勾股定理的应用
一、单选题
1．如图，一架云梯长为25米，顶端A靠在墙上，此时云梯底端B与墙角C距离为7米，云梯滑动后停在的位置上，测得长为4米，则云梯底端B在水平方向滑动的距离为（）
A．4米
B．6米
C．8米
D．10米
2．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（）
A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
C．x2＝42＋（x﹣2）2
D．x2＝（x﹣4）2＋22
3．如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（）
A．海里
B．海里
C．40海里
D．海里
4．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）
A．6
B．8
C．9
D．15
5．一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框内通过的是（）
A．
B．
C．
D．
6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）
A．4尺
B．4.55尺
C．5尺
D．5.55尺
7．一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（）千米．
A．26
B．18
C．13
D．32
8．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（）
A．0＜h≤11
B．11≤h≤12
C．h≥12
D．0＜h≤12
9．如图，已知ABCD是长方形纸片，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（）．
A．
B．
C．
D．
10．用梯子登上20m高的建筑物，为了安全要使梯子的底面距离建筑物15m，至少需要（）m长的梯子．
A．20
B．25
C．15
D．5
11．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A，B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，那么，建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（）
A．2km
B．4km
C．10
km
D．14
km
12．如图所示，在长方形中，若将长方形沿折叠，使点C落在边上的点F处，则线段的长为（）
A．
B．
C．
D．10
二、填空题
13．如图，客船以24海里/时的速度从港口向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口向东南方向航行，则1小时后两船相距______海里．
14．如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米（），则旗杆AB的高度为__________米（用含a，b的代数式表示）．
15．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米．
16．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．
17．如图，一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点A爬到另一顶点M，已知AB＝AD＝2，BF＝3．这只蚂蚁爬行的最短距离_____．
18．如图，在四边形ABCD中，，，那么四边形ABCD的面积是___________．
三、解答题
19．如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．
20．如图，A村和B村在河岸CD的同侧，它们到河岸CD的距离AC，BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．
（1）请在CD上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省；
（2）求铺设水管的最省总费用．
21．如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，求警示牌的高CD
(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)．
22．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺=10寸），则的长是多少?
23．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？
参考答案
1．C
解：在直角中，已知米，米，米，在直角中，已知米，米，米，米，米，米
故云梯底端在水平方向滑动了8米，故选：C．
2．A
解：根据勾股定理可得：
x2=（x-4）2+（x-2）2，故选：A．
3．D
解：过作于，如图所示：
在中，海里，∴（海里），（海里），∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴海里，∴海里，故选：D．
4．D
解：如图，将台阶展开，因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选：D．
5．A
解：门框的对角线长为米．
∵米．
∴只有A选项的薄木板的宽小于，即只有A选项的薄木板可以通过．
故选：A．
6．B
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，根据勾股定理得：，解得：．
所以，原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
7．A
解：如图，根据题意得：△ABC是直角三角形，∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，∴AC2＝242＋102，∴AC＝26km．
故选：A．
8．B
解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：
此时，AB＝＝＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．
∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm．
故选：B．
9．B
解：ABCD是长方形纸片，∴AB=CD=3，∴，∴BF=4，∴AF=，∴AF=AD=BC=5，CF=1，设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，x2=(3-x)2+1，解得，x=，∴，故选：B．
10．B
解：如图所示：
∵AC＝20m，BC＝15m，∴在Rt△ABC中，AB=m，故选：B．
11．B
解：由题意可得：
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）．
故选：B．
12．C
解：如图所示：
设长为x，（翻折），根据勾股定理可得：，，∴在中，，，长为．
故选C.13．30
解：∵客船以24海里/时的速度从港口
A
向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口
A
向东南方向航行，∴客船与货船方向的夹角为，且客船行驶1小时的距离为24海里，货船行驶1小时的距离为18海里，故两船1小时后的距离为海里，故答案为：30．
14．解：设AB=x米，则有AC=（x+a）米，根据勾股定理得：，解得：
∴，故答案为．
15．9．
解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．
16．12
解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB＇＝x尺，则水深AC＝（x−1）尺，因为B＇E＝10尺，所以B＇C＝5尺
在Rt△AB＇C中，52＋（x−1）2＝x2，解得：x＝13，即水深12尺，故答案为：12
17．5
解：如图1，将长方体沿CB展开，当蚂蚁经图中长方体右侧表面爬到M点，则，如图2，将长方体沿ND展开，当蚂蚁经图中长方体左侧面爬到M点，则，如图3，将长方体沿DC展开，当蚂蚁经图中长方体上侧面爬到M点，则，比较以上三种情况，一只蚂蚁从顶点A爬到顶点M，那么这只蚂蚁爬行的最短距离是5．
故答案为：5．
18．+24
解：连结BD，∵，∴，∵，∴BD=6，∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，S△ABD=，S△BDC=，四边形ABCD的面积是=
S△ABD+
S△BDC=+24
故答案为：+24．
19．尺
解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，根据勾股定理可得：
x2+42＝（x+1）2，即x2+16＝x2+2x+1，解得：x＝7.5，∴门高7.5尺，竹竿高＝7.5+1＝8.5（尺）．
故答案为尺．
20．（1）见解析；（2）100000元
解：（1）延长到，使，连接，交于，则在上选择水厂位置是时，使铺设管道的费用最省；
（2）过作，交的延长线于，，四边形是矩形，千米，千米，千米，千米千米千米，在中，由勾股定理得：（千米），，千米，铺设水管的最最省总费用是：20000元千米千米元．
21．2.9．
解：由题意可得：米，，米，，，则（米．
22．101寸
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA=OB=AD=BC，设OA=OB=AD=BC=r寸，则AB=2r（寸），DE=10寸，OE=CD=1寸，∴AE=（r1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即（r1）2+102=r2，解得：r=50.5，∴2r=101（寸），∴AB=101寸．
23．（1）从C岛返回A港所需的时间为3小时；（2）C岛在A港的北偏西42°
解：（1）由题意AD＝60km，Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．
∴AC＝=＝75（km）．
75÷25＝3（小时）．
答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．
（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，∴AB2+AC2＝BC2．
∴∠BAC＝90°．
∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝42°．
∴C岛在A港的北偏西42°．
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