武汉外国语学校2009年自主招生考试数学试题
一:填空
1:如图,甲乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A,C同时沿正方形的边开始移动,甲按顺时针方向环行,乙按逆时针方向环行,若乙的速度是甲的速度的4倍,则他们2000次相遇在正方形的____边上.1题图
2题图
2把左图的矩形折叠,B,C两点恰好重合落在AD边上的P点(如右图),已知角MPN=90度,PM=3.PN=4.那么矩形纸片ABCD的面积为_____
3:若方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2.的解是x=3.y=4,则方程组3a1x+2b1y=5c1,3a2x+2b2y=5c2.的解是______
4:如图,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,点A与点A1关于y轴对称,过点A1作A1C垂直AB于点C,则点C的坐标是_______
4题图
5题图
5:已知圆O的半径是1,以O为原点,建立如图所示的直角坐标系.有一个等边三角形ABC,顶点B的坐标为(-2,0),顶点A在X轴上方,顶点C在圆O上运动,设等边三角形的面积为S,则S的最大值为______
6:将一矩形纸片ABCD和一个足够大的直角三角形纸片EFG按照如图所示的方式叠放在一起,直角边EF,EG分别经过点A,C.连结BE,BD.比较BE与BD的大小关系得BE____BD
6题图
7题图
7:对于三个数a,b,c用max{a,b,c}这三个数中最大的数,例如:max{-3,1,2}=2,观察y=x+1,y=3-x,y=-x2+2x+3在同一坐标系中的图象,可以得max{x+1.-x2+2x+3,3-x}的最小值为________
8:在代数式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含x4的系数是______
9:电子钟一天显示的时间是从00:00到23:50,每一时刻都由四个数字组成,则一天中,任意时刻时钟显示的四个数字之和为23的概率为______
10:如图,点M为正五边形边BC上一点,BM/CM=2,连AM.,作角AMN=900,MN交CD于点N,则CN/ND=_________
10题图
11题图
11:已知三角形ABC的三个顶点A(3,6),B(1,4),C(1,0),则(1)中三角形ABC外接圆的圆心到弦AC的距离是___,(2)以BC为旋转轴,将三角形ABC旋转一周所得几何体的表面积之和为_________
12已知对所有的实数x,恒成立,则m的最大值为____
13:把正五边形ABCDE的五个顶点染上红,黄,蓝,绿四中颜色中的一种,要求相邻顶点所染颜色不同,且四种颜色都要用到,则不同的染色方法一共有_____种
14当时,函数的函数值的取值范围是___________
15:已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2),且abc=4.，则=___
二、解答题
16四位数的百位数字是0,取掉0得到三位数,若x9=,则称这个四位数为“灵巧数“,所有四位“灵巧数“的和是多少?
17:如图,直线y=(3/4)x+3与x轴交于点B,与y轴交于点A,半径为r的9个等圆依次外切,且圆O1与AO,AB相
切,圆O9与BO,BC相切,圆O2,圆O3........圆O8均与AB相切,则r的值得是多少
18.如图ABCD为正方形,以C为圆心,CD为半径的圆,与以AD为直径的半圆交于另一点M,连结BM,则tan∠ABM的值是多少?
19:善于思考的小刚发现:半径为a,圆心在原点的圆,如果固定直径AB,把圆内所有与y轴平行的弦都压缩到原来的b/a倍,就得到一种新的图形---椭圆.他手刘徽“割圆术“的启发,采用“化整为零,积零为整“,“化曲为直,以直代曲“的方法,正确地求出了椭圆的面积,他求得的结果是多少?
(2)
小刚把图2中的椭圆绕x轴旋转一周,得到一个“鸡蛋型“的椭圆,已知半径为a的球的体积为πa3则此椭圆的体积为多少？
答案
一、填空题
1.AD
2.144/5
3.x=5,y=10
4.(-6/5,8/5)
5.9/4
6.＜
7.3
8.－15
9.1/360
10.2/7
11.(4+4}
12.5
13.第一个顶点有4种颜色可染
第二个顶点有3种颜色可染
第三个顶点有3种颜色可染
第四个顶点有3种颜色可染
第五个顶点有2种颜色可染
4×3×3×*3×*2=72种
14.0≦y≦4
15.解：⑴由题意，a＋b＋c＝2，∵a＝1，∴b＋c＝1
抛物线顶点为A（－b2，c－b24）
设B（x1，0），C（x2，0），∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0
∴|BC|＝|
x1－x2|＝|
x1－x2|2＝（x1＋x2）2－4
x1x2＝b2－4c
∵△ABC为等边三角形，∴b24
－c＝
32b2－4c
即b2－4c＝23•b2－4c，∵b2－4c＞0，∴b2－4c＝23
∵c＝1－b，∴b2＋4b－16＝0，b＝－2±25
所求b值为－2±25
⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝2矛盾.∴a＞0．
∵b＋c＝2－a，bc＝4a
∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋4a＝0的两实根．
∴△＝（2－a）2－4×4a≥0，∴a3－4a2＋4a－16≥0，即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4.∵abc＞0，∴a、b、c为全大于0或一正二负．
①若a、b、c均大于0，∵a≥4，与a＋b＋c＝2矛盾；
②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0,则|a|＋|b|＋|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，∵
a≥4，故2a－2≥6
当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．
故|a|＋|b|＋|c|的最小值为6．
16.12150
17.r=5/21
18.tan∠ABM=1/3
19.
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