2.5.1 平面几何中的向量方法(教案)（精选合集）

第一篇：2.5.1 平面几何中的向量方法(教案)

2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法

教学目标

1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2.明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.教学过程 导入新课

前言：向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.新知探究 提出问题

①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？

②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法? ③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？

图1

图2

证明:方法一:如图2.作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于AC AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).方法二:如图3.以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2, |BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即

(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.应用示例

图3

例1 如图4, 解:如图4, ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗? 设AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,则AC=a+b.由于AR与AC共线,所以我们设r=n(a+b),n∈R.又因为EB=AB-AE=a-图4

1b, 21b).2ER与EB共线,所以我们设ER=mEB=m(a-因为ARAEER,所以r=即(n-m)a+(n+

111b+m(a-b).因此n(a+b)=b+m(a-b), 222m1)b=0.由于向量a、b不共线,要使上式为0,必须 2nm0,1解得n=m=.m13n0.2所以AR=变式训练 111AC,同理TC=AC.于是RT=AC.所以AR=RT=TC.333

图5

如图5,AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点.证明:设BE、CF相交于H,并设AB=b,AC=c,AH=h，则BH=h-b,CH=h-c,BC=c-b.因为BH⊥AC,CH⊥AB, 所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0, 即(h-b)·c=(h-c)·b.化简得h·(c-b)=0.所以AH⊥BC.所以AH与AD共线, 即AD、BE、CF相交于一点H.课堂小结：用向量解决平面问题的三步曲：

课后作业：

1.有一边长为1的正方形ABCD,设AB=a,BC=b,AC=c,则|a-b+c|=_______________.2.已知|a|=2,|b|=,则使λb-a与a垂直的λ=____________.2,a与b的夹角为45°3.在等边△ABC中,AB=a,BC=b,CA=c,且|a|=1,则a·b+b·c+c·a=____________.4.已知四边形ABCD满足|AB|2+|BC|2=|AD|2+|DC|2,M为对角线AC的中点.求证:|MB|=|MD|.5.如图6,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.求证:∠ABC=90°.图6

第二篇：2.5.1平面几何中的向量方法(教学设计)

SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

2.5.1平面几何中的向量方法（教学设计）

[教学目标]

一、知识与能力：

1.运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.二、过程与方法：

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题；体会向量是一种处理几何问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点] 运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.[教学难点]

运用向量方法解决某些简单的平面几何问题

一、复习回顾 1． 向量的概念；

2． 向量的表示方法：几何表示、字母表示； 3． 零向量、单位向量、平行向量的概念；

4． 在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动； 5． 相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量； 6． 共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.7． 要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量； 8． 要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义； 9． 理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量.10． 理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系； 11． 能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算； 12． 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件； 13． 会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线.二、师生互动，新课讲解

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.例1： 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

证明：设四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AOOC，BOOD.AB12AC1112DB，DC2DB2AC,ABDC, 即ABDC且AB//DC所以四边形ABCD是平行四边形，即对角线互相平分的四边形是平行四边形.变式训练1：已知DE是ABC的中位线，用向量的方法证明：DE12BC，且DE//BC.证明：易知AD12AB,AE12AC,所以DEAEAD12ACAB12BC.即DE12BC，又D不在BC上，所以DE//BC.例2： 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.证明：设H是高线BE、CF的交点，且设ABa,ACb,AHh则有BHha,CHhb,BCba,BHAC,CHAB,ha·bhb·a0

化简得，h·ba0AHBC所以，三角形三条高线交于一点.变式训练2：证明勾股定理，在RtABC中，ACBC，BCa，ACb，ABc，则c2b2a2.证明：由ABACCB，得BAB·ABAC·AC2AC CBCBCB即|AB|2|AC|20|CB|2，故c2b2a2.CA

例3：（课本P109例1）已知平行四边形ABCD的对角线为AC、BD.求证：|AC|2|DB|22|AB|2|AD|2 2

SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

证明：由|AC|2ACABAD22|AB|2|AD|22AB AD|DB|2DBABAD2,2

|AB|2|AD|22AB AD得|AC|2|DB|22|AB|2|AD|2.变式训练3：用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.解：如图，四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，ABAOOB,ADAOOD,AB·ADAOOB·AOOD2DOC

AAOAO·ODOB·AOOB·OD0ABAD,即ABAD，四边形ABCD是矩形.B

三、课堂小结，巩固反思：

向量是沟通数与形的十分有效的工具，利用向量处理平面几何问题，最重要的是要先在平面图形中寻找向量的“影子”，然后合理引入向量，并通过向量的运算，达到快捷解题的效果.四、课时必记：

五、分层作业： A组：

1、（课本P118复习参考题 A组：NO：5）

2、（课本P118复习参考题 A组：NO：6）

3、（课本P118复习参考题 A组：NO：7）

4、（课本P118复习参考题 A组：NO：8）

5、（课本P118复习参考题 A组：NO：9）B组：

1、（课本P113习题2.5 A组NO：1）

2、（课本P113习题2.5 A组NO：2）SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

3、用向量方法证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.证明：如图平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，ABAOOB,BCBOOC|AB|2AOOB2|AO|22AO OBOB2|AO2OB2

|BC|2BOOC2|BO|22BO OC|OC|2|BO|2|OC|2,|AB||BC|，四边形ABCD是菱形.C组：

DCOAB4

第三篇：【教案】3.2立体几何中的向量方法

3.2.2向量法解决空间角问题

（习题课）

（1）、三维目标

1．知识与能力：向量运算在几何计算中的应用．培养学生的空间想象能力和运算能力。

2．过程与方法：掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题． 3．情感目标

通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.（2）教学重点：向量运算在解决空间角中的应用．（3）教学难点：向量运算在解决空间角中的应用．21 新课导入设计

一、复习引入

1、两条异面直线所成的角的定义及范围？

2、直线与平面所成角的定义及范围？

3、二面角定义及范围？

（和学生一起回忆定义，并且通过直线的方向向量及平面的法向量复习线线角，线面角及面面角的公式）

二、习题展示：教师给出正方体这个载体，由学生在正方体中构造空间角，展示自编题目，并由学生解答完成。

1、展示线线角习题：

（设计意图：使学生清楚如何将求两条异面直线所成角转化成求两个向量所成角，并且会用cos=|cos＜a,b＞|＝|ab|解决问题，但要注意异面直线所成角的范围与

ab两个向量所成角范围的不同）

2、展示线面角习题；（设计意图：使学生能将求线面角转化为求线线角，即求斜线与平面的法向量所成的角，进而转化为求两个向量所成角，这里关注学生在讲解过程中是否能讲清楚线面角的正弦即是线线角的余弦，即sincosAB,nABnABn）

3、展示面面角习题；（设计意图；使学生能将二面角的平面角转化为线线角，即转化为求平面的法向量所成的角，进而使问题又归为

第四篇：高中数学必修4人教A教案2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例

2.5.1平面几何中的向量方法

教学目的：

1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；

2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.； 3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.教学过程：

一、复习引入：

1.两个向量的数量积： ab |a||b|cos.2.平面两向量数量积的坐标表示: abx1x2y1y2.3.向量平行与垂直的判定: a//bx1y2x2y10.abx1x2y1y20.4.平面内两点间的距离公式：

|AB|5.求模：

(x1x2)2(y1y2)2

aaa

a

二、讲解新课： 例

x2y a(x1x2)2(y1y2)2

1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，AC ABAD,DB ABAD,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

DABC

思考1：

如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？

练习1.已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90o.（用向量方法证明）

思考2：

运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.例2．如图，□ ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ FD

E RT

A B

三、课堂小结

用向量方法解决平面几何的“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.四、课后作业

习题2.5 A组第1题

C 2

2.5.2向量在物理中的应用举例

教学目的：

1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题 的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；

2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会 数学在现实生活中的作用.教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程：

一、复习引入： 1.讲解上节作业题.已知A(1,0),直线l:y2x6,点R是直线l上的一点,若RA2AP,求点P的轨迹方程.2.你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与平行四边形法则是什么？

二、讲解新课：

例1.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种形象吗？

探究1.设两人拉力分别为F1，F2，其夹角为，旅行包的重力为G。(1)为何值时，|F1|最小，最小值是多少? 3

(2)| F1|能等于|G|吗?为什么? 探究2: 你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗? 用向量解决物理问题的一般步骤是：

(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；

(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.例2.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|＝10 km/h，水流速度|v2|＝2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min）？

思考

3、: “行驶最短航程”是什么意思？怎样才能使航程最短？

三、课堂小结

向量解决物理问题的一般步骤:(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；

(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.四、课后作业

习题2.5 A组第4题

第五篇：平面几何常用证明方法

平面几何常见证明方法

1,分析法

分析法是从命题的结论入手，先承认它是正确的，执果索因，寻求结论正确的条件，这样一步一步逆而推之，直到与题设会合，于是就得出了由题设通往结论的思维过程。

分析法主要应用与的几何问题特点主要是：从证明推理的时候出现多个方向，不知道哪个方向能够成功推导到结论，也就是说从正向推导比较迷茫的时候，比较适合用分析法来解决这些问题。

例1 如图2.1.1，四边形ABCD的一条对角线BD平行于两对边之交点的连线EF，求证：AC平分BD。[1]

证明：设AC交BD于M，交EF于N

BMMD，欲证BMMD ENNF作方向猜测，只需证ENNF或 BMEN1即可。MDNF则但我们意识到这不容易证明，（图2.1.1）

BMMDBMEN即可。而，从而MDBMMDNFMDENMDBMMDMCBM只需证即可，又只需证即可。而，故得证。BMNFENNFENCNNF再作方向猜测，欲证BMMD，只需证明2 综合法

综合法则是由命题的题设条件入手，由因导果，通过一系列的正确推理，逐步靠近目标，最终获得结论。再从已知条件着手，根据已知的定义、公式、定理，逐步推导出结论。综合法和分析法有些不同的是分析法的思路从结论开始，综合法的思路从题设开始。

例2如图2.2.1设D是ABC底边BC上任一点，则ADBCABCDACBDBCBDCD。[1] 证明：在ADB和ABC中 222AD2BD2AB cosADB

2ADBDAD2CD2AC2

cosADC

2ADBD

由cosADBcosADC，所以

(图2.2.1)AD2BD2AB2AD2CD2AC2

2ADBD2ADBD

有AD2(BDCD)AB2CDAC2BDBDCD(BDCD)

将BDCDBC代入上式则有

ADBCABCDACBDBCBDCD，证毕。

在具体证题时，这两种方法可单独运用，也可配合运用，在分析中有综合，在综合中有分析，以进行交叉使用。由于篇幅有限在此仅归纳方法，并不做详细介绍。

但是有些命题往往不易甚至不能直接证明，这时，不妨证明它的等效命题，以间接地达到目标，这种证题思路就称为间接式思路。我们常运用的反证法是一种典型的用间接式思路证题的方法。2223反证法

具体地说，在证明一个命题时，如正面不易入手，就要从命题结论的反面入手，先假设结论的反面成立，如果由此假设进行严格推理，推导出的结果与已知条件、公式、定理、定义、假设等的其中一个相矛盾，或者推出两个相互矛盾的结果，就证明了“结论反面成立”的假设是错误的，从而得出结论的正面成立，这种证题方法就叫做反证法。当结论的反面只有一个时，否定了这一个便完成证明，这种较单纯的反证法又叫做归谬法;而当结论的反面有若干个时，就必须驳倒其中的每一个，这种较繁琐的反证法又称为穷举法。

反证法证题通常有如下三个步骤:

(1)反设。作出与结论相反的假设，通常称这种假设为反证假设。

(2)归谬。利用反证假设和已知条件，进行符合逻辑的推理，推出与某个已知条件、公理、定义等相矛盾的结果。根据矛盾律，在推理和论证的过程中，在同时间、同关系下，不能对同一对象作出两个相反的论断，可知反证假设不成立。

(3)得出结论。根据排除率，即在同一论证过程中，命题C与命题非C有且仅有一个是正确的，可知原结论成立。

例3 如图2.3.1已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，1(ABCD)。

2求证：AD∥BC

且MN

证明：假设AD与BC不平行，连结ABD，并设P

是BD的中点，再连结MP、PN。在ABD中

由BMMA，BPPD（图2.3.1）

则MP1AD，同理可证PN2MPPN1BC 21(ABCD)

① 从而

这时，BD的中点不在MN上

若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与

假设AD与BC不平行矛盾，于是M、P、N三点不共线。

从而

MPPNMN

② 1

1由①、②得MN(ABCD)，这与已知条件MN(ABCD)相矛盾，2

2故假设不成立，所以AD∥BC，证毕。

在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题。

例4 过平面上的点A的直线a，求证：a是唯一的。

证明：假设a不是唯一的，则过A至少还有一条直线b，b 由a、b是相交直线，则a、b可以确定一个平面。设和相交于过点A的直线c。

由

a，b，有

ac，bc。

这样在平面内，过点A就有两条直线垂直于c，这与定理产生矛盾。所以，a是唯一的，证毕。

关于唯一性的问题，在几何中有，在代数、三角等学科中也有。这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般情况下都采用间接证法。即用反证法或同一法证明，用反证法证明有时比同一法更方便。

另外，几何中有一类问题，要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在。它们的结论命题都是以否定形式出现的，若用直接证法证明有一定的困难。而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在，因此，这类问题非常适宜用反证法。

例5 求证：抛物线没有渐近线。

证明：设抛物线的方程是y22px(p0)。

假设抛物有渐近线，渐近线的方程是yaxb，易知a、b都不为0。因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组

(1)y22px 

(2)yaxb的两组解的倒数都是0。

将（2）代入（1），得

a2x22(abp)xb20

(3)

设x1、x2是（3）的两个根，由韦达定理，可知

2(abp)b2x1x2，x1x22 2aa则

11x1x22(abp)0

2x1x2x1x2b(4)

111a20，(5)x1x2x1x2b2由（4）、（5），可推得p0，这于假设p0矛盾。

所以，抛物线没有渐近线，证毕。

关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型。由于它的结论是以否定形式出现，采用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明。

在几何中存在一类很特殊的问题，就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于几个。由于这类问题能找到直接论证的理论根据很少，用直接证法有一定困难。如果采用反证法，添加了否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，容易使命题获证。

例6 已知：四边形ABCD中，对角线ACBD1。求证：四边形中至少有一条边不小于

2。2证明：假设四边形的边都小于

2，由于四边形中至少有一个角不是钝角（这一结论也20可用反证法证明），不妨设A90，根据余弦定理，得

BD2AD2AB22ADABcosA，有

BD2AD2AB2，即

BDAD2AB2(这与已知四边形BD1矛盾。所以，四边形中至少有一条边不小于

222)()21。222，证毕。2在证题过程中，不论是直接思路还是间接思路，都要进行一系列正确的推理，需要解题者对扑朔迷离的表象进行由表及里、去伪存真地分析、加工和改造，并从不同方向探索，以在广阔的范围内选择思路，从而及时纠正尝试中的错误，最后获得命题的证明。