第一篇:等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法
高考题中,有关证明、判断数列是等差(等比)数列的题型比比皆是,如何处理这些题目呢?
证明或判断等差(等比)数列的方法常有四种:定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。
一、定义法
10.证明数列是等差数列的充要条件的方法:
an1and(常数)an是等差数列
a2n2a2nd(常数)a2n是等差数列
a3n3a3nd(常数)a3n是等差数列
20.证明数列是等差数列的充分条件的方法:
anan1d(n2)an是等差数列
an1ananan1(n2)an是等差数列
30.证明数列是等比数列的充要条件的方法:
an1q(q0且为常数,a10)an为等比数列 an
40.证明数列是等比数列的充要条件的方法:
anq(n>2,q为常数且≠0)an为等比数列 an
1注意事项:用定义法时常采用的两个式子anan1d和an1and有差别,前者必须加上“n≥2”,否则n1时a0无意义,等比中一样有:n≥2时,有(常数0);②nN时,有an1. q(常数0)ananqan1
例1.设数列a1,a2,,an,中的每一项都不为0。
证明:an为等差数列的充分必要条件是:对任何nN,都有
111n。a1a2a2a3anan1a1an1
证明:先证必要性
设{an}为等差数列,公差为d,则
当d=0时,显然命题成立 当d≠0时,∵
1111
anan1danan1
∴
再证充分性:
∵
1n111
„„„①
anan1a1an1a1a2a2a3a3a
411n1111
„„„②
anan1an1an2a1an2a1a2a2a3a3a4
∴
②﹣①得:
1n1n
an1an2a1an2a1an1
两边
anan1a1得:a1(n1)an1nan2 „„„③
同理:a1nan(n1)an1„„„④ ③—④得:2nan1n(anan2)
即:an2an1an1anan为等差数列
例2.设数列{an}的前n项和为Sn,试证{an}为等差数列的充要条件是
Sn
n(a1an),(nN*)。
2证:)若{an}为等差数列,则
a1ana2an1a3an2……,故
2Sn(a1an)(a2an2).......(ana1)
Sn(a1an)
n
()当n≥2时,由题设,Sn1)(a1an1)n(a1an1
(2,Sn)
n2
所以a(a1a2)(n1)(a1an1)nSnSn1
n22
同理有a1)(a1an1)n(a1ann1
(n2)
从而a(n1)(a1an1)(n1)(a1an1an
2n(aan1)
1n)2
整理得:an+1-an=an-an-1,对任意n≥2成立.从而{an}是等差数列.例3.已知数列an是等比数列(q1),Sn是其前n项的和,Sk,S2kSk,S3kS2k,„,仍成等比数列。
证明一:
(1)当q=1时,结论显然成立;(2)当q≠1时,Sa11qk1q2ka11q3kk
1q,S2k
a11q,S3k
1q
Sq2ka11qka1qk1qk2kSk
a111q
1q
1q 3kSa11q11q2ka1q2k1qk3kS2k
1q
a1q
1q
2kk2
S2
1q21qSa11qka1q2k1qka22k1q12kSk
a(1q)2
k(S3kS2k)1q1q
qk
(1q)2
∴S2
2kSk
=Sk(S3kS2k)
∴Sk,S2kSk,S3kS2k成等比数列.则
证明二:S2k-Sk=(a1a2a3a2k)-(a1a2a3ak)=ak1ak2ak3a2k=qk(a1a2a3ak)=qkSk0 同理,S3k-S2k=a2k1a2k2a2k3a3k= q2kSk0 ∴Sk,S2kSk,S3kS2k成等比数列。
二、中项法
(1).(充要条件)
若2an1anan2an是等差数列
(注:三个数a,b,c为等差数列的充要条件是:2bac)(充分条件)2an
an1an1(n2){an}是等差数列,(2).(充要条件)
若 anan2an12(an0){an}是等比数列(充分条件)
2anan1an1(n≥1)
{an}是等比数列,注:
b(ac0)是a、b、c等比数列的充分不必要条件
b是a、b、c等比数列的必要不充分条件
.b(ac0)是a、b、c等比数列的充要条件.任意两数a、c不一定有等比中项,除非有ac>0,则等比中项一定有两个.三、通项公式与前n项和法
1.通项公式法
(1).若数列通项an能表示成ananb(a,b为常数)的形式,则数列an是等差数列。(充要条件)
(2).若通项an能表示成ancqn(c,q均为不为0的常数,nN)的形式,则数列an是等比数列.(充要条件)
2.前n项和法
(1).若数列an的前n项和Sn能表示成Snan2bn(a,b为常数)的形式,则数列an是等差数列;(充要条件)
(2).若Sn能表示成SnAqnA(A,q均为不等于0的常数且q≠1)的形式,则数列an是公比不为1的等比数列.(充要条件)
四、归纳—猜想---数学归纳证明法
先根据递推关系求出前几项,观察数据特点,猜想、归纳出通项公式,再用数学归纳法给出证明。
这种方法关键在于猜想要正确,用数学归纳法证明的步骤要熟练,从“nk时命题成立”到“nk1时命题成立”要会过渡.
五、反证法
解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑.
六、等差数列与等比数列的一些常规结论
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)数列{an}{an}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;(2)若{bn}是公比为q的等比数列,则数列{anbn}是公比为qq的等比数列;(3)数列
11
是公比为的等比数列;
qan
(4){an}是公比为q的等比数列;
(5)在数列{an}中,每隔k(kN)项取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍
为等比数列且公比为qk1;
(6)若m,n,p(m,n,pN)成等差数列时,am,an,ap成等比数列;(7)Sn,S2nSn,S3nS2n均不为零时,则Sn,S2nSn,S3nS2n成等比数列;(8)若{logban}是一个等差数列,则正项数列{an}是一个等比数列.
若数列{an}是公差为d等差数列,则
(1){kanb}成等差数列,公差为kd(其中k0,k,b是实常数);(2){S(n1)kSkn},(kN,k为常数),仍成等差数列,其公差为k2d;(3)若{an}{,bn}都是等差数列,公差分别为d1,d2,则{anbn}是等差数列,公差为d1d2;
(4)当数列{an}是各项均为正数的等比数列时,数列{lgan}是公差为lgq的等差数列;
(5)m,n,p(m,n,pN)成等差数列时,am,an,ap成等差数列.
第二篇:等差数列与等比数列的证明
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等差数列与等比数列的证明
作者:刘春建
来源:《高考进行时·高三数学》2013年第03期
一、考纲要求
1.理解等差数列的递推关系,并能够根据递推关系证明等差数列。
2.理解等比数列的递推关系,并能够根据递推关系证明等比数列。
3.能够利用等差中项和等比中项证明等差数列和等比数列。
二、难点疑点
1.在证明等差数列和等比数列的过程中,部分学生只是求出了等差数列和等比数列的通项公式,而没有利用递推关系或者等差、等比中项进行证明。
2.在用等比中项证明等比数列的时候,没有交代各项均不为零。
3.要注意整体思想在证明等差数列和等比数列中的灵活运用。
第三篇:deng等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法
高考题中,有关证明、判断数列是等差(等比)数列的题型比比皆是,如何处理这些题目呢?
证明或判断等差(等比)数列的方法常有四种:定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。
一、定义法
10.证明数列是等差数列的充要条件的方法:
an1and(常数)an是等差数列
20.证明数列是等差数列的充分条件的方法:
anan1d(n2)an是等差数列
an1ananan1(n2)an是等差数列
典型案例:
1.(2012江苏)已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足:an1
bnb1,nN*,求证:数列nanan2anbnanbn22,nN*,(1)设bn1
是等差数列;
2.(本题满分14分)已知f(x)411P(a,)在曲线yf(x)上(nN*)且a11,an0.,点nn2an1x
1(Ⅰ)求证:数列2为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
an
{an}中,a11,an11
3.在数列
(1)求证:数列12,bn,其中nN*4an2an1. {bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式an;
30.证明数列是等比数列的充要条件的方法:
an1
q(q0且为常数,a10)an为等比数列 anan
q(n>2,q为常数且≠0)an为等比数列 an1
注意事项:用定义法时常采用的两个式子anan1d和an1and有差别,前者必须加上“n≥2”,否则n1时a0无意义,等比中一样有:n≥2时,有(常数0);②nN时,有典型案例:
1.已知数列(1)证明:
n2
2.数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=nSn(n=1,2,3,„).
an
qan1
an1
. q(常数0)
an
an的前n项和为Sn,且Snn5an85,nN*
an1是等比数列;
证明:(1).数列{
Snn
}是等比数列;
3.在各项均为负数的数列(1)求证:数列(2)若数列
an中,已知点an,an1(nN
*)
在函数
y
28xa2a53的图像上,且27.
an是等比数列,并求出其通项;
bn的前n项和为Sn,且bnann,求Sn
4.已知f(x)=ln(1+x)-x.(Ⅰ)求f(x)的最大值;
a1= bn,(Ⅱ)数列{an}满足:an+1= 2f '(an)+2,且a1=2.5,n
⑴数列{ bn+3}是等比数列⑵判断{an}是否为无穷数列。
5.数列
an(nN
*)
中,11
fn(x)x3(3ann2)x23n2anx
32是函数的极小值点;
(Ⅰ)当a=0时,求通项
an
(Ⅱ)是否存在a,使数列
an是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。
2n1an
6.数列an满足a12,an1(nN).(n)an2n
22n
(1)设bn,求数列bn的通项公式bn;
an
.
7.已知{
an
}是整数组成的数列,a1 = 1,且点
(an,an1)(nN*)
yx1的图象上,在函数
(1)求数列{(2)若数列{
anbn
}的通项公式;
bnbn2bnbn1bn2anb1 1}满足 = 1,求证:
第四篇:等差数列与等比数列的性质
第24课 等差数列与等比数列的性质
●考试目标主词填空
1.等差数列的性质.
①等差数列递增的充要条件是其公差大于0,②在有穷等差数列中,与首末两端距离相等的和相等.即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=„=ak+an+1-k,③在等差数列{an}中,使am+a0=ap+aq成立的充要条件是是等差数列,⑤若数列{an}与{bn}均为等差数列,且m,k为常数,则{man+kbn}Sn=an2+bn+c能表示等差数列前n项和的充要条件是2.等比数列的性质.①在等比数列{an}中,公比为q,其单调性的考察应视a1及q的取值范围而定.②在有穷的等比数列{an}即:a1an=a2·an-1=a3·an-2=„=ak·an+1-k.
③在等比数列{an}中,使am·a0=ap·ak成立的充要条件是m+n=p+k. ④在等比数列中,每隔相同的项抽出来,依原来的顺序构成一个新数列,则此新数列仍是等比数列.man⑤若数列{an}与{bn}均为等比数列,m是不等于零的常数,则{m·an·bn}与仍为等比数列.bn
●题型示例点津归纳
【例1】证明下列论断:
(1)从等差数列中每隔相同的项抽取一些项依原顺序构成的新数列仍然是等差数列.(2)从等比数列中每隔相同的项抽取一些项依原顺序构成的新数列仍然是等比数列.
【解前点津】等差数列的公差以及等比数列的公比都是已知常数,且每隔k项抽取一个数中的k边应视为已知正整数,按定义证明即可.【规范解答】(1)设{xn}是公差为d的等差数列,抽取的第一个数为xm,隔k项抽取的第二个数为xm+k,再隔k项抽取的第三个数为xm+2k,依次类推,则新数列的第p项(p≥1)必为xm+(p-1)k ·第p+1项为xm+pk.由通项公式:
∵xm+pk-xm+(p-1)k=x1+(m+pk-1)d-[x1+(m+pk-k-1)d]=(k-1)d是一个p无关的常数,故新数列是一个公差为kd的等差数列.(2)设{yn}是一个公比为q的等比数列,抽取的第一个数为ym,隔k项抽取的第二个数为ym+k,再隔k项抽取的第三个数为ym+2k,依次类推,则新数列的第p项(p≥1)必为ym+(p-1)k,第p+1项为ym+pk.由等比数列通项公式: ∵ympk
ym(p1)ky1qmpk1k==q是一个与p无关的常数.mpkk1y1q
故新数列是一个公比为qk的一个等比数列.【解后归纳】证明{xn}是一个等差数列,只须证明xn-xn-1=常数即可,类似地,证明{yn}是一个等比数列,只证明yn=常数即可. yn
1【例2】设x,y,z∈R,3x,4y,5z成等比数列,且
111xz,成等差数列,求的值.xzxyz
【解前点津】依条件列方程组,从方程组中推导
xz
之值. zx
(4y)2(3x)(5z)
2xz
y=【规范解答】由题意得:211代入第一个方程消去y得:
xzyxz
2xz2xz34(xz)26416()=15xz=,故=.xz15zx15xz
【解后归纳】因(xz
)中不含y,故在方程组中,y成为消去的对象.zx
【例3】已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn,求满足不等式|Sn-n-6|<的最小正整数n. 12
5【解前点津】构造“新数列”,求出通项公式,注意到3(an+1-1)=-(an-1).【规范解答】由条件得:3(an+1-1)=-(an-1).视为3xn+1=-xn,∵a1-1=8,故新数列{an-1}是首项为8,公比为-的一个等比数列.故:
31n81
31n-11n-1=6-6×(-1)n,an-1=8(-),即an=1+8(-)Sn-n=
3331
13
11n-1
∴|Sn-n-6|=6×()n <3>250>35n-1>5.3125
∴n>6从而n≥7.故n=7是所求的最小正整数.
【解后归纳】将一个简单的递推公式进行变形,从而转化为一个等差数列,或一个等比数列的模型.这是一种“化归”的数学思想.【例4】设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且b1=a1,b2=a2,b3=a3(a1 n 2+bn)=2+1,试求{an}的首项与公差.【解前点津】设 b2b =q,则1=2+1.1qb1 【规范解答】设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则由条件知,b2=b1b3(a2)2=(a1)·(a3) a2 =(1+2)(2+1) a1 (a1+d) 4=a22,a12a22=a1 ·(a1+2d)(a1+d)=|a1(a1+2d)|又b1=(1+q)(22 2+1),故 2a1 42即a1=[a1+(a1+d)2](2+1),解关于a1及d的方程组得:a1=-2,d=22-2. 【解后归纳】将所列方程组转化为关于基本量a1,d的方程,是常规思路.此题是否有另外思路?读者可自己寻找.●对应训练分阶提升 一、基础夯实 1.在等比数列{an}中,a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则a99+a100等于() bbb9b10 A.8B.()C.9D.()10 aaaa 2.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是() A.4和5B.5或6C.6或7D.不存在3.若{an}为一个递减等比数列,公比为q,则该数列的首项a1和公比q一定为()A.q<0,a1≠0B.a1>0,0 4.由公差为d的等差数列a1,a2,a3,„,重新组成的数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,„是()A.公差为d的等差数列B.公差为2d的等差数列 C.公差为3d的等差数列D.非等差 5.设2a=3,2b=6,2c=12,则a、b、c()A.是等差数列,但不是等比数列B.是等比数列,但不是等差数列 C.既不是等差数列,又不是等比数列D.既是等差数列,又是等比数列 6.若{an}是等比数列,a4a7=-512,a3+a8=124,且公比q为整数,则a10的值是()A.256B.-256C.512D.-51 27.设{an}是由正数组成的等比数列,且a5·a6=81,那么log3a1+log3a2+log3a3+„+log3a10的值是()A.5B.10C.20D.30 8.在3和9之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则这两个数的和是()A.1 11111B.12C.13D.14 444 49.在等比数列{an}中,已知对任意自然数n,a1+a2+„+an=2n-1,则a1+a2+„+a2n=()A.(2n-1)2B.1n2n1 (2-1)C.4-1D.(4n-1)3 310.上一个n级的台阶,若每次可上一级或两级,设上法的总数为f(n),则下列猜想中正确的是() A.f(n)=nB.f(n)=f(n-1)+f(n-2) n(n1,2) C.f(n)=f(n-1)·f(n-2)D.f(n)= f(n1)f(n2)(n3) 二、思维激活 11.在等差数列{an}中,若Sm=n,Sn=m(Sn为前n项和)且m≠n,则Sm+n 三、能力提高 12.在等差数列{an}中,a1,a4,a25三个数依次成等比数列,且a1+a4+a25=114,求这三个数.13.已知{an}为等差数列,(公差d≠0),{an}中的部分项组成的数列ak1,ak2,ak13,„,ak,„,n 恰好为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+„+kn.14.设f(x)=a1x+a2x2+„+anxn(n为正偶数),{an}是等差数列,若f(1)=(1)求an;(2)求证:f(1nn(n+1),f(-1)=. 22)<2. 2 15.数列{an}的前n项和Sn=100n-n2(n∈N).(1){an}是什么数列? (2)设bn=|an|,求数列|bn|的前n项和.第3课等差数列与等比数列的性质习题解答 1.A先求a1与公比q.2.B∵d<0,∴a3>a9,∴a3=-a9.3.B分别考察a1>0与a1<0两种情况.4.B∵(an+an+3)-(an-1+an+2)=(an-an-1)+(an+3-an+2)=d+d=2d.5.A∵62=3×12,∴(2b)2=2a·2c2b=a+c且b2≠ac.6.C∵a4a7=a3a8=-512,a3+a8=124,∴a3,a8是x2-124x-512=0的两根.解之:a3=-4,a8=128或a3=128,a8=-4q=-2或- 但q=-不合题意,∴a10=a8·q2=512.22 7.C其值为log3(a1a2„a10)=log3(a1a10)·(a2a9)„(a5a6)=log3(a5a6)5=5log3(a5·a6)=5log381=20.9 xx23y28.A设这两个正数为x,y,由题意可得:.272yx9y4 9.D∵Sn=2n-1,∴an+1=Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n,又a1=S1=21-1=1=21-1,∴an=2n-1.10.D每次可上一级或两级,故需分段考虑.11.Sm+n=-(m+n)运用公式求和.2a4(a13d)2a1(a124d)a1a25 12.设公差d,依题意得: a1a4a251143a127d114 a438a4a13d23414a138a12 或,或 a38aa24d224498d0d425125 ∴这三个数是38,38,38或2,14,98. 13.∵a1,a5,a17成等比数列,∴(a1+4d)2=a1(a1+16d)d= aa11,an=a1(n+1),a5=a1+4d=3a1,∴q=5 22a1 =3,akn= k11 a1(kn+1)akn=a1·qn-1=a1×3n-1,∴na1=a1×3n-1,∴kn=2×3n-1-1k1+k2+k3+„22 n-1 2(13n) +kn=2(1+3+9+„+3)-n= =3n-n-1.(13)n 14.(1)设{an}的公差为d,则f(1)=a1+a2+„+an=d=1,由na1+ 1nn n(n+1),f(-1)=-a1+a2-a3+a4+„-an-1+an=d=,∴222 n(n1)n(n1) 得a1=1,∴an=n. 22 2n 1123111111n(2)f()=+2+3+„+(1-)]f()=+2+3+„+n+n1 22222222222 两式相减: 1 11n 1111n2nnf()=1++2+„+n1-n=-n=2-2n1-2n<2. 2222212 12 15.(1)an=Sn-Sn-1=(100n-n2)-[100(n-1)-(n-1)2]=101-2n(n≥2),∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1,∴数列{an}的通项公式为an=101-2n又∵an+1-an=-2为常数.∴数列{an}是首项为a1=99,公差d=-2的等差数列.(2)令an=101-2n≥0得n≤50(n∈N*),①当1≤n≤50时,an>0,此时bn=|an|=an,所以{bn}的前n项和Sn′=100n-n2且S50′=100×50-502=2500,②当n≥51时,an<0,此时bn=|an|=-an由b51+b52+„+bn=-(a51+a52+„+an)=-(Sn-S50)=S50-Sn得数列{bn}前n项和为Sn′=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2500-(100n-n2)=5000-100n+n2.(nN*,1n50)100nn 由①②得数列{bn}的前n项和为Sn′=.2* (nN,n51)5000100nn 等差数列和等比数列知识点梳理 第一节:等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一项的差为一个定值,则称这个数列为等差数列,记:anan1d(d为公差)(n2,nN*)注:下面所有涉及n,nN*省略,你懂的。 2、等差数列通项公式: ana1(n1)d,a1为首项,d为公差 推广公式:anam(nm)d 变形推广:d 3、等差中项 (1)如果a,A,那么A叫做a与b的等差中项.即:b成等差数列,Aab2anam nm或2Aab (2)等差中项:数列an是等差数列 2anan-1an1(n2)2an1anan2 4、等差数列的前n项和公式: Snn(a1an)n(n1)na1d 22d212 n2(a1d)nAn2Bn (其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数2n1时,an1是项数为2n+1的等差数列的中间项 S2n12n1a1a2n122n1an1(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项) 5、等差数列的判定方法(1)定义法:若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列. (2)等差中项:数列an是等差数列 2anan-1an1(n2)2an1anan2 (3)数列an是等差数列anknb(其中k,b是常数)。 (4)数列an是等差数列SnAn2Bn,(其中A、B是常数)。 6、等差数列的证明方法 定义法:若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列. 7、等差数列相关技巧: (1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项ana1(n1)d ②奇数个数成等差,可设为„,a2d,ad,a,ad,a2d„(公差为d); ③偶数个数成等差,可设为„,a3d,ad,ad,a3d,„(注意;公差为2d) 8、等差数列的性质: (1)当公差d0时,等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n和Snna1n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为2220。 (2)若公差d0,则为递增等差数列,若公差d0,则为递减等差数列,若公差d0,则为常数列。 (3)当mnpq时,则有amanapaq,特别地,当mn2p时,则有aman2ap。(注:a1ana2an1a3an2,)当然扩充到3项、4项„„都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系数之和相等。 (4)an、bn为等差数列,则anb,1an2bn都为等差数列 (5)若{an}是等差数列,则Sn,S2nSn,S3nS2n,„也成等差数列 (6)数列{an}为等差数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列 (7)an、{bn}的前n和分别为An、Bn,则anA2n1 bnB2n1(8)等差数列{an}的前n项和Smn,前m项和Snm,则前m+n项和Smnmn,当然也有anm,amn,则amn0 (9)求Sn的最值 法一:因等差数列前n项和是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性nN*。 法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和 即当a10,d0,由an0可得Sn达到最大值时的n值. a0n1(2)“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。 即 当a10,d0,由an0可得Sn达到最小值时的n值. a0n1或求an中正负分界项 法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,Sn取最大值(或最小值)。若S p = S q则其对称轴为n 注意:SnSn1an(n2),对于任何数列都适用,但求通项时记住讨论当n1的情况。 pq 2解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于a1和d的方程; ②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量。(以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明,不是很难,并能够学会运用) 第二节:等比数列的相关公式和性质 1、等比数列的定义: 2、通项公式: ana1qn1,a1为首项,q为公比 anqq0n2,q为公比 an1推广公式:anamqnm,从而得qnm 3、等比中项 an am(1)如果a,A,b成等比数列,那么A叫做a与b的等差中项.即:A2ab或Aab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数) (2)数列an是等比数列an2an1an1 4、等比数列的前n项和Sn公式:(1)当q1时,Snna1(2)当q1时,Sn a11qn1qa1anq 1qa1a1qnAABnA'BnA('A,B,A',B'为常数)1q1q5、等比数列的判定方法(1)用定义:对任意的n,都有an1qan或为等比数列 an1q(q为常数,an0){an}an(2)等比中项:an2an1an1(an1an10){an}为等比数列(3)通项公式:anABnAB0{an}为等比数列(4)前n项和公式: SnAABn或SnA'BnA'A,B,A',B'为常数{an}为等比数列 6、等比数列的证明方法 依据定义:若anqq0n2,且nN*或an1qan{an}为等比数列 an 17、等比数列相关技巧: (1)等比数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、q、n、an及Sn,其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项:ana1qn1 如奇数个数成等比,可设为„,aa2„(公比为q,中间项,a,aq,aq2qq用a表示);注意隐含条件公比q的正负 8、等比数列的性质:(1)当q1时 ①等比数列通项公式ana1qn1a1nqABnAB0是关于n的带有系q数的类指数函数,底数为公比q ②前n项和Sna11qn1qa1a1qna1a1qnAABnA'BnA',系1q1q1q数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比q (2)对任何m,nN*,在等比数列{an}中,有anamqnm,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3)若mnst(m,n,s,tN*),则anamasat。特别的,当mn2k时,得anamak2 注:a1ana2an1a3an2 (4)列{an},{bn}为等比数列,则数列{},{kan},{ank},{kanbn}{n}(k为非零常数)均为等比数列。 (5)数列{an}为等比数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列 (6)如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列(7)若{an}为等比数列,则数列Sn,S2nSn,S3nS2n,,成等比数列(8)若{an}为等比数列,则数列a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n成等比数列 kanabn(9)①当q1时,②当0 ③当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);④当q<0时,该数列为摆动数列。 (10)在等比数列{an}中, 当项数为2n(nN*)时,S奇S偶1,。 q(11)若{an}是公比为q的等比数列,则SnmSnqnSm 注意:在含有参数的数列时,若是等比数列,一定要考虑到公比q1的特殊情况。 解决等比数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于a1和q的方程; ②巧妙运用等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量。 关于等差、等比两个引申:ankan1b模式(其中k,b为常数,;anpan1pn模式(其中p为常数,n2)n2)在这里我们以具体的例子给出,使其更容易理解: 例1 已知数列an,有an3an14(n2),则求该数列的通项公式 解题大致思路:先设anb3(an1b),则对于an3an14an23(an12),那么我们就可以构造数列an2为等比数列,利用等比的相关性质去解决,注意:构造新数列的首项和公比分别是多少?还有你考虑到当n1的这种情况了吗? 例2 已知数列bn,有bn2bn12(n2),求该数列的通项公式 n解题的大致思路:bn2bn12(n2)nbn2bn1bnbn11n11,相信你已nnn2222经知道构造什么数列了吧,这两个模式考试中喜欢考,也比较基础,当然也希望通过这两个模式能让你意识到求数列中的构造思想。1 C.q>1,a1<0D.0
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第五篇:等差数列、等比数列知识点梳理