利用勾股定理解折叠问题.

第一篇：利用勾股定理解折叠问题.

利用勾股定理解折叠问题 一．知识储备：

（1）一般地，只要给出了直角三角形中任意两边长，则可求出第三边。（应用时要注意那个角为直角。）

例如：已知直角三角形ABC, 若AB=13,AC=12,则以BC 为边长的正方形面积为＿

＿。（分类讨论的思想）

（2）特别注意：勾股定理与直角三角形面积，等腰直角三角形的结合题目。

（1）S △ABC=21 ×AB ×BC=21

×AC ×h（h 为AC 边上的高）利用这个等式建立方程。（2）等腰三角形的“三线合一”，等腰直角三角形只要知道一条边长就可以求出其它边长。

例如．在ABC ∆ 中，ACB ∠=900，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB 于点D, 求CD 的长。（3）构造直角三角形

一般三角形的线段计算问题，可以通过作垂线构造出直角三角形，利用勾股定理。例如：已知：△DEF 中，DE=17㎝,DF=10㎝，EF=21㎝，求EF 的长。

二．折叠问题

折叠问题与轴对称和图形全等是密不可分的.折叠前后，重合线段相等，重合角相等。利用勾股定理列方程是常用方法。做题时一定要抓住这一点, 以免有无从下手。

D 例如：如图, 把长方形纸片ABCD 折叠, 使顶点A 与顶点C 重合在一起,EF 为折痕。若AB=3,BC=9.点D 对应点是G(1 求BE(2 求△AEF 面积(3 求EF 长(4 连接DG, 求△DFG 面积 三．强化练习

1.有一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,将 ABC 折叠，使 点B 与点A 重合，者恒为DE，求CD 的长。

E B 知识链接： 勾股定理---------千古第一定理

勾股定理是初等几何中的一个基本定理，是人类最伟大的十个发现之一。在西方希腊毕达哥拉斯对本定理有所研究，故被称之为“毕达哥拉斯定理”。我国的《周髀算经》中就有对勾股定理的记载，为了纪念古人的伟大成就，就这个定理定名为“勾股定理”。（1）勾股定理是数与形的第一定理。

（2）勾股定理导致无理数的发现(第一次数学危机。

（3）勾股定理中的公式是第一个不定方程，每组勾股数都为它的解。勾股定理的变式： a 2 = c2－b 2 , b 2= c2－a 2, a=22b c-, C =22b a +, b =22a c-（直角三角形的三边长分别为a,b,c）1.已知直角的两条边长分别为5和12，求第三边长。

2.已知 ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高AD=12，求BC 的长。（分类讨

E D C

B A 特殊平行四边形中的动点问题

例1：如图：边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，E 是异于A、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足AE+CF=a，证明：不论E、F 怎样移动，三角形BEF 总是等边三角形．

例2：如图，正方形ABCD 中，边长为2，点P 是射线DC 上的动点，DM ⊥AP 于（1）当点P 与C、D 重合时，DM+BN的值分别为＿＿＿（2）当点P 不与C、D 重合时，试猜想DM2+BN2 的值，并对你的猜想加以证明

A

例

3、如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 边的中点，点P、Q 为BC 边上两个动点，且PQ=2，当BP= ＿＿＿＿时，四边形APQE 的周长最小．

C B A D C Q P A 矩形中折叠问题

折叠问题与轴对称和图形全等是密不可分的.折叠前后，重合线段相等，重合角相等。利用勾股定理列方程是常用方法。做题时一定要抓住这一点, 以免有无从下手。

例如：如图, 把长方形纸片ABCD 折叠, 使顶点A 与顶点C 重合在一起,EF 为折痕。若AB=3,BC=9.点D 对应点是G（1）求BE（2）求△AEF 面积（3）求EF 长（4）连接DG, 求△DFG 面积

（5）连接CF，四边形AFCE 是什么四边形？

E D C B A

第二篇：正方体折叠问题小结

0 基本形 A和a相对

Aa 1 如下图所示的Z字形平面展开图，折成立体时，两端图形一定是相对的，如下图所示，这是最普通的Z字形，容易想象，A和a是相对的。

aA

基于上面原理，可以判断出，下图中A和a相对，B和b相对，C和c相对。

ABCabc 下面这个图，不存在那种普通Z字形，但是可以很容易判断出，A和a相对，B和b相对，C和c一定相对吗？如果这个展开图可以构成立方体的话，那就一定相对了。那一定能构成立方体吗？这个就需要空间想象一下或者试验一下。有时，题目直接告诉，这个图形可以折成正方体，只是需要我们判断哪些面是相对的。这样的话就可以判断出来，C和c是相对的。一般来说，只要我们从平面展开图，分析处一个面存在两个对面的情形时，那就一定不能折成正方体。

cAC 怎么在平面展开图中判断在平面展开图中不相邻但是在折起来之后在立体图中相邻的两个面A和B的邻边? 一般来说，如果在平面展开图上A和B不相邻，那么A与B的对面b相邻，也就是说我们容易找到A与b的相邻边，我们又知道，A与B的邻边上的点一定在B上，而A与b邻边上的点一定在b上，而立体图中B与b相对，所以A与b邻边上的点一定不在B上，所以A与B的邻边一定不包含这A与b邻边上的两个点，在A上有三条边与这两个点有关，这样A只有一条边与这两个点无关，从而判断出这个边是A与B的邻边。

补充说明：

因为立体图中A与B的邻边上的两个点都在B上，所以如果能判断出平面展开图中A的某一边中有一个点在立体图中不在B上，那么平面炸开图上A的这条边在立体图中一定不是A与B的邻边。Bab基础：在平面图上相邻，在立体图中一定相邻，在平面图上的邻边一定也是立体 图上的邻边。所以A与b在平面图上的邻变是line的话，那么在立体图上line也一定是他们的邻边，立体图中邻边line上的点在b上，因为邻边line上的点一定不在B上（因为b与B相对）而A的4条边有三条与这两个点有关，只有1条边与这条边无，所以立体图中，A与b的邻边是剩下的那条边。显然这个分析过程用的是排除法。3 标点法

标记特殊点进行分析。有时需要判断一个面内各个点的时针顺序来做题，外表面平面展开图一个面内各个点时针顺序 应该与立体图中相应的面各个点时针顺序是一样的，要么都是顺时针，要不都是逆时针。还有时用到的是一个面中几个边的时针顺序在平面展开图与立体图中一致这个性质。比如在平面展开图中一个面中三个边la，lb，lc满足从la到lb到lc再到la是顺时针顺序，那么在立体图中这个面的这三条边la，lb，lc也满足这个性质。

第三篇：课题学习利用拼图验证勾股定理)

拼图与勾股定理教学设计

教学目标：

1．经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值；

2．通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。

3．通过利用微机进行丰富有趣的拼图活动增强学生对数学学习的兴趣；通过探究总结活动，让学生获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；在合作学习活动中发展学生的合作交流的意识和能力。

4、熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。

教学重点

1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。

教学难点

1．利用“直角三角形”，“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。

2．利用数形结合的思想方法验证勾股定理。

教学用具

电脑及使用flash软件制作的课件

教学过程

一、创设情境——勾股史话环节

师：前面我们已经学习了勾股定理，勾股定理的内容是什么呢？（提问学生）

师：你都知道关于勾股定理的哪些历史故事？你想了解更多的勾股定理的知识吗？请同学们跟我一起点击屏幕上的“开始”按钮，进入勾股史话环节，去了解古今中外人们对勾股定理的研究和设想，感受一下勾股定理的文化内涵。（让学生自主学习）

师：同学们看完之后有什么感想呢？

（提出问题让学生自主思考再提问学生）

师：让我们动起手来利用拼图验证勾股定理吧！

二、尝试拼图，验证定理

（一）“动手拼一拼”环节

师：观察勾股定理a2+b2=c2中的a2，b2和c2你想到了什么？

（引导学生说出是正方形，为后面的拼图要拼成正方形打下伏笔。）师：我们只要拼成边长分别是多少的正方形即可？

（生会回答出： a,b,c）

师：进入“动手拼一拼”环节，大家利用拼版中提供的全等的直角三角形根据操作说明进行拼图验证勾股定理，现在将鼠标放在三角形上可将三角形任意拖动，拼版右边设置了六个旋转按钮，能使选中的三角形按顺时针或逆时针旋转450或50或10，单击“恢复”按钮可使所有三角形返回原来的位置。同学们先自主完成，若有困难可以点击屏幕上的“小博士”请教。点击“返回”按钮继续根据提示进行拼图即可。俗话说：“敢拼就会赢”，相信只要你敢于动手拼，一定会成为拼图能手！

（让生自己动手去拼图，然后小组交流）

师：有请2组展示他们的拼图图案。哪组还有补充？

师：看来我们同学都是名副其实的拼图高手。

师：那你能继续发挥聪明才智，用你的拼图验证勾股定理吗？每小组选择一种完成，并派代表展示你们小组的验证过程。

（让学生展示他们的验证过程）

第一种：（b－a）2 + 4×ab=c2，a2 ＋ b2 =c

2师：大家知道吗？这就是弦图，它最早是由三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时给出的。弦图还是2002年在北京召开的国际数学大会的会标图案，它标志着中国古代的数学成就，它更像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。这充分显示了中国人对数学的热爱和探索精神。今天，我在你们身上也看到了这种精神。

第二种：（a+b）=c + 4×ab，a ＋ b =c 第三种：（a+b）=ab + c+ab，a ＋ b =c

师：你们知道吗？这种方法也是美国总统加菲尔德的验证方法，这种方法也

被称为总统证法。同学们的聪明劲一点不亚于美国总统。

（二）“五巧板验证”环节

师： 大家都知道七巧板吧，那你知道数学中有五巧板吗？我们能利用五巧板验证勾股定理吗？请同学们跟我一起进入“五巧板验证”环节。点击“步骤”按钮，观察五巧板的制作流程，从而熟悉五巧板的构成。我们尝试一下能否用一副五巧板进行拼图验证勾股定理。请同学们动手拼一拼。

师：通过拼图同学们有何发现？先自主思考然后小组交流一下。

师：这位同学总结的非常好，以直角三角形三边画三个正方形，只要把以斜边为边的正方形制成五巧板，把这五块拼在另两个正方形中就可以验证勾股定理。

师：会用一副五巧板验证勾股定理，那你会用两幅五巧板拼图验证勾股定理吗？同学们先自主完成，有困难的同学可以向小博士请教。我们比一比谁是拼图高手？（让学生展示作品）

师：看来同学们都是心灵手巧的人。

师：通过刚才的展示你能总结一下利用五巧板拼图的要点吗？小组总结。利用五巧板拼成三角形或任意四边形能验证勾股定理吗？ ***2212222

（让学生进一步理解拼图验证勾股定理必须拼成正方形）

三、了解学习其他验证方法

（一）“青朱出入图”环节

师：大家想不想再进一步了解古今中外还有哪些验证方法？

师：进入“青朱出入图”环节。学习一下三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注时，用“出入相补法”证明勾股定理的方法。证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。

（二）“达芬奇验证“环节

师：领略了中国古人的验证方法，再让我们再来了解一下外国人的验证方法。我们都知道达﹒芬奇是一位著名的画家，但很少有人知道他对勾股定理也有研究，让我们一起进入“达芬奇验证“环节，了解一下他是如何验证勾股定理的。

四、总结提升

师： 学习和了解了这些验证勾股定理的方法，你能不能总结一下可分为几种类型？

（小组讨论并展示，师最后总结）

师：可分为两种类型：一是：以赵爽的“弦图”为代表用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，除了勾股定理，还有我们学过的平方差公式和完全平公式。二是：以刘徽的“青朱出入图”为代表的无字证明。以上的证明方法都从几何图形的面积变化入手，运用了数形结合的思想方法。

五、分享收获

师：时间过的真快，相信每位同学都满载而归，每组派个代表，将你们组获得的知识与大家一起分享吧！(让学生自己展示)

六、拓展延伸

师：最后请同学们欣赏一颗美丽而神奇的树。它是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的勾股定理树也称为“毕达哥拉斯树”。它使我们大家深刻的感受到了几何之美。在欣赏之余思考最外围所有小正方形的面积之和与哪个正方形的面积相等？

七、结束语

勾股定理的发现、验证过程蕴涵了丰富的文化价值，古今中外已经发现了有370多种证明方法，希望同学们课后能通过上网查阅相关资料，一起走进神秘的勾股世界，去了解更多的验证方法。

第四篇：折纸盒---正方体折叠问题小结-20170830

仅供参考，希望对大家有所启发：

0 基本形 A和a相对

Aa 1 如下图所示的Z字形平面展开图，折成立体时，两端图形一定是相对的，如下图所示，这是最普通的Z字形，容易想象，A和a是相对的。

aA

基于上面原理，可以判断出，下图中A和a相对，B和b相对，C和c相对。

ABCabc 下面这个图，不存在那种普通Z字形，但是可以很容易判断出，A和a相对，B和b相对，C和c一定相对吗？如果这个展开图可以构成立方体的话，那就一定相对了。那一定能构成立方体吗？这个就需要空间想象一下或者试验一下。有时，题目直接告诉，这个图形可以折成正方体，只是需要我们判断哪些面是相对的。这样的话就可以判断出来，C和c是相对的。一般来说，只要我们从平面展开图，分析处一个面存在两个对面的情形时，那就一定不能折成正方体。

cAC Bab运用上面的方法我们容易判断出折成正方体后，平面展开图中那两个正方形相对，也就进而判断出那些正方形相邻。怎么在平面展开图中判断在平面展开图中不相邻但是在折起来之后在立体图中相邻的两个面A和B的邻边? 一般来说，如果A和B在平面展开图在折成正方体后A和B相邻，且A和B在平面展开图中不相邻（这里的在平面展开图中不相邻指的是在平面展开图中没有公共点），那么在平面展开图中A与B的对面b一定相邻（这里的在平面展开图中两个正方形相邻指的是在平面展开图中两个正方形至少有一个公共点）。（这个结论可以进行实例验证）

也就是说在平面展开图中我们容易找到A与b的相邻边，我们又知道，折成正方体后A与B的邻边上的点一定在B上，而平面展开图中A与b邻边上的点在折成正方体后一定仍然在b上，而立体图中B与b相对，所以A与b邻边l上的点一定不在B上，所以平面展开图中正方形A中经过l的端点的边一定不是平面展开图折成正方体后A与B的临边（因为如果A中经过l的端点的边是折成正方体后A与B的临边，那么折成正方体后l的端点一定在A上，而我们前面已经判断出平面展开图折成正方体后l上的点在A的相对面A’，即不在A上，所以矛盾，故A中经过l的端点的边不是平面展开图折成正方体后A与B的临边），而正方向A中四条边只有一条边，即正方形与l平行的边，不经过l的端点。

小结下：判断出平面展开图中正方形A与B折成正方体后相邻后，如果我们想知道面平面展开图中正方形A中哪条边折成正方体后是B的临边，应该怎么判断呢？

首先在平面展开图中找到B的相对面B’（即找到平面展开图哪个正方形折成正方体后与B相对），平面展开图中B’与A的临边一般很好判断，确定了平面展开图中B’与A的临边之后，正方形A中那条与该临边平行的边就是折成正方体后面A中与面B相邻的边。同理可以找到B中哪条边在平面展开图折成正方体后与面A相邻。首先在平面展开图中找到平面展开图折成正方体后面A的相对面，平面展开图中，面A的相对面A‘与面B的临边一般很好判断，即很容易确定正方形B中哪条边在折成正方体后是面A‘的临边，正方形B中与该临边平行的边就是折成正方体后B中与面A的相临的边。

即如果我们想判断A哪条边与某个面B的临边，我们需要在平面展开图中正方向B的相对面。如果我们要判断B的哪条边在折成正方体后与A相邻，我们需要在平面展开图中判断A的相对面。

上面已经叙述了如何判断出平面展开图中两个相邻面的相邻边，这种方法继续使用还可以判断出平面展开图这两个相邻面的相邻边那个点对应哪个点。举例说明如下：使用上面的方法容易判断出折成正方体后A和c的临边是l1和l2即折成正方体后，l1和l2重合，是一条边。但是折成正方体后点P1与P3重合呢还是与P4重合呢？判断方法如下，再次使用上面的方法容易判断出下面的平面展开图折成正方体后c和B的临边是l3和l4，显然在平面展开图中P1是l1和l3的交点，折成立方体后仍然是l1和l3的交点，在平面展开图中P折成立方体后仍然是l2和l4的交点，由于折成立方体后，3是l2和l4的交点，l1和l2重合，l3和l4重合，所以P1和P3重合，如此就判断出了折成立方体后P1与P3重合，也就知道了P2与P4重合

l3P1l1P2P4l2cP3l4ACBab

补充说明：

因为立体图中A与B的邻边上的两个点都在B上，所以如果能判断出平面展开图中A的某一边中有一个点在立体图中不在B上，那么平面炸开图上A的这条边在立体图中一定不是A与B的邻边。

基础：在平面图上相邻，在立体图中一定相邻，在平面图上的邻边一定也是立体图上的邻边。所以A与b在平面图上的邻变是line的话，那么在立体图上line也一定是他们的邻边，立体图中邻边line上的点在b上，因为邻边line上的点一定不在B上（因为b与B相对）而A的4条边有三条与这两个点有关，只有1条边与这条边无，所以立体图中，A与b的邻边是剩下的那条边。显然这个分析过程用的是排除法。标点法

标记特殊点进行分析。有时需要判断一个面内各个点的时针顺序来做题，外表面平面展开图一个正方形内各个点时针顺序应该与立体图中相应的面各个点时针顺序是一样的，要么都是顺时针，要不都是逆时针。

还有时用到的是一个面中几个边的时针顺序在平面展开图与立体图中一致这个性质。比如在平面展开图中一个面中三个边la，lb，lc满足从la到lb到lc再到la是顺时针顺序，那么在立体图中这个面的这三条边la，lb，lc也满足这个性质。

还有时用到平面展开图中某个正方向某两条边和公共顶点的时针顺序与立方体中相应面这两条边与他们公共顶点的时针顺序一致这个性质进行判断。详细说明如下：我们根据平面展开图判断出正方形A的四条边中某条边l是折成立方体后两个面A和A’的临边，正方形A内又画了一条对角线，显然该对角线必然与边l必然构成一个45°角，我们可以根据从对角线到公共顶点再到l运动的运动方向是顺时针还是逆时针进行一些判断。各个面之间的时针顺序：正方体三个相邻面之间时针顺序不变，即对于一个正方体，如果A、B、C三个面相邻，且从A到B到C时针顺序是顺时针（逆时针），那么平面展开图中三个ABC三个正方形，从A到B到C的顺序也是顺时针（逆时针）：注意，有时平面展开图中A、B、C三个正方形不相邻，此时需要让正方形A、B、C在平面上进行滚动，使他们相邻，然后判断从A到B到C的顺序。反之亦然。如何滚动呢？举例说明如下：

如下图所示，我们知道折成立方体后，C,a,b相邻，我们如果要判断平面展开图中正方向从C到a到b是顺时针还是逆时针，首先就在平面展开图中滚动某个或者多个正方向，使得平面展开图中的正方向C,a,b相邻，注意滚动的原则某个方向滚动一次只能滚动90°，且滚动之后，该正方形必须与其他正方形有公共边。也可以两个有公共边的正方形整体滚动，滚动一次也只能滚动90°，且滚动后也必须与其他正方形有公共边。还有一个原则时，翻转某个正方形不能让别的正方形成为准孤立正方形（即只有一个点与其他正方形连接）。

cAC BabACBab不符合规则的滚动，滚动之后正方形C与其他正方形C没有公共边了c

cABab一次符合规则的滚动 CcABaCABaC

b一次符合规则的滚动

显然经过两个上图所示两次滚动，使得平面展开图中正方形C，a，b相邻，也就可以判断出平面展开图中从C到a到b运动的运动方向是顺时针方向，cb一次符合规则的滚动

如果要判断从a，到b到c的运动方向，那就可以再滚动一次，很容易判断出，从正方向a到b到C运动的运动方向属于顺时针方向。如下图所示：

cABab一次符合规则的滚动

我们为什么定义这样的滚动规则呢？因为按照我们定义的滚动滚则对平面展开图中的正方形进行滚动，得到的新平面展开图与原先平面展开图折成的立方体所有点线面的关系完全相同。且如果原先平面展开图某个点（线，正方形）对应立方体的点（线，面）P，那么滚动之后的这个点（线、正方形）仍然对应立方体中的点（线，面）P。

注意，下图中1点面不能单独左转（1点面单独左转，没有一条边可以贴着转），2点面也不能单独左转（2点面单独左翻转后，使得1点面成为一个准孤立面）。但是1点和2点面也可以两个一起左翻转，比如：

C c

c

c

接下来此时可以有两种旋转方式： 方式1：1和2继续整体旋转如下图所示

cc 方式2：单独旋转1点面：

cc

注意：按照下图，c 我们知道如果1点面在前，那么1点、5点、6点面的关系可以是：

还可以是如下

注意某个面在前，可以有四种方位。20170709又实战了几道题，发现比较实用的方法，还是靠一点空间想象能力做题比较快，脱离空间想能力，单凭上面的技巧，做题很慢，考试不实用。只有锻炼出一点基本的空间想象能力，再结合一些技巧，做题才快，对于考试实用。刘文波老师画橡皮的方法很简便，可以搜索视频学习。先用十几秒画完橡皮，然后分析借用画完的橡皮分析每个选项，每个选项基本10s就判断出对错，不需要耗费太多脑力。http://my.tv.sohu.com/us/273790660/82166470.shtml 20170830，感觉翻转法很实用，结合着一点空间想象，比较容易做题，注意

第五篇：关于大学生如何利用电脑问题

如何利用电脑来学习

我们身边很多人大一开始就配备了笔记本电脑，而电脑确实在开学之初也起了不小的作用，选课查课表等等。但是之后，电脑却成了一件单纯的娱乐工具。很多同学没有真正把电脑的学习功能利用起来，而是单纯地用它来看电影听音乐聊天甚至是打游戏，包括我自己在内，都只是把功能强大的电脑当作了一件用来消遣的娱乐用具。

其实这个现象是值得深思的。我国改革开放总设计师邓小平先生曾经说过：“计算机要从娃娃抓起。”为中国作出改革开放重大决策的他在对计算机的重视上表现出了同样的智慧与远见。计算机在现今社会的普及以及其强大的功能性已毋庸置疑，各国对计算机网络也是相当重视的。而作为我们大学生，却常常只是把它当做一个娱乐工具。这一点多么令人痛心的啊。

针对这个问题，我有以下几点建议：

首先，大学生没有积极利用电脑主要是他们没有形成习惯，我觉得有些科目的老师应该多布置一些网上的作业，需要同学用电脑完成上交作业，多锻炼练习网上作业的写作能力，久而久之学生就能养成用电脑学习的习惯了。

再来，学校的网站上有提供学习的系统，但是这个并没有被学生充分利用起来。学校在这方面应该要加强宣传，让同学们充分利用学校网站资源。同时，学校也应该更大程度的开发网上学习系统，提供很多很广泛的学习领域，各门学科的知识都应有所涉及，而不是只局限在一些所谓的重点科目。

如何利用电脑来学习真的是一个非常严肃并且值得重视的问题，学校培养学生各方面综合素质，一定不希望看到学生对电脑的利用率仅仅在于娱乐。尤其是一个大学生，打开笔记本电脑却只是为了进聊天室聊天或者上网，这该有多么可悲啊。