数学学习法配方法

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第一篇:数学学习法配方法

数学学习法——配方法

释义:在数学式变换中,根据需要把有关字母的项对照公式(ab)2a22abb2,补上恰当的项以配成完全平方的形式,这种方法就叫做配方法,配方法的应用常见于:

(1)分解因式;

(2)化简二次根式(示例);

(3)证明等式和不等式:

(4)解方程(组)和不等式;

(5)求函数的最值;

(6)解解析几何问题,等等。

示例:简化

5x4x1x6x1

22(x12)(x13)解原式

52x1,(1x3)1,(3x8)

2x15,(x8)

第二篇:初三数学配方法练习

初三数学配方法综合练习

1、求证:无论m取什么实数时,总有m2

+4m+5是正数。

2、小李家今天来了一位客人,小李问这位叔叔:“是你的年龄大,还是我爸爸的年龄大?”

这位叔叔说:“你爸爸的年龄是你的平方数,我的年龄是你的6倍少10,你说谁的年龄大呢?”你能帮小李解答这个问题吗?

3、阅读下面材料,完成填空。

我们知道x2+6x+9可以分解因式,结果为(x+3)2,其实x2+6x+8也可以通过配方法分解因式,其过程如下:

x2+6x+8= x2+6x+9–9+8

=(x+3)2–1

=(x+3+1)(x+3–1)=(x+4)(x+2)

(1)请仿照上述过程,完成以下练习:

x2+4x–5=[x+(_____)][x+(_____)] x2–5x+6=[x+(_____)][x+(_____)] x2–8x–9=[x+(_____)][x+(_____)]

(2)请观察横线上所填的数,这两个数与一次项系数、常数项有什么关系?

若有x2+(p+q)x+pq=(_____)(_____)你能找出下述式子中的p和q吗? x2+3x+2=(_____)(_____)x2–x–20=(_____)(_____)

(4)用分解因式法解方程

x2–28x+96=0x2–130x+4000=0

【练习】

1、若分式x25x4

x1的值为0,则的值为()

(A)-1或-4(B)-1(C)-4(D)无法确定

2、将方程2x2+4x+1=0配方后,得新方程为()(A)(2x+2)2–3=0

(B)(x+2)2–1

2=0

(C)(x+1)2–

1=0

(D)(2x+2)2+3=03、一个三角形两边的长是3和7,第三边的长是a,若满足a2–10a+21=0,则这

个三角形的周长是()

(A)13或17(B)13(C)17(D)以上答案都不对

4、当x等于_____时,代数式x2–13x+12的值等于42。

5、已知方程x2-(m+1)x+(2m-3)=0

(1)求证:无论m为什么实数时,方程总有两个不相等的实数根。(提示:当

b2-4ac﹥0时,一元二次方程总有两个不相等的实数根)

(2)当b2-4ac满足什么条件时,一元二次方程没有实数根?请写出一个没有实

数根的一元二次方程。

第三篇:配方法专题探究

配方法专题探究

例1:填空题:

1.将二次三项式x2+2x-2进行配方,其结果为

2.方程x2+y2+4x-2y+5=0的解是。

分析:利用非负数的性质

3.已知M=x2-8x+22,N=-x2+6x-3,则M、N的大小关系为。分析:利用减法

4.用配方法把二次函数y=2x2+3x+1写成y=a(x+m)2+k的形式。

5.设方程x2+2x-1=0的两实根为x1,x2,则(x1-x2)2。

6.已知方程x2-kx+k=0的两根平方和为3,则k的值为。

分析:根与系数的关系,整体代入法

7.若x、y为实数,且x2y3(2x3),则y1的值等于。x

1分析:整理形式,非负数的应用。

拓展练习题:

***1.完全平方式是_______项式,其中有_____完全平方项,________•项是这两个数(式)

乘积的2倍.

****2.x2+mx+9是完全平方式,则m=_______.

分析:全面考虑

3.4x2+12x+a是完全平方式,则a=________.

分析:可以用判别式的方法

4.把方程x2-8x-84=0化成(x+m)2=n的形式为().

A.(x-4)2=100B.(x-16)2=100C.(x-4)2=84D.(x-16)2=8

45.已知△ABC的三边分别为a、b、c,且a2+b2+c2=ab+bc+ac,则△ABC的形状为。分析:重新组合,正确分割。

6.如果二次三项次x2-16x+m2是一个完全平方式,那么m的值是().

A.±8B.4C.-

D.±

分析:可以用代入验证法

7.用配方法解方程:(1)2x2-x=0;(2)x2+3x-2=0.

8.判断题.

(1)x2+1522x-=(x+)2+()993

3(2)x2-4x=(x-2)2+4()

(3)121y+y+=(y+1)2()2

29.已知(x2+y2)(x2+y2+2)-8=0,则x2+y2的值是().

A.-4B.2C.-1或4D.2或-

4分析:合情推理,十分重要。

10.用配方法说明:-3x2+12x-16的值恒小于0.

11.阅读题:解方程x2-4│x│-12=0.

解:(1)当x≥0时,原方程为x2-4x-12=0,配方得(x-2)2=16,两边平方得x-2=±4,∴x1=6,x2=-2(不符合题意,舍去).

(2)当x<0时,原方程为x2+4x-12=0,配方得(x+2)2=16,两边开平方得x+2=±4,∴x1=-6,x2=2(不符合题意,舍去),∴原方程的解为x1=6,x2=-6.

参照上述例题解方程x2-2│x-1│-4=0.

分析:分类讨论,是全面分析的必要方法。

12.设代数式2x2+4x-3=M,用配方法说明:无论x取何值时,M总不小于一定值,并求出该定值.

分析:极值问题,应该引起重视。

提高训练题:

1、求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y.分析:转化成为特殊形式

2、因式分解:a2b2-a2+4ab-b2+1.对应练习:因式分解:

①x4+x2y2+y4 ;②x2-2xy+y2-6x+6y+9 ;③x4+x2-2ax-a2+1.例

3、化简下列二次根式: ①74;②2;③4322.分析:化简的关键是把被开方数配方

4、求下列代数式的最大或最小值:

① x2+5x+1;② -2x2-6x+1.对应练习:求下列代数式的最大或最小值:

①2x2+10x+1 ;②-12x+x-1.2例

5、解下列方程:

①x4-x2+2xy+y2+1=0 ;②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.对应练习:解方程:

①x2-4xy+5y2-6y+9=0;②x2y2+x2+4xy+y2+1=0 ;③5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0.例

6、求方程 x2+y2-4x+10y+16=0的整数解

对应练习:求下列方程的整数解:

①(2x-y-2)2+(x+y+2)2=5;②x2-6xy+y2+10y+25=0.练习:

1、因式分解:①x4+x2y2+y4 ;②x2-2xy+y2-6x+6y+9 ;③x4+x2-2ax-a2+1.2、求下列代数式的最大或最小值:①2x2+10x+1 ;②-12x+x-1.23、已知:a2+b2+c2=111,ab+bc+ca=29.求:a+b+c的值.

第四篇:配方法习题

配方法习题

一、选择题

1.下列哪个不是完全平方式?()

A、2x2B、x2-6x+9C、25x2-10x+1D、x2+22x+1

212.以配方法解3x2+4x+1=0时,我们可得下列哪一个方程式?()

252121A、(x+2)2=3B、(3x+)2=、(x+2=D、(x+2=343

33.若2x2-3x+1加上一数k后,成为完全平方式,则k=()

A、18B、7C、116D、44.想将x2+32 x配成一个完全平方式,应该加上下列那一个数?()

A、34B、9994C、8、165.下列哪个不是完全平方式?()

A、x2+4B、x2+4x+4C、4x2+4x+1D、x2+x+1

4二、填空题

1.将方程式x2-4x+1=0配成(x+a)2=b之形式则a+b=___________

2.填入适当的数配成完全平方式x2-1+____________=(x-)

223.已知一元二次方程式x2-2x-1=0的解为x=a±b 则a-b=_______

三、利用配方法解下列一元二次方程式

3x2-8x+3=0。ax2-2bx+c=0(a>0,b2-ac≧0)

3x2-8x+3=03x2+11x+2=0。

x2+2x-1=03x2-8x+3=0

一、选择题(共56分,每小题14分):

1、2x^2+4x+10=12中,可以配方得到_______

A、2(x+1)^2=

3B、2(x+2)^2=

3C、(2x+1)^2=

3D、(2x+1)^2=

5.2、x^2+4x+3=-1的结果是_______

A、x=-

2B、x=

2C、无解

D、此题有两个根

.3、对于关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a不为0,a,b,c是常数)进行配方,得到_______

A、(x+b/a)^2(c/a^2)=-b/a

C、(x+b/2a)^2 =(b^2/4a^2)-c/a

D、对于不同的数字没有唯一表达式。

.4、对于关于x的方程(px+q)^2=m的根的判断,其中有可能正确的有_______

(1)x为任意实数,(2)x1=x2=q/p,(3)当m<0时,方程无解

A、没有正确的B、(2)(3)正确

C、只有(3)正确

D、(1)(3)正确

.二、解答题(共46分,第5题18分,第6题28分)

5、请用配方法解方程 x^2+4x+3=156、对于关于x的方程 mx^2+nx+q=0,将其化简成x=?的形式。

一、填空题(1×28=28)

_____ 个.2、单项式-7a2bc的系数是______, 次数是______.3、多项式3a2b2-5ab2+a2-6是_____次_____项式,其中常数项是_______.4、3b2m•(_______)=3b4m+1-(x-y)5(x-y)4=________(-2a2b)2÷(_______)=2a5、(-2m+3)(_________)=4m2-9(-2ab+3)2=_____________

1、下列代数式中:①3x+5y ②x2+2x+y2 ③0 ④-xy2 ⑤3x=0 ⑥ 单项式有 _____个,多项式有

6、如果∠1与∠2互为补角,∠1=72º,∠2=_____º ,若∠3=∠1,则∠3的补角为_______º,理由是__________________________.7、在左图中,若∠A+∠B=180º,∠C=65º,则∠1=_____º,A 2 D ∠2=______º.B C8、在生物课上,老师告诉同学们:“微生物很小,枝原体直径只有0.1微米”,这相当于________________米(1米=106微米,请用科学记数法表示).9、在进行小组自编自答活动时,小芳给小组成员出了这样一道题,题目:我国古代数学家祖冲之发现了圆周率π=3.1415926……,取近似值为3.14,是精确到_______位,有______个有效数字,而小明出的题是:如果一年按365天计算,那么,一年就有31536000秒,精确到万位时,近似数是_____________秒,有______个有效数字.10、小明、小刚、小亮三人正在做游戏,现在要从他们三人中选出一人去帮王奶奶干活,则P(小明被选中)= ________ , P(小明未被选中)=________.11、随意掷出一枚骰子,计算下列事件发生的概率标在下图中.⑴、掷出的点数是偶数 ⑵、掷出的点数小于7

⑶、掷出的点数为两位数 ⑷、掷出的点数是2的倍数

0 1/2

1不可能发生 必然发生

二、选择题(2×7=14)

1、今天数学课上,老师讲了多项式的加减,放学后,小明回到家拿出课堂笔记,认真的复习老师课上讲的内容,他突然发现一道题:(-x2+3xy-y2)-(-x2+4xy-y2)=

-x2_____+y2空格的地方被钢笔水弄污了,那么空格中的一项是()

A、-7xy B、7xy C、-xy D、xy2、下列说法中,正确的是()

A、一个角的补角必是钝角 B、两个锐角一定互为余角

C、直角没有补角 D、如果∠MON=180º,那么M、O、N三点在一条直线上

3、数学课上老师给出下面的数据,()是精确的A、2002年美国在阿富汗的战争每月耗费10亿美元

B、地球上煤储量为5万亿吨以上

C、人的大脑有1×1010个细胞

D、这次半期考试你得了92分

4、一只小狗在如图的方砖上走来走去,最终停在阴影方砖上的概率是()

A、B、C、D、5、已知:∣x∣=1,∣y∣= ,则(x20)3-x3y2的值等于()

A、-或-B、或 C、D、-

6、下列条件中不能得出a‖b 的是()c

A、∠2=∠6 B、∠3+∠5=180º 1 2 a

C、∠4+∠6=180º D、∠2=∠8 5 6 b7、下面四个图形中∠1与∠2是对顶角的图形有()个

A、0 B、1 C、2 D、3三、计算题(4×8=32)

⑴-3(x2-xy)-x(-2y+2x)⑵(-x5)•x3n-1+x3n•(-x)

4⑶(x+2)(y+3)-(x+1)(y-2)⑷(-2m2n)3•mn+(-7m7n12)0-2(mn)-4•m11•n8

⑸(5x2y3-4x3y2+6x)÷6x,其中x=-2,y=2 ⑹(3mn+1)(3mn-1)-(3mn-2)

2用乘法公式计算:

⑺ 9992-1 ⑻ 20032

四、推理填空(1×7=7)

A 已知:如图,DG⊥BC AC⊥BC,EF⊥AB,∠1=∠

2E 求证:CD⊥AB

F 证明:∵DG⊥BC,AC⊥BC(___________)

D ∴∠DGB=∠ACB=90º(垂直的定义)

∴DG‖AC(_____________________)

B C ∴∠2=_____(_____________________)

∵∠1=∠2(__________________)∴∠1=∠DCA(等量代换)

∴EF‖CD(______________________)∴∠AEF=∠ADC(____________________)∵EF⊥AB ∴∠AEF=90º ∴∠ADC=90º 即CD⊥AB

五、解答题(1题6分,2题6分,3题⑴2分,⑵2分,⑶3分,总19分)

1、小康村正在进行绿地改造,原有一正方形绿地,现将它每边都增加3米,面积则增加了63平方米,问原绿地的边长为多少?原绿地的面积又为多少?

2、已知:如图,AB‖CD,FG‖HD,∠B=100º,FE为∠CEB的平分线,求∠EDH的度数.A F C

E

B H

G

D3、下图是明明作的一周的零用钱开支的统计图(单位:元)

分析上图,试回答以下问题:

⑴、周几明明花的零用钱最少?是多少?他零用钱花得最多的一天用了多少?

⑵、哪几天他花的零用钱是一样的?分别为多少?

⑶、你能帮明明算一算他一周平均每天花的零用钱吗?

能力测试卷(50分)

(B卷)

一、填空题(3×6=18)

1、房间里有一个从外表量长a米、宽b米、高c米的长方形木箱子,已知木板的厚度为x米,那么这个木箱子的容积是________________米3.(不展开)

2、式子4-a2-2ab-b2的最大值是_______.3、若2×8n×16n=222,则n=________.4、已知 则 =__________.5、一个小男孩掷一枚均匀的硬币两次,则两次均朝上的概率为_________.6、A 如图,∠ABC=40º,∠ACB=60º,BO、CO平分∠ABC和∠ACB,D E DE过O点,且DE‖BC,则∠BOC=_______º.B C

二、选择题(3×4=12)

1、一个角的余角是它的补角的,则这个角为()

A、60º B、45º C、30º D、90º

2、对于一个六次多项式,它的任何一项的次数()

A、都小于6 B、都等于6 C、都不小于6 D、都不大于63、式子-mn与(-m)n的正确判断是()

A、这两个式子互为相反数 B、这两个式子是相等的C、当n为奇数时,它们互为相反数;n为偶数时它们相等

D、当n为偶数时,它们互为相反数;n为奇数时它们相等

4、已知两个角的对应边互相平行,这两个角的差是40º,则这两个角是()

A、140º和100º B、110º和70º C、70º和30º D、150º和110º

三、作图题(不写作法,保留作图痕迹)(6分)

利用尺规过A点作与直线n平行的直线m(不能用平推的方法作).A •

n

四、解答题(7×2=14)

1、若多项式x2+ax+8和多项式x2-3x+b相乘的积中不含x2、x3项,求(a-b)3-(a3-b3)的值.3、如图,已知AB‖CD,∠A=36º,∠C=120º,求∠F-∠E的大小.A B

E

F

C D

第五篇:配方法含答案

配方法

1、方程6x2=18的根是__________;已知2(x-3)2=72,则x的值是__________.2、若方程x2-6x+5=0可化为(x+m)2=k的形式,则m=__________,k=__________.

3、一元二次方程x2-2x-3=0的根是__________.

1、;9或-

32、-3;

43、x1=3,x2=-

14、用配方法解方程x2-4x+2=0,下列配方正确的是()

A.(x-2)2=2B.(x-2)2=6C.(x-2)2=-2D.(x-2)2=-65、不论x、y为何实数,代数式x2+y2+2x-4y+7的值()

A.总不小于2B.总不小于7C.可为任何实数D.可能为负数

6、将二次三项式x2+6x+7进行配方,正确结果是()

A.(x+3)2+2B.(x+3)2-2C.(x-3)2+2D.(x-3)2-

27、用配方法解下列方程:

(1)(2)5x2-18=9x7、(1)解:

(2)解:

8、用配方法证明:无论x取何实数,代数式2x2-8x+18的值不小于108、证明:2x2-8x+18=2(x2-4x)+18=2(x-2)2+18-8=2(x-2)2+10.不论x为何实数,(x-2)2≥0,∴2(x-2)2+10≥10.

即无论x取何实数,代数式2x-8x+18的值不小于10.

29、已知a是方程x2-2008x+1=0的一个根,试求

9、∵a是方程x2-2008x+1=0的一个根,∴a2-2008a+1=0, a2-2007a=a-1, a2+1=2008a 的值

且 ∴.

10、一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,有人统计一共握了66次手,这次会议到会的人数是多少?

10、解:设这次会议到会的人数是x人.则

x2-

x=1

32∴,∴x1=12,x2=-11<0(舍去)

故这次会议到会的人数是12人.

公式法

1、下列方程有实数根的是()

A.2x2+x+1=0B.x2-x-1=0 C.x2-6x+10=0D.x2-+1=02、若关于x的方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()

A.k>1B.k≥-1 C.k<1D.k>1且k≠0

答案:

1、B2、A

2、用公式法解下列方程.

(1)2x2-9x+8=0解:b2-

4ac=17

(2)9x2+6x+1=0解:b2-4ac=0,x1=x2=

(3)(x-2)(3x-5)=

1解:3x2-11x+9=0

b2-

4ac=13 .

3、解方程:.有一位同学解答如下: 这里,∴,∴

∴x1=,x2=.

请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的解答.解:有错误,错在常数,而c应为,正确为: 原方程可化为: ∵ ∴ ∴ ∴

4、m为何值时,方程(2m+1)x2+4mx+2m-3=0.

(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根? 解:若 2m+1≠0,即 m≠,则=(4m)2-4(2m+1)(2m-3)=4(4m+3)

(1)当4m+3>0且2m+1≠0,即m>且m≠时,原方程有两个不相等的实数根.

(2)当4m+3=0即m=时,原方程有两个相等实数根.

(3)当4m+3<0即m<时,没有实数根.

5、若关于x的方程kx2-(2k+1)x+k=0有实数根,求k的取值范围.

解:(1)当k=0时,原方程可化为-x=0,此方程有实根.

(2)由题意得:,解得且k≠0.

故:综合(1)(2)得k的取值范围为.

6、求证:不论a为何实数,方程2x2+3(a-1)x+a2-4a-7=0必有两个不相等的实数根.证明:∵a=2,b=3(a-1),c=a2-4a-7.

b2-4ac=[3(a-1)]2-4×2(a2-4a-7)=a2+14a+65=(a+7)2+16≥16>0. 故不论a为何实数,方程2x2+3(a-1)x+a2-4a-7=0必有两个不相等的实数根.因式分解法

1、方程x2-4x=0的解为__________.2、请你写出一个有一根为0的一元二次方程__________.

3、方程x(x+1)=3(x+1)的解是()

A.x=-1B.x=3C.x1=-1,x2=3D.以上答案都不对

4、解方程(x+2)2=3(2+x)最适当的解法是()

A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法

5.若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1,x2=2,则这个方程是()

A.x2+3x-2=0B.x2-3x+2=0 C.x2-2x+3=0D.x2+3x+2=06、关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2+3a-4=0有一个实数根是x=0,则a的值为()

A.1或-4B.1C.-4D.-1或

47、用因式分解法解下列方程:

(1)(x+3)2=2x+6(2)2(5x-1)2=3(1-5x)(3)9(x-2)2=4(x+1)

2(4)(2x-1)2-x2-4x-4=08、用适当的方法解下列方程:

(1)x2-8x-9=0(2)(x+3)(x-3)=(3)x(40-2x)=180

(4)x2+()x+=08、(1)解:(x+1)(x-9)=0x1=-1, x2=9

(2)解: ∴,(3)解:x2-20x=-90x2-20x+102=-90 +102(x-10)2=10∴x-10=∴,(4)解:(x+)(x+)=0∴x1=-,x2=-

9、若x2+xy+y=14 ①,y2+xy+x=28 ②,求x+y的值

9、解:由①+②得:(x2+y2)+2xy+(x+y)=42(x+y)2+(x+y)-42=0(x+y+7)(x+y-6)=0∴x+y=-7或x+y=6.

10、关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根

解:由已知得:

解得m=2,∴x=,∴x1=,x2= 故m的值为2,该方程的根为x1=,x2=1.

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