专题03
从算术到代数
例1
例2
A
例3
原式=
=
故其整数部分为2008
例4
设图③中含有个正方形.(1)
由,得
(2)
由得,因均是正整数,所以当时,此时
例5解法1:
时,;
时，猜想:
个,计算过程类似于
解法2:
时,时,猜想:
原式
验证如下:
反思结论必为一个数的平方形式,不妨设,得另一种解法
解法3:
原式
例6
(1)(※)
可分组为可知各组数的个数依次为.按其规律应在第组中,该组前面共有个数.故当时,.又因各组的数积为1,故这2003003个数的积为
(2)
依题意,为每组倒数第2个数,为每组最后一个数,设它们在第n组,别.即,得,A级
1.100
提示:
中,根据规律可得故
2.3.提示:
根据题中定义的运算可列代数式,可得
故
4.10
5.C
6.B
7.B
8.B
9.(1)
(2)
不能,33不符合10.(1)
或或
(2)
由,得
(3)
B级
1.(1)
(2)
(3)
2.(1)
(2)
提示:
原式
3.提示:
由可得,原式
4.595
提示:
设17个连续整数为且,它后面紧接的17
个连续自然数应为,可得它们之和为595
5.D
6.C
7.D
提示:
每一名同学每小时所搬砖头为块,名同学按此速度每小时所搬砖头为块.8．用a，b分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，m，n分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由a＋m＝b＋n得m－b＝n－a，又a＝n，b＝m，故m－m＝n－n，．
9．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7（均为自然数），且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝①．假设a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中没一个数都小于33，则有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＜231．与①矛盾，所以a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．
10．设四个不同整数为a1，a2，a3，a4（a1＞a2＞a3＞a4），则（a1－a2）＋（a1－a3）＋（a1－a4）＋（a2－a3）＋（a2－a4）＋（a3－a4）＝18，即3（a1－a4）＋（a2－a3）＝18．又因3（a1－a4），18均为3的倍数，故a2－a3也是3的倍数，a2－a3＜a1－a4，则a2－a3＝3，a1－a4＝5，a1－a2＝1，a3－a4＝1，又a1a2a3a4＝23100＝2×2×3×5×5×7×11．从而可得a1＝15，a2＝14，a3＝11，a4＝10．
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