具有明显的灰色性，适宜采用灰色模型去发掘和认识原始时间序列综合灰色量所包含的内在规律。灰色预测模型属于全因素的非线性拟合外推类法，其特点是单数列预测，在形式上只用被预测对象的自身序列建立模型，根据其自身数列本身的特性进行建模、预测，与其相关的因素并没有直接参与，而是将众多直接的明显的和间接的隐藏着的、已知的、未知的因素包含在其中，看成是灰色信息即灰色量，对灰色量进行预测，不必拼凑数据不准、关系不清、变化不明的参数，而是从自身的序列中寻找信息建立模型，发现和认识内在规律进行预测。

基于以上思想我们建立了灰色预测模型：

灰色建模的思路是：从序列角度剖析微分方程，是了解其构成的主要条件，然后对近似满足这些条件的序列建立近似的微分方程模型。而对序列而言（一般指有限序列）只能获得有限差异信息，因此，用序列建立微分方程模型，实质上是用有限差异信息建立一个无限差异信息模型。

在灰色预测模型中，与起相关的因素并没有直接参与，但如果考虑到直接影响人口增长的因素，例如出生率、死亡率、迁入迁出人口数等，根据具体的数据进行计算，则可以根据年龄移算理论，从某一时点的某年龄组人数推算一年或多年后年龄相应增长一岁或增长多岁的人口数。在这个人口数的基础上减去相应年龄的死亡人数，就可以得到未来某年龄组的实际人口数。对于0 岁的新生人口，则需要通过生育率作重新计算。当社会经济条件变化不大时，各年龄组死亡率比较稳定，相应活到下一年龄组的比例即存活率也基本上稳定不变。因而可以根据现有的分性别年龄组存活率推算未来各相应年龄组的人数。

通过这样的实例就能很细致地说明数学建模的方法应用，数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。它是将研究的某种事物系统，采用数学形式化语言把该系统的特征和数量关系，抽象出一种数学结构的方法，这种数学结构就叫数学模型。一般地，一个实际问题系统的数学模型是抽象的数学表达式，如代数方程、微分方程、差分方程、积分方程、逻辑关系式，甚至是一个计算机的程序等等。由这种表达式算得某些变量的变化规律，与实际问题系统中相应特征的变化规律相符。一个实际系统的数学模型，就是对其中某些特征的变化规律作出最精炼的概括。

数学模型为人们解决现实问题提供了十分有效和足够精确的工具，在现实生活中，我们经常用模型的思想来认识和改造世界，模型是针对原型而言的，是人们为了一定的目的对原型进行的一个抽象。

随着科学技术的快速发展，数学在自然科学、社会科学、工程技术与现代化管理等方面获得越来越广泛而深入的应用，尤其是在经济发展方面，数学建模也有很重要的作用。数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中，从而使人们逐渐认识到建立数学模型的重要性。数学模型就是要用数学的语言、方法去近似地刻画实际，是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。也可以这样描述：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模的作用在21实际毋庸置疑，我们通过不断学习数学建可以掌握解决实际问题的强大武器。

参考文献：数学建模方法与案例，张万龙，等编著，国防工业出版社（2014）.数学模型建模分析，蔡常丰编著，科学出版社，(1995)．

数学模型基础，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，(1996).