等比数列的通项公式(教案)

第一篇：等比数列的通项公式(教案)

等比数列的通项公式（教案）

一、教学目标

1、掌握等比数列的通项公式，并能够用公式解决一些相关问题。

2、掌握由等比数列的通项公式推导出的相关结论。

二、教学重点、难点

各种结论的推导、理解、应用。

三、教学过程

1、导入

复习

等比数列的定义：

an1q nN* an*

通项公式：ana1qn1 nN

用归纳猜测的方法得到，用累积法证明



2、新知探索

例1 在等比数列an中，（1）已知a13,q2,求a6；

（2）已知a320,a6160,求an.，分析（1）根据等比数列的通项公式，得 a6a1q596（2）可以根据等比数列的通项公式列出一个二元一次方程组

2a15a3a1q20n1n

1解得

所以 aaq52n15q2a6a1q160问：上面的第（2）题中，可以不求a1而只需求得q就得到an吗? 分析 在归纳猜测等比数列的通项公式时，有这样一系列式子：

a2a1q,a3a2qa1q2,a4a3qa2q2a1q3，anan1qan2q2an3q3...a2qn2a1qn1

注意观察等式右边各项的下标与q的次方的和，可以发现，an的表达式中，始终满足

*anamqnm

n,mN

结论1

数列an是等比数列，则有anamqnm*

n,mN。

再来看一下例1中（2）的另一种解法：a6a3q3，所以q=2，所以ana1qn152n1习题2.3（1）P492、在等比数列an中，（1）已知a44,a9972,求an；

（2）已知a26,a6分析

（1）可以根据定义和结论1给出两种解法。

3a4a1q4方法一  8a9a1q97232,求an.27方法二 a9a4q5，所以q=3，所以ana4qn443n4。（2）a6a2q4，所以q2 322当q时,ana2qn26()n233

22当q时,ana2qn26()n233例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列。

分析

设此三个数为a2，a3，a4，公比为q，则由题意得243，a2，a3，a4，3成等比数列；

13243q4，所以得q

31当q时，a281，a327，a493

1当q时，a281，a327，a493故插入的三个数为81，27，9或-81，27，-9.问：观察一下例2中，当q时，这5个数分别为243，-81，27，-9，3，可以发现什么规律？

答：在等比数列中，当公比小于零时，数列中的奇数项同号，偶数项同号。习题2.3（1）P49

6、在等比数列an中，a10，a2a42a3a5a4a625，求a3a5的值。分析

13a3a4得a32a2a4，同理得a52a4a6 a2a3a10a30,a50a3a5022a2a42a3a5a4a6a32a3a5a5(a3a5)225

a3a55例3 已知等比数列an的通项公式为an32n，求首项和公比q.分析 a1326,a23212q2a22 a

1在例3中，等比数列的通项公式为an32n，是一个常数与指数式的乘积，因为数列是特殊的函数，故表示这个数列的各点(n,an)均在函数y32x的图像上。

问：如果一个数列an的通项公式为anaqn，其中a，q都是不为零的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？

an1aqn分析

a1aq0，n1q，所以是等比数列。

anaq一般可以看作是等比数列通项公式的变形，ana1qn1a1na

qaqn，其中a1 qq结论2 等比数列an的通项公式均可写成anaqn（a，q为不等于零的常数）的形式。反之成立。

习题2.3（1）P495、在等比数列an中，22（1）a5a1a9是否成立？a5a3a7是否成立？ 2（2）anan2an2（n>2）是否成立？

（3）你能得到更一般的结论吗？

2分析

（1）a1a9a1a1q8(a1q4)2a5 2，所以成立。a3a7a1q2a1q6(a1q4)2a52（2）an2an2a1qn3a1qn1(a1qn1)2an，所以成立。

（3）从（1）（2）可以看出，等式两边各项的下表和相等，左边是同一项的平方，如果把左边换成两个不同项的乘积呢？

同时，类比等差数列中的一个结论：在等差数列an中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有amanapaq，可以猜测：在等比数列an中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有amanapaq.12证

amana1qm1a1qna1qmn2，apaqa1qp1a1qq1a12qpq2

所以amanapaq.结论3 在等比数列an中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有amanapaq.习题

在等比数列an中，a1，a99是方程x10x160的两个实根，求a40a60.2分析 可以利用结论3.因为a1，a99是方程x10x160的两个实根，所以可得a1a99=16，所以a40a60=a1a99=16.在结论3中，当m=n或p=q时，可以发现此项总是处于另两项的中间。结论

4若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且Gab。习题2.3（1）P49

7、（1）求45和80的等比中项；

（2）已知两个数k+9和6-k的等比中项是2k，求k.分析

（1）设此等比中项是G，则G=4580=3600，所以G=60.（2）(2k)2(k9)(6k)，化简，得5k3k540，所以k222218或k3

5四、归纳总结

本节课的主要内容是由等比数列的通项公式引深而得到的几个结论，要求学生能牢记并灵活运用。

五、布置作业

做与本节课内容相关的练习册。

六、教学反思

本节课的内容都是由等比数列的通项公式推导而得到。在上课的时候，我先是把等比数列的通项公式推导一遍，再由相关的例题或习题引出相关的结论，在讲解中引导学生思考，充分发挥学生的主体作用，使学生能够与我产生互动，调节课堂气氛，使学生积极思考。在上课的过程中，有些地方因缺乏经验不能很好地连贯在一起，这在以后的讲课中要注意。

第二篇：等比数列前n项和公式教案

课题: §2.5等比数列的前Ⅱ.讲授新课

n项和

[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。

1、等比数列的前n项和公式：

当q1时，Sna1(1q)1qn ①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.公式的推导方法一：

一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是

Sna1a2a3an

Sna1a2a3an由 n1aaq1n2n2n1a1qSna1a1qa1qa1q得

23n1na1qqSna1qa1qa1qa1qn(1q)Sna1a1q

∴当q1时，Sna1(1q)1qn ①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，a2a1a3a2anan1q

根据等比的性质，有a2a3ana1a2an1Sna1Snanq

即 Sna1Snanq(1q)Sna1anq（结论同上）

围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)

＝a1qSn1＝a1q(Snan)

(1q)Sna1anq（结论同上）

课题: §2.5等比数列的前●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下前一节课所学主要内容： 等比数列的前n项和公式： 当q1时，Sna1(1q)1qnn项和

①

或Sna1anq1q

②

当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②

课 题：数列复习小结

教学过程：

一、本章知识结构

二、知识纲要

(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．

(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．

三、方法总结

1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．

2．等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．

3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．

四、知识精要：

1、数列

[数列的通项公式] an2、等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。[等差数列的判定方法]

1． 定义法：对于数列an，若an1and(常数)，则数列an是等差数列。2．等差中项：对于数列an，若2an1anan2，则数列an是等差数列。[等差数列的通项公式]

如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为ana1(n1)d。[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。[等差数列的前n项和] 1．Snn(a1an)2a1S1(n1)SnSn1(n2)[数列的前n项和] Sna1a2a3an

2.Snna1n(n1)2d

[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。[等差中项] 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：Aab2或2Aab

[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。[等差数列的性质]

1．等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，公差为d，则有anam(nm)d

2.对于等差数列an，若nmpq，则anamapaq。

3．若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差数列。

3、等比数列 [等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）。[等比中项] 如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即G2ab。[等比数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列an，若an1anq(q0)，则数列an是等比数列。

22．等比中项：对于数列an，若anan2an，则数列an是等比数列。1[等比数列的通项公式]

n1如果等比数列an的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为ana1q。

[等比数列的前n项和] Sna1(1q)1qn(q1)Sna1anq1q(q1)当q1时，Snna1

[等比数列的性质] 1．等比数列任意两项间的关系：anamqnm

2． 对于等比数列an，若nmuv，则anamauav

4．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。如下图所示：

4、数列前n项和（1）重要公式：

123n123n222n(n1)22；

； n(n1)(2n1)612n333[121n(n1)] 2（2）裂项求和：

n(n1)1n1n1；

第三篇：数学分层作业(等比数列通项公式2)

紧扣教材 分层作业夯实基础步步为营

数学分层作业（等比数列通项公式2）

知 识: 等比中项、性质.方 法:明晰特征,掌握方法.（基本训练1—5；知识应用6—7；灵活应用8—9）组别学号 姓名评价

1.写出下面等比数列的第4项与第5项：

（1）5，－15，45，；（2）1.2，2.4，4.8，； 2.（1）a,G,b成等比数列；

（2）等比数列的性质：若m+n=p+k，则有

3.等比数列an中，a32，a864，那么它的公比q

4.三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数.5.已知{an}是等比数列，且an0,a2a42a3a5a4a625, 求a3a5．

6．设｛an｝是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，log3a1+ log3a2+…+ log3a10的值是

7.在等比数列中，an>0，且an2anan1，则该数列的公比q等于.8.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.9.（1）｛an｝是等比数列，C是不为0的常数，数列can是等比数列吗？为什么？

（2）已知an,bn是项数相同的等比数列，an是等比数列吗？为什么？ bn

第四篇：等比数列的概念和通项公式(教学设计)

《等比数列》（第1课时）教学设计 授课地点：武威八中

授课时间：2015年4月22日 授课人：武威六中杨志隆

一、教学目标 知识与技能

1.理解等比数列的概念；

2.掌握等比数列的通项公式；

3.会应用定义及通项公式解决一些实际问题。过程与方法

培养运用归纳类比的方法去发现并解决问题的能力。通过实例，归纳并理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，培养学生严密的思维习惯。情感态度与价值观

充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

二、教学重点、难点 教学重点：

等比数列的概念及通项公式； 教学难点：

通项公式的推导及初步应用。

三、教学方法

发现式教学法，类比分析法

四、教学过程

（一）旧知回顾，情境导入 1.回顾等差数列的相关性质

设计意图：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点，为等比数列的学习做铺垫。2.情境展示 情境1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 情境2：一张纸的折叠问题

把以上实例表示为数学问题，并引导学生通过观察、联想，得到两个数列： ①

②

1,2,4,8,16,32,64 设计意图：让学生通过观察，得到两个数列的共同特点：从第二项起，每一项与它前面一项的比都等于同一个常数．由此引入等比数列。

（二）概念探究

1．引导学生通过联想并类比等差数列给出该数列的名称：等比数列 2．归纳总结，形成等比数列的概念．

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（引导学生经过类比等差数列的定义得出）。同时给出等比中项的定义，并和等差中项做比较，加深学生对概念的理解。3．对等比数列概念的深化理解 给出几个数列让学生判断是否是等比数列，以加深对概念的理解。问题1：等比数列的项可以为零吗？ 问题2：等比数列的公比可以为零吗？

问题3：若，等比数列的项有什么特点？呢？特别地，若，数列的项有什么特点？ 问题4：形如，，„（）的数列既是等差数列，又是等比数列吗？

设计意图：通过让学生分析讨论，加深学生对概念的深层次理解，培养学生严谨的思维习惯和良好的自主探究能力。通项公式推导

1．定义的代数式表达

引导学生由等比数列的定义写出其递推式，并得到：（1）判定：对于数列，若（，为常数），则称这个数列为等比数列，常数叫做等比数列的公比．

（2）性质：是等比数列（，为常数）

设计意图：通过探索，发现一个概念可以作为判定，又可以得到它的性质，提高学生的自主探究能力。

2.回顾由等差数列的递推式求其通项公式的方法：叠加法和迭代法。让学生类比等差数列的通项公式的推导思路和方法，自主探究等比数列的通项公式的求法，然后教师再做补充，引导学生归纳两种方法：叠乘法和迭代法。

设计意图：培养学生的自学能力和探索精神，体会类比思想在数学中的应用，提高学生的知识迁移能力。

（四）例题解析

例1 课本第51页例3.解：略

设计意图：通过这道例题，加深学生对等比数列的通项公式的理解，同时养成学生良好的动手习惯和规范解题习惯，提高学生的计算能力。

例题后的练习1和2可让学生自己动手完成，以便学生熟练应用通项公式。例2 课本第51页例4 解：略

设计意图：通过让学生举例、不完全归纳和证明，得到两个等比数列的积仍是等比数列，增强学生的归纳总结能力。

（五）、回顾小结

1．等比数列的概念和通项公式； 2．用类比的思想研究数学问题；

3．注重等差数列和等比数列的区别与联系。（小结可先由学生叙述，教师进行补充和整理）

设计意图：让学生将获得的知识进一步条理化、系统化，同时培养学生的归纳总结能力，为学生以后解决问题提供经验和教训．

（六）课后作业

1.课本53页：A组1、2 2.课后思考：类比等差数列，试猜想等比数列的性质。

设计意图：面向全体学生，注重个人差异，加强作业的针对性，对学生进行分层作业，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，在数学上得到不同的发展，同时为下一节等比数列的性质的学习打基础。

（七）教后反思

第五篇：2.4.1等比数列的概念及通项公式导学案

白城实验高中 高二数学 必修5编号： 6编制人：张晶审批人： 冯淑君包科领导： 张晶2012年日班级学生姓名评价 数列

§2.4.1等比数列的概念及通项公式

【学习目标】

1.理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质； 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力； 3.体会等比数列与指数函数的关系.【重点难点】

重点：等比数列定义及通项公式；

难点：利用所给条件求解等比数列的通项公式.【自主探究】

一、等比数列的定义

思考以下四个数列有什么共同特征？

1①1，2，4，8，16，…②1，2，4，8，16，…

③1，20，202，20

3，204，…④5,5,5,5,5，…

等比数列：一般地，如果一个数列从第项起，一项与它的一项的等于

常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的，an通常用字母表示（q≠0），即：a

n1=（q≠0）

二、等比中项

1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个

数G称为a与b的________.即G=（a，b同号）.2.若______________________,则a，G，b成等比数列。

三、等比数列的通项公式

1.请写出等比数列的通项公式及推导过程：（累乘法）

2.通项公式的变形：anamqnm。（注：记住变形有时会给解题带来简便）你能利用通项公式证明出变形公式吗？

§2.4.1等比数列的概念及通项公式1我们如何判断一个数列是否为等比数列？试着找出几种不同的方法。

【合作交流】

1.等比数列的通项公式类似于我们学过的什么类型的函数？其图像什么样？ 2.思考：等比数列的增减是由什么决定的？填写下列空白：

当首项和公比是下面情况时，数列是递增、递减、摆动、常数列中的哪种？ ⑴当a10,q >1时, {an}是______数列；⑵当a10,0q1, {an}是______数列；⑶当a10,0q1时, {an}是______数列； ⑷当a10,q >1时,{an}是______数列；⑸当q0时,数列{an}是______数列；⑹当q1时,数列{an}是______数列.【典型例题】

例1：{an}为等比数列,求下列各式的值。

(1)a36,a

13a64a718，an

2,求n.(2)a2a836，a3a715，求通项公式..(3)a3a2a17,a3a2a18,求an.例2：已知数列{an}中，lgan3n5，试用定义证明数列{an}是等比数列.§2.4.1等比数列的概念及通项公式2

白城实验高中高二数学 必修5导学案第二章 数列

及时练兵

1.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()A．64B．81C．128D．2

432.一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q（）.3.在an为等比数列，a112，a224，则a3（）.A.36B.48C.60D.72

4.等比数列的首项为9，末项为1，公比为2833，这个数列的项数n＝（）.A.3B.4C.5D.6 5.已知数列a，a（1－a），a1()a2，…是等比数列，则实数a的取值范围是（）.A.a≠1B.a≠0且a≠1C.a≠0D.a≠0或a≠1

6.某数列既是等差数列又是等比数列，那么这个数列一定是（）

A、公差为0的等差数列B、公比为1的等比数列 C、常数列 1.1.1…D、以上都不是

7.等比数列{an}的公比q<0，且a2＝1－a1，a4＝4－a3，则a4＋a5等于()A．8B．－8C．16D．－16

8.设aa30

n

是由正数组成的等比数列，公比q2，且1a2a3a302，那么

a3a6a9a30的值是（）A210

B220

C216

D215

9.在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝()

A．27B．27或－27C．81D．81或－81

10.(11辽宁)若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为()A．2B．4C．8D．16

11.(09·四川)等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则

数列{an}的前10项之和是()

A．90B．100C．145D．190

§2.4.1等比数列的概念及通项公式312.在等比数列{an}中，2a4a6a5，则公比q＝

13.各项为正数的等比数列{an}中，若a4，a5，a6三项之积为27，则log3a1＋log3a2＋

log3a8＋log3a9＝________.14.(11广东)已知{an}是等比数列，a2

=2,a4

-a3

=4,则此数列的公比q=______

15.(11浙江）已知公差不为0的等差数列{an}的首项为a(aR)，且a1，a2，a4成等比数列,求数列{an}的通项公式.16.已知数列{a的前n项和为SS1

n}n,且n3

(an1),（1）求a1，a2；(2)证明{an}是等比数列。

§2.4.1等比数列的概念及通项公式4