人教版
九年级数学
第二十六章
反比例函数
章末巩固训练
一、选择题
1.(2019·上海)下列函数中,函数值y随自变量x的值增大而增大的是()
A.y=
B.y=-
C.y=
D.y=-
2.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C的坐标分别是(0,3),(3,0),∠ACB=90°,AC=2BC,函数y=(k>0,x>0)的图象经过点B,则k的值为
()
A.B.9
C.D.3.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,且x1 A.y2>y1>y3 B.y3>y2>y1 C.y1>y2>y3 D.y3>y1>y2 4.(2020·湖北孝感)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图像如图所示,则这个反比例函数的解析式为() A.= B.= C.= D.= 5.(2019·江苏无锡)如图,已知A为反比例函数y=(x<0)的图象上一点,过点A作AB⊥y轴,垂足为B.若△OAB的面积为2,则k的值为 A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4 6.(2020·天水)若函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数y=ax+b和y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是() 7.如图,在同一直角坐标系中,函数y=与y=kx+k2的大致图象是() 8.在四边形ABCD中,∠B=90°,AC=4,AB∥CD,DH垂直平分AC,点H为垂足.设AB=x,AD=y,则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为() 二、填空题 9.已知反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大,请写一个符合条件的反比例函数解析式____________. 10.如图,点A,C分别是正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象的交点,过A点作AD⊥x轴于点D,过C点作CB⊥x轴于点B,则四边形ABCD的面积为.11.双曲线y=在每个象限内,函数值y随x的增大而增大,则m的取值范围是________. 12.如图,直线y=-2x+4与双曲线y=交于A、B两点,与x轴交于点C,若AB=2BC,则k=________. 13.(2019•山西)如图,在平面直角坐标中,点O为坐标原点,菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上,点A坐标为(–4,0),点D的坐标为(–1,4),反比例函数y=(x>0)的图象恰好经过点C,则k的值为__________. 14.如图所示,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D,若矩形OABC的面积为8,则k的值为________. 15.如图,在平面直角坐标系中,过点M(-3,2)分别作x轴、y轴的垂线,与反比例函数y=的图象交于A、B两点,则四边形MAOB的面积为________. 16.(2019•福建)如图,菱形ABCD顶点A在函数y=(x>0)的图象上,函数y=(k>3,x>0)的图象关于直线AC对称,且经过点B、D两点,若AB=2,∠BAD=30°,则k=__________. 三、解答题 17.在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于第二、第四象限内的A,B两点,与y轴交于C点,过点A作AH⊥y轴,垂足为H,OH=3,tan∠AOH=,点B的坐标为(m,-2). (1)求△AHO的周长; (2)求该反比例函数和一次函数的解析式. 18.如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(m,4),B(2,n)两点,与坐标轴分别交于M,N两点.(1)求一次函数的解析式; (2)根据图象直接写出kx+b->0中x的取值范围; (3)求△AOB的面积.19.在面积都相等的所有矩形中,当其中一个矩形的一边长为1时,它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x,y.①求y关于x的函数表达式; ②当y≥3时,求x的取值范围; (2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6,方方说有一个矩形的周长为10.你认为圆圆和方方的说法对吗?为什么? 20.如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求函数y=kx+b和y=的表达式; (2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC.求此时点M的坐标. 21.如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A,B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D,点B的坐标是(m,-4),连接AO,AO=5,sin∠AOC=.(1)求反比例函数的解析式; (2)连接OB,求△AOB的面积. 22.(2019·浙江舟山)如图,在直角坐标系中,已知点B(4,0),等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y的图象上. (1)求反比例函数的表达式. (2)把△OAB向右平移a个单位长度,对应得到△O'A'B',当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时,求a的值. 23.(2019·浙江金华)如图,在平面直角坐标系中,正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y(k>0,x>0)的图象上,边CD在x轴上,点B在y轴上,已知CD=2. (1)点A是否在该反比例函数的图象上?请说明理由; (2)若该反比例函数图象与DE交于点Q,求点Q的横坐标; (3)平移正六边形ABCDEF,使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上,试描述平移过程. 24.(2019·山东泰安)已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB=AB,且S△OAB=. (1)求反比例函数与一次函数的表达式; (2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标. 人教版 九年级数学 第二十六章 反比例函数 章末巩固训练-答案 一、选择题 1.【答案】A 【解析】 A、该函数图象是直线,位于第一、三象限,y随x的增大而增大,故本选项正确. B、该函数图象是直线,位于第二、四象限,y随x的增大而减小,故本选项错误. C、该函数图象是双曲线,位于第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小,故本选项错误. D、该函数图象是双曲线,位于第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大,故本选项错误. 2.【答案】D [解析]过B作BD⊥x轴,垂足为D.∵A,C的坐标分别为(0,3),(3,0),∴OA=OC=3,∠ACO=45°,∴AC=3.∵AC=2BC,∴BC=.∵∠ACB=90°,∴∠BCD=45°,∴BD=CD=,∴点B的坐标为.∵函数y=(k>0,x>0)的图象经过点B,∴k==,故选D.3.【答案】A 【解析】本题考查反比例函数的性质.由y=(k<0),得图象位于二、四象限,在各个象限内,随的增大而增大,故选A. 4.【答案】C 【解析】设反比例函数解析式为=,把图中点(8,6)代入得:k=8×6=48.故选C.5.【答案】D 【解析】∵AB⊥y轴,∴S△OAB=|k|,∴|k|=2,∵k<0,∴k=﹣4.故选D. 6.【答案】B 【解析】由二次函数的图象确定a、b、c的符号,再确定一次函数和反比例函数图象的位置.因为抛物线开口向上,说明a>0;又抛物线与y轴交点位于x轴上方知c>0;再根据对称轴x=->0,得到b<0;从而确定直线y=ax+b经过第一、三、四象限,双曲线y=位于第一、三象限,因此本题选B. 7.【答案】C 【解析】当k>0时,反比例函数y=图象的两个分支分别位于第一、三象限,直线y=kx+k2经过第一、二、三象限,没有符合题意的选项;当k<0时,反比例函数y=图象的两个分支分别位于第二、四象限,直线y=kx+k2经过第一、二、四象限,只有C符合题意.8.【答案】D 【解析】∵DH垂直平分AC,AC=4,∴AH=CH=AC=×4=2,CD=AD=y.在Rt△ADH中,DH==,在Rt△ABC中,BC==,∵S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC,∴(y+x)·=×4×+x·,即y·=4×,两边平方得y2(42-x2)=16(y2-22),16y2-x2y2=16y2-64,∴(xy)2=64,∵x>0,y>0,∴xy=8,∴y与x的函数关系式为:y=(0<x<4),故选D.二、填空题 9.【答案】y=-(答案不唯一) 【解析】∵反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大,∴k<0,∴k可取-2(答案不唯一). 10.【答案】8 [解析]由得或,∴A的坐标为(2,2),C的坐标为(-2,-2).∵AD⊥x轴于点D,CB⊥x轴于点B,∴B(-2,0),D(2,0),∴BD=4,AD=2,∴四边形ABCD的面积=AD·BD×2=8.11.【答案】m<1 【解析】∵在每个象限内,函数值y随x的增大而增大,∴双曲线在二、四象限内,∴在函数y=中,m-1<0,即m<1.12.【答案】 【解析】设A(x1,),B(x2,),∵直线y=-2x+4与y=交于A,B两点,∴-2x+4=,即-2x2+4x-k=0,∴x1+ x2=2,x1x2=,如解图,过点A作AQ⊥x轴于点Q,BP⊥AQ于点P,则PB∥QC,∴==2,即=2,∴x2=3x1,∴x1=,x2 =,∴k= 2x1x2=.13.【答案】16 【解析】过点C、D作CE⊥x轴,DF⊥x轴,垂足为E、F,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA,易证△ADF≌△BCE,∵点A(–4,0),D(–1,4),∴DF=CE=4,OF=1,AF=OA–OF=3,在Rt△ADF中,AD==5,∴OE=EF–OF=5–1=4,∴C(4,4),∴k=4×4=16,故答案为:16. 14.【答案】2 【解析】由题意可知,D点在反比例函数图象上,如解图所示,过点D作DE⊥x轴于点E,作DF⊥y轴于点F,则k=xD·yD=DF·DE=S矩形OEDF,又D为对角线AC中点,所以S矩形OEDF=S矩形OABC=2,∴k=2.15.【答案】10 【解析】如解图,设AM与x轴交于点C,MB与y轴交于点D,∵点A、B分别在反比例函数y=上,根据反比例函数k的几何意义,可得S△ACO=S△OBD=×4=2,∵M(-3,2),∴S矩形MCOD=3×2=6,∴S四边形MAOB=S△ACO+S△OBD+S矩形MCOD=2+2+6=10.16.【答案】6+2 【解析】连接OC,AC,过A作AE⊥x轴于点E,延长DA与x轴交于点F,过点D作DG⊥x轴于点G,∵函数y=(k>3,x>0)的图象关于直线AC对称,∴O、A、C三点在同直线上,且∠COE=45°,∴OE=AE,不妨设OE=AE=a,则A(a,a),∵点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴a2=3,∴a=,∴AE=OE=,∵∠BAD=30°,∴∠OAF=∠CAD=∠BAD=15°,∵∠OAE=∠AOE=45°,∴∠EAF=30°,∴AF==2,EF=AEtan30°=1,∵AB=AD=2,∴AF=AD=2,又∵AE∥DG,∴EF=EG=1,DG=2AE=2,∴OG=OE+EG=+1,∴D(+1,2),∴k=2×(+1)=6+2. 故答案为:6+2. 三、解答题 17.【答案】 (1)【思路分析】在Rt△AOH中用三角函数求出AH,再用勾股定理求出AO,进而得周长. 解:在Rt△AOH中,tan∠AOH=,OH=3,∴AH=OH·tan∠AOH=4,(2分) ∴AO==5,∴C△AOH=AO+OH+AH=5+3+4=12.(4分) (2)【思路分析】由(1)得出A点坐标,再用待定系数法求出反比例函数解析式,由反比例函数解析式求出B点坐标,最后把A、B点坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式. 解:由(1)得,A(-4,3),把A(-4,3)代入反比例函数y=中,得k=-12,∴反比例函数解析式为y=-,(6分) 把B(m,-2)代入反比例函数y=-中,得m=6,∴B(6,-2),(8分) 把A(-4,3),B(6,-2)代入一次函数y=ax+b中,得,∴,∴一次函数的解析式为y=-x+1.(10分) 18.【答案】 解:(1)∵点A在反比例函数y=图象上,∴=4,解得m=1,∴点A的坐标为(1,4).又∵点B也在反比例函数y=图象上,∴=n,解得n=2,∴点B的坐标为(2,2).∵点A,B在y=kx+b的图象上,∴,解得 ∴一次函数的解析式为y=-2x+6.(2)根据图象得:kx+b->0时,x的取值范围为x<0或1 【思维教练】(1)①由题干条件知矩形的面积相等,可得矩形的长×宽等于定值,所以y关于x的函数表达式是反比例函数;②将y的值带入反比例函数解析式中,求出x的求值范围即可;(2)设长为x,用含长的代数式表示出宽,得出关于面积的分式方程,化为一元二次方程,再根据根的判别式即可判断圆圆和方方说法的正误. 解:(1)①由题意得,1×3=xy,∴y=(x>0);(2分) ②∵由已知y≥3,∴≥3,∴0 (2)圆圆的说法不对,方方的说法对. 理由:∵圆圆的说矩形的周长为6,∴x+y=3,∴x+=3,化简得,x2-3x+3=0,∴Δ=(-3)2-4×1×3=-3<0,方程没有实数根,所以圆圆的说法不对;(6分) 方方的说矩形的周长为10,∴x+y=5,∴x+=5,化简得,x2-5x+3=0,(8分) ∴Δ=(-5)2-4×1×3=13>0,∴x=,∵x>0,∴x=,y=,所以方方的说法对.(10分) 20.【答案】 (1)【思路分析】由点A的坐标和OA=OB可得点B的坐标,用待定系数法即可求出一次函数的解析式;将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式. 解:∵点A(4,3),∴OA==5,∴OB=OA=5,∴B(0,-5),将点A(4,3),点B(0,-5)代入函数y=kx+b得,解得,(2分) ∴一次函数的解析式为y=2x-5,将点A(4,3)代入y=得,3=,∴a=12,∴反比例函数的解析式为y=,∴所求函数表达式分别为y=2x-5和y=.(4分) (2)【思路分析】由题意可知,使MB=MC的点在线段BC的垂直平分线上,故求出线段BC的垂直平分线和一次函数的交点即可. 解:如解图,∵点B的坐标为(0,-5),点C的坐标为(0,5),解图 ∴x轴是线段BC的垂直平分线,∵MB=MC,∴点M在x轴上,又∵点M在一次函数图象上,∴点M为一次函数的图象与x轴的交点,如解图所示,令2x-5=0,解得x=,(6分) ∴此时点M的坐标为(,0).(8分) 21.【答案】 (1)【思路分析】如解图,过点A作AE⊥x轴于点E,由三角函数求出点A坐标,再用待定系数法求出反比例函数的解析式便可. 解:如解图过点A作AE⊥x轴于点E,∵OA=5,sin∠AOC=,∴AE=OA·sin∠AOC=5×=3,OE==4,∴A(-4,3),(3分) 设反比例函数的解析式为y=(k≠0),把A(-4,3)代入解析式,得k=-12,∴反比例函数的解析式为y=-.(5分) (2)【思路分析】先把B点坐标代入所求出的反比例函数解析式,求出m的值,进而求出直线AB的解析式,再求出点D的坐标,便可求△AOD与△BOD的面积之和,即△AOB的面积. 解:把B(m,-4)代入y=-中,得m=3,∴B(3,-4). 设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(-4,3)和B(3,-4)代入得,解得,(7分) ∴直线AB的解析式为y=-x-1,(8分) 则AB与y轴的交点D(0,-1),∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=×1×4+×1×3=3.5.(10分) 22.【答案】 (1)反比例函数的解析式为y;(2)a的值为1或3. 【解析】(1)如图1,过点A作AC⊥OB于点C,∵△OAB是等边三角形,∴∠AOB=60°,OCOB,∵B(4,0),∴OB=OA=4,∴OC=2,AC=2. 把点A(2,2)代入y,解得k=4. ∴反比例函数的解析式为y; (2)分两种情况讨论: ①当点D是A′B′的中点,如图2,过点D作DE⊥x轴于点E. 由题意得A′B′=4,∠A′B′E=60°,在Rt△DEB′中,B′D=2,DE=,B′E=1. ∴O′E=3,把y代入y,得x=4,∴OE=4,∴a=OO′=1; ②如图3,点F是A′O′的中点,过点F作FH⊥x轴于点H. 由题意得A′O′=4,∠A′O′B′=60°,在Rt△FO′H中,FH,O′H=1. 把y代入y,得x=4,∴OH=4,∴a=OO′=3,综上所述,a的值为1或3. 23.【答案】 (1)点A在该反比例函数的图象上,理由见解析;(2)Q点横坐标为; 【解析】(1)点A在该反比例函数的图象上,理由如下: 如图,过点P作x轴垂线PG,连接BP,∵P是正六边形ABCDEF的对称中心,CD=2,∴BP=2,G是CD的中点,∴PG,∴P(2,),∵P在反比例函数y上,∴k=2,∴y,由正六边形的性质,A(1,2),∴点A在反比例函数图象上; (2)由题易得点D的坐标为(3,0),点E的坐标为(4,),设直线DE的解析式为y=ax+b,∴,∴,∴yx﹣3,联立方程,解得x(负值已舍),∴Q点横坐标为; (3)A(1,2),B(0,),C(1,0),D(3,0),E(4,),F(3,2),设正六边形向左平移m个单位,向上平移n个单位,则平移后点的坐标分别为 ∴A(1﹣m,2n),B(﹣m,n),C(1﹣m,n),D(3﹣m,n),E(4﹣m,n),F(3﹣m,2n),①将正六边形向左平移两个单位后,E(2,),F(1,2); 则点E与F都在反比例函数图象上; ②将正六边形向左平移–1个单位,再向上平移个单位后,C(2,),B(1,2),则点B与C都在反比例函数图象上; ③将正六边形向左平移2个单位,再向上平移–2个单位后,B(﹣2,),C(﹣1,﹣2); 则点B与C都在反比例函数图象上. 24.【答案】 (1)如图1,过点A作AD⊥x轴于D,∵B(5,0),∴OB=5,∵S△OAB=,∴×5×AD=,∴AD=3,∵OB=AB,∴AB=5,在Rt△ADB中,BD==4,∴OD=OB+BD=9,∴A(9,3),将点A坐标代入反比例函数y=中得,m=9×3=27,∴反比例函数的解析式为y=,将点A(9,3),B(5,0)代入直线y=kx+b中,∴,∴直线AB的解析式为y=x﹣; (2)由(1)知,AB=5,∵△ABP是等腰三角形,∴①当AB=PB时,∴PB=5,∴P(0,0)或(10,0),②当AB=AP时,如图2,由(1)知,BD=4,易知,点P与点B关于AD对称,∴DP=BD=4,∴OP=5+4+4=13,∴P(13,0),③当PB=AP时,设P(a,0),∵A(9,3),B(5,0),∴AP2=(9﹣a)2+9,BP2=(5﹣a)2,∴(9﹣a)2+9=(5﹣a)2,∴a=,∴P(,0),即:满足条件的点P的坐标为(0,0)或(10,0)或(13,0)或(,0).