工科数学分析作业

第一篇：工科数学分析作业

多

1、多元函数的极限与连续

海因定理：lim

1110810316贾金达

f(P)A的充分必要条件是：P以任何点列、任

PP0何方式趋于P0时，f(P)的极限都是A。

换句话说，当动点P以不同的方式或路径趋于P0时，极限不相等，则可以判定二重极限不存在。例1 求下列极限

1 lim(22(xy)22xxy)e

(2)lim(xy)lnx(y)x0

yy0

解:1 对于充分大的x和y x2y2xyxexyeeexyeey0

或者 x2y2(xy)2

令xyu

则x2y2(xy)2exyexyu2eu

当u时，上式趋于0。

(2)利用极坐标变换

xrsinyrcos

(xy)ln(x2y2)rcossinlnr24rlnr0

例2 

设f(x,y)(x2y2)cos1,x22x2y2y0 0,x2y20

试问在点(0,0)处，是否连续，偏导数是否存在？

f(P)的由于

f(x,y)f(0,0)f(x,y)0 (xy)cos221xy22xy022

所以，f(x,y)在点(0,0)处连续

由偏导数的定义得

fx(0,0)limf(x,0)f(0,0)xx0limxcosx01x0，同理f(0,0)0

y

于是，f(x,y)在点(0,0)处的偏导数存在。

2、偏导数与全微分 f(x,y)若在点(x0,y0)处可微，则zf(x,y)在点(x0,y0)fx(x0,y0)处两个偏导数dz和。

fy(x0,y0)都存在，且有=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy 2 则必在(x,y)连续，且该函数在f(x,y)若在点(x0,y0)处可微，(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)都存在。

全微分的形式不变性可理解为：对什么变量求偏导数就乘以什么变量的微分，无论这个变量是自变量，还是中间变量。多元函数的复合求偏导不论复合关系多复杂，其基本原则是：有几个中间变量求出来就有几项，每项先对中间变量求偏导再乘以中间变量对自变量的偏导数。例（武汉大学1995）

设二元函数

解：

(1)fx(0,0)fy(0,0)0，易得(2)(x,y)(0,0)12222(xy)cos,xy022 f(x,y)xy220,xy0(1)求fx(0,0)fy(0,0)

(2)证明：fx(x,y)，fy(x,y)在(0,0)(3)证明：f(x,y)在(0,0)不连续

处可微

时

1xy2 fx(x,y)2xcosxxy22sin1xy22

利用极坐标变换

lim111limcossinfx(x,y)lim2rcoscoscossinr0rrr0r(x,y)(0,0)显

然不存在。

故fx在(0,0)不连续，类似可得f在(0,0)不连续。

y(3)证 limzfx(0,0)xfy(0,0)y00

即化为

(xy)cos221xy22

(x,y)(0,0)limxy22limcos010

此式显然成立。

3、隐函数微分法 隐函数可分为由单个方程确定的隐函数以及由隐函数组确定的隐函数，隐函数可以是一元的，也可以是多元的，首先要掌握隐函数的存在唯一性定理，然后再熟悉隐函数求导的公式和程序。

一、单个方程确定的隐函数偏导数的求法

1.公式法

若F对各个变量皆存在连续的一阶偏导数，且Fz0,则由F(x,y,z)0确定的隐函数zz(x,y)也是连续可偏导的，并且有公式

zxFxFzzyFyFz;

2.链式法则的应用

在方程F(x,y,z)0中

zz(x,y)，即

F(x,y,z(x,y))0

上式的两边分别对x，y求偏导，得：

FxFyFzzxFzzy0

03.全微分法

一阶全微分具有形式不变性的优点，可广泛应用于求隐函数的微分以及各个偏导数，且不易出错。

FxdxFydyFzdz0

例1 设zz(x,y)由方程z5xzyz1确定43，求

zxy2|(0,0)。解

在原方程两边对x，y求偏导，分别得到：

5z4zxz4xz43zx33yz2zx0

5z4zy4xz3zyz3yz3zy0以x=y=0代人原方程的z=1，再以x=y=0，z=1代入以上两个偏导数方程得

zx|(0,0)1z,|(0,0)0.2 5y然后再对式子两边关于y求导，并将数据代入得：

zxy2|(0,0)325

例2

设uf(x,y,xyz)，函数z(x,y)由方程g(xyzt)dtexyzxyz确定，其中f可微，g连续，求x

解：令vxyztxyzzuxyuy.z则xyg(xyzt)dt.g(z)zxxyg(v)dv，得方程

zxyg(v)dve两边对x求偏导有 得zxyg(xy)yzeg(z)xyexyzyg(x,y)exyzy(zxzx)，xyz.f1f3y(zxzx)又y和x类似，ux代入并整理得：xuxyuyxf1yf2.二、隐函数组微分法 对于多变量多个方程确定的隐函数偏导数的求法，亦如单个方程的情形，有公式法、利用复合函数偏导数的链式法以及全微分的方法。1.公式法

定理

设隐函数组方程（1）F(x0F(x,y,u,v)0G(x,y,u,v)0满足，初始条件；

F,G以及它们的,y0,u0,v0)0,G(x0,y0,u0,v0)0（2）在P(x0,y0,u0,v0)0的某邻域内，函数各个偏导数皆连续；（3）J(F,G)(u,v)在点P0不等于零。

则在点P0的某邻域内，由方程组唯一的确定了两个二元隐函数

uu(x,y),vv(x,y)

并且u(x,y),v(x,y)连续可偏导，求导公式为

1(F,G)J(x,v)1(F,G)J(y,v)uxuy，vxvy1(F,G)J(u,x)1(F,G)J(u,y)。2.复合函数链式法则的应用

对方程组的两边关于x，y分别求偏导数的方法，视u和v为x，y的函数。

FxFuuxFvvx0 GGuGv0uxvxx我们在解题时只要掌握了其中的数学思想，就不必死记硬背某些公式，这样才减轻负担的同时反而提高了学习效率。

3.全微分法

对方程组的两边求微分，利用微分的形式不变性，得到

FuduFvdvFxdxFydy0 GuduGvdvGxdxGydy0这是一种单纯的不易出错的方法，同时采用这种方法也很普遍。

下面对这三种方法举例子： 例

huf(x,y)设函数u(x)是由方程组g(x,y,z)0h(x,z)00,gy0,求dudx.所确定，且

z

分析

方程组含有三个方程，四个变量x、y、z、u，故应该有一个是自由变量。可选取x作为自变量，y、z、u皆是x的一元函数，这样，求导数或是偏导数时才不易出错。解一 对g(x,y,z)0h(x,z)0两边关于x求导数，视yy(x),zz(x),得

gxgyygzz0 hhz0xz解出

uxfxgxfygygzfyhxgyhz。

解二

原方程组求全微分

dufxdxfydygxdxgydygzdz0 hxdxhzdz0一样能够得出结论。

将两种方法做一个比较，不难看出，利用全微分方法简便易行。

例 若u(x,y)的二阶导数存在，证明u(x,y)条件是uuxy2f(x)g(y)的充要

uuxy

（清华大学）

注：方法独特 令vux，原方程化为uvyuy0

vyvuy。

uvu2等价化为即

vv0,知1(x)uyulnux

凑微分得 解得

从而

1(x)

lnu1(x)dx2(y)

uf(x)g(y)。

4.多元函数的极值 极值的定义

若在(x0,y0)的某空心邻域内恒f(x,y)f(x0,y0)(或(f(x0,y0))

则称f(x,y)在(x0,y0)取到极大值或是极小值，对于自变量的取值有附加条件的极值称为条件极值。2 极值存在的必要条件

设zf(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在(x0,y0)处有极值，,y0)0，令 则必有fx(x0,y0)0，f(xy0(x0,y0)，Cfyy(x0,y0)，(x0,y0)，BfyxAfxx则：（1）（2）B2A20时，(x0,y0)不是极值点； B2A20时，(x0,y0)为极值点，当

A<0时，为极大值点；当A>0时，为极小值点。

注：求极值的基本步骤：先解方程组f(x,y)0,f(x,y)0,所有

xy驻点；对每一个驻点(x0,y0)，求A,B,C的值；由B2AC的符号确定是否为极值点，由A的符号确定是极大值点还是极小值点。条件极值 函数zf(x,y)在条件(x,y)0下的极值成为条件极值。求

条件极值的常用方法是拉格朗日数乘法：先构造辅助函数

F(x,y)f(x,y)(x,y)，(x,y),Fxfx(x,y)x再解方程组Fyfy(x,y)y(x,y)，F(x,y)0,得x，y以及，则其中x，y，就是可能极值点的坐标。类似可求函数uf(x,y,z)在条件(x,y,z)0下的可能极值点。多元函数的最大值、最小值及其简单应用

闭区域上连续多元函数的最大值就是区域内部的极大值和边界上的条件下的极大值中的最大的数，它可能在区域内部或边界上达到。对于实际问题一般根据实际背景来确定是否取最大值，最小值也一样。例

设曲面

x2a2yb22zc221在点P(x,y,z)处使在该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小；并说明函数uaxbycz222在点（1,1,1）处沿向量OP上的方向导数是否是该函数在改点处的方向导数的最大值。【解】曲面

x2a2yb22zc221在P(x,y,z)处的法向量为(xa2,yb2,zc2)，在P处的切平面方程为

xa2(Xx)yb2(Yy)zc2(Zz)0，所以，切平面在x,y,z轴上的截距分别是与三个坐标面所围成的四面体的体积为V1abc6xyz222a2x,b2y2,c2z，于是，切平面

1abc6xyz22，即求条件极值的问题，作F(x,y,z,)(xa22yb22zc221)，求解方程组

FxFyFzF0,0,0,0.解方程并结合实际问题知,当P为(a3b3uyc3a3,b3,c31)时，体积最小。

向量OP=(ux，)的单位向量为

uy(1,1,1)abc222(a,b,c)，又

2a;(1,1,1)2b;(1,1,1)2c;

所以，所求方向的方向导数是2(a2b2c2)，求出u的梯度可知u在(1,1,1)处OP的方向导数是u在点（1,1,1）处的方向导数的最大值。

空间曲线的切线与法平面（略）；

*本章的难点偏微分方程的综合题，其中往往要用到字符的代换

【例1】 设函数f(u)有二阶连续导数且zzx22f(ecosx)y满足

zy22e2yz,zx21,zxx20，求f(u)。

【解】 由复合函数的求导链导法则，可得

zxzyf(u)e(sinx),yzx222yf(u)esin22yxf(u)ecosx，f(u)ecosx,yzx222y22yf(u)ecosxf(u)ecosx，所以

zx22z2z2y2y22yf(u)e.又

zx22f(u)e2y.所以 f(u)f(u).这是一个二阶常系数线性微分方程，解此方程得

f(u)C1eC2euu.将初值条件代入得

C1C212，uu故

f(u)0.5(ee).【例2】设uu(ux22xy)具有连续二阶偏导数，且满足

22uy221u22uxy, xx试求函数u的表达式.【解】 令ruxxy22，则 u变为了只和r有关的因变量。

xdu, rdrux2221duxdu223rrrdrrdr1duydu223rrrdrrdry2x2u22，uy2u22代入原方程，即得

dudrur.2再解二阶常系数线性微分方程方程，得

uC1cosxyC2sin22xyxy2.2222其中C1,C2是任意常数。

第二篇：12-13-2工科数学分析期中试卷

河南理工大学 2012-2013 学年第 二 学期

《高等数学a2》期中试卷（A卷）

一、填空题（共30分，每题5分）

1、二元函数zx

ln(1y2

1xy

y)的定义域为.2、极限

(x,y)(0,0)

lim(1sinxy)=

.3、函数ux2y2z2在点M(2,2,1)处沿着从点M到点N(3,3,1)方向的方向导数为

....4、曲面x2y2z23在点P(1,1,1)处的切平面方程为

5、设区域D由1x1,1y1确定，则

6、xydxdyD



dx

xx20

f(x,y)dy在极坐标下的二次积分为．．

二、试解下列各题（共48分，每题8分）

1、设zfx,yexysinyx1x

(1,1).，求fx

y

zz和.xy2、设zzx,y是由方程zexy所确定的二元函数，求

z3、设函数u

x2y2，试问在点M1,1,1函数u沿着哪一个方向其方向导数取得最大z

值，并求出方向导数的最大值.4、设有曲线L:

xyz1，试求曲线在点M1,1,1处的切线方程.2

yx

xy22

，其中dxdyDx,yxy1,xy1.22

Dxy5、计算二重积分



6、设f(x)为连续函数，试证明等式



dxf(y)dyf(x)(1x)dx成立.x1

三、试解下列各题（共22分，每题11分）

z2z1、设函数zfx,xy，其中f具有二阶连续偏导数，求和.xxy2、求函数zxy3xy5的极值.3

第三篇：工科数学分析试题B

一．计算极限（每小题5分，共10分）

（1）lim(x22xx)（2）limxx xx0

1xsin,x0二．（10分）设f(x), 试根据和的值, 讨论f(x)x

ex,x0

在x0处的连续性(包括左连续、右连续及间断点的类型).d2yy22三．（10分）设方程arctanlnxy确定函数yf(x), 求2.dxx

四．（10分）试确定数列{n}中的最大项.五．（10分）设a0, 试讨论方程lnxax实根的个数.六．计算下列积分（每小题5分，共10分）

（1）dx

ex2（2）x(sinxe)dx



0x4七．（10分）设Inxnex dx(n为正整数), 试建立数列{In}的递推

公式, 并求In的值.八．（10分）求抛物线y22x与直线x

旋转而成的立体的体积.九.（10分）设函数f(x)在[0,1]上二阶可导, |f(x)|a, |f(x)|b, 1所围成的图形绕直线y12

c(0,1), 试证明|f(c)|2ab.2

十．（10分）已知a0, x1a, xn1axn, 证明数列{xn}收敛

并求其极限.《工科数学分析》试卷

第四篇：工科数学分析教案 - 重庆邮电大学精品课程管理平台

高等数学

（二）教案

高等数学

（二）课程简介

一.高等数学

（二）(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从求变速直线运动的瞬时速度，曲边梯形的面积等问题引入.2.极限(limit)—— 变量数学的基本运算：

3.高等数学

（二）的基本内容：高等数学

（二）以极限为基本思想和基本运算研究实变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.高等数学

（二）基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.高等数学

（二）与微积分(calculus)的区别.二.高等数学

（二）的形成过程：

1． 孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期: 3.十七世纪下半叶到十九时纪上半叶 —— 微积分的创建时期

4.十九时纪上半叶到二十时纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期

三.高等数学

（二）课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻;先难后易, 是说开头一章有一定的难度, 倘能努力学懂这一章的8000, 后面的学习就会容易一些;只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂,习题还是难以顺利完成.这是因为高等数学

（二）技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是高等数学

（二）课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一.一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事.因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是高等数学

（二）教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主,力争在课堂上能听懂七、八成.课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写.基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业.在学习中, 要养成多想问题的习惯.四.课堂讲授方法: 1.关于教材: 没有严格意义上的教科书.这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以

下教科书中取材: [1] 王绵森，马知恩.工科数学分析基础，高等教育出版社，1998。[2] 复旦大学数学系.数学分析.高等教育出版社，1983； [3] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

[4] 符丽珍，刘克轩等。高等数学典型题分析解集, 西北工业大学出版社，2000； [5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.2.内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.3.讲解的重点: 概念的意义与理解, 几何直观, 理论的体系, 定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧.某些精细概念之间的本质差别.五.要求、辅导及考试：

1.学习方法: 尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色.课堂上以听为主, 但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化, 补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1 : 3 2.作业: 作业以[1]的习题（A）中的习题为主要内容.每两周收一次作业, 一次收清.每次重点检查作业总数的二分之一.作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写恭整.3.辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.4.考试: 按学分制的要求, 只以大纲要求进行考试, 考试题为标准化试题.

第五篇：数学分析

360《数学分析》考试大纲

一． 考试要求：掌握函数，极限，微分，积分与级数等内容。

二． 考试内容：

第一篇 函数

一元与多元函数的概念，性质，若干特殊函数，连续性。第二篇 极限

数列极限，一元与多元函数极限的概念及其性质，实数的连续性（确界原理，单调有界原理，区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理等）。

第三篇 微分

一元与多元函数导数（偏导数）与微分的概念，性质，公式，法则及应用；函数的单调性与凸性，极值与拐点，渐进线，函数作图；隐函数。

第三篇 积分

不定积分的概念，性质，公式，法则；定积分的概念，性质，公式，法则及应用；反常积分与含参积分；重积分与曲线曲面积分。第四篇 级数

数项级数，函数项级数，幂级数与傅立叶级数的概念，性质，公式，法则及应用。

参考书目：华东师范大学数学系，数学分析（上，下，第三版），高等教育出版社，2001年。