第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理(1)
了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．
重点
勾股定理的内容和证明及简单应用．
难点
勾股定理的证明．
一、创设情境，引入新课
让学生画一个直角边分别为3
cm和4
cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长．
再画一个两直角边分别为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长．
你是否发现了32＋42与52的关系，52＋122与132的关系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
由一学生朗读“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说，引导学生观察身边的地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？
拼图实验，探求新知
1．多媒体课件演示教材第22～23页图17.1－2和图17.1－3，引导学生观察思考．
2．组织学生小组合作学习．
问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法．
引导学生用拼图法初步体验结论．
生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面积和．
师：这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明．
归纳验证，得出定理
(1)猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.(2)是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的．
①用多媒体课件演示．
②小组合作探究：
a．以直角三角形ABC的两条直角边a，b为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？
b．它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系？
c．利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法．想一想还有什么方法？
师：通过拼摆，我们证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．
即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．
二、例题讲解
【例1】填空题．
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，则c＝________；
(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，则c＝________；
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝________，b＝________；
(4)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为________；
(5)已知等边三角形的边长为2
cm，则它的高为________cm，面积为________cm2.【答案】(1)17(2)(3)6 8(4)6，8，10(5)
【例2】已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．
分析：已知两边中，较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进行计算．让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．
【答案】或13
三、巩固练习
填空题．
在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)如果a＝7，c＝25，则b＝________；
(2)如果∠A＝30°，a＝4，则b＝________；
(3)如果∠A＝45°，a＝3，则c＝________；
(4)如果c＝10，a－b＝2，则b＝________；
(5)如果a，b，c是连续整数，则a＋b＋c＝________；
(6)如果b＝8，a∶c＝3∶5，则c＝________．
【答案】(1)24(2)4(3)3(4)6(5)12
(6)10
四、课堂小结
1．本节课学到了什么数学知识？
2．你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？
3．你还有什么困惑？
本节课的设计关注学生是否积极参与探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积极思考、能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想(数形结合)以及学生能否有条理地表达活动过程和所获得的结论等．关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理． 第2课时 勾股定理(2)
能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
重点
将实际问题转化为直角三角形模型．
难点
如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题．
一、复习导入
问题1：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？
师生行为：
学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型．
教师深入到小组活动中，倾听学生的想法．
生：根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC＝12
m，BC＝5
m，AB是梯子的长度，所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132，则AB＝13
m.所以至少需13
m长的梯子．
师：很好！
由勾股定理可知，已知两直角边的长分别为a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长．
问题2：一个门框的尺寸如图所示，一块长3
m、宽2.2
m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
学生分组讨论、交流，教师深入到学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径．
生1：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．
生2：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过．
师生共析：
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.因此AC＝≈2.236.因为AC>木板的宽，所以木板可以从门框内通过．
二、例题讲解
【例1】如图，山坡上两棵树之间的坡面距离是4米，则这两棵树之间的垂直距离是________米，水平距离是________米．
分析：由∠CAB＝30°易知垂直距离为2米，水平距离是6米．
【答案】2 6
【例2】教材第25页例2
三、巩固练习
1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B，C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为________．
【答案】50米
2．某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B
200米，结果他在水中实际游了520米，求该河流的宽度．
【答案】约480
m
四、课堂小结
1．谈谈自己在这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单的应用题；会构造直角三角形．
2．本节是从实验问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解答．
这是一节实际应用课，过程中要充分发挥学生的主导性，鼓励学生动手、动脑，经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型的过程，激发了学生的学习兴趣，锻炼了学生独立思考的能力． 第3课时 勾股定理(3)
1．利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
2．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．
3．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
重点
在数轴上寻找表示，，…这样的表示无理数的点．
难点
利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．
一、复习导入
复习勾股定理的内容．
本节课探究勾股定理的综合应用．
师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．你们能用勾股定理证明这一结论吗？
学生思考并独立完成，教师巡视指导，并总结．
先画出图形，再写出已知、求证如下：
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，得BC＝，B′C′＝.又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
师：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出所对应的点吗？
教师可指导学生寻找像长度为，，…这样的包含在直角三角形中的线段．
师：由于要在数轴上表示点到原点的距离为，，…，所以只需画出长为，，…的线段即可，我们不妨先来画出长为，，…的线段．
生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，而长为的线段是直角边为1和2的直角三角形的斜边．
师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？
生：设c＝，两直角边长分别为a，b，根据勾股定理a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝13.若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为的线段是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边．
师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点．
生：步骤如下：
1．在数轴上找到点A，使OA＝3.2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝2.3．以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点．
二、例题讲解
【例1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以画出如图所示的图形，A点表示男孩头顶的位置，C，B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．
解：根据题意，得在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5000米，AC＝4800米．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即50002＝BC2＋48002，所以BC＝1400米．
飞机飞行1400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1400×6×60＝504000(米)＝504(千米)，即飞机飞行的速度为504千米/时．
【例2】在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？
解：根据题意，得到上图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD，所以在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，AC2＋6AC＋9＝AC2＋36，∴6AC＝27，AC＝4.5，所以这里的水深为4.5分米．
【例3】在数轴上作出表示的点．
解：以为长的边可看作两直角边分别为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点，如下图：
师生行为：
由学生独立思考完成，教师巡视指导．
此活动中，教师应重点关注以下两个方面：
①学生能否积极主动地思考问题；
②能否找到斜边为，另外两条直角边为整数的直角三角形．
三、课堂小结
1．进一步巩固、掌握并熟练运用勾股定理解决直角三角形问题．
2．你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数，并理解数轴上的点与实数一一对应．
本节课的教学中，在培养逻辑推理的能力方面，做了认真的考虑和精心的设计，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，注重数学与生活的联系，从学生的认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣，培养了学生善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力．
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理(1)
1．掌握直角三角形的判别条件．
2．熟记一些勾股数．
3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
重点
探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系．
难点
归纳猜想出命题2的结论．
一、复习导入
活动探究
(1)总结直角三角形有哪些性质；
(2)一个三角形满足什么条件时才能是直角三角形？
生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．
师：那么一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形呢？
生1：如果三角形有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．
生2：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．
师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b与斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？
问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，有下面的关系：32＋42＝52，那么围成的三角形是直角三角形．
画画看，如果三角形的三边长分别为2.5
cm，6
cm，6.5
cm，有下面的关系：2.52＋62＝6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4
cm，7.5
cm，8.5
cm，再试一试．
生1：我们不难发现上图中，第1个结到第4个结是3个单位长度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5.因为32＋42＝52，所以我们围成的三角形是直角三角形．
生2：如果三角形的三边长分别是2.5
cm，6
cm，6.5
cm.我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5
cm的边所对的角是直角，并且2.52＋62＝6.52.再换成三边长分别为4
cm，7.5
cm，8.5
cm的三角形，可以发现8.5
cm的边所对的角是直角，且有42＋7.52＝8.52.师：很好！我们通过实际操作，猜想结论．
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
再看下面的命题：
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.它们的题设和结论各有何关系？
师：我们可以看到命题2与命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．
二、例题讲解
【例1】说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
(1)同旁内角互补，两条直线平行；
(2)如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；
(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
(4)直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．
分析：(1)每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用；
(2)理顺它们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假．
解略．
三、巩固练习
教材第33页练习第2题．
四、课堂小结
师：通过这节课的学习，你对本节内容有哪些认识？
学生发言，教师点评．
本节课的教学设计中，将教学内容精简化，实行分层教学．根据学生原有的认知结构，让学生更好地体会分割的思想．设计的题型前后呼应，使知识有序推进，有助于学生理解和掌握；让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索、合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人．将目标分层后，满足不同层次学生的做题要求，达到巩固课堂知识的目的．
第2课时 勾股定理的逆定理(2)
1．理解并掌握证明勾股定理的逆定理的方法．
2．理解逆定理、互逆定理的概念．
重点
勾股定理的逆定理的证明及互逆定理的概念．
难点
理解互逆定理的概念．
一、复习导入
师：我们学过的勾股定理的内容是什么？
生：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.师：根据上节课学过的内容，我们得到了勾股定理逆命题的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
师：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗？如何证明呢？
师生行为：
让学生试着寻找解题思路，教师可引导学生理清证明的思路．
师：△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2.如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗？
我们画一个直角三角形A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°(如图)，把画好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它们重合吗？
生：我们所画的Rt△A′B′C′，(A′B′)2＝a2＋b2，又因为c2＝a2＋b2，所以(A′B′)2＝c2，即A′B′＝c.△ABC和△A′B′C′三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC为直角三角形．
即命题2是正确的．
师：很好！我们证明了命题2是正确的，那么命题2就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互逆定理．
师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立呢？
生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立．
师：你还能举出类似的例子吗？
生：例如原命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．
逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等．
显然原命题成立，而逆命题不一定成立．
二、新课教授
【例1】教材第32页例1
【例2】教材第33页例2
【例3】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边的尺寸，那么这个零件符合要求吗？
分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子．
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．
在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．
因此这个零件符合要求．
三、巩固练习
1．小强在操场上向东走80
m后，又走了60
m，再走100
m回到原地．小强在操场上向东走了80
m后，又走60
m的方向是________．
【答案】向正南或正北
2．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，求甲巡逻艇的航向．
【答案】解：由题意可知：AC＝120×6×＝12，BC＝50×6×＝5，122＋52＝132.又AB＝13，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠CAB＝40°，航向为北偏东50°.四、课堂小结
1．同学们对本节的内容有哪些认识？
2．勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．
本节课我采用以学生为主体，引导发现、操作探究的教学设计，符合学生的认知规律和认知水平，最大限度地调动了学生学习的积极性，有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、验证、推理的能力，切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培养．
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