向量中的三角形心的问题

第一篇：向量中的三角形心的问题

向量中的三角形“四心”问题

学习向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗？你能证明吗？下面的几个结论也许能给同学们一点帮助。

结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足点O为△ABC的垂心。证明：由，所以

。同理可证，得，即，则

。故O为△ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的垂心。

证明：由。同理可证，得

。容易得到，所以

由结论1知O为△ABC的垂心。

结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足ABC的重心。证明：由，所以，得，则点G为△

。设BC边中点为M，则，即点G在中线AM上。设AB边中点为N，同理可证G在中线CN上，故点G为△ABC的重心。

结论4：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足为△ABC的重心。，则点G证明：由，得。由结论3知点G为△ABC的重心。，得结论5：若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足，则点P为△ABC的内心。

证明：由于方向的单位向量为，与，可得

同方向的单位向量为，则

。设与同

。因为，知点P在∠A为单位向量，所以向量的平分线上。

同理可证点P在∠B的平分线上。故点G为△ABC的内心。

在∠A的平分线上。由结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的外心。

证明：因为，所以

同理得，所以。故点O为△ABC的外心。

由题意得，得说明：以上几个结论不仅给大家展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量加减法应用的很好典例，值得大家关注。

第二篇：住宅厨房中三角形操作空间的尺度探讨解读

住宅厨房中三角形操作空间的尺度探讨

摘 要：住宅中厨房承载着重要的功能活动和生理需求，如何高效、便捷、舒适的完成一些列烹饪活动，不仅体现在低碳且美观的装修材料和高端的厨具产品上，更需要在设计之初体现空间布局和功能分布的合理性。“三角形操作空间”是整个厨房的核心部位，合理的尺度最能反映出其空间的设计原则。

关键词：住宅厨房；空间；尺度；人机工程学

中图分类号：J59

文献标识码：Ａ

文章编号：1005-5312（2012）14-0026-02

一、常见的厨房形式

（一）单列式厨房。这种形式的厨房布局是只在一侧墙壁上布置家具设备，一般将水池置于中间，冰箱和炉灶分布在两侧。单列式厨房的优点在于对空间进深要求低。

（二）双列平行式厨房。这种形式的厨房布局一般将干湿区域分开，即一侧墙布置成操作区与储存区（水池、冰箱、橱柜、储存台面等），另一侧则为烹饪区与储存区（炉灶、抽油烟机、储存柜等）。双列平行式厨房对空间进深要求高，适合于空间长宽大于2600mm的厨房。对于大部分中小型住宅而言，这种双列式厨房设计并不适用。

（三）曲尺型厨房，即L型厨房。这种形式的厨房是沿厨房相邻的两边布置家具设备的布局, 一般的布局方式是将冰箱、水池、操作台放置一侧；炉灶放置另一侧。

这种设置方式比较灵活，橱柜的储藏量比较大，既方便使用又在一定程度上节省了空间。

（四）U型厨房。这种形式的厨房是在三边墙面均布置家具设备的布局，将储存区（冰箱、橱柜）、操作区（水池、操作台）和烹饪区（炉灶、操作台）各放置在一边墙面。优点是操作面长，储藏空间充足，这样的布局较灵活。

二、人体工程学在厨房空间中的运用

（一）什么是人体工程学

人体工程学(Human Engineering)，也称人类工程学、人体工学、人间工学或工效学(Ergonomics)。工效学Ergonomis原出希腊文“Ergo”，即“工作、劳动”和“nomos”即“规律、效果”，也即探讨人们劳动、工作效果、效能的规律性。

人体工程学联系到室内设计，其含义为：以人为主体，运用人体计测、生理、心理计测等手段和方法，研究人体结构功能、心理、力学等方面与室内环境之间的合理协调关系，以适合人的身心活动要求，取得最佳的使用效能，其目标应是安全、健康、高效能和舒适。人体工程学与有关学科以及人体工程学中人、室内环境和设施的相互关系。根据人体工程学中的有关计测数据，从人的尺度、动作域、心理空间以及人际交往的空间等，以确定空间范围。

（二）如何用人体工程学设计厨房

1、单列式厨房。其工作流线在一条直线上进行，三点之间的操作相互重合。当多人同时操作时，由于动线处不断重叠，每个工作区域的往返距离被拉长；同时受空间布局的限制，单列式厨房并不太适用“高效三

第三篇：2018年深圳公务员考试：行测几何问题中三角形常考考点解题技巧

深圳人事考试网温馨提示您关注深圳公务员考试网，随时掌握2018年深圳公务员考试公告、考试时间、报名时间和报名入口、准考证打印时间以及笔试成绩查询、资格审核公告和面试公告等信息，提供深圳公务员考试培训、方法技巧、行测、公基、面试、时事政治等备考资料!一、三角形三边长度关系：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

例1：有若干根长度为3厘米、5厘米、7厘米的木条，用这些木条可以制作可以种不同的三角形? A.6 B.8 C.9 D.10 【答案】选C 【解析】三角形三边长度关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。分类来数：等边三角形3个，等腰三角形5个，普通三角形1个，一共9个。

二、同底等高三角形面积关系： 同底三角形面积比等于高之比 等高三角形面积比等于底之比

例2：已知三角形ADE 面积为18，三角形CDE面积为12，三角形BCD面积是10，那么三角形BDE的面积是多少?

A.8 B.6 C.5 D.3 【答案】:B 【解析】：三角形ADC面积=18+12=30 三角形BCD面积=10 三角形ADC三角形BCD等高，AD:DB=3：1 三角形BDE=18/3=6

三、相似性

相似比=边长比=周长比

面积比=相似比的平方

例3：如图，DE平行BC，若AD：DB=2:3，那么三角形ADE与三角形ECB面积比是多少?

A.1:3 B.2:5 C.4:15 D.5:16 【答案】选C 【解析】三角形ADE与三角形ABC相似，相似比AD：AB=2:5，面积比为4:25，三角形ADE与等高，面积比为2:3,三角形ABC面积25份，则三角形ADE4份，三角形BDE6份，三角形BEC=25-4-6=15份，所求为4:15

四、直角三角形

(1)勾股定理：直角边平方的加和等于斜边的平方

(2)常见直角三角形三边：（3、4、5)（6、8、10)（5、12、13)(3)30度60度直角三角形三边比例1：根号3：2 等腰直角三角形三边比例：1:1：根号2 例4：若一直角三角形周长和面积相等，且直角边和为14，三角形面积是多少? A.20 B.24 C.12 D.62 【答案】选B 【解析】题中描述为常见直角三角形，三边为：6、8、10，面积为(1/2)*6*8=24

第四篇：平面向量中的三角形四心问题（定稿）

平面向量中的三角形四心问题

向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心（barycenter)

三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。

结论1：若G为ABC所在平面内一点，则GAGBGC0G是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GDGBGCGAGBGC0GAGBGCGA2GD,这表明，G在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为ABC的重心

结论2：

1若P为ABC所在平面内一点，则PG(PAPBPC)3G是ABC的重心1证明：PG(PAPBPC)(PGPA)(PGPB)(PGPC)03GAGBGC0G是ABC的重心

二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：

若H为ABC所在平面内一点，则HAHBHBHCHCHAH是ABC的垂心

证明：HAHBHBHCHB(HAHC)0HBAC0HBAC同理，有HACB,HCAB故H为三角形垂心

结论4：

若H为ABC所在平面内一点，则HABCHBACHCABH是ABC的垂心证明：由HABCHBCA得，HA(HBHC)HB(HCHA)2HBHCHCHA同理可证得，HAHBHBHCHCHA由结论3可知命题成立2222222222222

三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：

若O是ABC所在平面内一点，则OAOBOCO是ABC的外心 证明：由外心定义可知命题成立

结论6：

若O是ABC所在平面内一点，则（OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC O是ABC的外心 3

证明：(OAOB)BA(OAOB)(OAOB)OAOB(OBOC)CBOBOC(OCOA)ACOCOA222222222故OAOBOBOCOCOAOAOBOC故O为ABC的外心

222

四、内心(incenter)

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。

结论7：

若P为ABC所在平面内一点，则ABACBABCCACBOPOA1OB2OC3(0)ABACBABCCACBP是ABC的内心

证明：记AB，AC方向上的单位向量分别为e1,e2ABACOPOA1AP1(e1e2)ABAC由平行四边形法则知，(e1e2)在AB,AC边夹角平分线上 即P在A平分线上同理可得，P在B,C的平分线上故P为ABC的内心

结论8：

若P是ABC所在平面内一点，则aPAbPBcPC0P是ABC的内心证明：不妨设PDPC

aPAbPBcPC0a(PDDA)b(PDDB)cPC0(abc)PC(aDAbDB)0由于PC与DA,DB不共线，则abc0,aDAbDB0b即DBa由角平分线定理，CD是ACB的平分线同理可得其他的两条也是平分线故P是ABC的内心DA

第五篇：三角形四心的向量表示

从动和静两个角度看三角形中四“心”的向量表示

平面几何中中三角形的四“心”,即三角形的内心、外心、重心、垂心。在引入向量这个工具后，我们可以从动和静两个角度看三角形中的四“心”的向量表示，其一可以使我们对三角形中的四“心”有全新的认识；其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识。

一．从静止的角度看向量的四“心”

1．已知点O是三角形ABC所在平面上一点，若OAOBOC0，则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

分析：若OAOBOC0，则OAOBOC，设以OA、OB为邻边的平行四边形为OACB,OC与AB交于点D,则D为AB的中点,由OAOBOC得,OCOC,即C、O、D、C四点共线,故CD为ABC的中线,所以O在边AB的中线上,同理可证, O在边AC的中线上, O在边BC的中线上所以O是三角形ABC的重心. 2.已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOBOCOCOA,则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

分析:由OAOBOBOC得,OB(OAOC)0,即OBCA0,所以OBC,A同理可证:OCAB,OABC,所以O是ABC的垂心.3.已知点O是三角形所在平面上一点，若aOAbOBcOC0,则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

分析::若aOAbOBcOC0,又因为OBOAAB,OCOAAC,则(abc)OAbABcAC0.所以AObcABACABAC,因为与分别表示AB和AC方向上的单位向量,设abc|AB||AC||AB||AC|ABAC+,则AP平分BAC.又AO、APAP共线，BO平分BAC，知AO平分BAC。同理可证，|AB||AC|CO平分BAC。从而O是ABC的内心。

2224．已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOC，则O是三角形ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

222222分析：因为OAOBOC，所以OAOBOC，即OAOBOC，所以O是ABC的外心。

二．从运动的角度看三角形的四“心”

1．已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OPOA(ABAC),R，则动点P一定通过ABC的（）

（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心 解:OPOA(ABAC),可得AP(ABAC),由于ABAC表示以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线,所以点P在边BC的中线所在直线上，故动点P的轨迹一定通过ABC的重心.2．已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足ABAC+ OPOA,R，则动点P一定通过ABC的（）|AB||AC|（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

ABABACACABAC+ 得，AP+ 。由于+ 表分析：由OPOA|AB||AC||AB||AC||AB||AC|示BAC的平分线所在的方向向量。故当R时，动点则动点P一定通过ABC的内心。

3已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足ABAC+  ,R，则动点P一定通过ABC的（）OPOA|AB|cosB|AC|coCs（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

ABACABAC+ 得，AP+ 。分析: 由OPOA|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosCABACABBCACBC+ B CBCB,C0由于所以cosAB|B|coAsC|C|cos|AB|coBsA|C|C。即点P的轨迹是过点A且垂直于BC的直线，故动点P的轨迹一定通过ABC的垂心。APB0C4.已知O平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OBOCOP2ABAC+ ,R，则动点P一定通过ABC的（）sA|C|coC|AB|coBs（A）内心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

ABAC+ |AB|cosB|AC|cosCABACABAC+ ,当R时, + 表示垂直于可得DP|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosCOBOCOBOC分析:设BC的中点为为D,则OD,所以由OP22BC的向量,所以DP为线段BC的垂直平分线,故动点P的轨迹一定通过ABC的外心.上面通过动和静两个角度看三角形的四”心”的向量表示,得出了椒优美的结论,使我们对向量的四心有了新的认识,更好的体会到辩证的和谐的统一.