三点共线与三线共点的证明方法

第一篇：三点共线与三线共点的证明方法

三点共线与三线共点的证明方法

公理1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面； 推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。

公理3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。例1.如图，在四面体ABCD中作截图PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K．求证M、N、K三点共线．

由题意可知，M、N、K分别在直线PQ、RQ、RP上，根据公理1可知M、N、K在平面PQR上，同理，M、N、K分别在直线CB、DB、DC上，可知M、N、K在平面BCD上，根据公理3可知M、N、K在平面PQR与平面BCD的公共直线上，所以M、N、K三点共线．

D1M、例2.已知长方体ABCDA1B1C1D1中，求证：M、N分别为AA1与AB的中点，DA、CN三线共点．

由M、N分别为AA1与AB的中点知MN//A1B且MN行且相等，所以MN//D1C且MN1A1B，又A1B与D1C平21D1C，根据推论3可知M、N、C、D1四点共面，2且D1M与CN相交，若D1M与CN的交点为K，则点K既在平面ADD1A1上又在平面ABCD上，所以点K在平面ADD1A1与平面ABCD的交线DA上，故D1M、DA、CN三线交于点K，即三线共点．

从上面例子可以看出，证明三线共点的步骤就是，先说明两线交于一点，再证明此交点在另一线上，把三线共点的证明转化为三点共线的证明，而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上，也就是在两个平面的交线上。

第二篇：三点共线的证明方法

三点共线的证明方法

袁竞成题目 已知点A（1，2）、B（2，4）、C（3，6），求证：A、B、C三点共线。方法1：利用定比分点坐标公式证明三点共线

设P（1。）分AC所成的比为，则=

方法2：利用向量平行的充分条件来证明三点共线，向量

方法3：其中一个点到另外两个点所在直线的距离为0

由两点式求得直线AB的方程为

方法4：的面积为0证明三点共线

方法5：直线夹角为0来证明三点共线

注意梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1

方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。”可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。

方法六：运用公（定）理 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”。其实就是同一法。

方法七：证明其夹角为180°

方法八：设A B C，证明△ABC面积为0

方法九：帕普斯定理

注意帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。

帕普斯定理

[

第三篇：向量法证明三点共线的又一方法及应用

向量法证明三点共线的又一方法及应用

平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力.下面就一道习题的应用探究为例进行说明.原题 已知OBλOAμOC，其中λμ1.求证：A、B、C三点共线

思路：通过向量共线(如ABkAC)得三点共线.证明：如图,由λμ1得λ1μ,则 OBλOAμOC(1μ)OAμOC

OBOAμ(OCOA)

ABμAC A、B、C三点共线.思考：1.此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O具有灵活性；

2.反之也成立（证明略）：若A、B、C三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满 足OBλOAμOC,且λμ1.揭示了三点贡献的又一个性质；

113.特别地，λμ时，OB(OAOC)，点B为AC的中点，揭示了2

2中线OB的一个向量公式，应用广泛.应用举例

例1 如图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN

用向量法证明：M、N、C三点共线.OAC 1BD.利

3C思路分析：选择点B，只须证明BNλBMμBC,且λμ1.A证明：由已知BDBABC，又点N在BD上，1BD，得 31111BNBD(BABC)BABC 3333

又点M是AB的中点，1

BMBA，即BA2BM 2且BNB

21BNBMBC 33

21而1 33

M、N、C三点共线.点评：证明过程比证明MNmMC简洁.BD例2如图，平行四边形OACB中，11OD与AB相交于E，BC，求证：.BEBA.3

4思路分析：可以借助向量知识，只须证明：

1BEBA，而BABOBC，又O、D、E三

4点共线，存在唯一实数对λ、μ，且λμ1，使CBEλBOμBD，从而得到BE与BA的关系.O证明：由已知条件，BABOBC，又B、E、A三点共线，可设BEkBA，则

BEkBOkBC①

又O、E、D三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，使BEλBOμBD，且λμ1.1又BDBC 31BEλBOμBC

3根据①、②得 ②

1kkλ411λ，解得 kμ433λμ1μ41BEBA

41BEBA 4

点评：借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质解决问题，巧妙、简洁.2

第四篇：平面向量中三点共线定理的应用与推广

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平面向量中三点共线定理的应用与推广 作者：苏庆飞

来源：《数理化学习·高三版》2013年第04期

应该说，平面向量中三点共线定理在高中阶段的应用还是比较广泛的，如果我们能够熟练掌握并能灵活运用这个定理来解题，往往能够起到事半功倍的效果.下面试举几例来说明一下平面向量中三点共线定理的应用.反思：本题解法较多，相对其它解法，运用三点共线定理来解决最为简洁，且思路直观，条理清晰，容易下手.当然，这就要求我们在审题时能够注意观察、联想，再灵活运用所学知识来解题.同样，在本例中，如果点E、F的位置发生改变，但是只要能够知道AE与AB的比例关系和AF与AC的比例关系，我们同样可以求出x，y的值.反思：解法一把问题化归了例3这类题型，化未知为已知，化不熟悉为熟悉，体现了数学中的一种重要思想——化归思想；解法二是通过△ABC面积这个桥梁，沟通R与H之间的关系，从而为建立x与x′之间的关系打下基础.总的来说，这两种解法都是紧紧抓住了“三点共线”这个中心，解法新颖，构思巧妙，不禁能让人感受到数学的内在美.平面向量共线定理的推广：

推广1：确定平面向量基底前的系数范围

推广2：空间向量四点共面定理

[江苏省灌云高级中学（222200）]

第五篇：几何证明思路与方法

对于初中数学的教学而言，不存在太多的难点，按照南京中考数学试卷的难易比例7:2:1来看，90%都属于基本知识点的考察和运用，剩余的10%则是分配在平面几何的证明和一元二次函数的动点问题上。接下来我就简单分享一下如何应对平面几何证明这个问题！按照以下的思路来走，可以使我们最大程度地拿到平面几何证明题的分数！

平面几何证明一般按以下三个思路来解决：

（1）．“顺藤摸瓜”法

该类问题特点：条件很充分且直观，一般属于A级难度的题目，直接求解即可。

（2）．“逆向思维”法

该类问题特点：一般已知条件较少。从正常思维难以入手，一般属于B或C级难度题目。该类问题从求证结论开始逆向推导，一步一步追溯到已知条件，从而进行求解。

（3）．“滇猴技穷”法

该类问题特点：题目很简明，表面上看不出条件和结论存在什么关系。也就是在自己苦思冥想，死了几百万脑细胞之后依然无解。该类问题属于你痛不欲生的C级难度的题目。

方法：①从已知条件入手，看能得到什么结果就写出什么结果，与结论相关的辅助线能作就作；

②再从结论入手，运用逆向思维，看能推导出什么结果就写什么结果；③合理联想，看看两次推导结果之中有没有关系紧密的，如果发现则以此为突破点解题；若发现不了，马上放弃，绝不浪费时间！

注：该类问题在写出各种推导结果是需注意条理性，忌杂乱无章！这样能保证我们如果“瞎蒙”对了某一正确步骤后者推导出一个重要条件时，能拿到相应的分数！所以考试时遇见不会做的题目，不能留“天窗”！