三角形外心内心重心垂心与向量性质

第一篇：三角形外心内心重心垂心与向量性质

三 角 形 的“四 心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心

定

义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。性

质：

1.外心到三顶点等距，即OAOBOC。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即ODBC,OEAC,OFAB.3.向量性质：若点O为ABC所在的平面内一点，满足(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC，则点O为ABC的外心。二、三角形的内心

定

义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质： 性

质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。2.三角形的面积＝1三角形的周长内切圆的半径． 23.向量性质：设0,，则向量AP(点P的轨迹过ABC的内心。

AB|AB||AC|AC)，则动 三、三角形的垂心

定

义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。性

质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AHBC,BHAC,CHAB。2.向量性质：

结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O为ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足OABCOBCAOCAB，则点O为ABC的垂心。

22222

2四、三角形的“重心”：

定

义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。

性

质：

1.顶点与重心G的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GA2GD,GB2GE,GC2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即xGxAxBxCyyByC,yGA.334.向量性质：（1）GAGBGC0；（2）PG

1(PAPBPC)。3 2

第二篇：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；

（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1）O是ABC的重心.证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1x2x3x(x1x)(x2x)(x3x)03 O是ABC(yy)(yy)(yy)0yyy23123y13的重心.证法2：如图 OAOBOC

OA2OD0

AO2OD

A、O、D三点共线，且O分AD为2：

1O是ABC的重心（2）O为ABC的垂心.()0 BDC证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足. 同理， O为ABC的垂心

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内

aOAbOBcOC0O为ABC的内心.证明：BD

C心 AC方向上的单位向量，分别为AB、cbABAC平分BAC, cb

AO(bc)，令 cbabc

ABACbc（）cbabc化简得(abc)OAbABcAC0

（4）O为ABC的外心。aOAbOBcOC

典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

分析：如图所示ABC，D、E分别为边BC、AC的中点.2 2



BD

C

AP2AD

//

点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C.例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P

满足，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（B）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

分析：方向上的单位向量，分别为平分BAC, 点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满

足，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足

.





C

=

=0

点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.练习：

1．已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足，若实数满足：ABACAP，则的值为（）

A．2B．

32C．3D．6

2．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，，则OAOB()

A．

12B．0C．1D．1

3．点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0，则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（A．0B．3

2C．

544D．3

4．ABC的外接圆的圆心为O，若，则H是ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若22

2CA2OC2AB2，则O是ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

6．ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，m()，则实数m =

7．（06陕西）已知非零向量AB→与AC→满足(AB→

|AB→|+AC→

|AC→|)·BC→=0且AB→

|AB→|·AC→

|AC→|=12 , 则△ABC为()

A．三边均不相等的三角形B．直角三角形

C．等腰非等边三角形D．等边三角形

8．已知ABC三个顶点A、B、C，若AB2ABACABCBBCCA，则ABC为（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形

练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C

3）

第三篇：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）OAOBOC0O是ABC的重心.证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

(x1x)(x2x)(x3x)0

(y1y)(y2y)(y3y)0

OAOBOC0

x1x

yy1

x2x33y2y3

3O是ABC的重心.证法2：如图

OAOBOC OA2OD0

AO2OD

A、O、D三点共线，且O分AD

为2：

1O是ABC的重心

BDC

（2）OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0 OBAC

同理OABC，OCAB

O为ABC的垂心

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心

aOAbOBcOC0O为ABC的内心.证明：



ABc

AB

ACAC方向上的单位向量，分别为AB、cb

ACb

平分BAC,ABcACb

AO()，令

bcabc

AO

bcabc

（ABc



ACb)

化简得(abc)OAbABcAC0

aOAbOBcOC0

（4O为ABC的外心。

典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OPOA(ABAC)，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心 分析：如图所示ABC，D、E分别为边BC、AC的中点.ABAC2AD

OPOA2AD OPOAAP AP2AD

BDC

AP//AD

点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C.例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P

满足OPOA，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（B）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

分析：

AC方向上的单位向量，分别为AB、

AB

AC平分BAC,点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P

满足

OPOAAB

AC，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足

.

BC





=

=0

点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.练习：

1．已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PAPBPC0，若实数满足：ABACAP，则的值为（）

A．2B．

32C．3D．6

2．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OAOBOC0，则OAOB()A．

B．0C．1D．

3．点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0，则ABC面积与凹四边形

ABOC

面积之比是（）A．0B．

C．

54D．

4．ABC的外接圆的圆心为O，若OHOAOBOC，则H是ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OA

BCOB

CAOCAB，则O是ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

OHm(OAOBOC)，ABC的外接圆的圆心为O，6．两条边上的高的交点为H，则实数m =

→→→→1ABACABAC→→→

7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足(+)·BC=0 · = , 则

2→→→→|AB||AC||AB||AC|△ABC为()

A．三边均不相等的三角形B．直角三角形 C．等腰非等边三角形D．等边三角形

8．已知ABC三个顶点A、B、C，若AB

ABC为（）

ABACABCBBCCA，则

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C

第四篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ABC，P为平面上的点，则

(1)P为外心

(2)P为重心

(3)P为垂心

证明(1)如P为△ABC的外心(图1)，则 PA=PB=PC，(2)如P为△ABC的重心，如图2，延长AP至D，使PD=PA，设AD与BC相交于E点．

由重心性质

∴ 四边形PBDC为平行四边形．

BC和PD之中点．

心．

(3)如图3，P为△ABC的垂心

同理PA⊥AC，故P为△ABC之垂心．

由上不难得出这三个结论之间的相互关系：

∴ △ABC为正三角形．

∴ △ABC为正三角形，且O为其中心．

第五篇：内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

1.内心：

（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

（2）性质：到三边距离相等。

2外心：

（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

（2）性质：到三个顶点距离相等。重心：

（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。垂心：三条高所在直线的交点。重 心 :三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；

长短之比二比一，灵活运用掌握好．垂 心 :三角形上作三高，三高必于垂心交．

高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.7内 心 :三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；

点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．

8外 心 :三角形有六元素，三个内角有三边．

作三边的中垂线，三线相交共一点．

此点定义为“外心”，用它可作外接圆．

“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．