2018年三角函数复习(含答案)

第一篇：2018年三角函数复习(含答案)

2018年07月05日竹月梦舞的高中数学组卷

一．解答题（共22小题）

1．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosB+bsinA=c．（1）求角A的大小；（2）若，△ABC的面积为，求b+c的值．

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB=2a﹣b．（1）求C；

（2）若AB=AC，D是△ABC外的一点，且AD=2，CD=1，则当∠D为多少时，平面四边形ABCD的面积S最大，并求S的最大值．

3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB=2a﹣b．（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）当c=3时，求a+b的取值范围．

4．△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（1）求角B的大小；（2）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积．

5．已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且2cosB（ccosA+acosC）=b．

（1）证明：A，B，C成等差数列；（2）若△ABC的面积为，求b的最小值．

6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（+A）•sin（﹣A）

cos2A+1=4sin（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若a=，且b≥a，求

b﹣c的取值范围．

第1页（共26页）

8．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．

（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求a的值．

9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．（Ⅰ）若c=2，且△ABC的面积，求a，b的值；

（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，试判断△ABC的形状． 10．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C对的边，．

（1）若，△ABC的面积为，求c；

（2）若，求2a﹣c的取值范围．

11．在△ABC中，D为BC边上一点，AD=BD，AC=4，BC=5．（1）若∠C=60°，求△ABC外接圆半径R的值；（2）设∠CAB﹣∠B=θ，若，求△ABC的面积．

12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）且角A的大小；（Ⅱ）已知，求△ABC面积的最大值．

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若acosB+bcos（B+C）=0，证明：△ABC为等腰三角形；（2）若角A，B，C成等差数列，b=2．求△ABC面积的最大值． 14．在△ABC中，已知4sinAcos2A﹣cos（B+C）=sin3A+．

（Ⅰ）求A的值；

（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，b=2，求c的取值范围．

第2页（共26页），15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a﹣c．

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．

ac． 16．在△ABC中，a2+c2﹣b2=﹣（1）求B；（2）求sinA+sinC的取值范围．

sinBsinC． 17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sin2A=sin2B+sin2C+（1）求A的大小；

（2）求sinB+cosC的取值范围．

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+asinB=0．（1）求角A的大小；（2）已知，△ABC的面积为1，求边a．）19．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+=b．

（1）求角A的值：

（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．

20．在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=． ①求②若的值．，求△ABC的面积S的最大值．

21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量

与（1）求的值；

平行．

（2）若bcosC+ccosB=1，△ABC周长为5，求b的长． 22．如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．

第3页（共26页）

第4页（共26页）

2018年07月05日竹月梦舞的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共22小题）

1．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosB+bsinA=c．（1）求角A的大小；（2）若，△ABC的面积为，求b+c的值．

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．

【专题】38：对应思想；49：综合法；58：解三角形．

【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得b+c的值． 【解答】解：（1）△ABC中，acosB+bsinA=c，由正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA=sinC，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinBsinA=cosAsinB，又sinB≠0，∴sinA=cosA，又A∈（0，π），∴tanA=1，A=；

bc=，（2）由S△ABC=bcsinA=解得bc=2﹣；

又a2=b2+c2﹣2bccosA，∴2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣（2+）bc=2+（2+）bc，）（2﹣）=4，∴（b+c）2=2+（2+∴b+c=2．

【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题．

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB=2a﹣b．

第5页（共26页）

（1）求C；

（2）若AB=AC，D是△ABC外的一点，且AD=2，CD=1，则当∠D为多少时，平面四边形ABCD的面积S最大，并求S的最大值． 【考点】HT：三角形中的几何计算．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．

【分析】（1）由正弦定理得：2sinCcosB=2sinA﹣sinB，推导出2sinBcosC=sinB，从而cosC=，由此能求出C．（2）由AB=AC，4cosθ=5﹣4cosθ，从而S=S△ABC+S△ADC=出平面四边形ABCD的面积S取最大值．

【解答】解：（1）∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB=2a﹣b．

∴由正弦定理得：2sinCcosB=2sinA﹣sinB，又A=π﹣（B+C），∴2sinC•cosB=2sin（B+C）﹣sinB=2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinB，2sinBcosC=sinB，∵sinB≠0，∴cosC=，∵0＜C＜π，∴C=（2）∵AB=AC，设AC=x，∠D=θ，∵AD=2，CD=1，∴，=sinθ，由余弦定理得AC2=x2=1+4﹣4cosθ=5﹣4cosθ，∴S=S△ABC+S△ADC==，得△ABC是等边三角形，设AC=x，∠D=θ，则

=sinθ，由余弦定理得AC2=x2=1+4﹣+sinθ=

+2sin（），由此能求．，∴△ABC是等边三角形，+sinθ

（5﹣4cosθ）+sinθ

第6页（共26页）

==+sinθ﹣+2sin（），）=1，即θ=

时，． ∵0＜θ＜π，∴0∴当sin（平面四边形ABCD的面积S取最大值【点评】本题考查觚求法，考查平面四边形的面积的最大值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB=2a﹣b．（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）当c=3时，求a+b的取值范围． 【考点】HP：正弦定理．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．

【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2sinB•cosC=sinB，结合sinB≠0，可求（Ⅱ）由正弦定理得：可得a+b=6sin（A+），由范围，结合范围0＜C＜π，可求C的值．，利用三角函数恒等变换的应用，可得，利用正弦函数的性质可得a+b的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）∵由正弦定理可得：2sinCcosB=2sinA﹣sinB，又∵A=π﹣（B+C），∴2sinC•cosB=2sin（B+C）﹣sinB=2sinB•cosC+2cosB•sinC﹣sinB，∴2sinB•cosC=sinB，∵sinB≠0，∴，∵0＜C＜π，∴．

第7页（共26页）

（Ⅱ）∵由正弦定理：得：∴，∵∴∴a+b∈（3，6]．，，=【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．

4．△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（1）求角B的大小；（2）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积．

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．

【专题】15：综合题；33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形． 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式，即可求角B的大小；（2）利用余弦定理求出ac的值，即可求△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵（2a+c）cosB+bcosC=0，∴（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0 2sinAcosB+sin（B+C）=0，即2sinAcosB+sinA=0，∴cosB=﹣，即B=（2）若b=

；，a+c=4，则b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即12=16﹣2ac+ac，则ac=4，∵a+c=4，第8页（共26页）

∴a=c=2，则△ABC的面积S=acsinB=×2×2×

=

．

【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．

5．已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且2cosB（ccosA+acosC）=b．

（1）证明：A，B，C成等差数列；（2）若△ABC的面积为，求b的最小值．

【考点】HT：三角形中的几何计算．

【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形．

【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果．（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果． 【解答】证明：（1）因为2cosB（ccosA+acosC）=b，所以由正弦定理得2cosB（sinCcosA+sinAcosC）=sinB，即2cosBsin（A+C）=sinB．

在△ABC中，sin（A+C）=sinB且sinB≠0，所以．

因为B∈（0，π），所以．

又因为A+B+C=π，所以．

所以A，B，C成等差数列．（2）因为所以ac=6．

所以b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥ac=6，当且仅当a=c时取等号．

第9页（共26页），所以b的最小值为．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用．三角形面积公式

6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．

【考点】GS：二倍角的三角函数；HP：正弦定理．

【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．

【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，（2）由（1）可知sinB=b．

【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出（2）由（1）可知sinB=∵S△ABC=ac•sinB=2，∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2×

×

=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，第10页（共26页）

∴b=2．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（+A）•sin（﹣A）

cos2A+1=4sin（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若a=，且b≥a，求

b﹣c的取值范围．

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．

【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；57：三角函数的图像与性质；58：解三角形．

【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin2A=1，结合范围2A∈（0，2π），可求A的值．

（Ⅱ）利用正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简可得b﹣c=2sin（B﹣），结合范围0≤B﹣

＜，利用正弦函数的性质即可得解．

【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵∴cos2A+1=4sin（﹣2A）=

+A）•sin（﹣A）=2sin（﹣2A），cos2A+1=2sin（cos2A+sin2A，可得：sin2A=1，∵A∈（0，π），2A∈（0，2π），∴2A=，可得：A=，a=

．…6分，（Ⅱ）∵A=∴由∴b﹣c=2=2，得b=2sinB，c=2sinC，sinB﹣2sinC=

2sinB﹣2sin（﹣B）=2sin（B﹣）．

∵b≥a，∴≤B＜，即0≤B﹣

＜，第11页（共26页）

∴b﹣c=2sin（B﹣）∈[0，2）．…12分

【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

8．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求a的值．

=﹣．

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【专题】15：综合题．

【分析】（1）根据正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后，由sinA不为0，即可得到cosB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；

（2）利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，配方后把b，a+c及cosB的值代入，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值． 【解答】解：（1）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入=﹣，=

=

=2R，得

即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，化简得：2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，∵sinA≠0，∴cosB=﹣，又∵角B为三角形的内角，∴B=（2）将b=，a+c=4，B=，；

代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得

第12页（共26页）

13=a2+（4﹣a）2﹣2a（4﹣a）cos∴a2﹣4a+3=0，∴a=1或a=3．，【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．（Ⅰ）若c=2，且△ABC的面积，求a，b的值；

（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，试判断△ABC的形状． 【考点】GZ：三角形的形状判断；HP：正弦定理．

【专题】11：计算题．

【分析】（Ⅰ）根据余弦定理，得c2=a2+b2﹣ab=4，由三角形面积公式得，两式联解可得到a，b的值；

（Ⅱ）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin（A+B），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA，最后讨论当cosA=0时与当cosA≠0时，分别对△ABC的形状的形状加以判断，可以得到结论．

【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理 及已知条件得，a2+b2﹣ab=4，…．（3分）又因为△ABC的面积等于联立方程组，所以，得ab=4．（5分）

解得a=2，b=2．（7分）

（Ⅱ）由题意得：sinC+sin（B﹣A）=sin2A 得到sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A=2sinAcoA 即：sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcoA 所以有：sinBcosA=sinAcosA，（10分）当cosA=0时，△ABC为直角三角形（12分）

当cosA≠0时，得sinB=sinA，由正弦定理得a=b，所以，△ABC为等腰三角形．（14分）

【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，属于中档题．熟练掌握三角函

第13页（共26页）

数的有关公式，是解好本题的关键．

10．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C对的边，（1）若（2）若，△ABC的面积为，求c；

．，求2a﹣c的取值范围．

【考点】HT：三角形中的几何计算．

【专题】35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．

【分析】（1）根据三角形的面积公式，即可求得a，根据余弦定理，即可求得c的值；

（2）根据正弦定理，分别求得a=﹣2sinC=2围．

【解答】解：（1）∵∴由三角形的面积公式S=由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=∴c的值为，；

=2R．

=2sinC，=2sinA，c==2sinC，则2a﹣c=4sinAcosC，根据余弦函数的性质即可求得2a﹣c的取值范，△ABC的面积为，，则a=2．

．

（2）由正弦定理得∴a=∴=∵∴∴∴ =2sinA，c=，，，第14页（共26页）

∴2a﹣c的取值范围为．

【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式及余弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题．

11．在△ABC中，D为BC边上一点，AD=BD，AC=4，BC=5．（1）若∠C=60°，求△ABC外接圆半径R的值；（2）设∠CAB﹣∠B=θ，若，求△ABC的面积．

【考点】HT：三角形中的几何计算．

【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．

【分析】（1）利用余弦定理表示出AB，再利用正弦定理即可求出外接圆半径R；（2）根据正弦定理余弦定理和三角形面积公式即可求出

【解答】解：（1）由余弦定理，得AB2=BC2+AC2﹣2BC•AC•cos60°=21，解得．

． 由正弦定理得，（2）设CD=x，则BD=5﹣x，AD=5﹣x，∵AD=BD，∴∠B=∠DAB．

∴∠CAD=∠CAB﹣∠DAB=∠CAB﹣∠B=θ． ∵∴即∴BD=AD=3． ∵，∴，解得x=2．

．

第15页（共26页）

∴∴

．

．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．，（Ⅰ）且角A的大小；（Ⅱ）已知，求△ABC面积的最大值．

【考点】HR：余弦定理．

【专题】35：转化思想；4R：转化法． 【分析】（Ⅰ）根据（Ⅱ）根据A的大小和

．建立关系，利用正弦定理化简可得角A的大小，利用余弦定理建立关系，与不等式基本性质求出bc的最大值，可得△ABC面积的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由且，，在△ABC中，由正弦定理：a：b：c=sinA：sinB：sinC，可得：sinAcosC=（2sinB﹣sinC）cosA，∴sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，而在△ABC中，sinB＞0，∴，．

第16页（共26页）

（Ⅱ）在△ABC中，b=c时，等号成立），即又∴，，．

（当且仅当因此，△ABC面积的最大值为【点评】本题考查了向量的运算、正余弦定理、基本不等式的性质的综合运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若acosB+bcos（B+C）=0，证明：△ABC为等腰三角形；（2）若角A，B，C成等差数列，b=2．求△ABC面积的最大值． 【考点】HT：三角形中的几何计算．

【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．

【分析】（1）由acosB+bcos（B+C）=0，得sinAcosB﹣sinBcosA=0，从而sin（A﹣B）=0，进而A=B，由此能证明△ABC为等腰三角形．（2）由角A，B，C成等差数列，得到4+ac=a2+c2，由a2+c2≥2ac，得到ac≤4（当且仅当a=c时，取等号），由此能求出△ABC面积的最大值． 【解答】证明：（1）由acosB+bcos（B+C）=0，得：sinAcosB+sinBcos（π﹣A）=0 即sinAcosB﹣sinBcosA=0，即sin（A﹣B）=0，即A﹣B=kπ，k∈Z，又因为A，B是三角形的内角，A﹣B=0，即A=B，∴△ABC为等腰三角形．…（6分）解：（2）因为角A，B，C成等差数列，所以b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac

即4+ac=a2+c2，因为a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时，取等号）

第17页（共26页），即4+ac≥2ac，即ac≤4（当且仅当a=c时，取等号）故，…（12分）故△ABC面积的最大值为【点评】本题考查三角形为等腰三角形的证明，考查三角形的最大面积的求法，考查三角形面积、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

14．在△ABC中，已知4sinAcos2A﹣（Ⅰ）求A的值；

（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，b=2，求c的取值范围． 【考点】HT：三角形中的几何计算．

cos（B+C）=sin3A+．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】（Ⅰ）由二倍角公式、诱导公式、同角三角函数关系式、三角函数恒等式推导出sinA+

﹣

=0，从而2sin（A+）=，由此能求出A的值． ＜C＜，由此能求出c的（Ⅱ）由△ABC为锐角三角形，b=2，A=取值范围．，得到【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵4sinAcos2A﹣∴4×2sinAcos2A+2sinA+

+

cosA=sin（A+2A）+，cos（B+C）=sin3A+．

=sinAcos2A+cosAsin2A+

cosA﹣

=0，∴sinAcos2A﹣cosAsin2A+2sinA+∴sinA+∴2sin（A+﹣）==0，． ∵0＜A＜π，∴A=（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，b=2，A=∴30°＜C＜90°，∴＜c＜2×2，即1＜c＜4．，∴c的取值范围是（1，4）．

第18页（共26页）

【点评】本题考查三角形中角的求法，考查边的取值范围的求法，考查二倍角公式、诱导公式、同角三角函数关系式、三角函数恒等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a﹣c．

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．

【考点】HT：三角形中的几何计算．

【专题】35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．

【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简，结合和与差的公式即可求B；

（Ⅱ）利用三角形面积公式和余弦定理建立关系，结合基本不等式的性质即可得b的取值范围．

【解答】解：（1）由正弦定理得2sinBcosC=2sinA﹣sinC 在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB ∴2sinBcosC=2sinBcosC+2sinCcosB﹣sinC 即2sinCcosB=sinC ∵0＜C＜π，sinC≠0 ∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=

（Ⅱ）三角形面积公式S=acsinB=可得：ac=4．

=，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥ac=4 当且仅当a=c2时，“=”成立，∴b≥2．

∴b的取值范围是[2，+∞）．

【点评】本题考查了正余弦定理的应用和计算，基本不等式的性质的应用．属于

第19页（共26页）

基础题．

16．在△ABC中，a2+c2﹣b2=﹣（1）求B；（2）求sinA+sinC的取值范围．

ac．

【考点】HT：三角形中的几何计算．

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；58：解三角形． 【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得cosB=分析可得答案；

（2）根据题意，分析可得

sinA+sinC=

sin（+C）+sinC=cosC，分析C的范

=﹣，由B的范围，围，即可得cosC的取值范围，又由cosC=【解答】解：（1）根据题意，a2+c2﹣b2=﹣则cosB=又由0＜B＜π，B=；

sinA+sinC==﹣，sinA+sinC即可得答案． ac，（2）根据题意，又由0＜C＜即，则

sin（B+C）+sinC=sin（+C）+sinC=cosC，＜cosC＜1，1）． sinA+sinC的取值范围为（【点评】本题考查三角形中的几何计算，注意结合角的范围，正确求出角的值．

17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sin2A=sin2B+sin2C+（1）求A的大小；

（2）求sinB+cosC的取值范围．

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．

sinBsinC．

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；56：三角函数的求值． 【分析】（1）根据题意，由正弦定理可得a2=b2+c2+﹣a2，由余弦定理分析可得cosA=

bc，变形可得﹣

bc=b2+c

2，计算可得答案；

第20页（共26页）

（2）根据题意，由A=，可得B+C=，则sinB+cosC=

sin（sin（﹣C），求出﹣C的范围，由正弦函数的性质分析可得得答案．

﹣C）的取值范围，即可【解答】解：（1）根据题意，在△ABC中，若sin2A=sin2B+sin2C+则有a2=b2+c2+即﹣bc，sinBsinC，bc=b2+c2﹣a2，=﹣，则cosA=又由0＜A＜π，则A=；

（2）由（1）可得：A=sinB+cosC=sin（又由0＜C＜则有＜，则B+C=，sinC=

sin（﹣C），﹣C）+cosC=cosC﹣

＜

﹣C＜，则sin（﹣C）＜；，）． 即sinB+cosC的取值范围是（【点评】本题考查了正弦、余弦定理的综合应用问题，涉及三角函数的恒等变换，注意灵活运用三角函数恒等变换的公式．

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+asinB=0．（1）求角A的大小；（2）已知，△ABC的面积为1，求边a．

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．

【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】（1）利用余弦定理以及正弦定理，转化求解即可．（2）方法1：通过三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可． 方法2：利用三角形的面积以及知解a即可．

第21页（共26页），求出b，c，然后利用余弦定理求

【解答】（本小题满分12分）（1）解：∵bcosA+asinB=0

∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0﹣﹣﹣（2分）

∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA+sinA=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵，∴tanA=﹣1﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

又0＜A＜π…（5分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分），S△ABC=1，∴

（2）方法1：解：∵即：又﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

由余弦定理得：（11分）故：方法2：∵即：又﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分），S△ABC=1，∴

﹣﹣…①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）…②

…（9分）由①②解得：由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=10﹣﹣（11分）故：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考查计算能力．

19．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+=b．）（1）求角A的值：

（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为【考点】HU：解三角形．，求△ABC的面积．

第22页（共26页）

【专题】15：综合题；58：解三角形．

【分析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值：（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为【解答】解：（1）∵2asin（C+∴2sinAsin（C+∴sinAsinC+∴sinAsinC=∴tanA=∴A=60°；（2）设AC=2x，∵AB=3，AC边上的中线BD的长为∴13=9+x2﹣2×3×x×cos60°，∴x=4，∴AC=8，∴△ABC的面积S=

=6

．，）=）=

b，求出AC，再求△ABC的面积．

sin（A+C），sinAcosC+

cosAsinC，sinAcosC=cosAsinC，【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

20．在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=． ①求②若的值．，求△ABC的面积S的最大值．

【考点】HU：解三角形． 【专题】11：计算题． 【分析】①根据=

﹣，利用诱导公式cos（﹣α）=sinα化简所求式子的第一项，然后再利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosA的式子，将cosA的值代入即可求出值；

②由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的第23页（共26页）

面积公式S=bcsinA表示出三角形的面积，把sinA的值代入得到关于bc的关系式，要求S的最大值，只需求bc的最大值即可，方法为：根据余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入，并利用基本不等式化简，把a的值代入即可求出bc的最大值，进而得到面积S的最大值． 【解答】解：①∵cosA=，∴==②∴，∴∴．

【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：诱导公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，三角形的面积公式，以及基本不等式的应用，熟练掌握公式是解本题的关键．

21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量

与（1）求的值；

平行．，，；，（2）若bcosC+ccosB=1，△ABC周长为5，求b的长．

【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；GL：三角函数中的恒等变换应用；HU：解三角形．

【专题】11：计算题．

第24页（共26页）

【分析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，利用正弦定理，将边转化为角，利用和角公式，即可得到结论；

（2）由bcosC+ccosB=1利用余弦定理，求得a，再由（1）计算c，利用△ABC周长为5，即可求b的长． 【解答】解：（1）由已知向量∴b（cosA﹣2cosC）=（2c﹣a）cosB，由正弦定理，可设﹣ksinA）cosB，即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，…（3分）化简可得sin（A+B）=2sin（B+C），又A+B+C=π，所以sinC=2sinA，因此（2）由（1）知，∴c=2，…（10分）．…（6分），…（8分），则（cosA﹣2cosC）ksinB=（2ksinC

与

平行

由a+b+c=5，得b=2．…（12分）

【点评】本题考查向量知识的运用，考查正弦定理、余弦定理，解题的关键是边角互化，属于中档题．

22．如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．

【考点】HU：解三角形．

第25页（共26页）

【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】（1）△ABD中，由正弦定理可得AD的长；（2）利用BD=2DC，△ACD的面积为利用正弦定理可得结论．

【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=∵∠ADC=π，∴∠ADB=△ABD中，由正弦定理可得

．，∴AD=；

．，求出BD，DC，利用余弦定理求出AC，（2）设DC=a，则BD=2a，∵BD=2DC，△ACD的面积为∴4∴a=2 ∴AC=由正弦定理可得=，∴sin∠CAD=

=

4，∴sin∠BAD=2sin∠ADB． sin∠ADC，=，∵sin∠ADB=sin∠ADC，∴=4．

【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

第26页（共26页）

第二篇：三角函数诱导公式练习题含答案

三角函数定义及诱导公式练习题

1．将120o化为弧度为（）

A．

B．

C．

D．

2．代数式的值为（）

A.B.C.D.3．（）

A．

B．

C．

D．

4．已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin

α＋cos

α等于（）

A.B.C．

D．－

5．已知扇形的面积为2cm2,扇形圆心角θ的弧度数是4,则扇形的周长为()

(A)2cm

(B)4cm

(C)6cm

(D)8cm

6．若有一扇形的周长为60

cm，那么扇形的最大面积为

（）

A．500

cm2

B．60

cm2

C．225

cm2

D．30

cm2

7．已知，则的值为（）

A．

B．－

C．

D．

－

8．已知，且，则（）

A、B、C、D、9．若角的终边过点，则_______.10．已知点P(tanα，cosα)在第二象限，则角α的终边在第________象限．

11．若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定落在第________象限．

12．已知，则的值为

．

13．已知，则_____________.14．已知，则_________.15．已知tan=3，则

.16．(14分)已知tanα＝，求证：

(1)=－；

(2)sin2α＋sinαcosα＝．

17．已知

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）若是第三象限角，求的值.18．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．

参考答案

1．B

【解析】

试题分析：，故.考点：弧度制与角度的相互转化.2．A.【解析】

试题分析：由诱导公式以可得，sin120°cos210°=sin60°×(-cos30°)=-×=,选A.考点：诱导公式的应用．

3．C

【解析】

试题分析：本题主要考查三角诱导公式及特殊角的三角函数值.由，选C.考点：诱导公式.4．A

【解析】

试题分析：，.故选A.考点：三角函数的定义

5．C

【解析】设扇形的半径为R,则R2θ=2,∴R2=1R=1,∴扇形的周长为2R+θ·R=2+4=6(cm).6．C

【解析】设扇形的圆心角为,弧长为cm,由题意知，∴

∴当时，扇形的面积最大；这个最大值为.应选C.7．A

【解析】

试题分析：，=====.考点：诱导公式.8．

【解析】

试题分析：.又因为，所以为三象限的角，.选B.考点：三角函数的基本计算.9．

【解析】

试题分析：点即，该点到原点的距离为，依题意，根据任意角的三角函数的定义可知.考点：任意角的三角函数.10．四

【解析】由题意，得tanα＜0且cosα＞0，所以角α的终边在第四象限．

11．四

【解析】由sinθ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．

12．-3

【解析】

13．【解析】

试题分析：因为α是锐角

所以sin(π－α)＝sinα＝

考点：同角三角函数关系，诱导公式.14．

【解析】

试题分析：，又，则原式=.考点：三角函数的诱导公式.15．45

【解析】

试题分析：已知条件为正切值，所求分式为弦的齐次式，所以运用弦化切，即将分子分母同除以得.考点：弦化切

16．证明：

(1)

＝－．(2)sin2α＋sinαcosα＝．

【解析】(1)原式可以分子分母同除以cosx,达到弦化切的目的.然后将tanx=2代入求值即可.（2）把”1”用替换后，然后分母也除以一个”1”，再分子分母同除以,达到弦化切的目的.证明：由已知tanα＝．(1)

＝＝＝－．

(2)sin2α＋sinαcosα＝＝＝＝．

17．（1）;（2）;（3）.【解析】

试题分析：（1）因为已知分子分母为齐次式，所以可以直接同除以转化为只含的式子即可求得；（2）用诱导公式将已知化简即可求得；（3）有，得，再利用同角关系，又因为是第三象限角，所以；

试题解析：⑴

2分

．

3分

⑵

9分

．

10分

⑶解法1：由，得，又，故，即，12分

因为是第三象限角，所以．

14分

解法2：，12分

因为是第三象限角，所以．

14分

考点：1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系.18．

【解析】∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴sinα＝－2cosα，且cosα≠0.∴原式＝

三角函数的诱导公式1

一、选择题

1．如果|cosx|=cos（x+π），则x的取值集合是（）

A．－+2kπ≤x≤+2kπ

B．－+2kπ≤x≤+2kπ

C．

+2kπ≤x≤+2kπ

D．（2k+1）π≤x≤2（k+1）π（以上k∈Z）

2．sin（－）的值是（）

A．

B．－

C．

D．－

3．下列三角函数：

①sin（nπ+）；②cos（2nπ+）；③sin（2nπ+）；④cos［（2n+1）π－］；

⑤sin［（2n+1）π－］（n∈Z）．

其中函数值与sin的值相同的是（）

A．①②

B．①③④

C．②③⑤

D．①③⑤

4．若cos（π+α）=－，且α∈（－，0），则tan（+α）的值为（）

A．－

B．

C．－

D．

5．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）

A．cos（A+B）=cosC

B．sin（A+B）=sinC

C．tan（A+B）=tanC

D．sin=sin

6．函数f（x）=cos（x∈Z）的值域为（）

A．{－1，－，0，1}

B．{－1，－，1}

C．{－1，－，0，1}

D．{－1，－，1}

二、填空题

7．若α是第三象限角，则=_________．

8．sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=_________．

三、解答题

9．求值：sin（－660°）cos420°－tan330°cot（－690°）．

10．证明：．

11．已知cosα=，cos（α+β）=1，求证：cos（2α+β）=．

12．化简：．

13、求证：=tanθ．

14．求证：（1）sin（－α）=－cosα；

（2）cos（+α）=sinα．

参考答案1

一、选择题

1．C

2．A

3．C

4．B

5．B

6．B

二、填空题

7．－sinα－cosα

8．三、解答题

9．+1．

10．证明：左边=

=－，右边=，左边=右边，∴原等式成立．

11．证明：∵cos（α+β）=1，∴α+β=2kπ．

∴cos（2α+β）=cos（α+α+β）=cos（α+2kπ）=cosα=．

12．解：

=

=

=

==－1．

13．证明：左边==tanθ=右边，∴原等式成立．

14证明：（1）sin（－α）=sin［π+（－α）］=－sin（－α）=－cosα．

（2）cos（+α）=cos［π+（+α）］=－cos（+α）=sinα．

三角函数的诱导公式2

一、选择题：

1．已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（）

A.B.—

C.D.—

2．cos(+α)=

—，<α<,sin(-α)

值为（）

A.B.C.D.—

3．化简：得（）

A.sin2+cos2

B.cos2-sin2

C.sin2-cos2

D.±

(cos2-sin2)

4．已知α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是（）

A.sinα=sinβ

B.sin(α-)

=sinβ

C.cosα=cosβ

D.cos(-α)

=-cosβ

5．设tanθ=-2,<θ<0，那么sinθ+cos(θ-)的值等于（），A.（4+）

B.（4-）

C.（4±）

D.（-4）

二、填空题：

6．cos(-x)=，x∈（-，），则x的值为

．

7．tanα=m，则

．

8．|sinα|=sin（-+α），则α的取值范围是

．

三、解答题：

9．．

10．已知：sin（x+）=，求sin（+cos2（-x）的值．

11．求下列三角函数值：

（1）sin；（2）cos；（3）tan（－）；

12．求下列三角函数值：

（1）sin·cos·tan；

（2）sin［（2n+1）π－］.13．设f（θ）=，求f（）的值.参考答案2

1．C

2．A

3．C

4．C

5．A

6．±

7．8．[(2k-1),2k]

9．原式===

sinα

10．11．解：（1）sin=sin（2π+）=sin=.（2）cos=cos（4π+）=cos=.（3）tan（－）=cos（－4π+）=cos=.（4）sin（－765°）=sin［360°×（－2）－45°］=sin（－45°）=－sin45°=－.注：利用公式（1）、公式（2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：（1）sin·cos·tan=sin（π+）·cos（4π+）·tan（π+）

=（－sin）·cos·tan=（－）··1=－.（2）sin［（2n+1）π－］=sin（π－）=sin=.13．解：f（θ）=

=

=

=

=

=

＝cosθ－1，∴f（）=cos－1=－1=－.三角函数公式

1．同角三角函数基本关系式

sin2α＋cos2α=1

=tanα

tanαcotα=1

2．诱导公式

(奇变偶不变，符号看象限)

（一）sin(π－α)＝sinα

sin(π+α)＝-sinα

cos(π－α)＝-cosα

cos(π+α)＝-cosα

tan(π－α)＝-tanα

tan(π+α)＝tanα

sin(2π－α)＝-sinα

sin(2π+α)＝sinα

cos(2π－α)＝cosα

cos(2π+α)＝cosα

tan(2π－α)＝-tanα

tan(2π+α)＝tanα

（二）sin(－α)＝cosα

sin(+α)＝cosα

cos(－α)＝sinα

cos(+α)＝-

sinα

tan(－α)＝cotα

tan(+α)＝-cotα

sin(－α)＝-cosα

sin(+α)＝-cosα

cos(－α)＝-sinα

cos(+α)＝sinα

tan(－α)＝cotα

tan(+α)＝-cotα

sin(－α)＝－sinα

cos(－α)=cosα

tan(－α)=－tanα

3．两角和与差的三角函数

cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ

cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ

sin

(α+β)=sinαcosβ＋cosαsinβ

sin

(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ

tan(α+β)=

tan(α－β)=

4．二倍角公式

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α－sin2α＝2

cos2α－1＝1－2

sin2α

tan2α=

5．公式的变形

（1）

升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α

1—cos2α＝2sin2α

（2）

降幂公式：cos2α＝

sin2α＝

（3）

正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tanαtanβ）

tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ)

（4）

万能公式（用tanα表示其他三角函数值）

sin2α＝

cos2α＝

tan2α＝

6．插入辅助角公式

asinx＋bcosx=sin(x+φ)

(tanφ=)

特殊地：sinx±cosx＝sin(x±)

7．熟悉形式的变形（如何变形）

1±sinx±cosx

1±sinx

1±cosx

tanx＋cotx

若A、B是锐角，A+B＝，则（1＋tanA）(1+tanB)=2

8．在三角形中的结论

若：A＋B＋C=π,=则有

tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC

tantan＋tantan＋tantan＝1

第三篇：三角函数基础练习题二(含答案)

三角函数基础练习题二

学生：用时：分数

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.若 –π/2<<0，则点(tan,cos)位于（）

A．第一象限

2.若cosB．第二象限C．第三象限D．第四象限 4，(0,)则cot的值是（）

5434A．B．C．  3

43

ππ在区间的简图是（）

，π32D．3 43.函数ysin2x

4．函数y2sin(2x

A．46)的最小正周期是（）C．）D．B．225．满足函数ysinx和ycosx都是增函数的区间是（A．[2k,2k

2] , kZB．[2k

2,2k], kZ

C．[2k,2k], kZD．[2k,2k]kZ 22



6．要得到函数ysinx的图象，只需将函数ycosx的图象（）





个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向左平移个单位



7．函数ysin(2x)的图象的一条对称轴方程是（A．向右平移）D．x

5 4

8．函数y=cosx –3cosx+2的最小值是（A．x



B．x



C．x）



8A．2B．0）象限

C．

D．6

9．如果在第三象限，则



必定在第（2A．

一、二B．

一、三C．

三、四D．

二、四 10．已知函数yAsin(x)在同一周期内，当x值-2，那么函数的解析式为（）



时有最大值2，当x=0时有最小

3

1A．y

2sinxB．y2sin(3x)C

．y2sin(3x)D．ysin3x

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共 25分）.11、在ABC中，若a3，b，A答案：pi/

2，则C的大小为_________。

12、在ABC中，已知a

3，b＝4，A＝30°，则sinB＝.413、函数f(x)2cosx的定义域是___________________________ 答案：[2k

,2k],kZ 3314、已知cosx答案：(1,)

2a

3，且x是第二、三象限角，则a的取值范围是________ 4a3215、函数f(x)3sin2x



π

的图象为C，则如下结论中正确的序号是 3

_____①、图象C关于直线x

112π

0对称； ③、函数f(x)在区间π对称； ②、图象C关于点，123

ππ5π

内是增函数；④、由的图角向右平移个单位长度可以得到图y3sin2x

12123

象C．

答案：①②③

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16、（本小题满分12分）在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长

.解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6,AD2DC2AC210036196

1由余弦定理得cos=,2ADDC2106

2ADC=120°, ADB=60°

在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°，ABAD

由正弦定理得, 

sinADBsinB

AB

=

ADsinADB10sin60



sinBsin45

102

 17、（本小题满分12分）已知0x



x，化简：lg(cosxtanx12sin2)x)]lg(1sin2x)22

4解：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20．

18、（本小题满分12分）

在三角形ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c,已知3acosAccosBbcosC

（1）求cosA的值（2）若

a=1,cosBcosC,求边c的值

19、（本小题满分12分）

已知函数f(x)4cosxsin(x（Ⅰ）求f(x)的最小正周期：（Ⅱ）求f(x)在区间



6)1.,上的最大值和最小值.64

解：（Ⅰ）因为f(x)4cosxsin(x



6)

14cosx（31

sinxcosx)1 2

2sin2x2cos2x1

sin2xcos2x

2sin(2x



6)

所以f(x)的最小正周期为（Ⅱ）因为



x

,所以



2x





2

.3于是，当2x当2x



,即x



时，f(x)取得最大值2；





,即x时,f(x)取得最小值—1． 66



20、（本小题满分13分）

叙述并证明余弦定理.解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦

之积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC．

证法一如图，cBC ACABACAB



22AC2ACABAB 22AC2ACABcosAAB

b22bccosAc

2即abc2bccosA 同理可证bca2cacosB，cab2abcosC

证法二已知ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C(bcosA,bsinA),B(c,0)，a2|BC|2(bcosAc)2(bsinA)

bcosA2bccosAcbsinA

b2c22bccosA.同理可证

b2c2a22accosB,cab2abcosC.21、（本小题满分14分）

已知函数f(x)

(sinxcosx)sin2x。

sinx

（Ⅰ）求f(x)的定义域及最小正周期；

（Ⅱ）求f(x)的单调递减区间。

第四篇：三角函数专题第二轮复习经典讲义

三角函数专题复习

1、三角恒等变换

典型例题

1、已知函数fx2sinxxxcos2sin2 44

4（1）求函数fx的最小正周期和最值。（2）令gxfx

2、已知为第二象限角，sin

，判断并证明gx的奇偶性。334，为第二象限角，tan。求tan()，cos2

533、设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a2bsinA，求cosAsinc的取值范围。

4、已知0

4，为fxcos2x

1tan,1的最小正周期，，cos,2且84

2cos2sin2的值。m，求cossin

2、三角函数图像与性质

典型例题

1、已知函数fxAsinx,A0,0的最大值是1.其图像过点M1,。32

（1）求fx；（2）已知,0,312且f,f，求f的值。5132

2、已知asinwx,coswx,bsinwx,2sinwx3coswx,w0。若fxab，并且fx的最小正周期为。（1）求fx的最大值及取得最大值时x的集合。（2）将函数fx图像按向量

m,0,m0平移后的函数gx2sin2x的图像，求m的最小值。3

3、已知函数fx3sinwxcoswx0,w0为偶函数，且函数yfx图像的两相邻对称轴间距离为

。（1）求

2

（2）将函数yfx的图像向右平移个单位后，再将得到的f。

68

图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数ygx的图像，求ygx的单调区间。

三、解三角形 典型例题

1、在ABC中，已知AC2,BC3,cosA

4

.求sin2B的值。56

2、在ABC中，a23,tan

ABcA

tan4,sinBsinCcos2。求A,B及b,c。22

2

ABC3、设的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足(2ac)BCBAcCACB0.

（1）求角B的大小；（2）若bABCB的最小值.四、常考点训练

常考点一：三角函数的概念 1.已知函数f(x)cos(2x

)2sin(x)sin(x)

4

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数f(x)在区间[,]上的值域

2

2．已知函数f(x)2x2sin2x.（1）若x[

,]，求f(x)的值域.6

32

常考点二：三角函数的图象和性质

3.函数f(x)Asin(x)(A0,0,||部分图象如图所示．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设g(x)f(x)cos2x，求函数g(x)在区间x[0,]上的最大值和最小值．



常考点三、四、五：同角三角函数的关系、诱导公式、三角恒等变换 4．已知函数f(x)sin(2x



6)cos2x.（1）若f()1，求sincos的值；（2）求函数f(x)的单

调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心

5.已知函数f(x)2sinxcosx2cos2x（xR，0），相邻两条对称轴之间的距离等于



．（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）当

42

x0时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x值．

2

6、已知函数f(x)2sinxsin（

x)2sin2x1(xR).2（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）若f（ππx0x(,)，求cos2x0的值.)04427、已知sin(A

πππ)A(,)．

424

5sinAsinx的值域．

2（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求函数f(x)cos2x

考点六：解三角形

8．已知△ABC中，2sinAcosBsinCcosBcosCsinB.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量m(cosA, cos2A)，n(小值时，tan(A

12, 1)，求当mn取最 5

)值.9．已知函数f(x)

sin2xsinxcosx

xR． 2

（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）若x(0,)，求f(x)的最大值；（Ⅲ）在ABC中，若AB，f(A)f(B)

BC

1，求的值．

AB210、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c分，且满足大小；

（Ⅱ）若aABC面积的最大值．

2cbcosB

．（Ⅰ）求角A的acosA11、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数f(x)△ABC的形状．

12、.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知tanB(Ⅰ)求tanA；

(Ⅱ)求ABC的面积.3xxx

sincoscos2，当f(B)取最大值时，判断

222

1，tanC，且c1.23AB7

cos2C． 22

13在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且4sin（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinAsinB的最大值．

重点题型强化

1、在ABC中，边b2，角B

2、函数f(x)sin(2x

，sin2A2sin(AC)2sinB0，则边c

3

2x的最小正周期是__________________.3、已知函数f(x)=3sin(x-



6)(>0)和g(x)=2cos(2x+)+1的图象的对称轴完全相同。若x[0,

]，则f(x)的取值范围是。

4、设>0,函数y=sin(x+

4)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是_________

2125、已知xy42cos2,xy4sin2，则xy_____________

2sin2x3sinx6、函数fx的值域为_____________

22sinx

37、若动直线xa与函数fxsinx的最大值为_____________









则MN和gxcosx的图像分别交于M,N两点，44

三角函数高考真题练习

一、选择题：



ABAC

1.已知非零向量AB与AC满足()BC0且

ABACABAC1, 则△ABC为()ABAC

2A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形 2.已知sin（A）

4,则sincos的值为（）

5（B）51 5

（C）

（D）5D

．

3.sin330等于（）A

．

B．

C．2



4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cbB120，则a等于（）A

B．2

C

D

352sincos的值为()（A）0(B)(C)1(D)

44sin2cos

52110

6.若3sincos0,则的值为()（A）（B）（C）(D)2 2

33cossin2

3

7.在ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足PA2PM,则PA(PBPC)等于()

5.若tan2,则

4444（B）（C）(D) 9339



8.在ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足AP2PM,则PA(PBPC)等于()（A）（A）

4444

（B）（C）(D)

3993

9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为()．A．锐

角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定

二、填空题

1.cos43cos77sin43cos167的值为

2.如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30

＝

1＝2.若＝(,R),则的值为.3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cbB120，则a_______.

4.设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的_______条件．

三、解答题

xR，·b，cos2x)，1、设函数f(x)a其中向量a(m，且yf(x)的图象经过点，b(1sin2x，1)，2．

π



4

（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．、已知函数f(x)2sin

xxx

cos2． 44

4（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值；（Ⅱ）令g(x)fx





π

，判断函数g(x)的奇偶性 3

3、已知函数f(x)Asin(x),xR（其中A0,0,0

）的图象与x轴的交点中，相邻

2,2).，且图象上一个最低点为M（2

3

(Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x[,]，求f(x)的值域.12

2两个交点之间的距离为

4、如图，A，B

是海面上位于东西方向相距53海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B

点相距C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

5、叙述并证明余弦定理。

6、函数f(x)Asin(x对称轴之间的距离为

7、已知向量a＝cosx,，b＝

x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在0,上的最大值和最小值．



1（A0,0）的最大值为3，其图像相邻两条

，（1）求函数f(x)的解析式；（2）设(0,)，则f()2，求的值． 222

1

2



π

第五篇：三角函数复习课教学反思

《三角数图像与性质》复习课教学反思

隋汝菊

编号47 按照研学后教的教学步骤，我设计了《三角数图像与性质》复习课的课堂教学，现就本节课的教学设计及课堂情况作如下分析：

一、课堂背景

本节课属于高一期末复习中的一节课，是新课学习完后的一节复习课，是对三角函数部分的一个总结和归纳。

二、考纲要求

1、能画出ysinx、ycosx、ytanx的图像，了解三角函数的周期性；

2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性。

三、本节课的目标

1、让学生熟练掌握三角函数的图像与性质；

2、对常见的题型分类、逐一进行讲解归纳；

3、与近几年的高考题相结合，让学生对高考有所了解，把握方向，做好复习。

四、本节课的过程处理

因为本节课是图像与性质的第一节课，重在掌握图像与性质，又考虑到本校的特点，特作了如下处理：

（1）、学生根据预习学案，回忆重要知识点，完成知识的归纳和总结，为后面的学习做铺垫；

（2）、讲解图像：在此环节，常规由老师带领学生进行知识归纳，由于复习的特性，我设计为学生自我总结，上课全班交流的方式，创造性地使用教材。具体安排如下：先期布置作业（自我总结图像与性质），而后在课堂上利用投影仪进行全班展示；展示的同学，一边展示自己的作品，一边进行归纳总结。把此环节的课堂全部交给学生，使学生获得极大的满足感，更进一步激发学习的兴趣。同时从学生已有的知识经验中逐步抽象出数学的学习思维，也使学生更易理解和接受。通过实践证明，学生的积极性很强，语言表达很清楚，并且听讲的学生很有新鲜感，效果极好。

（3）、例题讲解：摆脱常规的教学模式，充分利用多媒体资源，老师给出典型例题，让学生自我分析、交流，给出思路，老师适时点拨，学生归纳；把课堂还给学生。最后师生共同总结此题型的通法。（此节课要求解三角函数的定义域和值域）

（4）练习的处理：在例题的基础上进行变式训练，由学生扮演并由学生讲解，给学生机会展示，包括此题其他学生的问题都有此同学处理，老师负责控制局面，适时归纳。这样，给学生独立思考的时间，相信学生能具有独立思考的能力，教学中每一个问题的提出，要使学生不是坐等听别人讲，而是能养成先自己积极思考的习惯。

（5）高考链接部分：通过对近几年的高考题的分析，让学生对高考有所了解，把握方向，做好复习。处理为学生先独立分析，老师再讲解归纳。

五、课堂反思

1、研学后教课型是由老师的常规讲解，改为以学生为主体，老师为引导，再与多媒体相结合，既体现了多媒体的魅力，又增加了课堂的容量，同时，也调动了学生的学习积极性，让学生从被动的听，转为主动的学。逐渐养成先自己积极思考的习惯。

2、本节课的不足之处也有，如由于时间的安排问题，最后的高考链接部分，转为课下进行，稍微影响课堂的效果；再如上课的展示部分多由举手的同学承担，个别同学不举手，参与性不强，需要在以后的教学中加强，注意引导。