2017年高考数学题型归纳完整版

第一篇：2017年高考数学题型归纳完整版

第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合

题型1-1 集合的基本概念 题型1-2 集合间的基本关系 题型1-3 集合的运算

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 题型1-4 四种命题及关系

题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明

题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

题型1-7 判断命题的真假

题型1-8 含有一个量词的命题的否定 题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围 第二章 函数

第一节 映射与函数

题型2-1 映射与函数的概念 题型2-2 同一函数的判断 题型2-3 函数解析式的求法

第二节 函数的定义域与值域（最值）题型2-4 函数定义域的求解 题型2-5 函数定义域的应用 题型2-6 函数值域的求解

第三节 函数的性质——奇偶性、单调性、周期性

题型2-7 函数奇偶性的判断

题型2-8 函数单调性（区间）的判断 题型2-9 函数周期性的判断 题型2-10 函数性质的综合应用 第四节 二次函数

题型2-11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系

题型2-12 二次方程的实根分布及条件 题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题 第五节 指数与指数函数

题型2-14 指数运算及指数方程、指数不等式

题型2-15 指数函数的图象及性质 题型2-16 指数函数中恒成立问题 第六节 对数与对数函数

题型2-17 对数运算及对数方程、对数不等式 题型2-18 对数函数的图象与性质 题型2-19 对数函数中恒成立问题 第七节 幂函数

题型2-20 求幂函数的定义域 题型2-21 幂函数性质的综合应用 第八节 函数的图象 题型2-22 判断函数的图象 题型2-23 函数图象的应用 第九节 函数与方程

题型2-24 求函数的零点或零点所在区间

题型2-25 利用函数的零点确定参数的取值范围

题型2-26 方程根的个数与函数零点的存在性问题

第十节 函数综合

题型2-27 函数与数列的综合 题型2-28 函数与不等式的综合 题型2-29 函数中的信息题 第三章 导数与定积分 第一节 导数的概念与运算 题型3-1 导数的定义 题型3-2 求函数的导数 第二节 导数的应用

题型3-3 利用原函数与导函数的关系判断图像 题型3-4 利用导数求函数的单调性和单调区间 题型3-5 函数的极值与最值的求解

题型3-6 已知函数在区间上单调或不单调，求参数的取值范围

题型3-7 讨论含参函数的单调区间

题型3-8 利用导数研究函数图象的交点和函数零点个数问题

题型3-9 不等式恒成立与存在性问题 题型3-10 利用导数证明不等式 题型3-11 导数在实际问题中的应用 第三节 定积分和微积分基本定理

题型3-12 定积分的计算 题型3-13 求曲边梯形的面积 第四章 三角函数

第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式

题型4-1 终边相同角的集合的表示与识别 题型4-2 α

2是第几象限角

题型4-3 弧长与扇形面积公式的计算 题型4-4 三角函数定义

题型4-5 三角函数线及其应用

题型4-6 象限符号与坐标轴角的三角函数值 题型4-7 同角求值——条件中出现的角和结论中出现的角是相同的

题型4-8 诱导求值与变形 第二节 三角函数的图象与性质 题型4-9 已知解析式确定函数性质 题型4-10 根据条件确定解析式 题型4-11 三角函数图象变换 第三节 三角恒等变换

题型4-12 两角和与差公式的证明 题型4-13 化简求值 第四节 解三角形

题型4-14 正弦定理的应用 题型4-15 余弦定理的应用 题型4-16 判断三角形的形状

题型4-17 正余弦定理与向量的综合 题型4-18 解三角形的实际应用 第五章平面向量

第一节 向量的线性运算

题型5-1平面向量的基本概念 题型5-2 共线向量基本定理及应用 题型5-3平面向量的线性运算 题型5-4平面向量基本定理及应用 题型5-5 向量与三角形的四心

题型5-6 利用向量法解平面几何问题 第二节 向量的坐标运算与数量积

题型5-7 向量的坐标运算 题型5-8 向量平行（共线）、垂直充要条件的坐

标表示

题型5-9平面向量的数量积 题型5-10平面向量的应用 第六章 数列

第一节 等差数列与等比数列

题型6-1 等差、等比数列的通项及基本量的求解

题型6-2 等差、等比数列的求和 题型6-3 等差、等比数列的性质应用

题型6-4 判断和证明数列是等差、等比数列 题型6-5 等差数列与等比数列的综合 第二节 数列的通项公式与求和 题型6-6 数列的通项公式的求解 题型6-7 数列的求和 第三节 数列的综合 题型6-8 数列与函数的综合 题型6-9 数列与不等式综合 第七章 不等式

第一节 不等式的概念和性质

题型7-1 不等式的性质

题型7-2 比较数（式）的大小与比较法证明不等式

第二节 均值不等式和不等式的应用 题型7-3 均值不等式及其应用

题型7-4 利用均值不等式求函数最值 题型7-5 利用均值不等式证明不等式 题型7-6 不等式的证明 第三节 不等式的解法

题型7-7 有理不等式的解法 题型7-8 绝对值不等式的解法

第四节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

题型7-9 二元一次不等式组表示的平面区域 题型7-10平面区域的面积

题型7-11 求解目标函数中参数的取值范围 题型7-12 简单线性规划问题的实际运用 第五节 不等式综合

题型7-13 不等式恒成立问题中求参数的取值范围 题型7-14 函数与不等式综合 第八章 立体几何

第一节 空间几何体的表面积与体积 题型8-1 几何体的表面积与体积

题型8-2 球的表面积、体积与球面距离 题型8-3 几何体的外接球与内切球 第二节 空间几何体的直观图与三视图 题型8-4 直观图与斜二测画法 题型8-5 直观图、三视图

题型8-6 三视图⟹直观图——简单几何体基本量的计算

题型8-7三视图⟹直观图——简单组合体基本量的计算

题型8-8 部分三视图⟹其余三视图 第三节 空间点、直线、平面之间的关系 题型8-9 证明“线共面”、“点共面”或“点共线”

题型8-10 异面直线的判定

第四节 直线、平面平行的判定与性质 题型8-11 证明空间中直线、平面的平行关系 第五节 直线、平面垂直的判定与性质 题型8-12证明空间中直线、平面的垂直关系 第六节 空间向量及其应用

题型8-13 空间向量及其运算

题型8-14 空间向量的立体几何中的应用 第七节 空间角与距离

题型8-15 空间角的计算

题型8-16 点到平面距离的计算 第九章 直线与圆的方程 第一节 直线的方程

题型9-1 倾斜角与斜率的计算 题型9-2 直线的方程

第二节 两条直线的位置关系 题型9-3 两直线位置关系的判定 题型9-4 有关距离的计算 题型9-5 对称问题 第三节 圆的方程

题型9-6 求圆的方程

题型9-7 与圆有关的轨迹问题

题型9-8 点与圆位置关系的判断 题型9-9 圆的一般方程的充要条件 题型9-10 与圆有关的最值问题 题型9-11 数形结合思想的应用

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 题型9-12 直线与圆的位置关系的判断 题型9-13 直线与圆的相交关系 题型9-14 直线与圆的相切关系 题型9-15 直线与圆的相离关系 题型9-16 圆与圆的位置关系 第十章 圆锥曲线方程 第一节 椭圆

题型10-1 椭圆的定义与标准方程 题型10-2 离心率的值及取值范围 题型10-3 焦点三角形 第二节 双曲线

题型10-4 双曲线的标准方程

题型10-5 双曲线离心率的求解及其取值范围问题

题型10-6 双曲线的渐近线 题型10-7 焦点三角形 第三节 抛物线

题型10-8 抛物线方程的求解

题型10-9 与抛物线有关的距离和最值问题 题型10-10 抛物线中三角形、四边形的面积问题

第四节 曲线与方程

题型10-11 求动点的轨迹方程 第五节 直线与圆锥曲线位置关系 题型10-12 直线与圆锥曲线的位置关系 题型10-13 中点弦问题 题型10-14 弦长问题 第六节 圆锥曲线综合

题型10-15平面向量在解析几何中的应用 题型10-16 定点问题 题型10-17 定值问题 题型10-18 最值问题 第十一章 算法初步

题型11-1 已知流程图，求输出结果

题型11-2 根据条件，填充不完整的流程图 题型11-3 求输入参数 题型11-4 算法综合 第十二章 计数原理

第一节 计数原理与简单排列组合问题 题型12-1 分类计数原理与分步计数原理 题型12-2 排列数与组合数的推导、化简和计算

题型12-3 基本计数原理和简单排列组合问题的结合

第二节 排列问题

题型12-4 特殊元素或特殊位置的排列问题 题型12-5 元素相邻排列问题 题型12-6 元素不相邻排列问题 题型12-7 元素定序问题

题型12-8 其他排列：双排列、同元素的排列

第三节 组合问题

题型12-9 单纯组合应用问题 题型12-10 分选问题和选排问题 题型12-11平均分组问题和分配问题 第四节 二项式定理

题型12-12 证明二项式定理

题型12-13 +1的系数与幂指数的确定 题型12-14 二项式定理中的系数和

题型12-15 二项式展开式的二项式系数与系数的最值

题型12-16 二项式定理的综合应用 第十三章 排列与统计 第一节 概率及其计算 题型13-1 古典概型

题型13-2 几何概型的计算 第二节 概率与概率分布

题型13-3 概率的计算

题型13-4 离散型随机变量的数学期望与方差 题型13-5 正态分布 第三节 统计与统计案例 题型13-6 抽样方法 题型13-7 样本分布

题型13-8 频率分布直方图的解读 题型13-9 线性回归方程 题型13-10 独立性检验 第十四章 推理与证明

第一节 合情推理与演绎推理 题型14-1 归纳猜想 题型14-2 类比推理

第二节 直接证明和间接证明 题型14-3 综合法与分析法证明 第三节 数学归纳法

题型14-4 数学归纳法的完善 题型14-5 证明恒等式 题型14-6 整除问题 题型14-7 不等式证明

题型14-8 递推公式导出{}通项公式的猜证及有关问题的证明 第十五章 复数

题型15-1 复数的概念、代数运算和两个复数相等的条件

题型15-2 复数的几何意义 第十六章 选讲内容

第一节 坐标系与参数方程（选修4-4）题型16-4 参数方程化为普通方程 题型16-5 普通方程化为参数方程

题型16-6 极坐标方程化为直角坐标方程 第二节

不等式选讲（选修4-5）

题型16-7含绝对值的不等式 题型16-8 不等式的证明

题型16-9 一般综合法和分析法（含比较法）题型16-10 数学归纳法

第二篇：高考数学题型全归纳

2010-2016高考理科数学题型全归纳

题型

1、集合的基本概念

题型

2、集合间的基本关系

题型

3、集合的运算

题型

4、四种命题及关系

题型

5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明

题型

6、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围

题型

7、判断命题的真假

题型

8、含有一个量词的命题的否定

题型

9、结合命题真假求参数的范围

题型

10、映射与函数的概念

题型

11、同一函数的判断

题型

12、函数解析式的求法

题型

13、函数定义域的求解

题型

14、函数定义域的应用

题型

15、函数值域的求解

题型

16、函数的奇偶性

题型

17、函数的单调性(区间)

题型

18、函数的周期性

题型

19、函数性质的综合

题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系

题型

21、二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布及条件

题型

22、二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题

题型

23、指数运算及指数方程、指数不等式

题型

24、指数函数的图像及性质

题型

25、指数函数中的恒成立的问题

题型

26、对数运算及对数方程、对数不等式

题型

27、对数函数的图像与性质

题型

28、对数函数中的恒成立问题

题型

29、幂函数的定义及基本性质

题型30、幂函数性质的综合应用

题型

31、判断函数的图像

题型

32、函数图像的应用

题型

33、求函数的零点或零点所在区间

题型

34、利用函数的零点确定参数的取值范围

题型

35、方程根的个数与函数零点的存在性问题

题型

36、函数与数列的综合 题型

37、函数与不等式的综合 题型

38、函数中的创新题

题型

39、导数的定义

题型40、求函数的导数

题型

41、导数的几何意义

题型

42、利用原函数与导函数的关系判断图像

题型

43、利用导数求函数的单调区间

题型

44、含参函数的单调性(区间)

题型

45、已知含参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间,求参数范围

题型

46、函数的极值与最值的求解

题型

47、方程解(函数零点)的个数问题

题型

48、不等式恒成立与存在性问题

题型

49、利用导数证明不等式

题型50、导数在实际问题中的应用

题型

51、终边相同的角的集合的表示与识别

题型

52、等分角的象限问题

题型

53、弧长与扇形面积公式的计算

题型

54、三角函数定义题

题型

55、三角函数线及其应用

题型

56、象限符号与坐标轴角的三角函数值

题型

57、同角求值---条件中出现的角和结论中出现的角是相同的 题型

58、诱导求值与变形

题型

59、已知解析式确定函数性质

题型60、根据条件确定解析式

题型61、三角函数图像变换

题型62、两角和与差公式的证明

题型63、化简求值

题型64、正弦定理的应用

题型65、余弦定理的应用

题型66、判断三角形的形状

题型67、正余弦定理与向量的综合 题型68、解三角形的实际应用

题型69、共线向量的基本概念

题型70、共线向量基本定理及应用

题型71、平面向量的线性表示

题型72、平面向量基本定理及应用

题型73、向量与三角形的四心

题型74、利用向量法解平面几何

题型75、向量的坐标运算

题型76、向量平行(共线)、垂直充要条件的坐标表示

题型77、平面向量的数量积

题型78、平面向量的应用

题型79、等差、等比数列的通项及基本量的求解

题型80、等差、等比数列的求和

题型81、等差、等比数列的性质应用

题型82、判断和证明数列是等差、等比数列

题型83、等差数列与等比数列的综合 题型84、数列通项公式的求解

题型85、数列的求和

题型86、数列与不等式的综合

题型87、不等式的性质

题型88、比较数(式)的大小与比较法证明不等式

题型89、求取值范围

题型90、均值不等式及其应用

题型91、利用均值不等式求函数最值

题型92、利用均值不等式证明不等式

题型93、不等式的证明

题型94、有理不等式的解法

题型95、绝对值不等式的解法

题型96、二元一次不等式组表示的平面区域

题型97、平面区域的面积

题型98、求解目标函数的最值

题型99、求解目标函数中参数的取值范围

题型100、简单线性规划问题的实际运用

题型101、不等式恒成立问题中求参数的取值范围

题型102、函数与不等式综合 题型103、几何体的表面积与体积

题型104、球的表面积、体积与球面距离

题型105、几何体的外接球与内切球

题型106、直观图与斜二测画法

题型107、直观图?三视图

题型108、三视图?直观图---简单几何体的基本量的计算

题型109、三视图?直观图---简单组合体的基本量的计算

题型

110、部分三视图?其余三视图

题型111、证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”

题型112、异面直线的判定

题型113、证明空间中直线、平面的平行关系

题型114、证明空间中直线、平面的垂直关系

题型115、倾斜角与斜率的计算

题型116、直线的方程

题型117、两直线位置关系的判定

题型118、有关距离的计算

题型119、对称问题

题型120、求圆的方程

题型121、直线系方程和圆系方程

题型122、与圆有关的轨迹问题

题型123、圆的一般方程的充要条件

题型124、点与圆的位置关系判断

题型125、与圆有关的最值问题

题型126、数形结合思想的应用

题型127、直线与圆的相交关系

题型128、直线与圆的相切关系

题型129、直线与圆的相离关系

题型130、圆与圆的位置关系

题型131、椭圆的定义与标准方程

题型132、离心率的值及取值范围

题型133、焦点三角形

题型134、双曲线的定义与标准方程

题型135、双曲线的渐近线

题型136、离心率的值及取值范围

题型137、焦点三角形

题型138、抛物线的定义与方程

题型139、与抛物线有关的距离和最值问题

题型140、抛物线中三角形、四边形的面积问题

题型141、直线与圆锥曲线的位置关系

题型142、中点弦问题

题型143、弦长与面积问题

题型144、平面向量在解析几何中的应用

题型145、定点问题

题型146、定值问题

题型147、最值问题

题型148、已知流程框图,求输出结果

题型149、根据条件,填充不完整的流程图

题型150、求输入参量

第三篇：内蒙高考文科数学题型总结

题型总结（文科数学）选择题填空题

集合复数

函数综合运用函数的基本性质 椭圆基本知识 程序框图

概率

三角函数

三视图

解析集合（难点）

三角函数图像（平移 对称问题）

向量

线性规划

解答题

数列

立体几何

概率

解析集合函数压轴

第四篇：高考数学知识点与题型归纳

河南省高中数学知识点总结

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 ：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C中元素各表示什么？

.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如 ：集合Ax|x2x30，Bx|ax1213

若BAa，则实数的值构成的集合为

（答：1，0，）

3.注意下列性质：

（1）集合a，a，„„，a的所有子集的个数是2；12nn2）若ABABA，ABB；

（

（3）德摩根定律：

CABCACB，CABCACBUUUUUU

4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如 ：已知关于x的不等式0的解集为M，若3M且5M，求实数a2的取值范围。

ax5xaa·35（∵3M，∴203a

a·55∵5M，∴205a5a1，9，25）3.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和“非”().pq为真，当且仅当p、q均为真

若

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

p为真，当且仅当p为假

若

6.命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数yx4x的定义域是2lgx3

（答：0，22，33，4）

10.如何求复合函数的定义域？ 

如 ：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是_____________。

（答：a，a）

11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：fx1exx，求f(x).tx1，则t0

令

xt

1∴

∴ ft()et12t122f(xe)x1x0

∴ 2x1

212.反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1xx0：求函数f(x)的反函数

如 2xx0x1x1答：f()x）

（xx0

113.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf(b)a

 ff(a)f(b)a，ff(b)(fa)b1111

14.如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

（yf(u)，u(x)，则yf(x)（外层）（内层）

当 内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。）：求ylogx2x的单调区间

如 122

2（设uxxu2，由0则0x22logu，ux1，如图：

且 112 u O 1 2 x

x(0，1]时，u，又logu，∴y

当 12x[1，2)时，u，又logu，∴y

当 12

∴„„）

15.如何利用导数判断函数的单调性？

区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

在 零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

3：已知a0，函数f(x)xax在1，上是单调增函数，则a的最大

如

值是（）

A.0 B.1 2 C.2 D.3

aa令fx'()3xa3xx0

（33x

则aa或x 33a3已知f(x)[在1，)上为增函数，则1，即a 由

∴a的最大值为3）

16.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

若 f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称

若 f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。xa·2a2

如 ：若f(x)x为奇函数，则实数a2

1（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)00a·2a20，∴）a1

即021x2如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x()0，1时，f(x)，又 x41求f(x)在1，1上的解析式。x2

（令x1，0，则x0，1，fx()x41xx22f(x)为奇函数，∴f(x)x

又 x4114xx(1，0)2x01x4f()00，∴fx()）

又 x2x0，1x41

17.你熟悉周期函数的定义吗？

若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期

（函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则 

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）

又 如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb

即 f(ax)(fax)(，fbx)(fbx)

则 f(x)是周期函数，2ab为一个周期

如：

18.你掌握常用的图象变换了吗？

(x)与f(x)的图象关于y轴对称

f(x)与f(x)的图象关于x轴对称

f(x)与f(x)的图象关于原点对称

f

f(x)与f(x)的图象关于直线yx对称1(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称

f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称

f

yf(x)图象

将yf(xa)b上移b(b0)个单位



yf(xa)b下移b(b0)个单位

注意如下“翻折”变换：

yf(xa)左移a(a0)个单位

yf(xa)右移a(a0)个单位

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

如 ：f(x)logx12出及ylogx1yxlog1的图象

作 22 y y=log2x O 1 x

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0)y(k>0)y=b O’(a,b)O x x=a

1）一次函数：ykxbk0

（

（2）反比例函数：yk0推广为ybk0是中心O'()a，b的双曲线。

24acbb2

（3）二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线42aa2kxkxa2b4acbb点坐标为，对称轴x

顶 a4a2a224acb口方向：a0，向上，函数y

开 min4a24acb0，向下，y

a max4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程 axbxc0，0时，两根x、x为二次函数yaxbxc的图象与x轴122 的两个交点，也是二次不等式axbxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

0b 如 ：二次方程axbxc0的两根都大于kka2fk()0 y(a>0)O k x1 x2 x

一 根大于k，一根小于kf(k)04）指数函数：，yaa01a

（5）对数函数ylogxa01，a

（a

由图象记性质！

（注意底数的限定！）

x y y=ax(a>1)(01)1 O 1 x(0

6）“对勾函数”yxk0

（

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

kx y k O k x

20.你在基本运算上常出现错误吗？

指 数运算：a1(a0)，a(a0)p

aa(a0)，amnnmmn0p1a1nma(a0)数运算：logM·NlogMlogNM0，N0

对 aaa

logaM1logaMlogaN，loganMlogaM Nnlogx

对 数恒等式：aaxc数换底公式：logblogblogb

对 maaalogblogacnnm

21.如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。

先令xy0f(0)0再令yx，„„）

（

2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。

（

先令xytf(t)(tf)(t·t)

（ft()ft()f(t)f(t)

∴ f()tf(t)„„）

∴

3）证明单调性：f(x)fxxx„„

（221

222.掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）



如求下列函数的最值：

（1）y2x3134x

（）2y2x4 x322x

（3）x3，yx（4）yx49x设x3cos，0，（5）y4x，x(01，]

23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l·R，S扇29x11l·R·R2）22 R 1弧度 O R

24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

inMP，cosOM，tanAT

s

y T B S P α O M A x

：若0，则sin，cos，tan的大小顺序是

如

又如：求函数y812cosx的定义域和值域。

2∵12cosx）12sinx0

（2

∴sinx2，如图：2

∴ 2kx2kkZ，0y12

25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？ 54

4inx1，cosx s

y ytgx x    O  22

称点为k，0，kZ

对 sinx的增区间为2k，2kkZ

y 222

减 区间为2k，2kkZ2

2图 象的对称点为k，0，对称轴为xkkZ

yx cos的增区间为2k，2kkZ

减 区间为2k，22kkZ

图 象的对称点为k，0，对称轴为xkkZ322

y tanx的增区间为k，kkZ226.正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。或yAcosx

（1）振幅|A|，周期T

2||

若 fxA，则xx为对称轴。00fx0，则x，0为对称点，反之也对。

若 00

（2）五点作图：令x依次为0，，2，求出x与y，依点（x，y）作图象。3223）根据图象求解析式。（求A、、值）

（

(x)01图列出

如 (x)22条件组求、值

解

正切型函数yAtanx，T ||

27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

如 ：cosx，x，求x值。

（∵x，∴x，∴x，∴x）

28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数ysinxsin|x|的值域是 6223237551326636412x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2）

（

29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）

平移公式：

x'xha(h，k)

（1）点P（x，y）P'（x'，y'），则y'yk平移至

（2）曲线f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(xh，yk)0：函数y2sin2x1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的 如 图象？

41横坐标伸长到原来的2倍y2sin2x1y2sin2x（424上平移1个单位4 2sinx1y2sinx1y2sinx4左平移个单位12 ysinx）纵坐标缩短到原来的倍

30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

：1sincossectantan·cotcos·sectan

如 22224sincos0„„称为1的代换。

2k·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，“

2“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：costansin21

又如：函数y

A.正值或负值 9746

sintan，则y的值为

coscotB.负值

C.非负值

D.正值

sinsin2sincos1cos

（y20，∵0）coscossin1cossin

31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

s insincoscossinsins22incos令令22coscossinsincos2cossin costantantan22 2cos112sin 1tan·tantan2

2tan 21tan 1cos22 1cos22sin22cos

sinbcosabsin，tan

a 22baincos2sin

s 34in3cos2sin

s 

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）

具体方法：

1）角的变换：如，„„

（

（2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

222：已知，1tan，求tan2的值。

如 sincos1cos223sincoscos1 1，∴tan2sin22sin

2又tan（由已知得：221tantan3

1∴ tan2tan2）2181tan·tan1·32

32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

222bca

余 弦定理：abc2bccosAAcos2bc22

2（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

a2RAsinabc

正 弦定理：2Rb2RsinBsinAsinBsinCc2RCsin S a·bsinC2

∵ ABC，∴ABC

∴sinABsinC，sin

如ABC中，2sin

（1）求角C；2c

（2）若ab，求cos2Acos2B的值。2222ABCcos 22ABcos2C1 2

（（1）由已知式得：1cosAB21cosC12ABC，∴2cosCcosC10

又

2cosC或cosC1（舍）

∴ 120C，∴C

又32212232222sinA2sinBsinCsin

343cos2A1cos2B

142）由正弦定理及abc得：

（∴ cos2Acos2B）

33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反 正弦：arcsinx，，x113422余弦：arccosx0，，x1，1

反

反 正切：arctanx，xR

34.不等式的性质有哪些？

22c0acbc

（1）ab，c0acbc

（2）ab，cdacbd

（3）ab0，cd0acbd

（4）ab0，ab0nn

（5）ab0ab，abnn11ab11ab6）|x|aa0axa，|x|axa或xa

（：若，0则下列结论不正确的是（）

如

A.ab222 B.abb11ab.|||||abab|

C

答案：C

35.利用均值不等式：

abD.2 baab22

a b2aba，bR；；ab2abab求最值时，你是否注22 意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定值？（一正、二定、三相等）

注意如下结论：

22abab2ababab，R 22ab且仅当ab时等号成立。

当 bcabbccaa，bR

a

当 且仅当abc时取等号。

a b0，m0，n0，则222bbmana1 aambnb 如：若x0，23x的最大值为

x

（设y23x22122434x且仅当3x，又x0，∴x时，y243）

当 max

又 如：x2y1，则24的最小值为

（∵222222，∴最小值为22）

36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用。

如 ：证明1„222（1x2yx2y14x233xy11231n111111„„1„„ 222122323nn1n1111111„„223n1n

122）n7.解分式不等式aa0的一般步骤是什么？

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）

38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 f(x)g(x)

：x1x1x20

如 2

339.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如 ：对数或指数的底分a1或0a1讨论

40.对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例 如：解不等式|x3|x1（解集为x|x）1.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题

如 ：设f(x)xx13，实数a满足|xa|1

求 证：f(x)f(a)2(|a|1)

证明：| f(x)(fax)||(x13)(aa13)|22212|(xa)(xa1)|(|xa|1)

|xax||a1||xa1|

|x||a|1

又 |x||a||xa|1，∴|x||a|1f(x)(fa)2|a|22|a|1

∴ 

（按不等号方向放缩）

42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

：af(x)恒成立af(x)的最小值

如 f(x)恒成立af(x)的最大值

a f(x)能成立af(x)的最小值

a

如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是

例

设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和

（325，∴5a，即a

5u min者：x3x2x3x255，∴a）

或 

43.等差数列的定义与性质

定义：aad(d为常数)，aan1d

n1nn1

等 差中项：x，A，y成等差数列2Axy

前n项和Snaannn1 1nnad212

性 质：a是等差数列n1）若mnpq，则aaaa；

（mnpq

（2）数列a，a，kab仍为等差数列；2n12nn

S，SS，SS„„仍为等差数列；n2nn3n2n3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；

（

m2m14）若a，b是等差数列S，T为前n项和，则；

（nnnnaSbTm2m1

（5）a为等差数列Sanbn（a，b为常数，是关于n的常数项为nn20的二次函数）

2S 的最值可求二次函数Sanbn的最值；或者求出a中的正、负分界nnn项，即：

当 a0，d0，解不等式组得S达到最大值时的n值。可1na0na0n1a0n

当 a0，d0，由得S达到最小值时的n值。可1na0n1

如 ：等差数列a，S18，aaa3，S1，则nnnnn1n2

3（由aaa33a3，∴a1nn1n2n1n1S

又3aa113·33a1，∴a

222311naanaa·n31S1n2n18

∴ n222n27）



44.等比数列的定义与性质 n1义：q（q为常数，q0），aaq

定 n1aann 等 比中项：x、G、y成等比数列Gxy，或Gxy2na(q1)1n

前 n项和：S（要注意!）aqn11(q1)1q

性 质：a是等比数列n1m）若npqa，则·aa·a

（mnpq

（2）S，SS，SS„„仍为等比数列nn2n3n2n5.由S求a时应注意什么？nn

（n1时，aS，n2时，aSS）11nnn

146.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

11122211时，a215，∴a1 解：n 112111

n 2时，aa„„a2n152122n1n12221

 12得：a2nn

2如 ：a满足aa„„a2n51n12n2n

∴a2 nn114(n1)a

∴ nn12(n2)［练习］

列a满足SSa，a4，求a

数 nnn1n11n

（注意到an1Sn1Sn代入得：53Sn14 SnnS4，∴S是等比数列，S4

又 1nn2时，aSS„„3·4

n nnn1n1

（2）叠乘法

n1

例 如：数列a中，a3，，求an1nana1nn

解：aa2n1a2a3n1n1·„„·„„，∴

aa3na1a2n121n3n

又a3，∴a1n

（3）等差型递推公式

由 aaf(n)，aa，求a，用迭加法nn110nn2时，aa(2)21faaf(3)32

两边相加，得：„„„„aa(n)nn1f

a af(2)f(3)„„f(n)n1

∴ aaf(23)(f)„„f(n)n0［练习］

数 列a，a1，a3an2，求an1nn1nn1a1）

（n3

（4）等比型递推公式

a cadc、d为常数，c0，c1，d0nn

1可 转化为等比数列，设axcaxnn112nacac1x

 nn1

令(c1)xd，∴xd c1a是首项为，ac为公比的等比数列

∴ n1d1cdc1a

∴nddn1a·c 1c1c1dnd1c c1c1aa

∴n1［练习］

数 列a满足a9，3aa4，求an1n1nn4

（a8n3

（5）倒数法 n1 1）如：a1，a

例1n12an，求a na2nn

由已知得：2111a

a2a2an1nn

∴1an111 an2为等差数列，1，公差为

 1an1a1121n1·n1

 

∴an1an11222 n1

47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

：a是公差为d的等差数列，求

如n1 aak1kk1n

解：由n11111d0 adaa·adkkkak1kk1an1111

∴ aadaak1kkk11kk1

1111111„„daaaaaa1223nn1111daa1n1

［练习］

和：1

求111„„

12123123„„n

（a„„„„，S2）nn

（2）错位相减法：

1n1

若 a为等差数列，b为等比数列，求数列ab（差比数列）前n项nnnn 和，可由SqS求S，其中q为b的公比。nnnn

如 ：Sx123x4x„„nx1n

x ·Sx2x3x4x„„n1xnx2n234n1n23n1

 12：11xSxx„„xnxn2n1n1xnx

x 1时，Snnn21x1xnn1

x 1时，S123„„nn

2（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Saa„„aan12n1n 相加Saa„„aannn121Saaaa„„aa„„n1n2n11n［练习］

2x111 已知f(x)，则f(1)f(2)ff(3)ff(4)f 22341x221x1x由fx()f1（22221xx1x1x11x1x2原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f

∴ 

121314111113）22

48.你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

p1rp12r„„p1nrpnr„„等差问题

S nnn12

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p()1rx1rx1r„„x1rxnnn11r1r1

 xx11rrn1n

2∴xpr1rn1rn1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（1）分类计数原理：Nmm„„m12n

（mi为各类办法中的方法数）

分 步计数原理：Nm·m„„m12n

（m为各步骤中的方法数）i

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

m 列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A.nnn1n2„„nm1

Anmn!mn nm!定：0!

1规

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

m 同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C.nmnn1„„nm1An!n

C mm!m!nm!Ammn定：C1

规 n04）组合数性质：

（

C，CCC，CC„„C

2C nnnnn1nnn

50.解排列与组合问题的规律是： mnmmm1m01nn

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

x89，90，91，92，93，(i1，2，3，4)且满足xxxx，i123

4则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）

A.24 B.15 C.12 D.10

解析：可分成两类： 1）中间两个分数不相等，（有 C5（种）

5（2）中间两个分数相等

x xxx1234

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。

∴共有5＋10＝15（种）情况

51.二项式定理

(ab)CaCabCab„Cab„Cbnnnnn

二 项展开式的通项公式：TCab(r0，1„„n)r1n

C 为二项式系数（区别于该项的系数）n

性质：

（1）对称性：CCr0，1，2，„„，nnn

（2）系数和：CC„C2nnn

C CCC„CC„2nnnnnn

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第 135024n101nnn0n1n12n22rnrrnnrnrrrrnrn21项，二项式系数为C；n为奇数时，()n1为偶数，中间两项的二项式 n2nn1n122系数最大即第项及第1项，其二项式系数为CC nn2211n1n1：在二项式x1的展开式中，系数最小的项系数为（用数字

如 表示）∵n＝11

（

∴ 共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第6或第7项

由 Cx(1)，∴取r5即第6项系数为负值为最小：11

 CC4261111

又 如：12xaaxax„„axxR，则***465122r11rr aaaaaa„„aa（用数字作答）01020302004

（令x0，得：a10

令 x1，得：aa„„a1022004

∴ 原式2003aaa„„a2003112004）0012004

52.你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()02）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。

（

A B

3）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B

（的和（并）。

4）事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A·B

（6）对立事件（互逆事件）：

A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A

“

A A，AA

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

A

53.对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

()A

PA包含的等可能结果m n一次试验的等可能结果的总数

（2）若A、BP互斥，则ABP(A)P(B)

（3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB

（4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

kkk次的概率：P(k)Cp1p nnnk

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（1）从中任取2件都是次品；

C224

P 1215C10

（2）从中任取5件恰有2件次品；

23CC1046

P 2521C10

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

∴ mC·4643223C·4·644

∴ P33125102213

（4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序）

∴ nAm，CAA10456223CAA10456

∴ P4521A105223

分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

54.抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55.对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法：

（1）算数据极差xx；maxmin

（2）决定组距和组数；

（3）决定分点；

（4）列频率分布表；

（5）画频率直方图。

中，频率小长方形的面积组距×

其本平均值：xxx„„x

样 12n频率组距1n1222 样 本方差：Sxxxx„„xx12nn

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

42C10C5）

（6C1

556.你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

（2）向量的模——有向线段的长度，||a

（3）单位向量|a|1，a00a|a|

（4）零向量0，|0|0长度相等5）相等的向量ab

（方向相同

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。

b ∥a(b0)存在唯一实数，使ba

（7）向量的加、减法如图： 



O AOBOC

O AOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e，e是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一12实数对、，使得aee，e、e叫做表示这一平面内所有向量 12121212的一组基底。

（9）向量的坐标表示

i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得 axiyj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：ax，y，即为向量的坐标表示。

axy，bx，y

设 1122abxyy，yxy，xy

则，11121122ax，yx，y

1111 Ax，y，Bx，y

若 1122ABxx，yy

则 212122ABxxyy，A、B两点间距离公式

|| 21

2157.平面向量的数量积

（1）a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）。为向量a与b的夹角，0，



B  b O  a

D A

数量积的几何意义：

·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。

a

（2）数量积的运算法则

a·bb·a

①

(ab)ca·cb·c

② 

③ a·bx，y·x，yxxyy11221212

注 意：数量积不满足结合律(a·b)·ca·(b·c)

（3）重要性质：设ax，y，bx，y1122

① a⊥ba·b0x·xy·y01212

② a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b|

 ab（b0，惟一确定）

 xyxy01221

③ a||axy，|a·b|||a·||b

④cos［练习］ 222121xxyya·b1212 2222xy·xy|a|·|b|1122

（1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，ACc，则|abc|

答案：22 

（2）若向量ax，1，b4，x，当x

答案：2 时a与b共线且方向相同

3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|

（答案：158.线段的定比分点 oPx，y，Px，y，分点Px，y，设P、P是直线l上两点，P点在设 11122212 l上且不同于P、P，若存在一实数，使PPPP，则叫做P分有向线段1212 PP所成的比（0，P在线段PP内，0，P在PP外），且121212xxxx1212xx12，P为PP中点时， 12yyyy212y1y12：ABC，Ax，y，Bx，y，Cx，y

如 1122331 则ABC重心G的坐标是xxxyy3y123，3

3※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面

 线⊥线线⊥面面⊥面判定性质线∥线线⊥面面∥面

线面平行的判定：

∥b，b面，aa∥面

a

a b 

线面平行的性质：

 ∥面，面，ba∥b

三垂线定理（及逆定理）：

A⊥面，AO为PO在内射影，a面，则

P

a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

线面垂直：

P O a

⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a

a O α b c

面面垂直：

a ⊥面，a面⊥

面 ⊥面，l，a，aa⊥l⊥ α a l β

⊥面，b⊥面ab∥

a

面 ⊥a，面⊥a∥ a b 

60.三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

＝0时，b∥或b

 o

（3）二面角：二面角l的平面角，0180oo

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。

证 明：coscos·cos A θ O β B C D α

（为线面成角，∠AOC=B，∠OC=）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角；

②求异面直线BD1和AD所成的角；

③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

（①arcsin；②60；③arcsin）

（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

P F D C A E B 34o63

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线„„）

61.空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：

（1）点C到面AB1C1的距离为___________；

（2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；

（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；

（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1

62.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

R tSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE

它们各包含哪些元素？

S C·h'（C——底面周长，h'为斜高）正棱锥侧12底面积×高

V 锥

63.球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r13R2d2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！

（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（4）S球4R，V球24R3

3（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面 积为（）

A.3B.4C.33D.6

答案：A

64.熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角0，，ktany2y1，x1x2

x2x12

P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k

（2）直线方程：

点斜式：yy0kxx0（k存在）

斜截式：ykxb

截距式：xy1 ab

一般式：AxByC0（A、B不同时为零）

（3）点Px0，y0到直线l：AxByC0的距离dAx0By0CAB22

（4）l1到l2的到角公式：tank2k1

1k1k l1与l2的夹角公式：tank2k1

1k1k2

65.如何判断两直线平行、垂直？

A1B2A2B1l1∥l2

A1C2A2C1

k1k2l1∥l2（反之不一定成立）

A1A2B1B20l1⊥l2

·k1l⊥l

k 121

266.怎样判断直线l与圆C的位置关系？

圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

67.怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”0相交；0相切；0相离

68.分清圆锥曲线的定义

椭圆PFPF2a，2a2cFF1212

第 一定义双曲线PFPF2a，2a2cFF1212抛物线PFPK

第二定义：ePFPKc a

0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线

y

b O F1 F2 a x a2x c

22xy

221ab0

ab

abc 222

22xy1a0，b0

22 ab

ab

c222 e>1 e=1 P 0

x2y2x2y2 69.与双曲线221有相同焦点的双曲线系为220

abab

70.在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

弦 长公式PP1kxxxx4121212221k12yy4yy

1212

2

71.会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

如：

y P(x0,y0)K F1 O F2 x l

x2y2

221

ab2PFa2e，PFexexa

200PKcFexa

P 10 y A P2 O F x P1 B

y 2pxp02

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。

72.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如 ：椭圆mxny1与直线y1x交于M、NM两点，原点与N中点连2m线的斜率为，则的值为2n

答案：

m2 n

273.如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。

（由a，bx'2ax，y'2by）xx'yy'22要证明A'2ax，2by也在曲线C上，即f(x')y'

只 2）点A、A'关于直线l对称

（kk1AA'·l

 AA'中点坐标满足l方程AA'⊥lAA'中点在l上

xrcos74.圆xyr的参数方程为（为参数）

yrsin222xacosx2y

2椭圆221的参数方程为（为参数）

abybsin

75.求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76.对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

第五篇：高考数学归纳法的常考题型

高考数学归纳法的常考题型

文/谭著名

一、题意直接指明利用数学归纳法证题的探索题型 例1已知数列xn}满足：x1＝11xn＋1＝,nN*.2’1xn

(1)猜想数列x2n的单调性,并证明你的结论.(2)证明：|xn1-xn|≤()

(1)解：由x11265n1.125131和xn1，得x2,x4,x6.由x2x4x6，猜想：238211xn数列x2n是递减数列.下面用数学归纳法证明.①当n=1时，命题成立.②假设当n=k时命题成立，即x2kx2k2，易知x2k0，那么

=

23x2k2xk2x2k3xk21111x2k11xk23(1xk)(1xk)2

1x2kx2k20，即x2(k1)x2(k1)2，也就是说，当n=k+1时命(1x2k)(1x2k1)(1x2k2)(1x2k3)

题也成立.结合①②，可知命题成立.(2)证明：①当n=1时，xn1xnx2x11，结论成立.6

k112②假设当nk时命题成立，则有xk1xk65

0xn11,1xn12,xn

(1xn)(1xn1)(1.当n2时，易知11.1xn1215)(1xn1)2xn11xn12

当12.1xk1xk15nk1时，xk

2k1k

xkxk11121212

xk.也就是

1xk11xk655651xk11xk

说，当nk1时命题成立.结合①②，可知命题成立.小结本题中明确说明“先猜想再证明”的数学归纳法的证题思路.观察、归纳、猜想、证明是解决这类探索型问题的思维方式，其关键在于进行正确、合理的归纳猜想，否则接下来的证明只能是背道而驰了.二、与正整数n有关的不等式证明通常采用数学归纳法的证明题型

例2等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对于任意的nN，点(n,Sn)均在函数



ybxr(b0且b1,b,r均为常数)的图像上.(1)求r的值.

(2)当b2时，记bn2log2an1nN，证明：对于任意的nN，不等式



b1b11b2

1nn1成立.b1b2bn

(1)解：因为对于任意的nN，点(n,Sn)均在函数ybr(b0且b1,b,r均为常数)的图像上，所以有Snbnr.当n1时，a1S1br.当n2时，

x

anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1.又数列{an}是等比数列，所以

r1，公比为b，an(b1)bn1.(2)

证

明

：

当

b

2，时，an(b1)bn12n1

bn12n1

bn2n，所，以

bn2(log2an1)2(log22n11)2n

b13572n1b11b21

.····n

b1b2bn2462n

下面用数学归纳法证明不等式立.①当n1时，左边=

则

b13572n1b11b21

····n成b1b2bn2462n

3，右边

由于，所以不等式成立.22

②假设当n

k时不等式成立，即

b13572k1b11b21

····kb1b2bk2462k

成立，则当nk1时，左边=

b1bk11357b11b212k12k3

····k

b1b2bkbk12462k2k2

2k3.2k2所以当nk1时，不等式也成立.综合①②，可知不等式恒成立.小结数学归纳法是证明不等式的一种重要方法.与正整数有关的不等式，如果用其他方法证明比较困难时，我们通常会考虑用数学归纳法.用数学归纳法证明不等式时，我们应分析fx与fx1相关的两个不等式，找出证明的目标式子和关键点，适当地利用不等式的性质、比较法、分析法、放缩法等方法证得结论.三、利用数学归纳法比较两个与正整数有关的代数式大小的题型

n

1例3已知数列an的前n项和Snan()2(n为正整数).1

2(1)令bn2nan，求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式.n15n

an，Tnc1c2cn，试比较Tn与的大小，并予以证明.n2n1

1n11

(1)证明：在Snan()2中，令n=1，可得S1an12a1，即a1.221n21

anSnSn1anan1()n1.当n2时，Sn1an1()2，22

2anan1()n1,即2nan2n1an11.(2)令cn

bn2nan,bnbn11,即当n2时，bnbn11.又b12a11,数列bn是首项和公差均为1的等差数列.于是有



bn1(n1)1n2nan,an

(2)解：由(1)可得cn

n.n2

n11

an(n1)()n，所以 n2

n

1111

① Tn234n1，222211111Tn234n122322

n

n1

.②

n1

11111①-②，得Tn1n1

22222

11[1()n1]

13n31(n1)()n1n1

2221 2n

3Tn3n

5n5nn35n(n3)(2n2n1)

T与.于是确定的大小关Tn3nn

2n12n122n12n(2n1)

系等价于比较2与2n1的大小.由2211;22221;23231;24241;25251;,可猜想当

n

n3时，2n2n1.证明如下：

(i)当n=3时，由上验算可知不等式显然成立.k

(ii)假设当nkk3时，22k1成立.则当nk1时，2k122k22k14k22k112k12k11.所以当nk1

时猜想也成立.综合(i)(ii)，可知对于一切n3的正整数，都有22n1.所以当n1,2时，n

Tn

小结两个式子的大小关系随n取值的不同而不同.像这种情况学生要注意不要由

5n5n

n3T；当时，n.2n12n1

n1,2时的大小关系，得出Tn

5n，应向后多试验几个n值后，再确定所下结论的准2n1

确性，以免走弯路.四、用数学归纳法求范围的题型

例4首项为正数的数列an满足an1

(an3),nN.4

(1)证明：若a1为奇数，则对于一切n2,an都是奇数.(2)若对于一切nN，都有an1an，求a1的取值范围.(1)证明：已知a1是奇数，假设ak2m1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系

ak23

m(m1)1是奇数.根据数学归纳法，可知nN，an都是奇数.可得ak14

a123

a1,得a124a130,于是0a11或(2)解：由a24

an23an123(anan1)(anan1)

, a13.an1an444

an23,所以所有的an均大于0.所以an1an与anan1同号.根由于a10,an14

据数学归纳法，可知nN，an1an与a2a1同号.因此，对于一切nN，都有an1an的充要条件是0a11或a13.小结解答本题是从特殊值n1切入，找到所求的结论(a1的范围)，再用数学归纳法证明结论的一般性，即将an1an退至具体的a2a1开始观察，以寻求a1的范围，然后证明其正确性.