探索“抛物线”的几何性质（于涵定理）
一、以小见大，培育探究精神
1.如图，抛物线与轴交于点(，)，(，)，与轴
交于点(，)，则该抛物线的解析式为
.2.解题后探究：
(1)猜想：上题中，，存在某种关系，该关系可以表示为：，.(2)论证：若抛物线与轴交于点(，)，(，)，与轴交于点(，)，求证：.3.简单应用：
(1)抛物线与轴交于点(，)，(，)，与轴交
于点(，)，则该抛物线的解析式为；
(2)抛物线与轴交于点(，)，(，)，与轴
交于点，且，则该抛物线的解析式为
.二、进一步探究(特殊→一般)：
1.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在，之间的抛物线上运动.(1)的横坐标为时，比较大小：；
(2)的横坐标为时，比较大小：；
(3)当时，.(呢？)
2.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，∥轴交
抛物线于另一点，轴于点，为上方的抛物线上任意一点，于点.(1)比较大小：；
(2)比较大小：；
(3)当时，.3.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，为上方的抛物线上一点，∥轴，于点，分别交轴，于点，.请通过特殊点进行探究，并选出一个正确的式子（）
A.B.C.D.4.如图，(，)，(，)，(，)均在抛物线上，在，且∥轴，过点，分别作，.请完成以下探究过程：
(1)请选取字母，，表示下列各边长：
①；
②；
③；
④；
(2)由∽可得，化简得：；
(3)；
5.归纳总结：
三、小试牛刀：
1.(2006·河南压轴题改编)如图，是二次函数的图象，过点(，)的直线交
抛物线于点，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，.则当点在抛
物线上运动时(点不与原点重合)，请探究的值.(1)当点横坐标为时，则的值为；
(2)随着点位置的变化，是否定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.2.如图，点在二次函数图象的第三象限部分运动，直线∥轴，且交
抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转交抛物线于点，交于
点，于点.(1)当点横坐标为时，则；
(2)随着点横坐标由大变小，的长度（）
A.由大变小
B.由小变大
C.不变
D.先变大后变小
(3)若将题中条件“旋转”改为“旋转”，但保证
与抛物线有交点，则
(用“”表示).3.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，为上方的抛物线上一点，∥轴交于点，设点横坐标为.探究：当为何值时，长度取得最大值？
四、探究抛物线的“内接直角三角形”：
1.如图，将直角三角板的直角顶点置于原点，两直角边与抛物线交于，两点.(1)如图1，当时，也有，则；
(2)对于同一抛物线，将三角板绕点旋转（如图2），分别作轴，轴，与轴交于点，且测得.①；
②点的坐标为；
(3)探究：在上题中，改变三角板位置（设），点的坐标是否发生变化？
(4)猜想点的坐标与的关系.2.如图，(，)，(，)，(，)均在抛物线上，且是
以为直角顶点的直角三角形.(1)通过图1的探究，我们猜想：斜边
定点（填“经过”或“不经过”）；
(2)如图2，通过构造“一线三等角”进行探究：
①由∽可得，选取字母，，表示该比例式：，化简得；
②由于涵定理可得（选取字母，，表示）：；
；
(3)综合(1)、(2)的探究结果，发现与中，的长度是定值，因此斜边
（填“经过”或“不经过”）定点
（填“”或“”），且该定
点的坐标可用，表示为
.3.反思：上述探究的意义何在？
五、秒杀难题
1.(2014·武汉压轴题改编)如图，已知直线：与抛物线交于，两点.(1)直线总经过一个定点，点的坐标为；
(2)若抛物线上存在定点，使，求点到直线的最大距离.2.如图，抛物线交轴于点，，且射线与抛物线
交于点，点在抛物线上运动.(1)若点在第三象限运动，求面积的最大值；
(2)当时.①过点作轴的平行线，交抛物线于点，则的面积为；
②求点的坐标.3.(2016·武汉压轴题改编)如图抛物线交轴于点，顶点为，点为抛物线上一动点，且位于轴下方.(1)若点(，)，(，)时，求该抛物线解析式；
(2)若直线，分别交轴于点，试探究是否定值？
若是，请用表示；若不是，请说明理由.4.如图，抛物线交轴于点，顶点为，轴于点，为对称
轴右侧，第一象限内的抛物线上一动点，连接交抛物线于点.(1)求点的坐标；
(2)求证：为定值；
(3)直线，分别交轴于点，试探究是否定值？
若是，请用表示；若不是，请说明理由.5.如图，已知抛物线过点(，).(1)求抛物线的解析式；
(2)为点左侧抛物线上一动点，直线交直线于点，过点作轴
平行线交抛物线于点，连接，求证：恒过定点；
(3)在(2)的条件下，当运动时.①求到直线的距离的最大值；
②求面积的最小值.六、反思：
1.留有遗憾：虽然已经解决了为直角三角形时，直角顶点的坐标问题；但是为等腰三角形
时的问题，仍然未能解决！希望和各位老师共同探
讨……
2.李书福曾经说过，造汽车无非就是“四个轮子上面安装两张沙发”.其实于涵定理的应
用，套用一下李书福的话，就是“一条抛物线上三个点”，只要满足这个特征，就有于
涵定理生存的土壤！虽然有些问题运用于涵定理，可能会走一点弯路，但有这种意识终
归是一件好事.
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