一定是直角三角形吗
一、单选题
1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）
A．3，4，6
B．1，1，C．6，8，11
D．5，12，23
2．已知的三边长分别为，2，则的面积为（）
A．
B．
C．3
D．
3．三个顶点都在网格点上，且有一个角为直角的三角形称为网格直角三角形．在的网格图中，若为网格直角三角形，则满足条件的点个数有（）
A．6
B．7
C．13
D．15
4．满足下列条件的不是直角三角形的是（）
A．，B．，C．，D．，5．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）
A．2，3，4
B．6，8，10
C．5，12，14
D．1，1，2
6．如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，则的度数为（）
A．
B．
C．
D．
7．满足下列条件的三角形：
①三边长之比为3：4：5；
②三内角之比为3：4：5；
③n2﹣1，2n，n2+1；
④，6．
其中能组成直角三角形的是（）
A．①③
B．②④
C．①②
D．③④
8．如图所示的网格是正方形网格，是（）三角形．
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．等腰
9．若的三边a，b，c满足，则是（）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
D．等腰直角三角形
10．在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形中最短边上的高为______．
12．如图，已知中，，的垂直平分线分别交，于点，．连接，则的长为______．
13．已知直角坐标平面内的点，和，那么的形状是______．
14．如图，在中，已知是的高线，则长为__________．
15．如图，点E在正方形ABCD内，AE＝6，BE＝8，AB＝10，则阴影部分的面积为___________．
16．三角形的三边长分别为2，3，则该三角形最长边上的中线长为_______
17．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地四边形，经测量，，，．小区美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地需花_________元．
三、解答题
18．如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，已知AC＝2，BC＝．
（1）画出△ABC；
（2）△ABC的形状是______；
（3）△ABC边AB上的高是_____．
19．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C为小正方形的顶点．求证：∠ABC=45°．
20．如图，四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，AD＝，CD＝3，且∠ABC＝90°．求四边形ABCD的面积．
21．如图，在中，为上的高，（1）若，，求证：是直角三角形；
（2）若，，求的长．
22．在四边形中，已知．，．
（1）求的长．
（2）的度数．
参考答案
1．B
解：A、，不能构成直角三角形，此项不符题意；
B、，能构成直角三角形，此项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，此项不符题意；
D、，不能构成三角形，此项不符题意；
故选：B．
2．D
解：设三角形三边分别为，且，为最长边
是以为斜边的直角三角形
故答案是：D．
3．C
解：根据题意，分别以A，B，C三个点为直角顶点构造网格直角三角形，满足条件的C点如下图所示：
则满足条件的点个数有13个，故选：C．
4．B
解：A、42+32=52，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、122+52=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：B
5．B
解：A．∵22+32≠42，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵62+82＝102，∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵52+122≠142，∴5，12，14为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵12+12≠22，∴以1，1，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．A
解：如图，连接CG、AG，由勾股定理得：AC2＝AG2＝12＋22＝5，CG2＝12＋32＝10，∴AC2＋AG2＝CG2，∴∠CAG＝90°，∴△CAG是等腰直角三角形，∴∠ACG＝45°，∵CF∥AB，∴∠ACF＝∠BAC，在△CFG和△ADE中，∵，∴△CFG≌△ADE（SAS），∴∠FCG＝∠DAE，∴∠BAC−∠DAE＝∠ACF−∠FCG＝∠ACG＝45°，故选：A．
7．A
解：①三边长之比为；则有，为直角三角形；
②三个内角度数之比为，则各角度数分别为，，不是直角三角形；
③，是直角三角形；
④，构不成三角形．
故选：A．
8．A
解：根据网格图可得：，，是锐角三角形，故选：A．
9．C
解：∵（a-c）（a2+b2-c2）=0，∴a-c=0或a2+b2-c2=0，则a=c或a2+b2=c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，故选：C．
10．C
解：A．∵，，∴三角形不是直角三角形；
B．∵，，∴三角形不是直角三角形；
C．∵，，∴三角形是直角三角形；
D．∵，，,∴三角形不是直角三角形．
故选C．
11．4
解：，三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，这个三角形中最短边上的高为4，故答案为：4．
12．解：中，，，是直角三角形，的垂直平分线分别交，于，，设为，在中，即，解得：，即，故答案为：．
13．等腰直角三角形．
解：∵各点坐标分别是，和，根据题意，如下图所示
则：，，∴，∴的形状是等腰直角三角形，故答案是：等腰直角三角形．
14．解：∵在△ABC中，AB=13，AC=12，BC=5，∴，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC=，则，∴CD=，故答案为：．
15．76
解：在△ABE中，∵AE=6，BE=8，AB=10，62+82=102，∴△ABE是直角三角形，∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE
=AB2﹣×AE×BE
=100﹣×6×8
=76．
故答案为：76．
16．解：由题知，∴三角形是直角三角形，3是斜边长，∴最长边上的中线长为；
故答案是．
17．3600
解：如图，连接AC
∵，∴，∵，∴
∴
∴
∴四边形面积为：
∵草坪每平方米100元
∴铺满这块空地需花：元，故答案为：3600．
18．（1）见解析；（2）直角三角形；（3）2
解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）结论：△ABC是直角三角形．
理由：∵AB==5，AC=2，BC=，∴AC2+BC2=，AB2=25，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴△ACB是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（3）设AB边上的高为h，∵•AB•h=•AC•BC，∴；
故答案为：2．
19．见解析
证明：连接AC，则由勾股定理可以得到：
AC==，BC==，AB==．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形．
又∵AC=BC，∴∠CAB=∠ABC．
∴∠ABC=45°．
20．．
解：在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2，由勾股定理得：AC＝，∵AD＝，CD＝3，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝
＝
＝．
21．（1）见解析；（2）18
解：（1）由题意可得，，在中，，由勾股定理可得，在中，，由勾股定理可得，在中，，，即，是直角三角形，且；
（2）设，则，由题意可得，，在中，，由勾股定理可得，即，解得，，在中，由勾股定理可得，．
22．（1）；（2）135°
解：(1)∵，．
∴
在中，由勾股定理得：
∴
(2)∵，∴
∴△BCD是直角三角形，∴
∴
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