初中数学竞赛专题选讲 配方法(含答案)

第一篇：初中数学竞赛专题选讲 配方法(含答案)

.cn

初中数学竞赛专题选讲（初三.3）

配方法

一、内容提要

1.配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式

（a±b）2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：

①由a2+b2配上2ab，②由2 ab配上a2+b2，③由a2±2ab配上b2.2.运用配方法解题，初中阶段主要有：

① 用完全平方式来因式分解

例如：把x4+4 因式分解.原式＝x4+4＋4x2－4x2=(x2+2)2－4x2＝„„

这是由a2+b2配上2ab.② 二次根式化简常用公式：aa，这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简526.我们把5－26写成 2－223＋3 ＝(2)2－223＋()2 ＝（2－3）2.这是由2 ab配上a2+b2.③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a2≥0，∴当a=0时，a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a－2 的最值.∵a2+2a－2= a2+2a+1－3=(a+1)2－

3当a=－1时,a2+2a－2有最小值－3.这是由a2±2ab配上b

2④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需

要配方.例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y.2

解：方程x2+y2+2x-4y+1＋4＝0.配方的可化为（x+1）2+(y－2)2=0.要使等式成立，必须且只需

x10

.y20

x

1解得

y2

此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题 例1.因式分解：a2b2－a2+4ab－b2+1.解：a2b2－a2+4ab－b2+1＝a2b2+2ab+1+(－a2+2ab－b2)（折项，分组）

＝（ab+1）2－(a－b)

2（配方）

＝（ab+1+a-b）(ab+1-a+b)（用平方差公式分解）

本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.例2.化简下列二次根式：

①74；②23；③104322.解：化简的关键是把被开方数配方

①743＝4223＝(23)

＝23＝2＋3.2423(1)2

②23＝2＝＝

222

＝

622(1)

＝.22

③4322＝4(21)

＝42＋1）

＝642＝42222＝(2

2)2

=2－2.例3.求下列代数式的最大或最小值：

① x2+5x+1；② －2x2－6x+1.552

5解：①x+5x+1＝x+2×x+－+

14`22

＝（x+

∵（x+

5221）－.2

452）≥0，其中0是最小值.2521

即当x=时，x2+5x+1有最小值－.24

②－2x2－6x+1 ＝－2（x2+3x-）

3991

=－2(x2+2×x+－)

2442311

＝－2（x+）2+

∵－2（x+）2≤0，其中0是最大值，2311

∴当x=－时，－2x2－6x+1有最大值.22

例4.解下列方程：

①x4－x2+2xy+y2+1=0 ；②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.解：①（x4－2x2＋1）＋（x2+2xy+y2）=0.（折项，分组）(x2－1)2+(x+y)2=0.（配方）

根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.x10

得 

xy0

∴

x1,或

y1x1



y1

②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2－2y+1=0.(折项，分组)(x+y)2+6（x+y）+9+y2－2y+1=0.(x+y+3)2+(y－1)2＝0.（配方）∴

xy30x4

∴

y10y1

例5.已知：a, b, c, d 都是整数且m=a2+b2,n=c2+d2, 则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式.解：mn=(a2+b2)(c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2

= a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c2－2abcd(分组，添项)=(ac+bd)2+(ad-bc)2

例6.求方程 x2+y2-4x+10y+16=0的整数解

解：x2-4x+16+y2+10y+25=25(添项)（x－4）2+(y+5)2＝25（配方）

∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.2222

（x4)0(x4)25（x4)9(x4)16

或或或∴ 2222

(y5)25(y5)0(y5)16(y5)9

由

x40x4

得

y55y0

x4x9



y10y-5

x1

„„ 

y5

同理，共有12个解

三、练习1.因式分解：

①x4+x2y2+y4 ；

②x2-2xy+y2-6x+6y+9 ；③x4+x2-2ax-a2+1.2.化简下列二次根式：

①4x212x94x220x25（－

35＜x<）；22

x24x33x2

②(1

4x2

③2；④3

5；

⑤4423；⑥335； ⑦（14＋65）÷（3＋5）；⑧（3x）2＋x8x16.3求下列代数式的最大或最小值： ①2x2+10x+1 ；②－

x+x-1.2

4.已知：a2+b2－4a－2b+5.求：

ab322的值.5.已知：a2+b2+c2=111,ab+bc+ca=29.求：a+b+c的值.6.已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0,abc=8.试判断代数式

值的正负.abc

x46x32x216x23

7.已知：x=83,求：.x28x15

参考答案

1.②（x－y－3）2

2.①8，②0.5x，③3－22，④ ⑦3＋，⑧7－2x（x≤3）3.①当x=－

2，⑤2＋3，⑥ 2

5231时，有最小值－②x=1时，有最大值－ 222

4.a=2, b=1 代数式值是3＋22

5.±136.负数。由（a+b+c）2=0 得出ab+ac+bc<0

4.值为5。先化简已知为4－3，代入分母值为2，可知x2－8x+13=0

分子可化为（x2+2x+1）(x2－8x+13)+10 ＝10 5.配方（a－b）2+(b－c)2=0 6.①

x1,1x2x6

②③

y1,1y1y3

x1x1x1x1

②（x-3）2+(y+5)2=9 „„ 

y1y2y3y2

7.①

第二篇：配方法含答案

配方法

1、方程6x2=18的根是__________；已知2（x－3）2=72，则x的值是__________.2、若方程x2－6x＋5=0可化为（x＋m）2=k的形式，则m=__________，k=__________．

3、一元二次方程x2－2x－3=0的根是__________．

1、；9或－

32、－3；

43、x1=3，x2=－

14、用配方法解方程x2－4x＋2=0，下列配方正确的是（）

A．（x－2）2=2B．（x－2）2=6C．（x－2）2=－2D．（x－2）2=－65、不论x、y为何实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值（）

A．总不小于2B．总不小于7C．可为任何实数D．可能为负数

6、将二次三项式x2＋6x＋7进行配方，正确结果是（）

A．（x＋3）2＋2B．（x＋3）2－2C．（x－3）2＋2D．（x－3）2－

27、用配方法解下列方程：

（1）（2）5x2－18=9x7、（1）解：

（2）解：

8、用配方法证明：无论x取何实数，代数式2x2－8x＋18的值不小于108、证明：2x2－8x＋18=2（x2－4x）＋18=2（x－2）2＋18－8=2（x－2）2＋10．不论x为何实数，（x－2）2≥0，∴2（x－2）2＋10≥10．

即无论x取何实数，代数式2x－8x＋18的值不小于10．

29、已知a是方程x2－2008x＋1=0的一个根，试求

9、∵a是方程x2－2008x＋1=0的一个根，∴a2－2008a＋1=0, a2－2007a=a-1, a2＋1=2008a 的值

且 ∴．

10、一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数是多少？

10、解：设这次会议到会的人数是x人.则

x2－

x=1

32∴，∴x1=12，x2=－11<0（舍去）

故这次会议到会的人数是12人．

公式法

1、下列方程有实数根的是（）

A．2x2＋x＋1=0B．x2－x－1=0 C．x2－6x＋10=0D．x2－＋1=02、若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A．k>1B．k≥－1 C．k＜1D．k＞1且k≠0

答案：

1、B2、A

例

2、用公式法解下列方程．

（1）2x2－9x＋8=0解：b2－

4ac=17

（2）9x2＋6x＋1=0解：b2－4ac=0，x1=x2=

（3）（x－2）（3x－5）=

1解：3x2－11x＋9=0

b2－

4ac=13 ．

故

例

3、解方程：.有一位同学解答如下： 这里，∴，∴

∴x1=，x2=．

请你分析以上解答有无错误，如有错误，找出错误的地方，并写出正确的解答.解：有错误，错在常数，而c应为，正确为： 原方程可化为： ∵ ∴ ∴ ∴

例

4、m为何值时，方程（2m＋1）x2＋4mx＋2m－3=0．

（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根？ 解：若 2m＋1≠0,即 m≠,则=（4m）2－4（2m＋1）（2m－3）=4（4m＋3）

（1）当4m＋3>0且2m＋1≠0，即m>且m≠时，原方程有两个不相等的实数根．

（2）当4m＋3=0即m=时，原方程有两个相等实数根．

（3）当4m＋3<0即m<时，没有实数根．

例

5、若关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k=0有实数根，求k的取值范围．

解：（1）当k=0时，原方程可化为－x=0，此方程有实根．

（2）由题意得：，解得且k≠0．

故：综合（1）（2）得k的取值范围为．

例

6、求证：不论a为何实数，方程2x2＋3（a－1）x＋a2－4a－7=0必有两个不相等的实数根．证明：∵a=2，b＝3（a－1），c=a2－4a－7．

b2－4ac=[3（a－1）]2－4×2（a2－4a－7）=a2＋14a＋65=（a＋7）2＋16≥16>0． 故不论a为何实数，方程2x2＋3（a－1）x＋a2－4a－7=0必有两个不相等的实数根．因式分解法

1、方程x2－4x=0的解为__________.2、请你写出一个有一根为0的一元二次方程__________．

3、方程x（x＋1）=3（x＋1）的解是（）

A．x=－1B．x=3C．x1=－1，x2=3D．以上答案都不对

4、解方程（x＋2）2=3（2＋x）最适当的解法是（）

A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法

5.若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）

A．x2＋3x－2=0B．x2－3x＋2=0 C．x2－2x＋3=0D．x2＋3x＋2=06、关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋a2＋3a－4=0有一个实数根是x=0，则a的值为（）

A．1或－4B．1C．－4D．－1或

47、用因式分解法解下列方程：

（1）（x＋3）2=2x＋6（2）2（5x－1）2=3（1－5x）（3）9（x－2）2=4（x＋1）

2（4）（2x－1）2－x2－4x－4=08、用适当的方法解下列方程：

（1）x2－8x－9=0（2）（x＋3）（x－3）=（3）x（40－2x）=180

（4）x2＋（）x＋=08、（1）解：（x＋1）（x－9）=0x1=－1, x2=9

（2）解： ∴,（3）解：x2－20x=－90x2－20x＋102=－90 ＋102（x－10）2=10∴x－10=∴，（4）解：（x＋）（x＋）=0∴x1=－，x2=－

9、若x2＋xy＋y=14 ①，y2＋xy＋x=28 ②，求x＋y的值

9、解：由①＋②得：（x2＋y2）＋2xy＋（x＋y）=42（x＋y）2＋（x＋y）－42=0（x＋y＋7）（x＋y－6）=0∴x＋y=－7或x＋y=6．

10、关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x＋2m－1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根

解：由已知得：

解得m=2，∴x=，∴x1=，x2= 故m的值为2，该方程的根为x1=，x2=1.

第三篇：数学学习法配方法

数学学习法——配方法

释义：在数学式变换中，根据需要把有关字母的项对照公式(ab)2a22abb2，补上恰当的项以配成完全平方的形式，这种方法就叫做配方法，配方法的应用常见于：

（1）分解因式；

（2）化简二次根式（示例）；

（3）证明等式和不等式：

（4）解方程（组）和不等式；

（5）求函数的最值；

（6）解解析几何问题，等等。

示例：简化

5x4x1x6x1

22(x12)(x13)解原式

52x1,(1x3)1,(3x8)

2x15,(x8)

第四篇：初三数学配方法练习

初三数学配方法综合练习

1、求证：无论m取什么实数时，总有m2

+4m+5是正数。

2、小李家今天来了一位客人，小李问这位叔叔：“是你的年龄大，还是我爸爸的年龄大？”

这位叔叔说：“你爸爸的年龄是你的平方数，我的年龄是你的6倍少10，你说谁的年龄大呢？”你能帮小李解答这个问题吗？

3、阅读下面材料，完成填空。

我们知道x2+6x+9可以分解因式，结果为(x+3)2,其实x2+6x+8也可以通过配方法分解因式，其过程如下：

x2+6x+8= x2+6x+9–9+8

=(x+3)2–1

=(x+3+1)(x+3–1)=(x+4)(x+2)

（1）请仿照上述过程，完成以下练习：

x2+4x–5=[x+(_____)][x+(_____)] x2–5x+6=[x+(_____)][x+(_____)] x2–8x–9=[x+(_____)][x+(_____)]

（2）请观察横线上所填的数，这两个数与一次项系数、常数项有什么关系？

若有x2+(p+q)x+pq=(_____)(_____)你能找出下述式子中的p和q吗？ x2+3x+2=(_____)(_____)x2–x–20=(_____)(_____)

（4）用分解因式法解方程

x2–28x+96=0x2–130x+4000=0

【练习】

1、若分式x25x4

x1的值为0，则的值为（）

(A)-1或-4(B)-1(C)-4(D)无法确定

2、将方程2x2+4x+1=0配方后，得新方程为（）(A)(2x+2)2–3=0

(B)(x+2)2–1

2=0

(C)(x+1)2–

1=0

(D)(2x+2)2+3=03、一个三角形两边的长是3和7，第三边的长是a，若满足a2–10a+21=0，则这

个三角形的周长是（）

(A)13或17(B)13(C)17(D)以上答案都不对

4、当x等于_____时，代数式x2–13x+12的值等于42。

5、已知方程x2-(m+1)x+(2m-3)=0

（1）求证：无论m为什么实数时，方程总有两个不相等的实数根。（提示：当

b2-4ac﹥0时，一元二次方程总有两个不相等的实数根）

（2）当b2-4ac满足什么条件时，一元二次方程没有实数根？请写出一个没有实

数根的一元二次方程。

第五篇：高三数学~几何证明选讲

德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue 高三数学~~几何证明选讲

1、外接圆的切线证明



 [ 高三数学] 题型:探究题

问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路

考查知识点：

 圆的切线的判定定理及性质定理

难度:难

解析过程：

规律方法：

熟练掌握圆的切线的判定方法是解题的关键。

2，急！关于一道几何题！



 [ 高三数学]题型:解答题

在三角行ABC中，角C=30度，O为外心，I为内心，边AC上的点D与边BC上的点E，使AD=BE=AB，求证：OI=DE且OI垂直

问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路

德智知识点 http://www.xiexiebang.com/knowledge德智QQ学习分享群：26192056

2德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue

考查知识点：



难度:难 直角三角形射影定理

解析过程：

解：

已知三角形ABC中，O、I为其外心和内心，角C=30度，D、E分别为AC和BC上两点，且AD=AB=BE，求证：OI=DE，且OI垂直于DE。

证明：辅助线如图所示：

∵O为外心

∴∠AOB=2∠C=60°

∴△AOB为等边三角形

∵I为内心

∴∠IAB=∠IAE

又∵AB=AE

利用SAS

可知：△IAB≌△IAE

同理可证：△IAB≌△IDB

∴∠EIA=∠DIB=∠AIB

=180°-(∠IAB+∠IBA)=180°-(∠CAB+∠CBA)/

2=180°-(180°-30°)/2=105°

∴∠EID=360°-3∠EIA=360°-3×105°=45°

∠EFD

=(∠AEO-∠ECF)+(∠BDI-∠DCF)=∠AEO+∠BDI-(∠ECF+∠DCF)=(90°-∠EAO/2)+∠BAI-30°=60°+(∠BAE-∠EAO)/2

=60°+∠BAO/2=60°+30°

德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue =90°

∴EO⊥DI

同理可知：DO⊥EI

∴O为△EID的垂心

∴IO⊥ED

∴∠OID+∠EDI=∠DEO+∠EDI=90°

∴∠OID=∠DEO

又∵∠EID=45°

∴△EFI为等腰直角三角形

∴EF=IF

根据ASA知：△OIF≌△DEF

∴OI=ED

综上所述：OI⊥ED且OI=ED

规律方法：

此题太难，高考的要求不会这样难啊。知识点：几何证明选讲

概述

所属知识点：

[几何证明选讲]

包含次级知识点：

平行切割定理、直角三角形射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理、相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理

知识点总结

本节主要包括平行切割定理、直角三角形射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理、相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理等知识点。

1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue 推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

2、平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

3、相似三角形的判定：

定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形：

相似的简单方法：

（1）两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

（3）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；

（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；

（2）相似三角形周长的比等于相似比；

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

4、直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

5、圆周角定理

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

6、圆内接四边形的性质与判定定理

定理1：圆的内接四边形的对角互补。

定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理。

7、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质

8、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段

9、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

10、割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

11、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

12、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

常见考法

本节在段考和高考中，是以填空题的形式出现，属于选做题。一般属于容易题。

误区提醒

在利用相似三角形解答时，注意通过对应边找对应角，通过对应角找对应边，不要找错了。

【典型例题】

例1如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点

E.例2 如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，并交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC＝ED＝1，PA＝2.(1)求AC的长；

德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue(2)求证：EF＝

BE.德智知识点 http://www.xiexiebang.com/knowledge