三角形内心的向量表示形式

第一篇：三角形内心的向量表示形式

三角形内心的向量表示形式

有这样一个高考题：

已知O，N，P在ABC所在平面内，且OAOBOC,NANBNC0，且PAPBPBPC，则点PCPAO，N，P依次是ABC的（）

（A）重心 外心 垂心

（B）重心 外心 内心

（C）外心 重心 垂心

（D）外心 重心 内心

答案为C，即分别为外心、重心、垂心，通过此题我们可以发现三角形的这三个“心”的向量表示形式非常和谐美观。而三角形的“心”常见的有四个，我们不仅会想三角形内心的向量表示形式是什么呢？

内心的向量表示有三种常见的形式，网络以及资料上面，对于它们的证明往往不完整，下面我把内心的向量表示形式及其验证的完整过程给读者介绍一下．

（１）点I是ABC所在平面内一点，I是ABC内心的充要条件是

CACBBICI0

CACBABAC分析：此条件直观意义较强，如即分别为与AB、AC同

ABACAIABACABACBCBABCBA向的单位向量AM、AN的差向量MN，由条件可得MN与AI垂直，而MN为等腰AMN的底边，故AI为A的角平分线，同理可得BI、CI亦为角平分线，即I是ABC内心．

上面的条件直观意义较易发现，然而形式较为复杂，下面介绍一个较为简单的充要条件，你能做出证明吗？

（2）如图，ABC的边长分别为a、b、c,点I是ABC所在平面内一

点，I是ABC内心的充要条件是aIAbIBcIC0

证明：已知点I为ABC的内心，延长AI交BC于点D，则BDcBDcac，所以，BD DCbBCbcbcAIABAIbccbc ，所以

acIDBDADabcabc连接BI,则有bcbcbccAD=(ABBD)(ABBC)因此，AIabcabcabcbcbccbcbc(AB(ACAB))(ABAC)abcbcabcbcbcbcbcbcABAC ABACabcabcabcbcbc(abc)AIbABcAC

aAI(bABbAI)(cACcAI)bIBcIC

aIAbIBcIC0

反之，当aIAbIBcIC0时，可得点I为ABC的角平分线的交点，即为三角形的内心．

此题的证明需要利用角平分线的性质定理与比例的性质，在化简变形的过程中要特别注意．（２）若0为平面内任一点，则点I为ABC的內心的充要条件为abcOAOBOC

abcabcabc证明：由（1）知aIAbIBcIC0 OI a(OIOA)b(OIOB)c(OIOC)0  (abc)OIaOAbOBcOC

 从而有OIabcOAOBOC

abcabcabc上面我们提到的三角形的四个“心”非常奇妙，这一点从它们的向量表示形式上也能够体现出来，在平时的学习中要注意体会；同时向量法是研究几何图形性质的重要方法，而上面的证明过程也告诉我们把几何图形中的几何量用向量表示出来后，灵活运用平面几何中的比例关系及比例的性质是再进行向量运算的“先行军”．

第二篇：三角形四心的向量表示

从动和静两个角度看三角形中四“心”的向量表示

平面几何中中三角形的四“心”,即三角形的内心、外心、重心、垂心。在引入向量这个工具后，我们可以从动和静两个角度看三角形中的四“心”的向量表示，其一可以使我们对三角形中的四“心”有全新的认识；其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识。

一．从静止的角度看向量的四“心”

1．已知点O是三角形ABC所在平面上一点，若OAOBOC0，则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

分析：若OAOBOC0，则OAOBOC，设以OA、OB为邻边的平行四边形为OACB,OC与AB交于点D,则D为AB的中点,由OAOBOC得,OCOC,即C、O、D、C四点共线,故CD为ABC的中线,所以O在边AB的中线上,同理可证, O在边AC的中线上, O在边BC的中线上所以O是三角形ABC的重心. 2.已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOBOCOCOA,则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

分析:由OAOBOBOC得,OB(OAOC)0,即OBCA0,所以OBC,A同理可证:OCAB,OABC,所以O是ABC的垂心.3.已知点O是三角形所在平面上一点，若aOAbOBcOC0,则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

分析::若aOAbOBcOC0,又因为OBOAAB,OCOAAC,则(abc)OAbABcAC0.所以AObcABACABAC,因为与分别表示AB和AC方向上的单位向量,设abc|AB||AC||AB||AC|ABAC+,则AP平分BAC.又AO、APAP共线，BO平分BAC，知AO平分BAC。同理可证，|AB||AC|CO平分BAC。从而O是ABC的内心。

2224．已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOC，则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

222222分析：因为OAOBOC，所以OAOBOC，即OAOBOC，所以O是ABC的外心。

二．从运动的角度看三角形的四“心”

1．已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OPOA(ABAC),R，则动点P一定通过ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心 解:OPOA(ABAC),可得AP(ABAC),由于ABAC表示以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线,所以点P在边BC的中线所在直线上，故动点P的轨迹一定通过ABC的重心.2．已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足ABAC+ OPOA,R，则动点P一定通过ABC的（）|AB||AC|（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

ABABACACABAC+ 得，AP+ 。由于+ 表分析：由OPOA|AB||AC||AB||AC||AB||AC|示BAC的平分线所在的方向向量。故当R时，动点则动点P一定通过ABC的内心。

3已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足ABAC+  ,R，则动点P一定通过ABC的（）OPOA|AB|cosB|AC|coCs（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

ABACABAC+ 得，AP+ 。分析: 由OPOA|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosCABACABBCACBC+ B CBCB,C0由于所以cosAB|B|coAsC|C|cos|AB|coBsA|C|C。即点P的轨迹是过点A且垂直于BC的直线，故动点P的轨迹一定通过ABC的垂心。APB0C4.已知O平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OBOCOP2ABAC+ ,R，则动点P一定通过ABC的（）sA|C|coC|AB|coBs（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

ABAC+ |AB|cosB|AC|cosCABACABAC+ ,当R时, + 表示垂直于可得DP|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosCOBOCOBOC分析:设BC的中点为为D,则OD,所以由OP22BC的向量,所以DP为线段BC的垂直平分线,故动点P的轨迹一定通过ABC的外心.上面通过动和静两个角度看三角形的四”心”的向量表示,得出了椒优美的结论,使我们对向量的四心有了新的认识,更好的体会到辩证的和谐的统一.

第三篇：三角形“五心”的充要条件的向量表示

三角形“五心”的充要条件的向量表示

江苏省姜堰中学

张圣官（225500）

让我们先来赏析一道颇有趣的向量题：

命题1：在ΔABC内任取一点O，证明：SAOASBOBSCOC0 „①（其中SA、SB、SC分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积）。

解：记OA,OB,OC方向上的单位向量依次为e1,e2,e3，并记∠BOC、∠COA、∠AOB依次为α

1、α

2、α3，则

SA SB SC121212|OB||OC|sin1，|OC||OA|sin2，（图1）|OA||OB|sin3。

所以，①式等价于e1sin1e2sin2e3sin30 „②

如图1，在OA上取点D，使ODe1sin1，过D作DE∥OB交CO延长线于E，则 在ΔODE中，DEsin2,OEsin3，∴DEe2sin2,EOe3sin3，于是，e1sin

1、e2sin

2、e3sin3恰好构成一个三角形，它们的和为零向量。故命题得证。

评注：如果把②式放到力学背景中，将e1,e2,e3看作是大小为1个单位的力，那么②式正好等价于三个共点力e1sin

1、e2sin

2、e3sin3平衡，我们还可以从物理学的角度给出其证明。根据图2可知，e1sin

1、e2sin2在e3sin3 反方向上的分量分别为sin1cos(1802)sin1cos2和

（图2）

0sin2cos(18001)sin2cos1；在垂直于e3sin3方向上的分量分别为

由于1232，故ssin1sin2和sin2sin1。in1cos2sin2cos1

sin(12)sin3，而sin1sin2=sin2sin1显然成立，因此三个共点的力确实平衡，这样从物理学的角度知命题获证。

这真是一道向量题横跨数理天地！然而且慢，该题另有玄机！联系到不少刊物上纷纷将三角形“五心”用各种形式的向量来表示，其实由以上结论出发倒可以很简便地得到三角形“五心”的一种向量表示。真是“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”啊！命题1中的点O是ΔABC所在平面内一点，并且在ΔABC内部，其实，若O在ΔABC的周界上时结论也成立。当点O在ΔABC形外时，类似地还可以得到：

命题2：若点O是ΔABC的形外一点且与点A位于直线BC的两侧，则有结论SAOASBOBSCOC0 „②（其中SA、SB、SC分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积）。（证明略）

只要将以上两个结论中的点O逐一看作为ΔABC的“五心”，就可以得到三角形“五心”充要条件的向量表示。

命题3：设O是ΔABC所在平面内一点，则

（Ⅰ）O是ΔABC的重心OAOBOC0 ；

（Ⅱ）O是ΔABC的外心sin2AOAsin2BOBsin2COC0 ；（Ⅲ）O是ΔABC的内心sinAOAsinBOBsinCOC0 ；（Ⅳ）O是斜ΔABC的垂心tanAOAtanBOBtanCOC0 ；（Ⅴ）O是ΔABC的旁心sinAOAsinBOBsiCnOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0。

利用三角形面积公式和等式①、②，容易证明上面五个结论成立。由于ΔABC的外心可以在三角形内部，也可以在外部或一边上，情形较多，以下就选结论（Ⅱ）给出其证明，其余几个结论请读者自证。

证明：设O是ΔABC的外心，先证必要性，对ΔABC分两类情形讨论。

（1）若ΔABC是锐角三角形或直角三角形，则外心O在形内或周界上，此时，222，SB1，SC1，根据命题1中的等式①易得结SA12Rsin2A2Rsin2B2Rsin2C论sin2AOAsin2BOBsin2COC0成立；

（2）若ΔABC是钝角三角形，不妨设A>900，则外心O在ΔABC形外且与A位于

2221直线BC的两侧，此时，SA1，SB1，2Rsin2(A)2Rsin2A2Rsin2B2，代入命题2中的②得sin2AOAsin2BOBsin2COC0成立。SC12Rsin2C现在再来证明充分性。若ΔABC

所在平面内一点O满足si2nAOAsi2nBOBsi2nCOC0，则由以上证明知，ΔABC的外心O一定满足等式si2AnOAsi2BnOBsi2CnOC0，而

在。两式相减，Δ

ABC

中

得，(sin2Asin2Bsin2C)OO0s2Aisn2Bisn2Ci2snAsiBsniCni0，故nOO0，即点O与外心O重合，也就是说，点O即为ΔABC的外心。从而，O是ΔABC的外心的充要条件是sin2AOAsin2BOBsin2COC0。

第四篇：三角形的四心的向量表示

222（1）O为ABC的外心OAOBOC.外心（三条边垂直平分线交点）（2）O为ABC的重心OAOBOC0.重心（三条边中线交点）（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.垂心（高线交点）（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0.内心（角平分线交点）

方向上的单位分别为证明：前三个心的性质都好证明，下面给出问题（4）的证明：cb

向量，平分BAC, cb

)，(cbBCBA同理：BOu()acuABACBCBA11ABAOOB()u()[()u]AB()AC cbaccacab

11()u1a11bccacu()u1得代入解得，bcacabcu0ab三角形的四心的向量表示 设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

bc（）abccb

化简得(abc)bc，abc

第五篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ABC，P为平面上的点，则

(1)P为外心

(2)P为重心

(3)P为垂心

证明(1)如P为△ABC的外心(图1)，则 PA=PB=PC，(2)如P为△ABC的重心，如图2，延长AP至D，使PD=PA，设AD与BC相交于E点．

由重心性质

∴ 四边形PBDC为平行四边形．

BC和PD之中点．

心．

(3)如图3，P为△ABC的垂心

同理PA⊥AC，故P为△ABC之垂心．

由上不难得出这三个结论之间的相互关系：

∴ △ABC为正三角形．

∴ △ABC为正三角形，且O为其中心．