第一篇：2017-2018学年八年级数学《勾股定理》 单元测试
2017-2018学年八年级数学《勾股定理》 单元测试（1）
一、选择题（共13小题）
1．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）
A．48 B．60 C．76 D．80 2．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（）
A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理
3．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（）
A．10 B．11 C．12 D．13 4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4
C．a=2，b=4，c=5
D．a=3，b=4，c=5 5．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，6．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）
第1页（共20页）
A．5 B． C． D．5或
7．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 8．如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是（结果精确到0.1m）（）
A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m 9．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）
A． B． C． D．
10．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（）
A．2 B．4 C． D．
11．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个 B．可以有2个
C．有2个以上，但有限 D．有无数个
12．在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB．则点P到BC所在直线的距离是（）A．1 B．1或 C．1或
D．
或
第2页（共20页）
13．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（）
A． B． C．2 D．
二、填空题（共15小题）
14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
15．在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为 ．
16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3= ．
17．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于 ．
第3页（共20页）
18．如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE= ．
19．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是 ．
20．在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为 ．
21．如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为 cm．
22．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为 ．
第4页（共20页）
第14章 勾股定理
参考答案与试题解析
一、选择题（共13小题）
1．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）
A．48 B．60 C．76 D．80 【考点】勾股定理；正方形的性质．
【分析】由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面积．
【解答】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE，=AB2﹣×AE×BE =100﹣×6×8 =76． 故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．
2．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（）
第5页（共20页）
A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理 【考点】勾股定理的证明． 【专题】几何图形问题．
【分析】“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明． 【解答】解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理． 故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明．
3．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（）
A．10 B．11 C．12 D．13 【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半这一性质可求出AB的长，再根据勾股定理即可求出BE的长． 【解答】解：∵BE⊥AC，∴△AEB是直角三角形，∵D为AB中点，DE=10，∴AB=20，∵AE=16，∴BE==12，第6页（共20页）
故选C．
【点评】本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大．
4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4
C．a=2，b=4，c=5
D．a=3，b=4，c=5 【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵12+22=5≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项错误； B、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误； C、∵22+42=20≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项错误； D、∵32+42=25=52，∴能构成直角三角形，故本选项正确． 故选D．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
5．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
【解答】解：A、12+22≠32，不能组成直角三角形，故错误； B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故错误； C、42+52≠62，不能组成直角三角形，故错误； D、12+（故选D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
6．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）
第7页（共20页），）2=（）2，能够组成直角三角形，故正确．
A．5 B． C． D．5或
【考点】勾股定理． 【专题】分类讨论．
【分析】本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析． 【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为故选：D．
【点评】题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析．
7．（2013•德宏州）设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3，【考点】勾股定理． 【专题】压轴题．
【分析】由该三角形的周长为6，斜边长为2.5可知a+b+2.5=6，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．
【解答】解：∵三角形的周长为6，斜边长为2.5，∴a+b+2.5=6，∴a+b=3.5，①
∵a、b是直角三角形的两条直角边，∴a2+b2=2.52，② 由①②可得ab=3，故选D．
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用．
8．如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是（结果精确到0.1m）（）
第8页（共20页）
A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m 【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．
【分析】首先计算出∠B的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m，再利用勾股定理计算出BC长即可．
【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°，∴∠B=30°，∴AB=2AC，∵AC=20m，∴AB=40m，∴BC=故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
9．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）=
=
=20
≈34.6（m），A． B． C． D．
【考点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质．
【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△ABM中三边的关系． 【解答】解：∵四边形MBND是菱形，第9页（共20页）
∴MD=MB．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．
设AB=x，AM=y，则MB=2x﹣y，（x、y均为正数）． 在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2x﹣y）2，解得x=y，∴MD=MB=2x﹣y=y，∴==．
故选：C．
【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理．解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
10．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（）
A．2 B．4 C． D．
【考点】勾股定理．
【分析】连接AE，求出正六边形的∠F=120°，再求出∠AEF=∠EAF=30°，然后求出∠AEP=90°并求出AE的长，再求出PE的长，最后在Rt△AEP中，利用勾股定理列式进行计算即可得解． 【解答】解：如图，连接AE，在正六边形中，∠F=×（6﹣2）•180°=120°，∵AF=EF，∴∠AEF=∠EAF=（180°﹣120°）=30°，∴∠AEP=120°﹣30°=90°，AE=2×2cos30°=2×2×=
2，第10页（共20页）
∵点P是ED的中点，∴EP=×2=1，在Rt△AEP中，AP=故选：C．
=
=
．
【点评】本题考查了勾股定理，正六边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
11．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个 B．可以有2个
C．有2个以上，但有限 D．有无数个 【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质． 【专题】分类讨论．
【分析】两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【解答】解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，一种是6和8为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为10；另一种可能是6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为．
所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能，第一种是第二种是故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识．本题学生常常漏掉第二种情况，是一道易错题．
第11页（共20页）
，解得x=5；，解得x=
．所以可以有2个．
12．在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB．则点P到BC所在直线的距离是（）A．1 B．1或 C．1或
D．
或
【考点】勾股定理；平行线之间的距离；等腰直角三角形． 【专题】压轴题．
【分析】如图，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，可得四边形CDPE是正方形，则CD=DP=PE=EC；等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，所以，可求出BC=1，AB=在直角△AEP中，可运用勾股定理求得DP的长即为点P到BC的距离． 【解答】解：①如图，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，∵CP∥AB，∴∠PCD=∠CBA=45°，∴四边形CDPE是正方形，则CD=DP=PE=EC，∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AP，∴AB=∴AP=； =，又AB=AP；所以，∴在直角△AEP中，（1+EC）2+EP2=AP2 ∴（1+DP）2+DP2=（解得，DP=
②如图，延长BC，作PD⊥BC，交点为D，延长CA，作PE⊥CA于点E，同理可证，四边形CDPE是正方形，∴CD=DP=PE=EC，同理可得，在直角△AEP中，（EC﹣1）2+EP2=AP2，∴（PD﹣1）2+PD2=（解得，PD=故选D．
第12页（共20页））2，；）2，；
【点评】本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了学生的空间想象能力．
13．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（）
A． B． C．2 D．
【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形． 【专题】计算题．
【分析】如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．构建矩形AEFD和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE的长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．设AB=AD=x． 又∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形，∴AD=EF=x．
在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，第13页（共20页）
∴BE=AB=x，∴DF=AE==x，在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DF•cot30°=x． 又∵BC=6，∴BE+EF+CF=6，即x+x+x=6，解得 x=2 ∴△ACD的面积是： AD•DF=x×故选：A．
x=
×22=，【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积以及含30度角的直角三角形．解题的难点是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC的底边AD以及该边上的高线DF的长度．
二、填空题（共15小题）
14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为（4，0）．
【考点】勾股定理；坐标与图形性质．
【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC﹣AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8），∴AO=6，BO=8，∴AB= =10，第14页（共20页）
∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，∴AB=AC=10，∴OC=AC﹣AO=4，∵交x正半轴于点C，∴点C的坐标为（4，0），故答案为：（4，0）．
【点评】本题考查了勾股定理的运用、圆的半径处处相等的性质以及坐标与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长．
15．在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为 6 ．
【考点】勾股定理；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可求AC，BC的长，在Rt△ACD中，根据锐角三角函数的定义可求CD的长，BD=BC﹣CD，代入数据计算即可求解． 【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9∴CA2+CB2=AB2，∴CA=CB=9，∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=，∴CD=3，∴BD=BC﹣CD=9﹣3=6． 故答案为：6．，【点评】综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，线段的和差关系，难度不大．
16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3= 12 ．
第15页（共20页）
【考点】勾股定理的证明．
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根据S1=（CG+DG）2，S2=GF2，S3=（KF﹣NF）2，S1+S2+S3=12得出3GF2=12． 【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG=KG，CF=DG=KF，∴S1=（CG+DG）2 =CG2+DG2+2CG•DG =GF2+2CG•DG，S2=GF2，S3=（KF﹣NF）2=KF2+NF2﹣2KF•NF，∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF=3GF2=12，故答案是：12．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=12是解题的难点．
17．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于 6 ．
【考点】勾股定理的证明．
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可． 【解答】解：∵AB=10，EF=2，第16页（共20页）
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4×ab=96，∴2ab=96，a2+b2=100，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，∴a+b=14，∵a﹣b=2，解得：a=8，b=6，∴AE=8，DE=6，∴AH=8﹣2=6． 故答案为：6．
【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．
18．如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE= 3 ．
【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质可知：两腰上的高相等所以AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出AE的长．
【解答】解：∵在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，∴AD=BE=4，∵AB=5，∴AE=故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，题目比较简单．
=3，第17页（共20页）
19．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是 10 ．
【考点】勾股定理．
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，即S3=2+5+1+2=10． 故答案是：10．
【点评】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
20．在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为 2【考点】勾股定理． 【专题】计算题．
【分析】根据勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：∵∠C=90°，AB=7，BC=5，∴AC=故答案为：2
．
=．
=2．
第18页（共20页）
【点评】本题考查了勾股定理的应用，是基础题，作出图形更形象直观．
21．如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为 4 cm．
【考点】勾股定理；矩形的性质．
【分析】设AB=x，则可得BC=10﹣x，BE=BC=即求出了AB的长．
【解答】解：设AB=x，则可得BC=10﹣x，∵E是BC的中点，∴BE=BC=，）2=52，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得出x的值，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+（解得：x=4． 即AB的长为4cm． 故答案为：4．
【点评】本题考查了矩形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出AB、BE的长度，利用勾股定理建立方程．
22．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为 ．
第19页（共20页）
【考点】勾股定理的证明． 【专题】计算题．
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求得（a+b）的值；则易求b：a． 【解答】解：∵小正方形与大正方形的面积之比为1：13，∴设大正方形的面积是13，边长为c，∴c2=13，∴a2+b2=c2=13，∵直角三角形的面积是
=3，又∵直角三角形的面积是ab=3，∴ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25，∴a+b=5．
∵小正方形的面积为（b﹣a）2=1，∴b=3，a=2，∴=． 故答案是：．
【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
第20页（共20页）
第二篇：八年级数学专题-勾股定理
第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理(1)
了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．
重点
勾股定理的内容和证明及简单应用．
难点
勾股定理的证明．
一、创设情境，引入新课
让学生画一个直角边分别为3
cm和4
cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长．
再画一个两直角边分别为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长．
你是否发现了32＋42与52的关系，52＋122与132的关系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
由一学生朗读“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说，引导学生观察身边的地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？
拼图实验，探求新知
1．多媒体课件演示教材第22～23页图17.1－2和图17.1－3，引导学生观察思考．
2．组织学生小组合作学习．
问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法．
引导学生用拼图法初步体验结论．
生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面积和．
师：这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明．
归纳验证，得出定理
(1)猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.(2)是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的．
①用多媒体课件演示．
②小组合作探究：
a．以直角三角形ABC的两条直角边a，b为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？
b．它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系？
c．利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法．想一想还有什么方法？
师：通过拼摆，我们证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．
即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．
二、例题讲解
【例1】填空题．
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，则c＝________；
(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，则c＝________；
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝________，b＝________；
(4)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为________；
(5)已知等边三角形的边长为2
cm，则它的高为________cm，面积为________cm2.【答案】(1)17(2)(3)6 8(4)6，8，10(5)
【例2】已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．
分析：已知两边中，较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进行计算．让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．
【答案】或13
三、巩固练习
填空题．
在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)如果a＝7，c＝25，则b＝________；
(2)如果∠A＝30°，a＝4，则b＝________；
(3)如果∠A＝45°，a＝3，则c＝________；
(4)如果c＝10，a－b＝2，则b＝________；
(5)如果a，b，c是连续整数，则a＋b＋c＝________；
(6)如果b＝8，a∶c＝3∶5，则c＝________．
【答案】(1)24(2)4(3)3(4)6(5)12
(6)10
四、课堂小结
1．本节课学到了什么数学知识？
2．你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？
3．你还有什么困惑？
本节课的设计关注学生是否积极参与探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积极思考、能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想(数形结合)以及学生能否有条理地表达活动过程和所获得的结论等．关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理． 第2课时 勾股定理(2)
能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
重点
将实际问题转化为直角三角形模型．
难点
如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题．
一、复习导入
问题1：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？
师生行为：
学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型．
教师深入到小组活动中，倾听学生的想法．
生：根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC＝12
m，BC＝5
m，AB是梯子的长度，所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132，则AB＝13
m.所以至少需13
m长的梯子．
师：很好！
由勾股定理可知，已知两直角边的长分别为a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长．
问题2：一个门框的尺寸如图所示，一块长3
m、宽2.2
m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
学生分组讨论、交流，教师深入到学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径．
生1：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．
生2：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过．
师生共析：
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.因此AC＝≈2.236.因为AC>木板的宽，所以木板可以从门框内通过．
二、例题讲解
【例1】如图，山坡上两棵树之间的坡面距离是4米，则这两棵树之间的垂直距离是________米，水平距离是________米．
分析：由∠CAB＝30°易知垂直距离为2米，水平距离是6米．
【答案】2 6
【例2】教材第25页例2
三、巩固练习
1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B，C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为________．
【答案】50米
2．某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B
200米，结果他在水中实际游了520米，求该河流的宽度．
【答案】约480
m
四、课堂小结
1．谈谈自己在这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单的应用题；会构造直角三角形．
2．本节是从实验问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解答．
这是一节实际应用课，过程中要充分发挥学生的主导性，鼓励学生动手、动脑，经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型的过程，激发了学生的学习兴趣，锻炼了学生独立思考的能力． 第3课时 勾股定理(3)
1．利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
2．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．
3．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
重点
在数轴上寻找表示，，…这样的表示无理数的点．
难点
利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．
一、复习导入
复习勾股定理的内容．
本节课探究勾股定理的综合应用．
师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．你们能用勾股定理证明这一结论吗？
学生思考并独立完成，教师巡视指导，并总结．
先画出图形，再写出已知、求证如下：
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，得BC＝，B′C′＝.又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
师：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出所对应的点吗？
教师可指导学生寻找像长度为，，…这样的包含在直角三角形中的线段．
师：由于要在数轴上表示点到原点的距离为，，…，所以只需画出长为，，…的线段即可，我们不妨先来画出长为，，…的线段．
生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，而长为的线段是直角边为1和2的直角三角形的斜边．
师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？
生：设c＝，两直角边长分别为a，b，根据勾股定理a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝13.若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为的线段是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边．
师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点．
生：步骤如下：
1．在数轴上找到点A，使OA＝3.2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝2.3．以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点．
二、例题讲解
【例1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以画出如图所示的图形，A点表示男孩头顶的位置，C，B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．
解：根据题意，得在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5000米，AC＝4800米．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即50002＝BC2＋48002，所以BC＝1400米．
飞机飞行1400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1400×6×60＝504000(米)＝504(千米)，即飞机飞行的速度为504千米/时．
【例2】在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？
解：根据题意，得到上图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD，所以在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，AC2＋6AC＋9＝AC2＋36，∴6AC＝27，AC＝4.5，所以这里的水深为4.5分米．
【例3】在数轴上作出表示的点．
解：以为长的边可看作两直角边分别为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点，如下图：
师生行为：
由学生独立思考完成，教师巡视指导．
此活动中，教师应重点关注以下两个方面：
①学生能否积极主动地思考问题；
②能否找到斜边为，另外两条直角边为整数的直角三角形．
三、课堂小结
1．进一步巩固、掌握并熟练运用勾股定理解决直角三角形问题．
2．你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数，并理解数轴上的点与实数一一对应．
本节课的教学中，在培养逻辑推理的能力方面，做了认真的考虑和精心的设计，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，注重数学与生活的联系，从学生的认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣，培养了学生善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力．
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理(1)
1．掌握直角三角形的判别条件．
2．熟记一些勾股数．
3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
重点
探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系．
难点
归纳猜想出命题2的结论．
一、复习导入
活动探究
(1)总结直角三角形有哪些性质；
(2)一个三角形满足什么条件时才能是直角三角形？
生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．
师：那么一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形呢？
生1：如果三角形有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．
生2：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．
师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b与斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？
问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，有下面的关系：32＋42＝52，那么围成的三角形是直角三角形．
画画看，如果三角形的三边长分别为2.5
cm，6
cm，6.5
cm，有下面的关系：2.52＋62＝6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4
cm，7.5
cm，8.5
cm，再试一试．
生1：我们不难发现上图中，第1个结到第4个结是3个单位长度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5.因为32＋42＝52，所以我们围成的三角形是直角三角形．
生2：如果三角形的三边长分别是2.5
cm，6
cm，6.5
cm.我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5
cm的边所对的角是直角，并且2.52＋62＝6.52.再换成三边长分别为4
cm，7.5
cm，8.5
cm的三角形，可以发现8.5
cm的边所对的角是直角，且有42＋7.52＝8.52.师：很好！我们通过实际操作，猜想结论．
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
再看下面的命题：
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.它们的题设和结论各有何关系？
师：我们可以看到命题2与命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．
二、例题讲解
【例1】说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
(1)同旁内角互补，两条直线平行；
(2)如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；
(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
(4)直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．
分析：(1)每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用；
(2)理顺它们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假．
解略．
三、巩固练习
教材第33页练习第2题．
四、课堂小结
师：通过这节课的学习，你对本节内容有哪些认识？
学生发言，教师点评．
本节课的教学设计中，将教学内容精简化，实行分层教学．根据学生原有的认知结构，让学生更好地体会分割的思想．设计的题型前后呼应，使知识有序推进，有助于学生理解和掌握；让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索、合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人．将目标分层后，满足不同层次学生的做题要求，达到巩固课堂知识的目的．
第2课时 勾股定理的逆定理(2)
1．理解并掌握证明勾股定理的逆定理的方法．
2．理解逆定理、互逆定理的概念．
重点
勾股定理的逆定理的证明及互逆定理的概念．
难点
理解互逆定理的概念．
一、复习导入
师：我们学过的勾股定理的内容是什么？
生：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.师：根据上节课学过的内容，我们得到了勾股定理逆命题的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
师：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗？如何证明呢？
师生行为：
让学生试着寻找解题思路，教师可引导学生理清证明的思路．
师：△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2.如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗？
我们画一个直角三角形A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°(如图)，把画好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它们重合吗？
生：我们所画的Rt△A′B′C′，(A′B′)2＝a2＋b2，又因为c2＝a2＋b2，所以(A′B′)2＝c2，即A′B′＝c.△ABC和△A′B′C′三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC为直角三角形．
即命题2是正确的．
师：很好！我们证明了命题2是正确的，那么命题2就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互逆定理．
师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立呢？
生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立．
师：你还能举出类似的例子吗？
生：例如原命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．
逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等．
显然原命题成立，而逆命题不一定成立．
二、新课教授
【例1】教材第32页例1
【例2】教材第33页例2
【例3】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边的尺寸，那么这个零件符合要求吗？
分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子．
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．
在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．
因此这个零件符合要求．
三、巩固练习
1．小强在操场上向东走80
m后，又走了60
m，再走100
m回到原地．小强在操场上向东走了80
m后，又走60
m的方向是________．
【答案】向正南或正北
2．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，求甲巡逻艇的航向．
【答案】解：由题意可知：AC＝120×6×＝12，BC＝50×6×＝5，122＋52＝132.又AB＝13，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠CAB＝40°，航向为北偏东50°.四、课堂小结
1．同学们对本节的内容有哪些认识？
2．勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．
本节课我采用以学生为主体，引导发现、操作探究的教学设计，符合学生的认知规律和认知水平，最大限度地调动了学生学习的积极性，有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、验证、推理的能力，切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培养．
第三篇：八年级数学第十七章勾股定理单元测试-常考试题
人教版八年级数学下册第十七章
勾股定理
单元测试-常考试题
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.下列说法正确的是（）
A.若a，b，c是△ABC的三边，则a2
+
b2
=
c2
B.若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2
+
b2
=
c2
C.若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A
=
90°，则a2
+
b2
=
c2
D.若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A
=
90°，则c2
+
b2
=
a2
2.如图，做一个长80厘米、宽60厘米的长方形木框，需在相对角的顶点钉一根加固木条，则木条的长为（）
A.90厘米
B.100厘米
C.105厘米
D.110厘米
3.下列几组数中，为勾股数的一组是（）
A.0.3，0.5，0.4
B.-
15，8，7
C.21，45，20
D.15，20，25
4.历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形:其中两个全等的直角三角形边AE，EB在一条直线上.证明中用到的面积相等关系是（）
A.S△EDA=
S△CEB
B.S△EDA
+
S△CEB
=
S△CDE
C.S四边形CDAB
=
S四边形CDEB
D.S△EDA
+
S△GDE
+
S△CEB
=
S四边形ABCD
5.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）
A.b2
=
c2
a2
B.a:b:c
=
3:4:5
C.∠C
=
∠A
∠B
D.∠A:∠B:∠C
=
7:24:25
6.如图，若∠BAD
=
∠DBC
=
90°，AB
=
3，AD
=
4，BC
=
12，则CD
=
（）
A.5
B.13
C.17
D.18
7.一个圆柱形的油桶高120
cm，底面直径为50
cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为（）
A.5
cm
B.100
cm
C.120
cm
D.130
cm
8.如图，若圆柱的底面周长是30
cm，高是40
cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是（）
A.80
cm
B.70
cm
C.60
cm
D.50
cm
二、填空题（每小题5分，共30分）
9.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且b2
a2
=
c2，则
_________
是直角.10.如图，在长方形纸片ABCD中，AB
=
4，BC
=
6.将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于_________.11.某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距
_________
海里.12.小红要求△ABC中最长边上的高，测得AB
=
cm，AC
=
cm，BC
=
cm，则可知最长边上的高是
_________
.13.一渔船从点A出发，向正北方向航行5千米到B点，然后从B点向正东方向航行12千米至C点，则AC长为
_________千米.14.如图，长方体的高为3
cm，底面是正方形，边长为2
cm，现有一苍蝇从A点出发，沿长方体的表面到达C点处，则苍蝇所经过的最短距离为
_________
.三、解答题（7
+
+
+
=
30分）
15.已知等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，求等腰三角形的腰长.16.如图所示是一农民建房时挖出地基的平面图，按标准为长方形，挖完后测得AB
=
CD
=
m，AD
=
BC
=
m，对角线AC
=
9.2
m，请你帮他判断一下挖的地基是否合格，并说明理由.17.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足c
+
a
=
2b，c
a
=
b，则△ABC是直角三角形吗?为什么?
18.《中华人民共和国道路交通安全法》规定:小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70
km/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30
m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50
m.这辆小汽车超速了吗?
第四篇：八年级数学勾股定理7
18．1 勾股定理
（二）教学时间 第二课时
三维目标
一、知识与技能
1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法． 2．运用勾股定理解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历用拼图的方法验证勾股定理，•培养学生的创新能力和解决实际问题的能力． 2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．
三、情感态度与价值观
1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，•借助此过程对学生进行爱国主义的教育．
2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．
教学重点
经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值．
教学难点 经历用不同的拼图方法证明勾股定理．
教具准备 每个学生准备一张硬纸板;多媒体课件演示．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1 问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式（a+b）（a-b）=a-b；完全平方公式（a±b）=a±2ab+b是非常重要的内容．•谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？
设计意图：
回忆前面的知识，由此得出用拼图的方法推证数学结论非常直观，上节课已经通过数格子的方法大胆猜想出了一个命题：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．但我们不能对所有的直角三角形一一验证，因此需从理论上加以推证，学生也许会从此活动中得到启示，采用类似拼图的方法证明．
师生行为：
学生动手活动，分组操作，然后在组内交流． 22
222 教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助、指导学生完成任务，得出两个公式的几何意义．
在活动1中教师应重点关注：
①学生能否积极主动地参与活动；
②学生能否想到用拼图的方法，通过计算拼图的面积而得出两个公式的几何意义；
③学生能否从这两个公式的几何意义联想到直角三角形的三边关系是否也可以类似证明．
生：这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导，如下：
（a+b）（a-b）=a-ab+ab-b=a-b，所以（a+b）（a-b）=a-b；
（a+b）=（a+b）（a+b）=a+ab+ab+b=a+2ab+b；
（a-b）=（a-b）（a-b）=a-ab-ab+b=a-2ab+b；
所以（a±b）=a±2ab+b．
生：还可以用拼图的方法说明上面的公式成立．例如： 2
222
(1)(2)图（1）中，阴影部分的面积为a-b，用剪刀将（1）中的长和宽分别为（a-b）和b•的长方形剪下来拼接成图（2）的形式便可得图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a-b）．•而这两部分面积是相等的，因此（a+b）（a-b）=a-b成立．
生：（a+b）=a+2ab+b也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图: 22
(3)
我们用两个边长分别为a和b的正方形，两个长和宽分别a和b•的长方形拼成一个边长为（a+b）的正方形，因此这个正方形的面积为（a+b），也可以表示为a+2ab+b，所以可得（a+b）=a+2ab+b．
师：你能类似的方法证明上一节猜想出的命题吗？
二、探索研究
活动2 我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：
（1）在一张纸上画4个与图（4）全等的直角三角形，并把它们剪下来． 22
2222
(4)(5)
（2）用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c•为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗？
（3）有人利用图（4）这4个直角三角形拼出了图（5），•你能用两种方法表示大正方形的面积吗？
大正方形的面积可以表示为：__________，又可以表示为__________．
对比两种表示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗？
设计意图：
让学生通过拼图计算面积的方法证明直角三角形的三边关系，培养学生的动手操作能力和创新意识．
师生行为：
学生在独立思考的基础上，以小组为单位交流自己拼图的结果．
教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助、指导学生完成任务，用计算面积的方法比较得出直角三角形的三边关系．
在本次活动中，教师应关注：
①能否通过拼图计算面积的方法得到直角三角形的三边关系． ②学生能否积极主动地参与拼图活动．
生：我也拼出了图（5），而且图（5）用两种方法表示大正方形的面积分别为
（a+b）或4³ 化简得：a+b=c．
由于图（4）的直角三角形是任意的，因此a+b=c，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
生：我拼出了和这个同学不一样的图，如图（6）大正方形的边长是c，•小正方形的边长为a-b，利用这个图形也可以说明勾股定理．•因为大正方形的面积也有两种表示方法，既可以表示为c，又可以表示为
222
22222
11222
ab+c，由此可得（a+b）=4³ab+c． 2212
ab³4+（b-a）．对比两种表示方法可得 2c=212222
ab³4+（b-a）．化简得c=a+b，2同样得到了直角三角形的三边关系．
(6)
师：这样就通过推理证实了命题1的正确性，•我们把经过证明被确定为正确的命题叫做定理．命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．
我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它为了弘扬我国古人赵爽的证法，大家从中一定会领略到我国古代数学家的智慧．
活动3 图（6）这个图案和3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案一模一样，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽利用弦图证明命题1•（即勾股定理）的基本思路如下，如图（7）．
把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积为a+b，另一方面这个图形由四个全等的直角三角形和一个正方形组成．把图（7）中左、右两个三角形移到图（9）所示的位置，就会形成一个c为边长的正方形．
因为图（7）与图（9）都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等．
因此a+b=c．
上面的证法是我国有资料记载的对勾股定理的最早证法．“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．它是我国古代数学的骄傲．正因如此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．
设计意图：
了解我国古代数学成就，为我国数学未来的发展立志作出贡献，培养学生的爱国主义精神．
师生行为：
在教师的引导下进一步体会我国古代数学家证明勾股定理的聪明、智慧．
师：在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的．在西方，一般认为这个定理是由毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理．
1940年，国外有人收集了勾股定理的365种证法，编了一本书．其实，•勾股定理的证法不止这些，作者之所以选用了365种，也许他是默默地想让人注意，•勾股定理的证明简直到了每天一种的地步．
生：老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这样22
222吗？
师：是的．1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志》上发表了提出的一个勾股定理的证明．据他说，这是一种思维体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”．由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话．
生：能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗？
师：可以，如下图所示，这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系．
生：总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半．
师：同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理．
生：上面的图形整体上拼成一个直有梯形．所以它的面积有两种表示方法，既可以表示为112（a+b）²（a+b），又可以表示为ab³2+c．对此两种表示方法可得 22112222（a+b）²（a+b）=ab³2+c．化简，可得a+b=c． 22 师：很好．同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法．
活动4
议一议：
观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a+b=c．
2设计意图：
前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形三边是否也满足这一关系呢？学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a，b，c不满足a+b=c．通过这个结论，学生将对直角三角形的三边的关系有进一步的认识．
师生行为：
学生分小组讨论交流，得出结论：
教师提出问题后，组织讨论，启发，引导．
此活动教师应重点关注：
①能否积极参与数学活动；
②能否进一步体会到直角三角形非常重要的三边关系．
师：上图中的△ABC和△A′B′C′是什么三角形？
生：△ABC，△A′B′C′在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA>90°；△A′B′C′中，∠A′B′C′，∠′B′C′A′，∠B′A′C′都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A′B′C′是锐角三角形．
师：△ABC的三边上“长”出三个正方形，•谁为帮我数一个每个正方形含有几个小格子．
生：以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b=9•个单位面积；以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a=8个单位面积，以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c=29个单位面积．
a+b=9+7=16个单位面积，c=29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a+b≠c．
师：锐角三角形A′B′C′中，如何呢？
生：以a为边长的正方形含5个小格子，所以a=5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b=8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以a=9个单位面积．由此我们可以算出a+b=5+8=13个单位面积．在锐角三角形A′B′C′中，a+b≠c．
师：通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，•c三边才有a+b=c（其中a、b是直角边，c为斜边）这样的关系．
生：老师，我发现在钝角三角形ABC中，虽然a+b≠c，但它们之间也有一种关系a+b
222
2222222
222
2师：这位同学很善于思考，的确如此，同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小．
三、课时小结
活动5 你对本节内容有哪些认识？会构造直角三角形，并理解构造原理，深刻理解勾股定理的意义．
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小结活动不流于形式而具有实效性，为学生提供更好的空间以梳理自己在本节课中的收获．
小结活动既要注重引导学生体会勾股定理独特的证明方法又要从能力，情感态度方面关注学生对课堂的整体感受．
师生行为：
由学生小组讨论小结．
在活动5中，教师应重点关注：
（1）不同层次的学生对本节知识的认同程序；
（2）学生要从我国古人对数学的钻研精神和聪明才智中得到启示，•树立学好数学的信心．
板书设计
18．1 勾股定理
（二）1．用拼图法验证勾股定理
（1）
由上图得（a+b）= 即a+b=c； 222
212
ab³4+c 2（2）
由上图可得c= 即a+b=c
2．介绍“赵爽弦图”
活动与探究
如右图，木长二丈，它的一周是3尺，生长在木下的葛藤缠木七周，•上端恰好与木刘，问葛藤长多少？
过程：从表面上看，这道题与勾股定理无关系．但是如果你用一张直角三角形的纸片约一支圆柱形铅笔上缠绕，就会发现；这里的葛藤之长相当于直角三角形的斜边．
结果：根据题意，可得一条直角边（即高）长2丈即20尺，•另一条直角边（即底边）长7³3=21（尺），因此葛藤长设为x尺，则有x=20+21=841=29，所以x=29•尺，即葛藤长为29尺．
备课资料
一、《原本》一书中勾股定理的证明
我们知道，勾股定理的证明方法有五百余种．现存的最古老的证明，载于欧几里得的《原本》一书中，它随《原本》在世界广泛流传而流传，成为二千年来《几何学》教科书中通用证法．
如图，在Rt△ABC各边上向外作正方形ABED，BCGK，CAFH．连结CD，FB．
因为AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠CAD=90°+∠CAB，所以△FAB≌△CAD，作CL∥AD．•因为S△FAB=
2222212ab³4+（b-a）21FA²FH．（FH为△FAB的AF边上的高）． 2而S正方形CAFH=FA²FH．所以S正方形CAFH=2S△FAB．
又因为S△CAD =1AD²DL（DL为AD边上的高），而S长方形ADLM=AD²DL，2所以S长方形ADLM=2S△CAD；
综上所述，可得S正方形CAFH=S长方形ADLM．
同理可证S正方形BCGK=S长方形BELM，所以S正方形ABED=S长方形ADLM+S长方形BELM=S正方形CAFH+S正方形BCGK，即AB=AC+BC．
其实，欧几里得《原本》中的证明并不简单，简明的证明要数公元三世纪我国数学家赵爽给出的勾股圆方图．即这节课我们介绍的验证勾股定理的第二种拼图．
二、勾股定理的推广
如果把勾股定理“直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和”中的平方，理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理还可以推广．比如，把由直角三角形三边所构作的三个正方形，推广为以三边为直径的半圆，结论仍然成立，即以斜边为直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作的半圆的面积之和（如图）．证明如下：
222
c=a+b 444c2a2b2 即（）＝（）＋（）．
222 因为c=a+b．等式两边同乘，得222 所以111cab（）2＝（）2＋（）2． 222222 如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻一个身，成为右图的样子，不难证明“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积．”
这两个阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙形”．
第五篇：人教版八年级数学 勾股定理说课稿
《勾股定理》的说课稿
尊敬的各位评委、各位教师：
你们好！今天我说课的课题是《勾股定理》。本课选自九年义务教育人教版八年级下册初中数学第十八章第一节的第一课时。
下面我从教学背景分析与处理、教学策略、教学流程等方面对本课的设计进行说明。
一、教学背景分析
1、教材分析
本节课是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，通过2002年国际数学家大会的会徽图案，引入勾股定理，进而探索直角三角形三边的数量关系，并应用它解决问题。学好本节不仅为下节勾股定理的逆定理打下良好基础，而且为今后学习解直角三角形奠定基础,在实际生活中用途很大。勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中一个非常重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将数与形密切地联系起来，它有着丰富的历史背景，在理论上占有重要的地位。
2、学情分析
通过前面的学习，学生已具备一些平面几何的知识，能够进行一般的推理和论证，但如何通过拼图来证明勾股定理，学生对这种解决问题的途径还比较陌生，存在一定的难度，因此，我采用直观教具、多媒体等手段，让学生动手、动口、动脑，化难为易，深入浅出，让学生感受学习知识的乐趣。
3、教学目标：
根据八年级学生的认知水平，依据新课程标准和教学大纲的要求，我制定了如下的教学目标：
知识与能力：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．
过程与方法：通过创设情境，导入新课，引导学生探索勾股定理，并应用它解决问题，运用了观察、演示、实验、操作等方法学习新知。
情感态度价值观：感受数学文化，激发学生学习的热情，体验合作学习成功的喜悦，渗透数形结合的思想。
4、教学重点、难点
通过分析可见，勾股定理是平面几何的重要定理，有着承上启下 的作用，在今后的生活实践中有着广泛应用。因此我确定本课的教学 重点为探索和证明勾股定理．
由于定理证明的关键是通过拼图，使学生利用面积相等对勾股定 理进行证明，而如何拼图，对学生来说有一定难度，为此我确定本课 的教学难点为用拼图的方法来证明勾股定理．
二、教材处理
根据学生情况，为有效培养学生能力，在教学过程中，以创设问题情境为先导，我运用了直观教具、多媒体等手段，激发学生学习兴趣，调动学生学习积极性，并开展以探究活动为主的教学模式，边设疑，边讲解，边操作，边讨论，启发学生提出问题，分析问题，进而解决问题，以达到突出重点，攻破难点的目的。
三、教学策略
1、教法
“教必有法，而教无定法”，只有方法恰当，才会有效。根据本课内容特点和八年级学生思维活动特点，我采用了引导发现教学法，合作探究教学法，逐步渗透教学法和师生共研相结合的方法。
2、学法
“授人以鱼，不如授人以渔”，通过设计问题序列，引导学生主动探究新知，合作交流，体现学习的自主性，从不同层次发掘不同学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力的目的，发掘学生的创新精神。
3、教学手段
充分利用多媒体，提高教学效率，增大教学容量；通过动态的演示，激发学生学习兴趣，启迪学生思维的发展；通过直观教具，进行拼图实验，调动学生学习的积极性，培养学生思维的广阔性。
4、教学模式
根据新课标要求，要积极倡导自主、合作、探究的学习方式，我采用了创设情境——探究新知——反馈训练的教学模式，使学生获取知识，提高素质能力。
四、教学流程
（一）创设情境，引入新课
我利用多媒体课件，给学生出示2002年国际数学家大会的场面，通过观察会徽图案，提出问题：你见过这个图案吗？你听说过勾股定理吗？从现实生活中提出赵爽弦图，激发学生学习的热情和求知欲，同时为探索勾股定理提供背景材料，进而引出课题。
（二）引导学生，探究新知
1、初步感知定理：
活动1 这一环节我选择了教材的图片，讲述毕达哥拉斯到朋友家做客时发现用砖铺成的地面，其中含有直角三角形三边的数量关系，创设感知情境，提出问题：现在也请你观察，看看有什么发现？
教师配合演示，使问题更形象、具体。我又适当提供两个等腰直角三角形，它们的直角边长分别为10cm和20cm，然后我再请两位同学分别量出这两个等腰直角三角形的斜边的长，请同学们分析这两个等腰直角三角形三边长之间有怎样的等量关系，从而使学生再次感知发现的规律。
2、提出猜想：在活动1的基础上，学生已发现一些规律，进一步通过活动2进行看一看，填一填，想一想，议一议，做一做，让学生感受不只是等腰直角三角形才具有这样的性质，使学生由浅到深，由特殊到一般的提出问题,启发学生得出猜想，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。这一环节我利用多媒体课件，给学生演示,生动、直观，不仅要使学生“知其然”，而且还要使学生“知其所以然”，从而启迪了学生的思维。
3、证明猜想：是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明．通过活动3，我充分引导学生利用直观教具，进行拼图实验，在动手操作中放手让学生思考、讨论、合作、交流，探究解决问题的多种方法，鼓励创新，小组竞赛，引入竞争，我参与讨论，与学生交流，获取信息，从而有针对性地引导学生进行证法的探究，使学生创造性地得出拼图的多种方法，我配以演示，如拼图
1、拼图
2、拼图3，并对学生的做法给予表扬，使学生在学习的过程中，感受到自我创造的快乐，从而分散了教学难点，发现了利用面积相等去证明勾股定理的方法。培养了学生的发散思维、一题多解和探究数学问题的能力。
4、总结定理：让学生自己总结定理，不完善之处由教师补充。在前面探究活动的基础上，学生很容易得出直角三角形的三边数量关系即勾股定理，培养了学生的语言表达能力和归纳概括能力。
5、勾股定理简介：
借助多媒体课件，通过介绍古代在勾股定理研究方面取得的成 就，感受数学文化，激发学生学习的热情，体会古人伟大的智慧。
（三）反馈训练，巩固新知
学生对所学的知识是否掌握了，达到了什么程度？为了检测学生对本课目标的达成情况和加强对学生能力的培养，我设计了一组有坡度的练习题：
A组动脑筋，想一想，是本节基础知识的理解和直接应用；B组求阴影部分的面积，建立了新旧知识的联系，培养学生综合运用知识的能力。C组议一议，是一道实际应用题型，给学生施展才智的机会，让学生独立思考后，讨论交流得出解决问题的方法，增强了数学来源于实践，反过来又作用于实践的应用意识，达到了学以致用的目的。
（四）归纳小结，深化新知
本节课你有哪些收获？你最感兴趣的地方是什么？你想进一步研究的的问题是什么？„„
通过小结，使学生进一步明确掌握教学目标，使知识成为体系。
（五）布置作业，拓展新知
让学生收集有关勾股定理的证明方法，下节课展示、交流．使本节知识得到拓展、延伸，培养了学生能力和思维的深刻性，让学生感受数学深厚的文化底蕴。
（六）板书设计，明确新知
这是我本节课的板书设计，它分为三块：一块是拼图方法，一块是勾股定理；一块是例题解析。它突出了重点，层次清楚，便于学生掌握，为获得知识服务。
五、教学效果预测
本课设计力求让学生参与知识的发现过程，体现以学生为主体，以促进学生发展为本的教学理念，变知识的传授者为学生自主探求知识的引导者、指导者、合作者。并利用多媒体，直观教具演示，营造一个声像同步，能动能静的教学情景，给学生提供一个探索的空间，促使学生主动参与，亲身体验勾股定理的探索和验证过程，从而锻炼思维、激发创造，优化课堂教学。努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变，使学生真正成为学习的主人，培养了学生的素质能力，达到了良好的教学效果。
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