高中数学平面向量的公式知识点

第一篇：高中数学平面向量的公式知识点

【摘要】“高中数学平面向量的公式知识点”数学公式讲解是这门学科的要点，套用公式是最终的题解方法，希望本文可以为大家带来帮助：

定比分点

定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

三点共线定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

[编辑本段]向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[编辑本段]向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是 a•b=0。

a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”

a=(x,y)b=(x',y')则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向;当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉;若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。

向量的数量积的运算律

a•b=b•a(交换律);(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);向量的数量积的性质

a•a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a•b=0。

|a•b|≤|a|•|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c(a≠0)，推不出 b=c。

3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律

a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

第二篇：高中数学有关平面向量的公式的知识点总结

定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

三点共线定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是 a•b=0。

a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”

a=(x,y)b=(x',y')则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；

当λ＜0时，λa与a反方向；

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。

向量的数量积的运算律

a•b=b•a（交换律）；

(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；

（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；

向量的数量积的性质

a•a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a•b=0。

|a•b|≤|a|•|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c(a≠0)，推不出 b=c。

3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；

② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；

② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

第三篇：平面向量、三角公式知识回顾

2013.03.18：知识回顾——平面向量、三角公式

一.平面向量：

1.与的数量积(或内积)：

ab|a||b|coscos

2．平面向量的坐标运算：

(1)设A(x),则ABOBOA

1,y1)，B(x2,y2(x2x1,y2y1).(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=x1x2y1y2.(3)设a=(x,y)，则a

x2y2

3.两向量的夹角公式：

设a=(xabx1x2y1y21,y1),b=(x2,y2)，且b0，则cosab



x

21y1x2y2

4．向量的平行与垂直：

// x1y2x2y10.()ab0x1x2y1y20.二．三角函数、三角变换、解三角形：

1．同角三角函数的基本关系：

（1）平方关系：sin2+ cos2=1。（2）商数关系：

sincos=tan（

k,kz）（3）asinbcos

a2b2sin()（其中辅助角与点（a,b）在同一象限，且tan

b

a）2.诱导公式：（三角函数符合分配——“一全、二正、三切、四余”）(第一组)——函数名不变，符号看象限

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．

（第一象限）2sinsin，coscos，tantan．（第三象限）3sinsin，coscos，tantan．（第四象限）4sinsin，coscos，tantan．（第二象限）

(第二组)——函数名改变，符号看象限

5sin



2cos，cos2



sin．（第一象限）6sin



2cos，cos2



sin．（第二象限）（7）sin（32)cos,3

2)sin.（第四象限）（8）sin(32)cos,3

)sin（第三象限）

3.三角函数和差角公式：

sin()sincoscossincos()coscossinsin

tan()

tantan

1tantan

变式：tantantan()（1tantan）

4．二倍角公式：

sin22sincos变式：1sin(sin



cos)22

cos2cos2sin2

变式：升幂公式：1+cos=2cos



2cos212

1-cos=2sin



12sin2

降幂公式：cos21cos22sin2

1cos22

tan 22tan1tan2

注：sin(cos



sin)2cos

222sin2

5．正弦定理：

asinAbsinBc

sinC

2R.变形：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinCa:b:csinA:sinB:sinC 6.余弦定理：

b21）求边： a2

b2

c2

2bccosA;（2）求角:cosAc2a2

（2bc

a2bc2a2

2cacosB;cosBc2b222ac

c2a2b2

2abcosC;cosCa2b2c22ab

7.三角形面积定理：

S111

2absinC2bcsinA2

casinB=pr

(其中p1

(abc), r为三角形内切圆半径)

第四篇：高中数学竞赛讲义(八)平面向量

高中数学竞赛讲义

（八）──平面向量

一、基础知识

定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a.|a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数

0，使得a=

f

定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。

定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。

定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=4.a//bx1y2=x2y1, a

b

x1x2+y1y2=0.(a, b0)，定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1),(x, y),(x2, y2)，则

讲义八

/ 8

定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。

定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2=

-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：

(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。

2）对于任意n个向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。

二、方向与例题

1．向量定义和运算法则的运用。

例1 设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：

【证明】 记后与原正n边形重合，所以，若

不变，这不可能，所以，则将正n边形绕中心O旋转

例2 给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则

又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BG所以

PC，所以

讲义八

/ 8

充分性。若因为，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则，则，所以GB

CP，所以AG平分BC。

同理BG平分CA。

所以G为重心。

例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。

【证明】 如图所示，结结BQ，QD。

因为所以==又因为同理，②，③

由①，②，③可得

。得证。

2．证利用定理2证明共线。

例4 △ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。，·

①

【证明】 首先

=

其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE又AH又EABC，所以AH//CE。AB，CH

AB，所以AHCE为平行四边形。

讲义八

/ 8

所以所以所以所以与，共线，所以O，G，H共线。

所以OG：GH=1：2。

3．利用数量积证明垂直。

例5 给定非零向量a, b.求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a【证明】|a+b|=|a-b|

(a+b)2=(a-b)

2b.a·b=0

a

b.a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2例6 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OECD。

【证明】 设，则，又，所以

a·(b-c).（因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）

又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。所以a·(b-c)=0.所以OE

CD。

4．向量的坐标运算。

例7 已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。

讲义八/ 8

【证明】 如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x, y），则y-1), 又因为，因为，所以-x-(y-1)=0.=(x,，所以x2+y2=2.由①，②解得

所以

设所以所以，则，即F=4+

。由和，共线得，所以AF=AE。

三、基础训练题

1．以下命题中正确的是__________.①a=b的充要条件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，则b=c；④若a, b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m, y=n；⑤若在b=(-3, 4)上的投影为-4。

2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：①③ ；④

与，相等的有__________.；②；，且a, b共线，则A，B，C，D共线；⑥a=(8, 1)3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，则|x|+|y|=__________.4．设s, t为非零实数，a, b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为__________.5．已知a, b不共线，条件.6．在△ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且于D，若7．已知__________.8．已知

=b, a·b=|a-b|=2，当△AOB面积最大时，a与b的夹角为__________.讲义八

/ 8

=a+kb, =la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的__________，BM与CN交，则λ=__________.不共线，点C分

所成的比为2，则9．把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(1,-1), 若c·b=4，则b的坐标为__________.，10．将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为__________.与11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。

12．在四边形ABCD中，如果a·b=b·c=c·d=d·a，试判断四边形ABCD的形状。

四、高考水平训练题

1．点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足

则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。

2．在△ABC中，3．非零向量=__________.4．若O为△ABC 的内心，且为__________.5．设O点在△ABC 内部，且__________.6．P是△ABC所在平面上一点，若__________心.7．已知，则|

|的取值范，则P是△ABC 的，则△AOB与△AOC的面积比为，则△ABC 的形状，且a·b<0，则△ABC的形状是__________.，若点B关于

所在直线对称的点为B1，则围是__________.8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则值为__________.10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2,-2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.讲义八

/ 8 的最小11．设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q，已知，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T，（1）求y=f(x)的解析式及定义域；（2）求的取值范围。

12．已知两点M（-1，0），N（1，0），有一点P使得成公差小于零的等差数列。

（1）试问点P的轨迹是什么？（2）若点P坐标为(x0, y0), 求tan.五、联赛一试水平训练题

1．在直角坐标系内，O为原点，点A，B坐标分别为（1，0），（0，2），当实数p, q

为

与的夹角，满足时，若点C，D分别在x轴，y轴上，且，则直线CD恒过一个定点，这个定点的坐标为___________.2．p为△ABC内心，角A，B，C所对边长分别为a, b, c.O为平面内任意一点，则

=___________（用a, b, c, x, y, z表示）.3．已知平面上三个向量a, b, c均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，则k的取值范围是___________.4．平面内四点A，B，C，D满足，则的取值有___________个.5．已知A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形，P为⊙O上任意一点，则

取值的集合是___________.6．O为△ABC所在平面内一点，A，B，C为△ABC 的角，若sinA·+sinC·，则点O为△ABC 的___________心.(a-b)”的___________条件.，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，则△ABC

+sinB·7．对于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)8．在△ABC 中，三边长之比|a|：|b|：|c|=____________.9．已知P为△ABC内一点，且，CP交AB于D，求证：

讲义八

/ 8

10．已知△ABC的垂心为H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分别为O1，O2，O3，令，求证：（1）2p=b+c-a；（2）H为△O1O2O3的外心。

11．设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a1, a2)为V中的一个单位向量，已知从V到的变换T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定，（1）对于V的任意两个向量x, y, 求证：T(x)·T(y)=x·y；

（2）对于V的任意向量x，计算T[T(x)]-x；（3）设u=(1, 0)；，若，求a.六、联赛二试水平训练题

1．已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线BY上的两点，为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点，为另一定比，试问M，N，T三点的位置关系如何？证明你的结论。

2．已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三点共线，求r.3．在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A，B的点M，点P，Q，R，S是M分别在直线AD，AB，BC，CD上的射影，求证：直线PQ与RS互相垂直。

4．在△ABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：HG。

5．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？

6．已知点O在凸多边形A1A2…An内，考虑所有的AiOAj，这里的i, j为1至n中不同的自然数，求证：其中至少有n-1个不是锐角。

7．如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：（1）OB

DF，OC

DE，（2）OH

MN。

8．平面上两个正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O作，求证△ABC为正三角形。

9．在平面上给出和为 的向量a, b, c, d，任何两个不共线，求证：

|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.讲义八/ 8

第五篇：高中数学必考公式及知识点速记

高中数学必考公式及知识点速记

一、函数、导数

1、函数的单调性

(1)设x1、x2[a,b],x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数；

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数.(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数；若f(x)0，则f(x)为减函数.2、函数的奇偶性

对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数；

对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

3、函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).4、几种常见函数的导数

'①C0；②(xn)'nxn1；③(sinx)'cosx；④(cosx)'sinx；

x'xx'x⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(logax)'11'；⑧(lnx) xlnax5、导数的运算法则

u'u'vuv'

(v0).（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.（3）()vv2''''''

6、会用导数求单调区间、极值、最值

7、求函数yfx的极值的方法是：解方程fx0．当fx00时：

(1)如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值；

(2)如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值。

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

8、同角三角函数的基本关系式

sin2cos21，tan=sin.cos

9、正弦、余弦的诱导公式

k的正弦、余弦，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号；

k

2的正弦、余弦，等于的余名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号。

10、和角与差角公式

sin()sincoscossin;cos()coscos

11、二倍角公式sinsin;tan()tantan.1tantan

2tan.1tan2sin2sincos.cos2cos2sin22cos2112sin2.tan2

1cos2;2公式变形：1cos22sin21cos2,sin2;22cos21cos2,cos2

12、三角函数的周期

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T2

；函数

ytan(x)，xk

2,kZ(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T.

13、函数ysin(x)的周期、最值、单调区间、图象变换

14、辅助角公式yasinxbcosx

15、正弦定理

16、余弦定理 a2b2sin(x)其中tanb aabc2R.sinAsinBsinC

a2b2c22bccosA;

b2c2a22cacosB;

c2a2b22abcosC.11117、三角形面积公式SabsinCbcsinAcasinB.22218、三角形内角和定理：在△ABC中，有ABCC(AB)

19、a与b的数量积(或内积)ab|a||b|cos

20、平面向量的坐标运算

(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=x1x2y1y2.（3）设a=(x,y)，则a

21、两向量的夹角公式 设=(x1,y1),=(x2,y2)，且，则cos

22、向量的平行与垂直x2y2 ababx1x2y1y2x1y1x2y2222

2a//bba x1y2x2y10.()0x1x2y1y20.三、数列

23、数列的通项公式与前n项的和的关系

n1s1,an(数列{an}的前n项的和为sna1a2ss,n2nn1an).24、等差数列的通项公式 ana1(n1)ddna1d(nN*)；

n(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)n.222

2ann1*26、等比数列的通项公式 ana1q1q(nN)； q25、等差数列其前n项和公式为 sn

a1(1qn)a1anq,q1,q1

27、等比数列前n项的和公式为sn1q 或 sn1q.na,q1na,q11

1四、不等式

xyxy，当xy时等号成立。

28、已知x,y都是正数，则有

2（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；

12（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值s.4五、解析几何

29、直线的五种方程

（1）点斜式 yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

（2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距).yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).y2y1x2x

1xy(4)截距式1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)ab

（5）一般式 AxByC0(其中A、B不同时为0).（3）两点式

30、两条直线的平行和垂直

若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.31、平面两点间的距离公式dA,B



32、点到直线的距离

d

33、圆的三种方程

（1）圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.（2）圆的一般方程 x2y2DxEyF0(DE4F＞0).（3）圆的参数方程 22A(x1,y1)，B(x2,y2)).(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).xarcos.ybrsin

34、直线与圆的位置关系

222直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:

dr相离0;dr相切0;dr相交0.弦长=r2d2 AaBbCd其中.22AB35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 xacoscx2y

2222椭圆：221(ab0)，acb，离心率e1，参数方程是.aabybsin

cx2y2b222双曲线：221(a>0,b>0)，cab，离心率e1，渐近线方程是yx.aaab

pp抛物线：y22px，焦点(,0),准线x。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.2236、双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.aabab

xyx2y2b(2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.abaab

x2y2x2y

2(3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.abab237、抛物线y2px的焦半径公式

p2抛物线y2px(p0)焦半径|PF|x0.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。）

2pp38、过抛物线焦点的弦长ABx1x2x1x2p.2

2六、立体几何

39、证明直线与直线平行的方法（1）三角形中位线（2）平行四边形（一组对边平行且相等）

40、证明直线与平面平行的方法

（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）（2）先证面面平行

41、证明平面与平面平行的方法

平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行）．．．．

42、证明直线与直线垂直的方法：转化为证明直线与平面垂直

43、证明直线与平面垂直的方法

（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线垂直）．．．．

（2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）

44、证明平面与平面垂直的方法：平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）

45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积=2rl，表面积=2rl2r

圆椎侧面积=rl，表面积=rlr 2

21V柱体Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.31V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.3432球的半径是R，则其体积VR,其表面积S4R． 346、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算

47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）

48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计

49、平均数、方差、标准差的计算

x1x2xn12222方差:s[(x1x)(x2x)(xnx)] nn

1标准差:s[(x1x)2(x2x)2(xnx)2] n平均数:x

50、回归直线方程

nnxiyixiyinxybi

1ni1n2.yabx，其中xixi22i1i1an(acbd)

2251、独立性检验 K(ab)(cd)(ac)(bd)

52、古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗漏 ．．．．．．．．．

八、复数

53、复数的除法运算

abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i.22cdi(cdi)(cdi)cd54、复数zabi的模|z|=|a

bi|=

九、参数方程、极坐标化成直角坐标

2x2y

2cosx

55、 ysinytan(x0)x