平面向量中的三角形四心问题（定稿）

第一篇：平面向量中的三角形四心问题（定稿）

平面向量中的三角形四心问题

向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心（barycenter)

三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。

结论1：若G为ABC所在平面内一点，则GAGBGC0G是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GDGBGCGAGBGC0GAGBGCGA2GD,这表明，G在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为ABC的重心

结论2：

1若P为ABC所在平面内一点，则PG(PAPBPC)3G是ABC的重心1证明：PG(PAPBPC)(PGPA)(PGPB)(PGPC)03GAGBGC0G是ABC的重心

二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：

若H为ABC所在平面内一点，则HAHBHBHCHCHAH是ABC的垂心

证明：HAHBHBHCHB(HAHC)0HBAC0HBAC同理，有HACB,HCAB故H为三角形垂心

结论4：

若H为ABC所在平面内一点，则HABCHBACHCABH是ABC的垂心证明：由HABCHBCA得，HA(HBHC)HB(HCHA)2HBHCHCHA同理可证得，HAHBHBHCHCHA由结论3可知命题成立2222222222222

三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：

若O是ABC所在平面内一点，则OAOBOCO是ABC的外心 证明：由外心定义可知命题成立

结论6：

若O是ABC所在平面内一点，则（OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC O是ABC的外心 3

证明：(OAOB)BA(OAOB)(OAOB)OAOB(OBOC)CBOBOC(OCOA)ACOCOA222222222故OAOBOBOCOCOAOAOBOC故O为ABC的外心

222

四、内心(incenter)

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。

结论7：

若P为ABC所在平面内一点，则ABACBABCCACBOPOA1OB2OC3(0)ABACBABCCACBP是ABC的内心

证明：记AB，AC方向上的单位向量分别为e1,e2ABACOPOA1AP1(e1e2)ABAC由平行四边形法则知，(e1e2)在AB,AC边夹角平分线上 即P在A平分线上同理可得，P在B,C的平分线上故P为ABC的内心

结论8：

若P是ABC所在平面内一点，则aPAbPBcPC0P是ABC的内心证明：不妨设PDPC

aPAbPBcPC0a(PDDA)b(PDDB)cPC0(abc)PC(aDAbDB)0由于PC与DA,DB不共线，则abc0,aDAbDB0b即DBa由角平分线定理，CD是ACB的平分线同理可得其他的两条也是平分线故P是ABC的内心DA

第二篇：讲义---平面向量与三角形四心的交汇

讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合

（1）OAOBOC0O是ABC的重心.证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1x2x3x(x1x)(x2x)(x3x)03 OOAOBOC0yyy23(y1y)(y2y)(y3y)0y13是ABC的重心.证法2：如图

AOAOBOC OA2OD0

AO2OD

A、O、D三点共线，且O分AD

为2：1

OEO是ABC的重心

（2）OAOBOBOC证明：如图所示O是三角形

BDCOCOAO为ABC的垂心.ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0

AOBAC

E同理OABC，OCAB

BOO为ABC的垂心

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心

aOAbOBcOC0O为ABC的内心.ABAC、分别为AB、AC方向上的单位向量，cbABAC平分BAC, cbABACbc)，令 AO(abccb证明：DCAOABACbc（）abccb化简得(abc)OAbABcAC0

aOAbOBcOC0

（4）OAOBOCO为ABC的外心。

三、典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABAC)，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点

P满足OPOA(ABABACAC)，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

例3：1)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点

P满足OPOA(ABABcoBsACACcoCs)，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

2)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOA(),[0,), 则动点P的轨迹一定通过△ABC的()|AB|sinB|AC|sinCA.重心 B.垂心 C.外心 D.内心

3)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OBOCABACOP(), [0,), 则动点P的轨迹一定通过△ABC的()2|AB|cosB|AC|cosCA.重心 B.垂心 C.外心 D.内心

例

4、已知向量OP12P31,OP2,OP3满足条件OP1OP2OP30，|OP1||OP2||OP3|1，求证：△PP是正三角形．

ABC例

5、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = OHm(OAOBOC)，．

例

6、点）． O是三角形ABC

所在平面内的一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点

O是ABC的（A．三个内角的角平分线的交点 C．三条中线的交点

B．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点

例7

在△ABC内求一点P，使

AP2BP2CP2最小．

222222例8已知O为△ABC所在平面内一点，满足|OA||BC||OB||CA||OC||AB|，则O为△ABC的 心．

例9．.已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOBOCOCOA，则O点是△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

222222例10 已知O为△ABC所在平面内一点，满足|OA||BC||OB||CA|=|OC||AB|，则O点是△ABC的()A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心

例11已知O是△ABC所在平面上的一点，若(OAOB)AB=(OBOC)BC=(OCOA)CA= 0，则O点是△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

例12：已知O是△ABC所在平面上的一点，若aOAbOBcOC= 0，则O点是△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

aPAbPBcPC例13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若PO(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，abc则O点是△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

四、配套练习：

1．已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点

P，满足

PAPBPC0，若实数满足：ABACAP，则的值为（）

A．2 B．32 C．3 D．6 3

2．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OAOBOCA．

0，则OAOB()12 B．0 C．1 D．1 23．点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0，则ABC面积与凹四边形A．0 B．

ABOC面积之比是（）

C．

D．

是ABC的（）4．ABC的外接圆的圆心为O，若OHOAOBOC，则HA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OABCOB222

CAOCAB222，则O是ABC的（）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH则实数m =

17．（06陕西）已知非零向量与满足(+)〃=0且〃= , 则△ABC为()

2A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 8．已知ABC三个顶点

m(OAOBOC)，A、B、C，若ABABACABCBBCCA，则ABC为（）

2A．等腰三角形 B．等腰直角三角形

C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形

9.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABAC), [0,).则P点的轨迹一定通过△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

10.已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOC= 0, 则O点是△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

111.已知O是△ABC所在平面上的一点，若PO(PAPBPC)(其中P为平面上任意一点), 则O点是△ABC

3的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

第三篇：平面向量复习题

平面 向 量

向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题，数量为1-2题，均属容易题，但是向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、导数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。近年考纲又新增“平面向量在几何中的应用”试题进一步要求我们具备多角度、多方向地分析，去探索、去发现、去研究、去创新，而不是去做大量的模仿式的解题。一个问题解决后，不能匆匆而过，回顾与反思是非常有必要的，以充分发挥每一道题目的价值。除了要重视一题多解外，更要重视一题多变，主动探索：条件和结论换一种说法如何？变换一个条件如何？反过来又会怎么样？等等。只有这样才能做到举一反三，以不变应万变。

一、高考考纲要求

1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．

2．掌握向量的加法与减法．

3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．

4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．

5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

6．掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式．

二、高考热点分析

在高考试题中，对平面向量的考查主要有三个方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算。其二考查向量坐标表示，向量的线性运算。

其三是和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力。

数学高考命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交互渗透，在知识网络的交汇点设计试题．由于向量具有代数和几何的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项知识的媒介．因此，平面向量与其他知识的结合特别是与解析几何的交汇、融合仍将是高考命题的一大趋势，同时它仍将是近几年高考的热点内容．

附Ⅰ、平面向量知识结构表

1.考查平面向量的基本概念和运算律

1此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。1．(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

（）

2．(江西卷)已知向量

A．30°

(1,2),(2,4),||

B．60°,若()

C．120°,则与的夹角为

2（）

D．150°

3．(重庆卷)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则

A．

与的夹角为（）

444

4B．arccos C．arccos()D．－arccos()

2555

5

4．(浙江卷)已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则

arccos



（）

A．a⊥e B．a⊥(a－e)



C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)

．(上海卷)在△ABC中，若C90，ACBC4，则BABC 2.考查向量的坐标运算

1．(湖北卷)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超过5，则k的取值范围是

A．[－4，6]

2．(重庆卷)设向量a=（－1，2），b=（2，－1），则（a·b）（a+b）等于

A．（1，1）

B．（－4，－4）

C．－4

D．（－2，－2）

()

（）

B．[－6，4]

C．[－6，2]

D．[－2，6]

（）



3．(浙江卷)已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是

A．{2，3}

B．{－1，6}

C．{2}

D．{6}

例4．(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则OC=。



5．(全国卷)已知向量OA(k,12),OB(4,5),OC(k,10)，且A、B、C三点共线，则k=.6．(湖北卷)已知向量a7．(广东卷)已知向量a

(2,2),b(5,k).若|ab|不超过5，则k的取值范围是

(2,3),b(x,6),且a//b,则x.3.平面向量在平面几何中的应用



ABAC

),[0,),则1.O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(|AB||AC|

P的轨迹一定通过△ABC

A．外心的（）B．内心

C．重心

D．垂心



2．（辽宁卷）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A,C），则AP等于（）

A．(ABAD),(0,1)

B.(ABBC),(0,C.(ABAD),(0,1)

D.(ABBC),(0,

3．已知有公共端点的向量a，b不共线，|a|＝1，|b|=2,则与向量a，b的夹角平分线平行的单位向量是.

4．已知直角坐标系内有三个定点A(2,1)、B(0,10)、C(8,0)，若动点P满足：OPOAt(ABAC),tR，则点P的轨迹方程。

4.平面向量与三角函数、函数等知识的结合当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：

①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.1．(江西卷)已知向量(2cos

xxxx,tan()),(2sin(),tan()),令f(x).224242

4求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.2．(山东卷)已知向量



m(cos,sin)

和

n

sin,cos,,2

，且

mn求



cos的值.28

3．(上海卷)已知函数

f(x)kxb的图象与x,y轴分别相交于点

A、B，22（,分别是与x,y轴正半

轴同方向的单位向量），函数g(x)

x2x6.f(x)g(x)时，求函数

（1）求k,b的值；（2）当x满足

g(x)

1的最小值.f(x)

【反思】这类问题主要是以平面向量的模、数量积、夹角等公式和相互知识为纽带，促成与不等式知识的相互迁移，有效地考查平面向量有关知识、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用及综合解题能力。

5.平面向量与解析几何的交汇与融合由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。

平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：

1、运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题

运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问

题要简捷的多。

2、运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题

运用向量的数量积，可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果。

3、运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。

1．(江西卷)以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA||PB|k，则动点P的轨迹为双曲线；



(),则动点P的轨迹为椭圆； 2

②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若③方程2x

5x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

x2y2x2

1与椭圆y21有相同的焦点.④双曲线

25935

其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）



2．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1),B(1,3)，若点C满足OC0AOB，其中,R，且

1，则点C的轨迹方程为()

A.C.3x2y110B.(x1)2(y2)25 2xy0D.x2y50

2．已知平面上一个定点C（－1，0）和一条定直线l：x＝－4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，

（PQ＋2PC）（PQ－2PC）＝0.（1）求点P的轨迹方程；



PC的取值范围．（2）求PQ·

第四篇：平面向量共线问题的深入研究

库尔勒市实验中学高一数学组编写人：史蕾

平面向量共线问题的深入研究

【学习目标】

1、掌握三点共线的证明方法。

2、两向量共线时，能根据题意选择合适的方法解决问题。

【前置研究】

1探究

一、假设A（1,5），B（，4），C（0,3），你能想出几种方法能证明它们三2

点共线？哪种方法最简便？

探究

二、只读题，不做题。看看下面两题三问各有几种方法解答。

1、已知a=(1,2),b=(-3,2),① 当k为何值时，ka+b与a-3b平行？

②平行时它们是同向还是反向？

2、已知a=(3,2-m)与b=(m,-m)平行，求m的值。

【我的例题】请根据以上两个探究的发现，自拟一道类似的题目并解答。

第五篇：平面向量图形结合问题

高中复习-平面向量

1．（2016•潍坊一模）在△ABC中，PQ分别是AB，BC的三等分点，且AP=AB，BQ=BC，若则A．

2．（2016•朔州模拟）点O为△ABC内一点，且满足则=（），设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，=（）+ B．﹣+ C．

﹣

D．﹣

﹣

=，=，A． B． C． D．

按向量=（2009，4，27）平移，3．（2009春•成都期中）已知点A（2008，5，12），B（14，2，8），将向量所得到的向量坐标是（）A．（1994，3，4）B．（﹣1994，﹣3，﹣4）C．（15，1，23）D．（4003，7，31）

4．（2013秋•和平区期末）已知向量则向量为（）A．（﹣3，2）B．（4，3）C．（3，﹣2）

D．（2，﹣5）

（1＜x＜4）的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A+）•

=（），若存在向量，使得，5．（2016•吉林三模）函数的直线l与函数的图象交于B，C两点，则（A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 6．（2016•商洛模拟）在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8

=（）

7．（2015•房山区一模）向量=（2，0），=（x，y），若与﹣的夹角等于，则||的最大值为（）

A．4 B．2 C．2 D．

8．（2016•合肥二模）点G为△ABC的重心，设A．

9．（2016•眉山模拟）如图，在△OAB中，点P在边AB上，且AP：PB=3：2．则

=（）﹣B．C．﹣2D．=，=，则

=（）

A． B．C．

D．

10．（2016春•东营校级期中）点O是△ABC所在平面上一点，且满足A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

11．（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，已知，则

++=，则点O为△ABC的（）

=（）

A． B．C．

D．，P是BN上的一点，若，则实数m的值12．（2016•衡水模拟）如图，在△ABC中，为（）

A．B．C．1 D．3

13．（2016•焦作二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（1，2），﹣∥，则x=（）

=（3，1），=（x，3），若（2+）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1

14．（2016•嘉峪关校级模拟）已知向量A．

15．（2016•南昌校级模拟）△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•B．C．D．

为非零向量，则

夹角为（）的取值范围是（）

A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]

16．（2016•潮南区模拟）已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（A．1 B．C．3 D．2

17．（2016•西宁校级模拟）已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角为（A．B．C．D．

巩固与练习：

1．（2011•丰台区一模）已知平面向量，的夹角为60°，||=4，||=3，则|+|等于（）A．37 B． C．13 D．

2．（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，已知，则

=（）））

A． B． C．

D．

3．（2016春•成都校级月考）如图，在△ABC中，线段BE，CF交于点P，设向量，则向量可以表示为（）

A． B． C．

D．

4．（2016•抚顺一模）已知向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，则向量与向量的夹角θ的值为（A． B． C． D．

5．（2015春•临沂期末）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，则下列结论正确的是（）

A．+=B．﹣=C．

+

=

D．

﹣

=

6．（2015•娄星区模拟）如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么

=（A．B．

C．

D．，））

7．（2016•湖南模拟）已知，，点C在AB上，∠AOC=30°．则向量

等于（）

A．B．C．

D．

8．（2016•重庆校级模拟）若||=2，||=4且（+）⊥，则与的夹角是（）A．

9．（2015春•昆明校级期中）如图，点M是△ABC的重心，则

为（）B．C．D．﹣

A．B．4B．

10．（2015秋•厦门校级期中）已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且D的四等分点，则（）

=2，点F是BD上靠近C．4D．4

A．C．

11．（2015•厦门校级模拟）如图，，，若m=，那么n=（）=﹣=﹣﹣B．D．==﹣

﹣﹣

A． B．C．D．

12．（2016•嘉兴一模）如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则

=（）

A．1 B．2 C．t D．2t

答案：

1．（2016•潍坊一模）在△ABC中，PQ分别是AB，BC的三等分点，且AP=AB，BQ=BC，若则A．=（）+ B．﹣+ =C．．

﹣

D．﹣

﹣

=，=，【解答】解：

∵AP=AB，BQ=BC，∴∴故选：A．

2．（2016•朔州模拟）点O为△ABC内一点，且满足则=（），设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，=． =

=，=

=

．

A． B． C． D．

【解答】解：延长OC到D，使OD=4OC，延长CO交AB与E，∵O为△ABC内一点，且满足∴=，∴O为△DABC重心，E为AB中点，∴OD：OE=2：1，∴OC：OE=1：2，∴CE：OE=3：2，∴S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，∵△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，∴=．

故选：B．

3．（2009春•成都期中）已知点A（2008，5，12），B（14，2，8），将向量

按向量=（2009，4，27）平移，所得到的向量坐标是（）A．（1994，3，4）B．（﹣1994，﹣3，﹣4）C．（15，1，23）D．（4003，7，31）【解答】解：∵A（2008，5，12），B（14，2，8），∴又∵=（﹣1994，﹣3，﹣4），按向量平移后不发生变化

=（﹣1994，﹣3，﹣4），∴平移后故选B

4．（2013秋•和平区期末）已知向量则向量为（）A．（﹣3，2）【解答】解：设∵B．（4，3）C．（3，﹣2），，D．（2，﹣5），若存在向量，使得，∴，解得x=3，y=﹣2，∴=（3，﹣2）． 故选：C．

5．（2016•吉林三模）函数的直线l与函数的图象交于B，C两点，则（（1＜x＜4）的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A+）•

=（）

A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 【解答】解：由题意可知 B、C两点的中点为点A（2，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=0 ∴（+）•=（（x1，y1）+（x2，y2））•（2，0）=（x1+x2，y1+y2）•（2，0）=（4，0）•（2，0）=8 故选D．

6．（2016•商洛模拟）在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8

=

cosB=|BC|=8．

2=（）

【解答】解：在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则故选：D．

7．（2015•房山区一模）向量=（2，0），=（x，y），若与﹣的夹角等于A．4 B．2 C．2 D．，则||的最大值为（）

【解答】解：由向量加减法的几何意义可得，（如图），=，=∠OBA 故点B始终在以OA为弦，∠OBA=为圆周角的圆弧上运动，且等于弦OB的长，由于在圆中弦长的最大值为该圆的直径2R，在三角形AOB中，OA==2，∠OBA=

由正弦定理得，解得2R=4，即||的最大值为4 故选A

8．（2016•合肥二模）点G为△ABC的重心，设=，=，则

=（A．﹣B．C．﹣2D．【解答】解：由题意知，+=，即+=，故=﹣2=﹣2，故选C．）

9．（2016•眉山模拟）如图，在△OAB中，点P在边AB上，且AP：PB=3：2．则

=（）

A．B．C．，D．

【解答】解：∵AP：PB=3：2，∴又∴===+，=，+

故选：B．

10．（2016春•东营校级期中）点O是△ABC所在平面上一点，且满足

+

+

=，则点O为△ABC的（）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【解答】解：作BD∥OC，CD∥OB，连结OD，OD与BC相交于G，则BG=CG，（平行四边形对角线互相平分），∴又∵∴++=﹣=+，=，可得：+

=﹣，∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理：BO，CO的延长线也为△ABC的中线． ∴O为三角形ABC的重心．

故选：C．

11．（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，已知，则

=（）

A．B．=，得+，=3（C．）D．

【解答】解：∵∴由已知化简=故选：C

12．（2016•衡水模拟）如图，在△ABC中，为（），P是BN上的一点，若，则实数m的值

A．B．C．1 D．3 【解答】解：∵∴设=λ，（λ＞0）得且==

+

，∴m=故选：A，解之得λ=8，m=

13．（2016•焦作二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（1，2），﹣∥，则x=（）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1 【解答】解：由=（1，2），﹣

=（3，1），得

=（3，1），=（x，3），若（2+）=（1，2）﹣（3，1）=（﹣2，1），则，∴2+=（2，4）+（﹣4，2）=（﹣2，6），又（2+）∥，∴6x+6=0，得x=﹣1． 故选：D．

14．（2016•嘉峪关校级模拟）已知向量A．B．C．D．

；，；

； ；

=

；

；

为非零向量，则

夹角为（）

【解答】解：∴∴∴∴∴∴夹角为．

故选：B．

15．（2016•南昌校级模拟）△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则的取值范围是（）

A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]

【解答】解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴∴=•=[+﹣+]•

=

+

（0≤λ≤1）．

=2×1×cos120°=﹣1．

=﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ =﹣7λ+2． ∵0≤λ≤1，∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]． ∴•的取值范围是[﹣5，2]．

故选：D．

16．（2016•潮南区模拟）已知平面向量与的夹角为A．1 B．C．3 D．2 2，且||=1，|+2|=2，则||=（）

【解答】解：由已知，|+2|=12，即故选D．

17．（2016•西宁校级模拟）已知||=1，||=A．B．C．D． ；，所以||+4||||×+4=12，所以||=2；

2，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角为（）

【解答】解：∵；

∴∴∴向量与的夹角为故选B． ； ． ；

巩固与练习：

1．（2011•丰台区一模）已知平面向量，的夹角为60°，||=4，||=3，则|+|等于（）A．37 B． C．13 D．

【解答】解：由题意得 •=||•||cos60°=4×3×=6，∴||==

=

=，故选B．

2．（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，已知，则

=（）

A． B．=，得+，=3（C．）

D．

【解答】解：∵∴由已知化简=故选：C

3．（2016春•成都校级月考）如图，在△ABC中，线段BE，CF交于点P，设向量，则向量可以表示为（），A． B． C．

D．

【解答】解：因为F，P，C三点共线，∴存在实数λ，使由已知同理，=，所以=，，∴解得

所以故选C．

；

4．（2016•抚顺一模）已知向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，则向量与向量的夹角θ的值为（）A． B． C． D．

【解答】解：向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，∴﹣2+•=4，即16﹣2×9+4×3×cosθ=4，解得cosθ=； 又θ∈[0，π]，∴θ=；

即向量与向量的夹角θ的值为．

故选：B．

5．（2015春•临沂期末）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，则下列结论正确的是（）

A．+=B．﹣=C．

+

=

D．

﹣

=

【解答】解：由已知及图形得到，故A错误；

；故B错误；

；故C 正确；

故D 错误；

故选C．

6．（2015•娄星区模拟）如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么=（）

A．B．

C．

D．

【解答】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴==，∵=，∵，∴=

． 故选D．

7．（2016•湖南模拟）已知，，点C在AB上，∠AOC=30°．则向量

等于（A．B．C．

D．

【解答】解：过点c做CE∥OA CF∥OB 设OC长度为a 有△CEB∽△AFC ∴（1）

∵∠AOC=30° 则CF==OE OF=CE=）

∴BE=2﹣AF=2﹣

=OB，代入（1）中化简整理可解：a=OF=∴故选B．

==OA

OE=8．（2016•重庆校级模拟）若||=2，||=4且（+）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．﹣

【解答】解：设与的夹角是θ． ∵||=2，||=4且（+）⊥，∴（+）•=∴cosθ=．

． =2+2×4cosθ=0，2∵θ∈[0，π]，∴故选：A．

9．（2015春•昆明校级期中）如图，点M是△ABC的重心，则为（）

A．B．4C．4D．4

【解答】解：设AB的中点为F ∵点M是△ABC的重心 ∴故为C

10．（2015秋•厦门校级期中）已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且D的四等分点，则（）

=2，点F是BD上靠近

．

A．=﹣﹣B．=﹣ C．=﹣D．=﹣

﹣

【解答】解：∵=2，点F是BD上靠近D的四等分点，∴=，=，∴==+，∵，∴=+

=﹣．

故选：C．

11．（2015•厦门校级模拟）如图，，，若m=，那么n=（A．B．C．D． 【解答】解：∵，故C为线段AB的中点，故==2，∴=，由，∴，∴=，∵M，P，N三点共线，故=1，当m=时，n=，故选：C）

12．（2016•嘉兴一模）如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则

=（）

A．1 B．2 C．t D．2t 【解答】解：连结BC，CD．则AD⊥CD，AB⊥BC． ∴=AB×AC×cos∠BAC=AB=t+1． =AD×AC×cos∠CAD=AD=t+2．

∵∴•=，=

=1． 22故选：A．