证明等比等差数列

第一篇：证明等比等差数列

1．已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*)(1)求证数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．

2.已知数列{an}中，a135，an21an1(n2,nN)，数列{bn}满足

bn1(nN)an1；

（1）求证：数列（2）求数列

{bn}是等差数列；

{an}的通项公式

na1,a2a23.在数列an中，1 n1n（1）设bnan,n1证明2bn是等差数列;（2）求数列an的通项公式。

4.设数列

{lgan}是等差数列；{an}的前n项和为Sn,a110,an19Sn10。

求证：

5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0(n≥2),a1=1/2.（1）求证：{1/Sn}是等差数列；（2）求an表达式；

第二篇：等比等差数列高考题集

等差等比数列高考题集

1.已知{an}为等差数列，a1a3a5105,a2a4a699,则a20

2.等比数列{an}中，已知a12,a416.（1）求{an}的通项公式；（2）若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.3.{an}为等差数列，且a72a41,a30,则公差d

4.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,S3,S2成等差数列。

（1）求{an}的公比q；（2）若a1a33,求Sn；

5.设Sn是等差数列的前n项和。已知a23,a611,则S7

6.等比数列{an}的公比为q0,已知a21,an2an16an,则{an}的前4项和S4

7.等差数列{an}中，a37,a5a26,则a6

8.若数列{an}满足：a11,an12an(nN*),则a5_____;前8项和S8________.9.等比数列{an}的公比qS1，前n项和为Sn，则4 a42

10.等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4,S8S4,S12S8,S16S12成等差数列。类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,_____, 16成等比数列。

11.等差数列{an}满足：a37,a5a726.{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；（2）令bTT12n1(nN*),求数列{bn}的前n项和Tn.21an

12.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2a50,则S5_______ S2

13.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S972,则a2a4a9______

14.设数列{an}的前n项和为Sn，若a6S312,则{an}的通项an____

15.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn.已知

a11,b13,a3b317,T3S312,求{an}，{bn}的通项公式。

16.数列{an}的通项ann(cos

(1)求Sn；（2）令bn22nnsin2),其前n项和为Sn.33S3n求数列{bn}的前n项和Tn nn4

17.已知数列{an}的前n项和Sn2n22n,数列{bn}的前n项和Tn2bn.2（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设cnanbn,证明：当且仅当

n3时，cn1cn

*18.对于数列{un}，若存在常数M0,对于任意的nN,恒有

|un1un||unun1||u2u1|M,则称数列{un}为B数列。

（1）首项为1，公比为1的等比数列是否为B数列？请说明理由； 2

（2）设Sn是数列{xn}的前n项和.给出下列两组论断：A组：数列{xn}是B数列，数列{xn}不是B数列；B组：数列{Sn}是B数列，④数列{Sn}不是B数列。请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；

（3）若数列是B数列，证明：数列{an}也是B数列。

19.已知数列{an}满足a11,a22,an22anan1,nN*.2

（1）令bnan1an,证明：{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式；

20.设{an}是首项大于0的等比数列，则“a1a2”是“数列{an}是递增数列”的__条件。

21.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n,Sn)均在函数*

ybxr(b0且b1,b,r均为常数)的图象上。

（1）求r的值；（2）当b2时，记bnn1(nN*),求数列{bn}的前n项和Tn.4an

3或3 3或1 322.已知等差数列1,a,b,等比数列3,a2,b5,则该等差数列的公差为：

2an1,n为偶数223.已知数列{an}满足：a10,ann1(n2,3,4,).2an1,n为奇数，22

(1)求a5,a6,a7的值；（2)设bna2n1

2n,试求数列{bn}的通项公式；

（3）对于任意的正整数n,试讨论an与an1的大小关系.24.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2a46,则S5___

25.设等差数列{an}的前n项和为Sn，S48,S810,则a11a12a13a14_______

26.正数列{an}的前n项和为Sn，且存在正数t,使得对于任意的正整数n,都有NSntan成立.若limt,则t的取值范围是______

na2n

11)an(nN*).nn27.已知数列{an}满足：a11,an1(1

（1）设bnan,求数列{bn}的通项公式；（2）若对任意给定的正整数m,使得不等式n

ant2m(nN*)成立的所有n中的最小值为m2,求实数t的取值范围。

28.设数列{an}，{bn}满足a1112,2nan1(n1)an,且bnln(1an)an,nN*.22

*（1）求a2,a3,a4并求{an}的通项公式；（2）对一切nN,证明：a2 n成立；an2bn

2（3）记数列{an},{bn}的前n项和分别是An,Bn,证明：2BnAn4.29.数列{an}满足下列条件：a11,且对于任意的正整数n,恒有a2nnan,则a2100的值为?

30.已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bnnan,求证：b1b2bn1(1an).23.4

31.已知在公比为实数的等比数列{an}中，a34,且a4,a54,a6成等差数列。

（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求2an1的最大Sn

值。

32.已知数列{an}满足：Sn1an(nN*),其中Sn为数列{an}的前n项和。

（1）试求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足：bnn(nN*),试求bn的前n项an和Tn；（3）设cn111,数列{cn}的前n项和为Pn，求证：Pn2n.21an1an1

33.已知{an}是等差数列。Sn是其前n项和，a519,S555,则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜率是_______

34.已知函数f(x)2x1,g(x)x,.xR,数列{an}，{bn}满足条件：a11,anf(bn)g(bn1),nN*.2n

(1)求证：数列{bn1}为等比数列；（2）令cn,Tn是数列{cn}的前n项和，anan1

2009成立的n的最小值。2010

12a,0a,nn2若a3,则a35.数列{an}满足：an112010_____ 152an1,an1,2求使Tn

36.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S113,S410,S515,则a4的最大值为_____

37.已知数列{an}满足a1an11*,an(n2,nN)。n4(1)an12

（1）求证：数列{(2n1)1,数（2）设cnansin(1)n}(nN*)是等比数列；2an

*列{cn}的前n项和Tn,求证：对任意的nN,Tn4.7

2x1x0,38.已知函数f(x)把函数g(x)f(x)x的零点按从小到大的顺f(x1)1x0,序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）

A.an

C.ann1(nN)*n(n1)(nN*)B.ann(n1)(nN*)2D.an2n2(nN*)

39.各项均不为零的数列{an}，首项a11,且对任意nN均有*6an1an1an2an0,bn1.an

（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若数列{bn}的前n项和为Tn,证明：n2时，80n1knkn0(n1)Tn(n1)Cn（n1k）CnCn12nCn11212.3

第三篇：如何证明等差数列

如何证明等差数列

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

1三个数abc成等差数列，则c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列

等差：an-(an-1)=常数(n≥2)

等比：an/(an-1=常数(n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2

我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4

下面用数学规纳法来证明：

1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立

2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是S(k+1)=a(k+1)+Sk

而由题意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8

即：(5k-8)*-(5k+2)Sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1时，推测仍成立。

在新的数列中

An=S

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

A(n-1)=S

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d为原数列公差)

20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。

A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3*2^(n-1)两边同时除2^(n+1)得-An/2^n=3/4即{An/2^n}的公差为3/4An除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列

那么你就设直角三角形地三条边为a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a²+(a+b)²=(a+2b)²

所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²

化简得a²=2ab+3b²

两边同时除以b²

解得a/b=3即a=3b

所以三边可以写为3b，3b+b。3b+2b

所以三边之比为3：4：5

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

第四篇：等差数列证明[推荐]

设数列｛an｝的前n项和为Sn，若对于所有的正整数n，都有Sn=n(a1+an)/2,求证：｛an｝是等差数列

解：证法一：令d=a2－a1，下面用数学归纳法证明an=a1+（n－1）d（n∈N*）①当n=1时，上述等式为恒等式a1=a1，当n=2时，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.②假设当n=k（k∈N，k≥2）时命题成立，即ak=a1+（k－1）d 由题设，有Sk

k(a1ak)(k1)(a1ak1),Sk1，22

(k1)(a1ak1)k(a1ak)

+ak+1

又Sk+1=Sk+ak+1，所以

将ak=a1+（k－1）d代入上式，得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k－1）d+2ak+1 整理得（k－1）ak+1=（k－1）a1+k（k－1）d ∵k≥2，∴ak+1=a1+［（k+1）－1］d.即n=k+1时等式成立.由①和②，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列.证法二：当n≥2时，由题设，Sn1

(n1)(a1an1)n(a1an),Sn

所以anSnSn1

n(a1a2)(n1)(a1an1)

 22

(n1)(a1an1)n(a1an)

同理有an1

从而an1an

(n1)(a1an1)(n1)(a1an1)

n(a1an)

整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.从而{an}是等差数列.评述：本题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力，教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式，本题逆向思维，由数列的求和公式去推数列的通项公式，有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证，却不知用数学归纳法证什么，这里需要把数列成等差数列这一文字语言，转化为数列通项公式是an=a1+（n－1）d这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧.

第五篇：数列—等差、等比的证明

等差、等比数列的证明

1．数列{a327

n}的前n项和为Sn2n2

n（nN）．

（Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若数列{bn}满足：anlog2bn，证明：数列{bn}是等比数列．

2．已知数列{a

n}的前n项和为Sn4an3(nN)，证明：数列{an}是等比数列．

3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a11，Sn14an2（nN）．

（Ⅰ）证明：数列an

2n

为等差数列；（Ⅱ）证明：数列{an12an}为等比数列．

4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：

Sn2a2nn4n（nN），证明：数列{an2n1}为等比数列．

5．（2008北京文20）数列an满足：a11，a)a

n1(n2nn，（nN）是常数．（Ⅰ）当a21时，求及a3的值；

（Ⅱ）数列an是否可能为等差数列? 若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

6．设函数fxx2m，mR，定义数列{an}如下：

a10，an1f(an)（nN）．（Ⅰ）当m1时，求a2,a3,a4的值；

（Ⅱ）是否存在实数m，使a2,a3,a4构成公差不为0的等差数列? 若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

6．（2008湖北21）已知数列{an}和{bn}满足：a1，a2

n1

ann4，bnn(1)(an3n21)，其中为实数，nN．

（Ⅰ）证明：数列{an}不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，证明你的结论．

7．（2010安徽20）设数列{an}中的每一项都不为0． 证明：数列{an}为等差数列的充分必要条件是： 对任何nN，都有

111n

aa

a． 1a22a3anan11an1

8．（2011北京文、理20）

若数列An:a1,a2,,an(n2)满足

ak1ak1(k1,2,,n1)，则称An为E数列．

（Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1a30；（Ⅱ）若a112，n2000，证明：

E数列An是递增数列的充要条件是an2011．