数列复习教案(例题加模拟题)1

第一篇：数列复习教案(例题加模拟题)1

数列

一.知识结构

数列与自然数 通项公式 集的关系 递推公式 数列的 定义 定义 等差数列 通项公式 等比数列 前n项和公式 数学归纳法

二.重点、难点：

重点：等差数列与等比数列的通项公式，前n项和公式的应用

难点：用上述知识与等差数列、等比数列的性质解决一些综合性应用问题

【典型例题】

例1.根据数列的前n项，写出数列的一个通项公式

(1)1，2，4，2，

1592712

(3)a，b，a，b，

(2)，，(4)1，3，6，10……

(5)1，11，111，1111，……

解：(1)a1320，a2321，a3322，an32n1

(2)分子1，5，9……4n3

分母2，7，12……5n3

因此an

(3)an4n3 5n3 an为奇数时bn为偶数时

或anasinnn bcos22

(4)a2a12

a3a23

a4a34

……

anan1n ana1234n

an123n10n1

(5)an

n(n1)2

例2.数列2n215n5的最小项是多少？

解：an2n215n5f(x)2x215x5的对称轴为x

又由于4较3离15 415近，因此f(4)f(3)4

即a423为其最小项

例3.已知下列数列的前n项和公式，求数列的通项公式

1.Sn2n23n

2.Sn3n1

解：1.anSnSn1

4n1

而a1S15

4115an4n1

2.anSnSn1

23n1

而a1S1314

23024

(n1)4ann1(n2)23

例4.在等差数列an中，(1)已知a2a7a8a136，求a6a9?(2)已知S1166，求a6?

解：(1)a2a13a7a8a6a9

a6a9

(2)S11

例5.项数为奇数的等差数列an中，已知奇数之和为12，偶数项之和为10，求它的项数和中间项。

解：设奇数项之和为S奇，且共有2n1项，偶数项之和为S偶 63 211(a1a11)11a666a66

则S奇n(a2a2n)nan12(n1)(a1a2n1)(n1)an1an1S奇S偶2

212(n1)2S偶

n5共有2n125111

答：它的项数为11，中间项为2

例6.已知f(x)1x22(x2)

(1)求f1(x)

1f1(an)(nN*)，求an? an1

(2)设a11,解：(1)x221111x2f(x)2(x1(0,))222yyx1 2an

(2)f1(an)2

1an121112 222anan1an

111，公差为2的等差数列 是首项为221an

112(n1)2n12an12n1

an

【模拟试题】

一.选择题

1.已知ann(nN*)，则数列an的最大项是（）2n1563an3，那么这个数列的通项公式是（）2

A.第12项

B.第13项

C.第12或第13项

D.不存在 2.如果数列an的前n项和Sn

A.an2(n2n1)

B.an32n

C.an3n1

D.an23n

3.数列an的前n项和Snn22n5，则a6a7a8（）

A.45

B.35

C.30

D.以上全错

4.若一个数列an的前4项分别是0，2，0，2，则下列各式：

(1)an22(n为偶数)n(2)an1(1)；(3)an中可作为an1(1)n；20(n为奇数)的通项公式的是（）

A.(1)(2)(3)

B.(1)(2)

C.(2)(3)

5.若等比数列an的前n项和公式为Snan1，则（）

A.a0

B.a1

C.a0且a1

D.aR

6.在等差数列an中，已知S1590，则a8（）

A.6

B.12

C.3

D.4

7.等差数列an中，a3a1140，则a6a7a8（）

A.72

B.60

C.48

D.36

1，当且仅当n10时，则公差d的取值范围是（）an1，25897383dd

A.d

B.d

C.D.***5a1

8.等差数列an中，9.等差数列an的公差d0，当n1时，下列关系式成立的是（）

A.a1an1a2an

B.a1an1a2an

C.a1an1a2an

D.a1an1与a2an不确定

10.等差数列an的前n项和为30，前2n项和为100，则其前3n项和为（）

A.130

B.170

C.210

D.260

11.已知等差数列前n项和为Sn，若S130,S120，则此数列中绝对值最小的项为（）

A.第5项

B.第6项

C.第7项

D.第8项

12.若2个等差数列an前n项和为An与Bn，满足,bn，A.Ana7n1，则11（）Bn4n27b1173478

B.C.D.42371

13.等差数列an中，SmSnl(mn)，则a1amn（）

A.mnl

B.(m+n)l

C.0

D.(m+n-1)l

14.等差数列an满足3a85a13，且a10，则Sn的最大值是（）

A.S10

B.S11

C.S20

D.S21

二.填空题

15.数列an中，a12,an2an11(n1)，则a5________ an1

16.等差数列an中，若前三项之和为12，最后三项之和为75，各项之和为145，则n_________，a1__________，公差d__________

17.如果等差数列5，8，11，……与等差数列3，7，11，……都有100项，则它们相同的项的个数是___________

18.一凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差为10，最小的内角为100，则n_________

19.等差数列an中，d1,S98137，则a2a4a98________

三.解答题

20.数列an的前n项和公式Sn2n10n5

(1)求an的通项公式

(2)求an的前n项和Tn

D.(1)(3)21.求在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？

22.设数列an的前n项和为Sn，若Snn(a1an)，证明：an为等差数列 2

23.等差数列an的前n项和为Sn，已知a312,S120,S130

(1)求公差d的取值范围

(2)指出S1，S2，S3，S12中哪个值最大，并说明理由

24.已知等差数列an及关于x的方程aix22ai1xai20(i1其中ai，2，n)，及公差d均为非零实数

(1)求证：这些方程有公共根

(2)若方程另一根为i，求证：

111依次成等差数列，1121n1【试题答案】

一.1.C

2.D

3.A

4.A

5.C

6.A

7.B

8.D

9.B

10.C

11.C

12.C

13.C

14.C 二.15.6

16.10 1 3

17.25个 5

18.8

19.93 三.20.(1)an(n1)13

124n(n2)(n3)(n3)22n10n5

(2)Tn22n10n29

21.83个

22.略

23.(1)24d3 7

(2)S6最大

24.略

第二篇：数列经典例题

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a37,a4a66,则当Sn取最小值时，n

等于_________．

20．(本小题满分14分)

22已知数列{an}是首项为1的正项数列，且(n1)an1nanan1an0．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：i1nai2(1an11)．

S13等于2．等差数列

()

A．168 an中，a3a7a108,a11a44,记Sna1a2an,则B．156 C．152 D．78

21．(本小题满分14分)

设数列an满足a11,an111． an

(1)写出这个数列的前5项；

(2)求这个数列的一个通项公式．

9．在等比数列an中，a24,a5

20．(本小题满分14分)1，则公比q＝___________． 2

已知数列{an}为公差大于0的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且满足S416，a2a315．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn1，求数列{bn}的前n项和Tn； anan1

(3)对于大于1的自然数n，求证：(1

20．(本小题满分14分)1112n1)(1)(1)a2a3an2

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn1an(nN)，各项为正数的数列{bn}中，对于一切nN，有**k1n1kk1nb1bn1，且b11,b22,b33．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)设数列{anbn}的前n项和为Tn，求证：Tn2．

3．已知an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a32a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5()4

A．35

20．(本小题满分14分)

B．33

C．31

D．29

2n

已知数列an满足a13，且anan12(nN,n2),记数列bn，Sn

anan1

n1

*

为数列bn的前n项和．(1)求a2，b1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)求证：Sn

1． 3

20．(本小题满分14分)

设Sn为数列{an}的前n项和，Snkn2n,nN*，其中k是常数．(1)用k表示a1及an，并证明数列{an}是等差数列；(2)若对于任意的mN*,am,a2m,a4m成等比数列，求数列{

an的前n项和Tn． 2n

*

4．已知数列an为等差数列，且a2a7a1224，Sn为数列an的前n项和，nN，则S13的值为 A．100 B．99 21．(本小题满分14分)

C．104

D．102

*ylog1x的图象上．

已知点P1(a1,b1),P2(a2,b2),,P(an,bn)(nN)都在函数

(1)若数列{bn}是等差数列，求证数列{an}是等比数列；

(2)若数列{an}的前《项和是Sn12，过点Pn,Pn1的直线与两坐标轴所围二角 形面积为cn，求最小的实数t使cnt对nN恒成立；

(3)若数列{bn}为山(2)中{an}得到的数列，在bk与bk1之间插入3k1(kN*)个3，得一新数列{dn}，问是杏存在这样的正整数w，使数列{dn}的前m项的和Sm2008，*

n

如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由

9．已知数列{an}的前n项和为Sn,且S11an(nN*).(1)求数列{an}的通项公式；

(2)

设bn,cn

log1an

记Tnc1c2cn,证明:Tn1.19．(本小题满分14分)在数列{an}中，已知a11,.anan1an2

(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bnlog2,an,a2a1(nN*,n2)．

11b3b4b4b5



m对于任意的nN*，且n3恒成bnbn1

立，求m的取值范围．

17．(本小题满分12分)

设

函

数

f(x)loaxg（a为常数且a0,a1)，已知数列

f(x1),f(x2),f(xn),是公差为2的等差数列，且x1a2．

(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式；(Ⅱ)当a

11时，求证：x1x2xn． 23

20．(14分)已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足

an2S2n1,nN*．数列bn满足bn

和．,nN*，Tn为数列bn的前n项

anan1

(1)求数列an的通项公式an和数列bn的前n项和Tn；

(2)若对任意的nN*，不等式Tnn8(1)恒成立，求实数的取值范围；(3)是否存在正整数m,n(1mn)，使得T

1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出所有

m,n的值；若不存在，请说明理由．

n

5．设an12

2an,nN*，an＞0，令bnlgan则数列bn为()A．公差为正数的等差数列 B．公差为负数的等差数列

C．公比为正数的等比数列 D．公比为负数的等比数列

19．(本题满分14分)在数列an中，a11,a2

1(n1)an，且an1,(n2)． 4nan

(Ⅰ)求a3,a4，猜想an的表达式，并加以证明；(Ⅱ)

设bn，求证：对任意的自然数nN*，都

有

b1b2bn

19．(本小题满分14分)已知数列an是等差数列，a35，a59．数列bn的前n项和

为Sn，且Sn

1bn

n． 2

(1)求数列an和bn的通项公式；

(2)若cnanbn，求数列cn的前n项和n． 13．设Sn是等差数列an的前n项和．若

S31

，则S73

___________．

19．(本小题满分14分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Snn2．数列{bn}为等比数列，且b11，b48．

(Ⅰ)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{cn}满足cnabn，求数列{cn}的前n项和Tn，并证明Tn1．

21．(本小题共14分)已知数列an中，a12，对于任意的p,qN，有apqapa q，

(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn满足：an

bb1bb

22334421212121

(1)n1

bn，2n1

(nN)，求数列bn的通项公式；

(3)设Cn3nbn(nN)，是否存在实数，当nN时，Cn1Cn恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由．



第三篇：数列极限例题

三、数列的极限

(1)n1}当n时的变化趋势.观察数列{1n问题:

当n无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是, 如何确定? 通过上面演示实验的观察:

(1)n1当n无限增大时, xn1无限接近于1.n问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.xn1(1)n1给定

11 nn1111, 由, 只要n100时, 有xn1, 100n10010011,只要n1000时, 有xn1, 给定1000100011,只要n10000时, 有xn1, 给定10000100001给定0,只要nN([])时, 有xn1成立.定义

如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在正整数N, 使得对于nN时的一切xn, 不等式xna都成立, 那末就称常数a是数列xn的极限, 或者称数列xn收敛于a, 记为

limxna,或xna(n).n如果数列没有极限, 就说数列是发散的.注意：

N定义:limxna0,N0, 使nN时, 恒有xna.n其中记号:每一个或任给的;:至少有一个或存在.数列收敛的几何解释:

a2axN2x2x1xN1ax3x

当nN时, 所有的点xn都落在(a,a)内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外.注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.n(1)n11.例1 证明limnnn(1)n111 .证

注意到xn1 nn任给0, 若要xn1, 只要

11,或 n, n所以, 取 N[], 则当nN时, 就有 1n(1)n11.nn(1)n11.即limnn

重要说明：（1）为了保证正整数N，常常对任给的0,给出限制01；

n(1)n11”的详细推理

（2）逻辑“取 N[], 则当nN时, 就有

n1见下，以后不再重复说明或解释，对函数极限同样处理逻辑推理.由于N立.严格写法应该是：任给0, 不妨取01，若要11N1，所以当nN时一定成立nN11，即得

1成nn(1)n11111< ,只要 n,所以, 取 N[], 则当nN时, 由于xn1=nn1111NN1，所以当nN时一定成立nN1，即得成立.也就

n是成立

n(1)n111.xn1=

nnn(1)n11.即limnn小结: 用定义证数列极限存在时, 关键是任意给定0,寻找N, 但不必要求最小的N.例3证明limq0, 其中q1.nn证

任给0(要求ε<1)若q0, 则limqlim00;

nnn若0q1, xn0q, nlnqln，nnlnln, 取N[](1), 则当nN时, 就有qn0, lnqlnqlimqn0.n0, q1,q1,, n

说明：当作公式利用：limq

n1, q1,不存在，q1.

第四篇：数列经典例题4

例1错误！未指定书签。．设{an}是公比为q的等比数列.(Ⅰ)推 导{an}的前n项和公式;(Ⅱ)设q≠1, 证明数列{an1}不是等比数列.例2 已知数列an的首项为a11，其前n项和为sn，且对任意正整数n有：n、an、Sn成等差数列．

（1）求证：数列Snn2成等比数列；（2）求数列an的通项公式． 例3错误！未指定书签。．已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an1,an2,的最小值记为Bn,dn=An-Bn.(I)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N,an4an),写出*d1,d2,d3,d4的值;

(II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列;(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.

第五篇：数列经典例题8

1错误！未指定书签。．已知数列an的首项为a15,前n项和为Sn,且

Sn12Snn5(nN*)

(Ⅰ)证明数列an1是等比数列

(Ⅱ)令fxa1xa2x2anxn,求函数f(x)在点x1处的导数f1,并比较2f1与23n213n的大小.''

2.错误！未指定书签。设数列an的前为Tn,且Tn22an(nN).．n项积．．

(Ⅰ)求证数列1是等差数列;

Tn

(Ⅱ)设bn(1an)(1an1),求数列bn的前n项和Sn.例3错误！未指定书签。设数列an的前n项和为Sn,已知a18,an1Sn3n15,nN.(Ⅰ)设bnan23n,证明:数列bn是等比数列;

222232n

(Ⅱ)证明:1.a1a2a3an