高等数学目录（最终定稿）

第一篇：高等数学目录

《高等数学》目录

上册－微积分

一、函数与极限 1.函数基本概念

1． 集合及集合的运算

2． 数轴、无穷大和无穷小的几何表示、区间 3． 常量和变量

4． 函数的定义和函数的表达方式 5． 函数的定义域和函数的计算 6． 基本初等函数 7． 复合函数和初等函数 8． 分段函数 2.函数的极限及运算法则

1． 数列及数列极限 2． 函数的极限

3． 无穷大和无穷小的极限表示

4． 无穷大和无穷小的关系及无穷小的性质 5． 极限的有界性定理及应用 6． 复合函数求极限 3.两个重要极限

1． 第一个重要极限 2． 第一个重要极限的应用 3． 第二个重要极限 4． 第二个重要极限的应用 4.函数的连续性和间断点

1． 增量

2． 函数连续的两个定义 3． 左连续和右连续 4． 函数的间断点分类 5． 连续函数四则运算的连续性 6． 反函数和复合函数的连续性 7． 连续函数的性质 练习题一

2.导数与微分

1.导数的定义和导数四则运算法则

1． 导数的定义 2． 导数的几何意义

3． 函数可导性与连续性的关系 4． 求导公式表 5． 函数导数的四则运算 2.不同类型函数的求导法则及高阶导数

1． 复合函数的求导法则 2． 隐函数的求导法则

3． 参数方程所确定的函数的求导法则 4． 高阶导数 3.函数的微分及应用

1． 微分的定义 2． 微分的几何意义

3． 微分的基本公式和运算法则 4． 复合函数的微分公式 5． 利用微分进行近似计算 练习题二

3.导数的应用

1.中值定理和洛必达法则

1． 罗尔定理及几何意义 2． 拉格郎日中值定理及几何意义 3． 利用拉格郎日中值定理证明不等式 4． 洛必达法则 2.函数的极值和最值

1． 函数的单调性及判断 2． 函数的极值 3． 函数的最值

3.曲线的凸凹性，拐点及函数作图

1． 曲线的凸凹性及判断 2． 曲线的拐点 3.曲线的渐近线 4.函数作图 练习题三

4.不定积分

1.不定积分的概念和基本公式

1． 原函数与不定积分 2． 不定积分的定义 3． 不定积分的性质 4． 基本积分表 5． 直接积分法 2.换元积分法

1． 换元积分法的引入 2． 第一类换元法 3． 第一类换元法的应用 4． 第二类换元法 5． 第二类换元法的应用

3.分部积分法和不定积分技巧的综合应用 1． 分部积分法

2． 被积函数和积分变量的选取 3.有理函数的积分 4.综合题举例 练习题四

5.定积分

1.定积分的定义和基本运算

1． 定积分的定义 2． 定积分的性质 3． 变上限的积分函数 4． 牛顿—莱布尼兹公式 2.定积分的换元法和分部积分法

1． 定积分的换元法 2． 定积分的分部积分法 3． 利用方程和数列求定积分 3.广义积分

1． 积分区间为无穷区间的广义积分 2． 被积函数有无穷间断点的广义积分 4.定积分的运用

1． 定积分的元素法

2． 利用定积分求平面图形面积 3． 利用定积分求体积 练习题五

6.微分方程

1.微分方程的基本概念

1． 微分方程的引入 2． 微分方程的阶和一般形式 3． 微分方程的解

4． 微分方程的通解、初始条件、特解 2.可分离变量微分方程

1． 可分离变量微分方程的引入 2． 可分离变量微分方程的定义和解法 3． 求解可分离变量微分方程 3.一阶线性微分方程

1． 一阶线性微分方程

2． 齐次一阶线性微分方程的通解 3． 非齐次一阶线性微分方程的通解 4． 可化为一阶线性微分方程的方程 5． 求解一阶线性微分方程 4.二阶常系数线性微分方程

1． 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构 2． 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构 3． 二阶常系数齐次线性微分方程的求解 4． 特殊的二阶常系数非齐次线性微分方的求解 练习题六

7.多元函数的微分法 1.空间直角组坐标系

1.向量与向量的运算 2.空间直角坐标系与坐标 3.空间直线方程与空间平面方程 2.二元函数

1.二元函数的基本概念 2.二元函数的极限与连续 3.求偏导数

1.偏导数与全微分 2.复合函数求偏导数 3.隐函数求偏导数 4.高阶偏导数 4.二元函数的极值

1.极值的基本概念 2.无限制条件求极值 3.有限制条件求极值 练习题七

8.二重积分

1.二重积分的基本概念

1.二重积分的引入 2.二重积分的性质 2.二重积分的计算

1.化二重积分为二次积分 2.利用极坐标计算二重积分 练习题八

下册－线性代数与概率论

1.行列式

1．行列式的引入和行列式的概念

1.行列式的引入 2.逆序和逆序数的计算 3.行列式的定义 2．行列式的计算

1． 行列式的性质和利用行列式性质计算 2．行列式的展开式 3．行列式的应用 1.克莱姆法则 2.行列式的具体应用

习题一

2.矩阵

1．矩阵的引入和矩阵的概念

1.矩阵的引入 2.矩阵的定义 2．矩阵的运算

1.矩阵的普通运算和分块运算 2.矩阵的行列式运算 3.矩阵的逆及逆的运用 4.初等变换 3．矩阵的秩

1.秩的行列式定义 2.利用初等变换求秩 4．矩阵的应用举例习题二

3.向量

1．向量的引入和向量的概念

1.向量的引入和定义 2.向量的运算

3.量的线性组合和线性相关 2．向量组的秩

1．向量组秩的定义

2．向量组的秩与矩阵的秩的关系 3．向量空间

1.向量空间的构成

2.维数、基与坐标，向量的正交化 3.基变换和坐标变换 4．向量的应用举例

习题三

4.线性方程组

1．线性方程组解的结构 2．线性方程组的求解

1.解存在性的判断

2.齐次方程组和非齐次方程组的求解

3．矩阵、向量、线性方程组的关系及线性方程组的应用 习题四

5.相似矩阵及二次型 1．相似矩阵 1.方阵的特征值和征向量 2.矩阵相似的定义

3.对称矩阵的对角化和若当阵简介 2．二次型

1.二次型的引入 2.二次型的矩阵表示

3.利用相似矩阵将二次型转化为标准形 3．相似矩阵及二次型的应用

习题五

6.概率论的基本概念 1．概率的引入 1． 样本空间 2． 随机事件 3． 随机实验 2．概率的基本定义 1.古典概型 2.统计定义 3.几何概型 3．概率的基本公式 1.件概率公式 2.全概率公式 3.贝叶斯公式 4．概率的基本运用

习题一

7.随机变量及分布 1．随机变量的引入

1．离散型、连续型随机变量

2.一维随机变量、二维随机变量

2．随机变量的分布函数

1.离散型一维随机变量的概率密度分和布函数 2.连续型一维随机变量的概率密度分和布函数

3.离散型二维随机变量的概率密度分和布函数 4.连续型二维随机变量的概率密度和分布函数

5.离散型、连续型一维随机变量和二维随机变量函数的分布 3．随机变量及分布的运用习题7

8.随机变量的数字特征 1．随机变量的数字特征的引入

1.随机变量的数字特征引入

2.期望、方差的定义 2．期望与方差的计算

1.离散型一维随机变量的期望与方差的计算

2.连续型一维随机变量的期望与方差的计算 3.期望与方差的关系 3．协方差与相关系数

1.协方差的定义与计算 2.相关系数的定义与计算 3.矩、协方差矩阵

4．随机变量的数字特征的应用举例

习题八

9.大数定理及中心极限定理 1．大数定理 比雪夫不等式和切比雪夫大数定理 2 贝努里大数定理 3辛钦大数定理 2．中心极限定理

1独立同分布的中心极限定理 2德莫佛—拉普拉斯定理 3．大数定理及中心极限定理的应用

习题九

第二篇：高等数学

§13.2 多元函数的极限和连续

一 多元函数的概念

不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平行四边行的面积A由它的相邻两边的长x和宽y以及夹角所确定,即Axysin;圆柱体体积V由底半径r和高h所决定,即Vr2h。这些都是多元函数的例子。

一般地，有下面定义：

定义1: 设E是R2的一个子集，R是实数集，f是一个规律，如果对E中的每一点(x,y)，通过规律f，在R中有唯一的一个u与此对应，则称f是定义在E上的一个二元函数，它在点(x,y)的函数值是u，并记此值为f(x,y)，即uf(x,y)。

有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。例如，二元函数xRxy222就是一个上半球面，球心在原点，半径为R，此函数定义域为满足关系式x2y2R2的x，y全体，即D{(x,y)|x2y2R2}。又如，Zxy是马鞍面。

二 多元函数的极限

定义2

设E是R2的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0rM,M0时，有f(M)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limfMMM0A或fMAMM0。

定义的等价叙述1 ：设E是R2的一个开集，A是一个常数，二元函数fM在点0f(x,y)M02x,0y02E近有定义．如果0附，0，当xx0yy0时，有f(x,y)A，就称A是二元函数在M0点的极

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限。记为limfMMM0A或fMAMM0。

定义的等价叙述2： 设E是R2的一个开集，A是一个常数，二元函数fM在点M0x,0y0f(x,y)附E近有定义．如果0，0，当0xx0,0yy0且x,yx0,y0时，有f(x,y)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limfMMM0A或fMAMM0。

注：（1）和一元函数的情形一样，如果limf(M)A，则当M以任何点列及任何方式趋

MM0于M0时，f(M)的极限是A；反之，M以任何方式及任何点列趋于M0时，f(M)的极限是A。但若M在某一点列或沿某一曲线M0时，f(M)的极限为A，还不能肯定f(M)在M0的极限是A。所以说，这里的“”或“”要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。

例1：设二元函数f(x,y)xyxyxyxy22222，讨论在点(0,0)的的二重极限。

例2：设二元函数f(x,y)2，讨论在点(0,0)的二重极限是否存在。

0,例3：f(x,y)1,xy其它或y0，讨论该函数的二重极限是否存在。

二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。

例4：limxyxxyysinxyx22。

xy例5：① limx0y0

② lim(xy)ln(xy)③ lim(xy)ex0y0xy2222222(xy)

例6：求f(x,y)xy3223xy在（０，０）点的极限，若用极坐标替换则为limrr0cossincossin33220?

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（注意：cos3sin3在74时为０，此时无界）。

xyxy222例7：（极坐标法再举例）：设二元函数f(x,y)证明二元极限不存在的方法．，讨论在点(0,0)的二重极限．

基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路径的极限不存在；或２）某两个特殊路径的极限不等；３）或用极坐标法，说明极限与辐角有关．

例8：f(x,y)xyxy22在(0,0)的二重极限不存在．

三

二元函数的连续性

定义3

设fM在M0点有定义，如果limf(M)f(M0)，则称fMMM0在M0点连续．

0,0,当0

如果f在开集E内每一点连续，则称f在E内连续，或称f是E内的连续函数。

例9：求函数utanx2y2的不连续点。

四 有界闭区域上连续函数的性质

有界性定理：

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上有界。一致连续性定理: 若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上一致连续。最大值最小值定理: 若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上必有最大值和最小值。

零点存在定理:

设D是Rn中的一个区域，P0和P1是D内任意两点，f是D内的连续函数，如果f(P0)0，f(P1)0，则在D内任何一条连结P0,P1的折线上，至少存在一点Ps，使f(Ps)0。

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

五

二重极限和二次极限

在极限limf(x,y)中，两个自变量同时以任何方式趋于x0,y0，这种极限也叫做重xx0yy0极限（二重极限）．此外，我们还要讨论当x,y先后相继地趋于x0与y0时f(x,y)的极限．这种极限称为累次极限（二次极限），其定义如下：

若对任一固定的y，当xx0时，f(x,y)的极限存在：limf(x,y)(y),而(y)xx0在yy0时的极限也存在并等于A，亦即lim(y)A，那么称A为f(x,y)先对x，再

yy0对y的二次极限，记为limlimf(x,y)A．

yy0xx0同样可定义先y后x的二次极限：limlimf(x,y)．

xx0yy0上述两类极限统称为累次极限。

注：二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）没有什么必然的联系。例10：（二重极限存在，但两个二次极限不存在）．设

11xsinysinyxf(x,y)

0x0,y0x0ory0

由f(x,y)xy 得limf(x,y)0（两边夹）;由limsinx0y01y不存在知f(x,y)的累次

y0极限不存在。

例11：（两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在）。设

f(x,y)xyxy22，(x,y)(0,0)

由limlimf(x,y)limlimf(x,y)0知两个二次极限存在且相等。但由前面知x0y0y0x0limf(x,y)不存在。

x0y0例12：（两个二次极限存在，但不相等）。设

f(x,y)xyxy2222，(x,y)(0,0)

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则 limlimf(x,y)1，limlimf(x,y)1;limlimf(x,y)limlimf(x,y)（不x0y0y0x0x0y0y0x0可交换）

上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的关系。但在某些条件下，它们之间会有一些联系。

定理1:设（1）二重极限limf(x,y)A；（2）y,yy0，limf(x,y)(y).则

xx0yy0xx0yy0lim(y)limlimf(x,y)A。

yy0xx0（定理1说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在）。

推论1:

设（1）limf(x,y)A；（2）（3）y,yy0，limf(x,y)存在；x,xx0，xx0yy0xx0yy0limf(x,y)存在；则limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重极限yy0xx0xx0yy0xx0yy0limf(x,y)。

推论2: 若累次极限limlimf(x,y)与limlimf(x,y)存在但不相等，则重极限

xx0yy0yy0xx0xx0yy0limf(x,y)必不存在（可用于否定重极限的存在性）。

222例13：求函数fx,yxy22xyxy在0,0的二次极限和二重极限。

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第三篇：高等数学

《高等数学》是我校高职专业重要的基础课。经过我们高等数学教师的努力，该课程在课程建设方面已走向成熟，教学质量逐步提高,在教学研究、教学管 理、教学改革方面，我们做了很多工作，也取得了可喜的成果。

《高等数学》是学习现代科学技术必不可少的基础知识。一方面它是学生后 继课程学习的铺垫，另一方面它对学生科学思维的培养和形成具有重要意义。因此，它既是一门重要的公共必修课，又是一门重要的工具课。紧扣高职高 专的培养目标，我们的《高等数学》课的定位原则是“结合专业，应用为主，够用为度，学有所用，用有所学”，宗旨是“拓宽基础、培养能力、重在应用”

根据高职高专的培养目标，高等数学这门课的教学任务是使学生在高中数学 的基础上，进一步学习和掌握本课程的基础知识、基本方法和基本技能，逐步 培养学生抽象概括问题的能力，一定的逻辑推理能力，空间想象能力，比 较熟练的运算能力和自学能力，提高学生在数学方面的素质和修养，培养 学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。

高等数学这门课的教学设计思想是：根据专业设置相应的教学内容。我们将 《高等数学》分成四大类：轻化工程、电子、计算机和财经。四大类的公共教 学内容为：一元函数微积分,微分方程。三类工科数学增加：空间解析几何、多 元微积分学。计算机和电子再增加级数。电子类专业还专门开设拉普拉氏变换。财经专业另开设线性代数初步。达到了专业课对基础课的要求。

同时，在教学内容的安排上，还注意了以下几点：

1、数学知识的覆盖面不宜太宽，应突出重点，不过分追求数学自身的系统 性，严密性和逻辑性。淡化数学证明和数学推导。

2、重视知识产生的历史背景知识介绍，激发学生的学习兴趣。每一个概念 的引入应遵循实例—抽象—概念的形成过程。

3、重视相关知识的整合。如在一元微积分部分，可将不定积分与定积分整 合，先从应用实例引入定积分的概念，再根据定积分计算的需要引入不定积分

4、强调重要数学思想方法的突出作用。强化与实际应用联系较多的基础知 识和基本方法。加强基础知识的案例教学，力求突出在解决实际问题中有重要 应用的数学思想方法的作用，揭示重要的数学概念和方法的本质。例如，在导 数中强调导数的实质——变化率；在积分中强调定积分的实质—无限累加；在 微分中强调局部线性化思想；在极值问题中强调最优化思想；在级数中强调近似计算思想。

5、注重培养学生用数学知识解决实际问题的意识与能力。

6、根据学生实际水平，有针对性地选择适当（特别是在例题、习题、应用 案例及实验题目等方面）的教学内容，应尽量淡化计算技巧（如求导和求积分 技巧等）。

知识模块顺序及对应的学时《高等数学》工科课程主要分为七部分的知识模 块，共需要用168个学时.1、一元函数微分学部分(极限、导数及其应用)，需用60个学时；

2、一元函数积分学部分(不定积分、定积分及其应用)，需用30个学时；

3、微分方程部分，需用12个学时。

4、向量代数与空间解析几何部分，需用24个学时；

5、多元函数微分学部分(偏导数及其应用)，需用22个学时；

6、多元函数积分学部分(二重积分及其应用)，需用8个学时；

7、无穷级数部分，需用30个学时； 课程的重点、难点及解决办法 1、课程的重点

本课程的研究对象是函数，而研究问题的根本方法是极限方法，极限方法贯 穿于整个课程。本课程的重点是教会学生在掌握必要的数学知识（如导数与 微分、定积分与重积分及级数理论等）的同时，培养学生应用数学的思想方 法解决实际问题的意识、兴趣和创新能力。

2、课程的难点

本课程的教学难点在于由实际问题抽象出有关概念和其中所蕴涵的数学思想，培养学生应用数学的思想方法解决实际问题的意识、兴趣和能力；一元函数 的极限定义并用定义证明极限、定积分的应用、多元复合抽象函数的求偏导，根据实际问题建立微分方程等内容是高等数学学习过程中的难点。

3、解决办法

对于工科类高等数学，讲授时一般以物理、力学和工程中的数学模型为背景 引出问题，采取启发式教学以及现代化教学手段，讲清思想，加强基础；注 意连续和离散的关系，加强函数的离散化处理，注意培养学生研究问题和解 决实际问题的能力；注意教学内容与建立数学模型之间的联系。在微积分学 的应用中，更是关注物理模型的建立和研究思想。另外，重点、难点内容多 配备题目，课堂讲解通过典型例题的分析过程和解决过程掌握重点、突破难 点；课外还布置一定量的练习题；最近几年以来，基础部学科建设发展迅速，研究成果和学术论文突飞猛进，学术环境和氛围极大改善。基础部科研和教 学活动的新的水平层次，为《高等数学》精品课程的建设和发展，提供了优 秀的学术环境和平台。

教 学 大 纲

一、内容简介

本课程的内容包括函数的极限与连续，微分及其应用，积分及其应用，常微分方程，空间解析几何与向量代数、多元函数微积分及其应用，无穷级数，线性代数初步，数学实验等。其中函数的极限与连续，微分及其应用，积分及其应用为各专业的基础部分。空间解析几何与向量代数、多元函数微积分及其应用，无穷级数，线性代数初步，数学实验为选学模块，各专业可根据专业培养目标的要求，选学相应的教学内容。

二、课程的目的和任务

为培养能适应二十一世纪产业技术不断提升和社会经济迅速发展的高等技术应用型人才，教学中本着重能力、重应用、求创新的思路，切实贯彻“以应用为目的、理论知识以必需、够用为度”的原则，落实高职高专教育“基础知识适度，技术应用能力强，知识面较宽，素质高”的培养目标，从根本上反映出高职高专数学教学的基本特征，反映出目前国内外知识更新和科技发展的最近动态，将工程技术领域的新知识、新技术、新内容、新工艺、新案例及时反映到教学中来，充分体现高职教育专业设置紧密联系生产、建设、服务、管理一线的实际要求。在教学内容的组织上，注意以下几点：

1．注意数学知识的深、广度。基础知识和基本理论以“必需、够用”为度.把重点放在概念、方法和结论的实际应用上。多用图形、图表表达信息，多用有实际应用价值的案例、示例促进对概念、方法的理解。对基础理论不做论证，必要时只作简单的几何解释。

2．必须贯彻“理解概念、强化应用”的教学原则。理解概念要落实到用数学思想及数学概念消化、吸纳工程技术原理上；强化应用要落实到使学生能方便地用所学数学方法求解数学模型上。

3．采用“案例驱动”的教学模式。由实际问题引出数学知识，再将数学知识应用于处理各种生活和工程实际问题。重视数学知识的引入，激发学生的学习兴趣。每一个概念的引入应遵循实例—抽象—概念的形成过程。

4．重视相关知识的整合。如在一元微积分部分，可将不定积分与定积分整合，先从应用实例引入定积分的概念，再根据定积分计算的需要引入不定积分。

5．要特别注意与实际应用联系较多的基础知识、基本方法和基本技能的训练，但不追求过分复杂的计算和变换。可通过数学实验教学，提升学生对的数学问题的求解能力。加强基础知识的案例教学，力求突出在解决实际问题中有重要应用的数学思想和方法的作用，揭示重要的数学概念和方法的本质。例如，在导数中强调导数的实质——变化率；在积分中强调定积分的实质—无限累加；在微分中强调局部线性化思想；在极值问题中强调最优化思想；在级数中强调近似计算思想。

6．在内容处理上要兼顾对学生抽象概括能力、自学能力、以及较熟练的综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力以及创新能力的培养.真正体现以学生为主体，以教师为主导的辨证统一。

三、课程内容

第一章 函数的极限与连续

理解一元函数的概念及其表示；了解分段函数；了解复合函数的概念，会分析复合函数的复合过程。熟悉基本初等函数及其图形；能熟练列出简单问题中的函数关系；理解数列极限与函数极限的概念；会用极限思想方法分析简单问题；了解函数左、右极限的概念，以及函数左、右极限与函数极限的关系；掌握极限四则运算法则；理解函数连续、间断的概念；知道初等函数的连续性；会讨论分段函数的连续性。第二章 一元函数微分学及其应用

理解导数和微分的概念；能用导数描述一些经济、工程或物理量；熟悉导数和微分的运算法则和导数的基本公式；了解高阶导数的概念；能熟练地求初等函数的导数，会求一些简单函数的高阶导数，会用微分做近似计算；会建立简单的微分模型。第三章

导数的应用

会用罗必达解决未定型极限；理解函数的极值概念；会求函数的极值，会判断函数的单调性和函数图形的凹、凸性等；熟练掌握最大、最小值的应用题的求解方法。第四章

一元函数积分学及其应用

理解不定积分和定积分的概念；了解不定积分和定积分的性质；理解定积分的几何意义；熟悉不定积分的基本公式；掌握不定积分的直接积分法、第一类换元法和常见类型的分部积分法；熟练掌握牛（Newton）-莱布尼兹(Leibniz)公式；熟练掌握定积分的微元法，能建立一些实际问题的积分模型；会用微元分析法建立简单的积分模型；了解广义积分的概念.了解微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解等概念；掌握可分离变量微分方程及一阶线性微分方程的解法；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；会建立简单的微分方程模型。第五章

空间解析几何与向量代数

理解向量的概念，掌握向量的线性运算、点乘、叉乘，两个向量垂直、平行的条件；熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式；掌握用坐标表达式进行向量运算；理解曲面方程的概念，熟悉平面方程和直线方程及其求法；了解常用的二次曲面的方程，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解曲线在坐标平面上的投影。第六章

多元函数微分法及其应用 理解多元函数的概念；了解二元函数的极限与连续性概念及有界闭域上连续函数的性质；了解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件；掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数；会求隐函数的偏导数；理解多元函数极值和条件极值的概念，会求一些极值。第七章

二重积分

理解二重积分的概念，了解重积分的性质和几何意义；掌握二重积分的计算方法。第八章

无穷级数

了解无穷级数收敛、发散及和的概念，基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数和P-级数的收敛性；掌握正项级数的比较审敛法，比值审敛法；了解交错级数的莱布尼兹定理；了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系；了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；了解函数展开为泰勒级数的充要条件；会将一些简单的函数间接展开成幂级数。了解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件，会将定义在（-π,π）上的函数展开为傅里叶级数，并会将在（0，π）上的函数展开为正弦或余弦级数。知道傅里叶级数在工程技术中的应用。了解拉普拉斯变换和逆变换的概念，会求解简单信号函数的拉普拉斯变换和逆变换。第九章 线性代数初步

理解矩阵的概念；掌握用矩阵表示实际量的方法；熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律；熟练掌握矩阵的初等变换；理解逆矩阵的概念，会用矩阵的初等变换求方阵的逆矩阵。会建立简单的线性模型；熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。第十章 数学实验

数学实验是以实际问题为实验对象的操作实验，其教学不仅让学生了解和掌握一种数学实验软件，而更重要的是培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力。

四、课程的教学方式

本课程的特点是思想性强，与相关基础课及专业课联系较多，教学中应注重由案例启发进入相关知识，并突出帮助学生理解重要概念的思想本质，避免学生死记硬背。要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与微积分学的概念结合起来，使学生体会到数学学习的必要性。同时，注重各教学环节（理论教学、习题课、作业、辅导参考）的有机联系, 特别是强化作业与辅导环节，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力。教学中有计划有目的地向学生介绍学习数学与学习专业课之间的关系，学习数学是获取进一步学习机会的关键学科。

五、各教学环节学时分配

序号教学模块理论课时习题课时实 验共计备注

1函数的极限与连续166 22各专业的公共基础 2 导数与微分204 24 3导数的应用104 14 4一元函数积分及其应用228 30

常微分方程102 12轻化、电子、计算机、经济类学生选

5空间解析几何与向量代数186 24轻化、电子、计算机类学生选 6多元函数微积分及其应用166 22轻化、电子、计算机类学生选

7二重积分62 8 8无穷级数246 30电子、计算机类学生选

9线性代数初步144 18电子、计算机、经济类学生选 10 实验

六、执行大纲时应注意的问题

1.大纲以高职高专各专业为实施对象。

2.模具和高分子专业增加极坐标和曲率；电子专业增加拉普拉斯变换。3.数学实验课程视情况开设。

教学效果

高等数学课程是一门十分繁重的教学任务，不仅学时多、面对学生人数多，而且责任大。学校、系、学生都十分关注这门课程的教学质量，它涉及到后续课程的教学，特别是它影响培养人才的质量和水平。基础部历来非常重视高等数学的教学质量，积极组织教师开展教学研究，要求任课教师认真负责地对待教学工作，备好、讲好每一节课。多年来高等数学的教学质量和教学水平一直受到学校和学生的好评。

从课堂表现可以看出教师备课是充分的。讲授熟练，概念清楚，重点突出。特别是贯彻启发式教学，教与学互动，课堂提问讨论，学生课堂解题等，师生配合较好，课堂气氛活跃，调动了学生的学习积极性。教师们经常讨论各章节的重点难点应如何处理，如何分析引出概念，如何贯彻启发式教学，哪些问题要留给学生自己解决。这种教学研讨一学期要有十多次，有时几乎每周都有安排。严谨治学、严格要求、教书育人、为人师表是基础部的优良传统，可以说高等数学教研室在师资队伍建设上成绩是突出的。高等数学在教学改革上，准备将数学建模和数学实验引入高等数学教学中，从而来提高学生学习兴趣，尝到数学应用的益处，提高学数学的积极性

课程的方法和手段

本课程运用现代教育技术、采用多种教学手段相结合的方式。大多数教师在教学中使用powerpoint课件、电子教案、模型教具等辅助手段，使教学内容的表达更生动、直观，有效提高了教学效果。采用多媒体辅助教学的教师比例达到100%。具体情况如下：

1．坚持“少讲、留疑、迫思、细答、深析”的教学原则，试点“讨论式”、“联想式”、“逆反式”等教学方法。

高等数学是学生进入大学后首先学习的课程之一，内容难以理解，课堂教学容量大。如何培养学生独立学习的能力，也是教师义不容辞的责任。为转变学生中学养成的依赖教师的学习习惯，尽快适应大学学习生活，我们在教学中提出“少讲、留疑、迫思、细答，深析”的教学 原则，开展了“讨论式”、“联想式”、“逆反式”等教学方法，收到了较好的效果。

2．提倡研究式学习方法，培养学生初步进行科学研究的能力和创新精神

工科学生学习数学的主要目的，是能将所学数学知识用于专业研究中。为激发学生的求知欲、锻炼学生的初步研究能力、培养学生的综合素质与创新精神，我们尝试在部分班级开展研究式的学习方法。具体方法是：将部分教学内容改造成研究问题，让学生通过课程学习、查阅资料、相互讨论等形式思考研究问题。例如针对微分方程的应用、各种定积分的比较研究等问题开展这项活动，学生反映很好。

3．传统教学手段与现代教学手段结合，提高教学效果

在部分内容保留传统教学方式的基础上，积极运用现代教育技术，探索计算机辅助教学的模式，研制电子教案，并在部分班级进行试点。例如：我们利用电子教案讲授空间解析几何、重积分等内容，使一些空间图形的演示更直观、更清楚，便于学生理解和掌握。

4．加强课下辅导，及时为学生排疑解难

课下的辅导答疑是高等数学教学的重要环节，为加强这个环节，我们安排了正常的辅导答疑。

5．积极开展课外科技活动

为配合高等数学的教学工作，我们准备开设《Mathematica》和《数学建模》两门院级选修课，为基础较好的学生提供进一步提高的机会。同时，积极组织学生参加数学建模竞赛。

第四篇：高等数学

考研数学：在基础上提高。

注重基础，是成功的必要条件。注重基础的考察是国家大型数学考试的特点，因此，在前期复习中，基础就成了第一要务。在这个复习基础的这个阶段中，考生可以对照教材把知识点系统梳理，逐字逐句、逐章逐节对概念、原理、方法全面深入复习，同时，还应注意基础概念的背景和各个知识点的相互关系，一定要先把所有的公式，定理，定义记牢，然后再做一些基础题进行巩固。

无论是高数、线代还是概率，都要在此阶段进行全面整理基本概念、定理、公式，初步总结复习重点，把握命题基本题型，为强化阶段的复习打下坚实基础结合常规教材和前几年的大纲，深刻理解吃透基本概念、基本方法和基本定理。考研数学是一门逻辑性极强的演绎科学，在对基本概念深入理解，对基本定理和公式牢牢记住后，才能找到解题的突破口和切入点。对近几年数学的分析表明，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理记不全、记不牢，理解不准确，基本解题方法掌握不好。所以说，我们切不可在基础上掉以轻心。

在掌握了相关概念和理论之后，首先应该自己试着去解题，即使做不出来，对基本概念和理论的理解也会深入一步。因为数学毕竟是个理解加运用的科目，不练习就永远无法熟练掌握。解不出来，再看书上的解题思路和指导，再思考，如果还是想不出来，最后再看书上的详细解答。看一道题怎么做出来不是最重要的东西，重要的是通过自己的理解，能够在做题的过程中用到它。因此，在看完这本书上的那些精彩的例题之后，关键要注意在随后的习题中选典型的来继续巩固。不过，要注意的是，基础对第一轮复习的考生显然是基础要求。不要因急于做难题不会而贬低自己的自信心，坚信等若干月复习之后回头看这些题就是小菜一碟。

数学成绩是长期积累的结果，准备时间一定要充分。要对各个知识点做深入细致的分析，注意抓考点和重点题型，在一些大的得分点上可以适当地采取题海战术。数学考试会出现一些应用到多个知识点的综合性试题和应用型试题。这类试题一般比较灵活，难度也要大一些。在数学首轮复习期间，可以不将它们作为强化重点，但也应逐步进行一些训练，积累解题思路，同时这也有利于对所学知识的消化吸收，彻底弄清楚有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。

数学基础复习就要关注：教材、做题、独立思考。这些都是缺一不可的。教材是获得基本知识的必要前提，是基础，懂了教材才有可能做对题目。做题是关键，是目的。只有会做题，做对题目，快速做题才能应付考试，达到目的。思考是为了更有效的理解教材和做对题目。所以我们要向提高自己的做题能力，就千万不能在基础阶段大意而导致之后进去的路上失去先机，这样就会在后期多走弯路，切记!考研数学：进入备考状态，培养综合能力

要进行全面完整的复习，大多数考生现在已经开始了考研的相关准备并进入了考研状态。现在可以看做是考研的第一个阶段：基础阶段。在这个阶段，我们必须明确自己的目标，并对自己的实力有个初步的判断。在此基础上，开展我们的初步复习。因为对自己的了解，才能作为我们复习时的参考，让我们知道从哪些方面开始，哪些知识点要多下些功夫，而有些自己掌握较好的部分则可以少用点时间，从而对时间进行最有效率的分配，获得最佳效果。现在的阶段是奠定良好基础的关键部分。在这个阶段，主要是让自己慢慢融入考研这个大事中，培养自己的考研心态和状态。

考生都很关心具体该如何开始复习，进行初级基础阶段的复习。对考研最终的胜利至关重要。特别是公共课数学，相信考生也已经意识到了这门学科的重要性和复习的难度。下面，跨考教育数学教研室牛秀艳老师就此为考生做一些复习指导建议。

首先，合理安排时间。基础阶段的复习，因为要进行整体全面的学习，所有时间是较长的，考生要有一个详细的安排和计划。考生应尽量保证在暑假前完成这一阶段的复习。基础阶段的复习主要依据考试大纲(现阶段年新大纲发布前可先依据上一年考研数学大纲)，清楚哪些是重要的考点，哪些是不考的内容，熟练掌握基本概念、定理、公式及常用结论等内容，为后期的学习(强化和冲刺阶段)打下牢固的基础。

对于教材，也要给予足够的重视。教材的作用，考生一定不能忽视。很多定理公理，都可以在书中多次翻看，达到真正理解的程度。一般来说，推荐同济五版的高数、清华二版的线代、浙大三版的概率。这些都是非常好的“陪读”教材，在考研复习中不可或缺。那么在理解了基础理论的时候，我们做题就会更加得心应手。这个阶段，虽然做题不是重点，但要以做适当数量的题目来辅助我们理解那些基础知识点。“万丈高楼平地起”，没有好的地基就盖不出高大壮观的建筑。我们考研就是建设的过程，所以要从底层做起。不能忽视底层的建构，而且基础建设耗费时间虽长，但更能说明这个阶段的重要性。有个这个阶段良好的基础，在一层一层盖楼的过程中，才能真正感受到“磨刀不误砍柴工”的作用。在后续各个阶段的复习中，将会获得更充足的动力。

做题时，如果遇到有些对概念、定理模糊不确定的时候，可以去看教材，用教材题目相结合的方法。光看教材也许容易看了后边的忘了前边所学的内容，所以在做题中、在复习的时候要不断的巩固，加强对基础知识点的理解。要做自己所选教材后边的一些配套的基础性的练习题，勤动手，同时对于一些自己不会做得题目，多思考，多问自己几个为什么。有些具有一定难度的题目，可能需要参考标准答案，此时一定要认真把思路做个复习概括。多总结，总结是任何时候都不过时的。多想想以后遇到类似的题目，自己应该从哪些方面去思考，这样慢慢积累，就会成为自己的知识，被自己所用。

对于知识点的复习，考生可以有重点的复习。为了更能把时间用在刀刃上，建议考生结合前几年的大纲，找准考点。从历年的考研试卷分析，凡是大纲中提及的内容，都是可能的考点，甚至自己认为是一些不太重要的内容，也完全有可能在考研试题中出现。所以，对于大纲中提到的考点，要做到重点、全面、有针对性的复习。不仅要在主要的内容和方法上下功夫，更要注重寻找各个知识点之间的联系。近年来，考研数学越来越注重综合能力的考查，这也是以后命题的一个趋势。而综合能力的培养以及提高，源于自己平时的积累与练习。

考研高数：极限中的“极限”(一)

相信大家已经把高数的复习已经结束，开启概率和线代的复习，不知道对自己高数的复习是否满意，是否达到了我们的“三基本”呢?接下来，跨考教育数学教研室佟庆英就和大家梳理一下我们做过的极限。

说到极限应该是我们三大计算中的第一大计算，每年考研真题必出，无论是数一数二数三还是经济类数学，可以出选择题也可以出填空题，更可以出解答题，题目类型不同，分值也不同，4分或者10分，极限的思想也就更是重要之重了，原因就是后来所有的概念都是以极限的形式给出的。下面，我们就看看极限在基础阶段到底应该掌握到什么程度。

第一，极限的定义。理解数列极限和函数极限的定义，最好记住其定义。

第二，极限的性质。唯一性，有界性，保号性和保不等式性要理解，重点理解保号性和保不等式性，在考研真题里面经常考查，而性质的本身并不难理解，关键是在做题目的时候怎么能想到，所以同学们在做题目的时候可以看看什么情况下利用了极限的保号性，例如：题目中有一点的导数大于零或者小于零，或者给定义数值，可以根据这个数值大于零或小于零，像这样的情况，就可以写出这一点的导数定义，利用极限的保号性，得出相应的结论，切记要根据题目要求来判断是否需要，但首先要有这样的思路，希望同学们在做题时多去总结。

第三，极限的计算。这一部分是重中之重，这也是三大计算中的第一大计算，每年必考的题目，所以需要同学们能够熟练地掌握并会计算不同类型的极限计算。首先要知道基本的极限的计算方法，比如：四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹逼定理、单调有界收敛定理，除此之外还要泰勒展开，利用定积分定义求极限。其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展，比如：四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限，是无穷比无穷形式的，分别抓分子和分母的最高次计算结果即可)，等价无穷小替换中要掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用，加减法中不能直接应用，如需应用必须加附加条件，计算中要掌握基本的等价无穷小替换公式和其推广及凑形式，进一步说就是第一要熟练掌握基本公式，第二要知道怎么推广，也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替换，并且要验证在x趋于某一变化过程中f(x)会否趋近于零，满足则可以利用推广后的等价无穷替换公式，否则不能。

下面给出推广后公式：f(x)→0,f(x)～sinf(x)～arcsinf(x)～tanf(x)～arctanf(x)～expf(x)-1～ln(f(x)+1),1-cosf(x)～0.5(f(x))2,(1+f(x))a～af(x)。

第三要能将变形的无穷小替换公式转化为标准形式，比如：公式中固定出现的“1”和f(x)为无穷小量。希望同学们在做题目的时候多加注意，熟能生巧。

考研高数：极限中的“极限”(二)

前面我们已经介绍了等价无穷小替换公式的应用及注意事项，接下来，跨考教育数学教研室佟老师为大家继续说说极限的计算方法。

极限的第三种方法就是洛必达法则。首先，要想在极限中使用洛必达法则就必须要满足洛必达法则，说到这里有很多同学会打个问号，什么法则，不就是上下同时求导?其实不尽然。

洛必达有两种，无穷比无穷，零比零，分趋近一点和趋近于无穷两种情况，以趋近于一点来说明法则条件，条件一：零比零或者无穷比无穷(0/0，∞/∞);条件二：趋近于这一点的去心领域内可导，且分母导数不为零;条件三：分子导数比分母导数的极限存在或者为无穷，则原极限等于导数比的极限。

在这里要注意极限计算中使用洛必达法则必须同时满足这三个条件，缺一不可，特别要注意条件三，导数比的极限一定是存在或者为无穷，不能把无穷认为是极限不存在，因为极限不存在还包括极限不存在也不为无穷这种情况，比如：x趋近于零，sin(1/x)的极限不存在也不为无穷。每次使用都必须验证三条件是否同时满足。

再来看看重要极限，重要极限有两个，一个是x趋近于零时，sinx/x趋近于零，另一个是x趋近于零时，(1+x)1/x趋近于e，或者写成x趋近于无穷，(1+1/x)x趋近于e(1∞形式)，总结起来就是(1+无穷小量)无穷小量的倒数，所以要记住重要极限的特点，并可以将其推广，即把x换成f(x)，在f(x)趋近零，sinf(x)/f(x)趋近于零，(1+f(x))1/f(x)趋近于e，或f(x)趋近无穷，(1+1/f(x))f(x)趋近于e，还要注意当给你幂指函数的极限计算，先要判断他是不是1∞形式，如果是，就可以考虑利用重要极限解决，凑出相应的形式就可以得出结论。

这里还要特别的提一下几个未定式(∞-∞，0·∞，1∞，00，∞∞)，这五个未定式需要转化为0/0或∞/∞,其中∞-∞可以通过通分、提取或者代换将其转化，0·∞可以将0或者∞放在分母上，以实现转化，1∞，00，∞∞利用对数恒等变化来实现转化，其中1∞还可以利用重要极限计算。

综上所述，等价无穷小替换和重要极限要掌握基本公式和推广，可以将任意变形公式转化为标准形式，并且给定一个极限首要任务就是利用等价无穷替换公式化简。洛必达法则处理七种未定式，灵活地将不同形式的极限转化为0/0或∞/∞，计算时注意满足洛必达法则的三个条件，希望同学们可以掌握基础，灵活地解决不同类型的极限。

第五篇：高等数学上册

《高等数学》上册

一、函数与极限

1.函数基本概念—了解

1． 集合及集合的运算

2． 数轴、无穷大和无穷小的几何表示、区间 3． 常量和变量

4． 函数的定义和函数的表达方式 5． 函数的定义域和函数的计算 6． 基本初等函数

7． 复合函数和初等函数 8． 分段函数

2.函数的极限及运算法则—理解极限的含义，会计算求极限的题目；涉及范围较广，高等数学上册下册均有求极限的题目，极限的方法是研究函数的工具。（不会涉及证明用极限定义证明极限的题目）

1． 数列及数列极限 2． 函数的极限

3． 无穷大和无穷小的极限表示

4． 无穷大和无穷小的关系及无穷小的性质（运算注意前提条件有限个和无限个的区别）5． 极限的有界性定理及应用

6． 复合函数求极限（变量代换的方法）

3.两个重要极限（两个极限的运算法则的条件、推广和应用）

1． 第一个重要极限

2． 第一个重要极限的应用 3． 第二个重要极限

4． 第二个重要极限的应用（注意：单调 且有界是证明题的关键部分）4.无穷小的比较

等价无穷小及其应用

重要部分！5.函数的连续性和间断点

1． 增量

2． 函数连续的两个定义 3． 左连续和右连续

4． 函数的间断点分类（重要，出小题）

5． 连续函数四则运算的连续性（运算法则的条件、推广和应用）6． 反函数和复合函数的连续性

7． 连续函数的性质（注意：闭区间上连续函数的性质，重要，但一般不单独出题）一致连续性不用看 练习题一

2.导数与微分（重要,小题必考章节！）1.导数的定义和导数四则运算法则

1． 导数的定义（重要），2． 导数的几何意义（理解；其中数一数二导数的物理意义；数三，经济意义、边际函数、弹性函数）

3． 函数可导性与连续性的关系（必需的！）4． 求导公式表（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 函数导数的四则运算（必需的，熟悉到1+1=2！）2.不同类型函数的求导法则及高阶导数

1． 复合函数的求导法则（必需的，熟悉到1+1=2！）2． 隐函数的求导法则（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 参数方程所确定的函数的求导法则（小题，理解！多元隐函数的求导）4． 高阶导数（重要）

3.函数的微分及应用（理解，重要同导数必考，小题）

1． 微分的定义

2． 微分的几何意义

3． 微分的基本公式和运算法则 4． 复合函数的微分公式

5． 利用微分进行近似计算（除去不用看）练习题二

3.导数的应用（考大题 难题，重要章节！）

1.中值定理和洛必达法则（中值定理包括费马定理的应用及相关的证明题，必须会做证明题！）

1． 罗尔定理及几何意义

2． 拉格郎日中值定理及几何意义

3． 利用拉格郎日中值定理证明不等式

4． 洛必达法则（必考;泰勒公式及其应用，参照张宇的老师的导学或视频）2.函数的极值和最值（考小题，单调性及极值点、最大值最小值）

1． 函数的单调性及判断 2． 函数的极值 3． 函数的最值

3.曲线的凸凹性，拐点及函数作图（考小题，单调性及极值点、凹凸性及拐点、渐近线的定义理解）

1． 曲线的凸凹性及判断 2． 曲线的拐点 3.曲线的渐近线

4.函数作图（会大致描绘图形帮助做题）5.曲率

（了解即可）练习题三

4.不定积分（重要！运算的基础知识。与数

一、数三相比，数二有可能大题。）

1.不定积分的概念和基本公式

1． 原函数与不定积分（理解原函数）

2． 不定积分的定义（必需的，熟悉到1+1=2！）3． 不定积分的性质（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 基本积分表（必需的，熟悉到1+1=2！）5． 直接积分法（必需的，熟悉到1+1=2！）2.换元积分法

1． 换元积分法的引入

2． 第一类换元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 第一类换元法的应用（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 第二类换元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 第二类换元法的应用（必需的，熟悉到1+1=2！）3.分部积分法和不定积分技巧的综合应用

1． 分部积分法（必需的，熟悉到1+1=2！）

2． 被积函数和积分变量的选取（必需的，熟悉到1+1=2！）

3.有理函数的积分（重要，常见的一些题型，基本的运算方法的综合利用）4.综合题举例（积分表不必看）

5.定积分（重要！非常重要，是多元函数的二重积分，三重积分，线面积分的基础）1.定积分的定义和基本运算

1． 定积分的定义（理解！）

2． 定积分的性质

3． 变上限的积分函数（理解！）

4． 牛顿—莱布尼兹公式 各种题型的必需的，熟悉到1+1=2！

2.定积分的换元法和分部积分法

若不定积分学好，这一部分涉及的计算应该1． 定积分的换元法 很简单！2． 定积分的分部积分法

3． 利用方程和数列求定积分

常见的各种类型的题目一定要熟悉，再熟悉，3.广义积分（理解！考小题）再再熟悉，怎么熟悉都不为过！

1． 积分区间为无穷区间的广义积分 一元函数的极限，导数，微分，不定积分，定2． 被积函数有无穷间断点的广义积分（Г积分这是高等数学的基础，根本所在；然后多函数不用看）元函数（二元函数）的类似运算，只要把定义4.定积分的运用（会应用）相关推理过程理解了，则 自然会有 水到渠成1． 定积分的元素法 效果，难点不再难点！2． 利用定积分求平面图形面积

3． 利用定积分求体积（数三只看旋转体 体积）

4.曲线的弧长（数

一、数二公式记住，数 三不考）