平面向量图形结合问题（优秀范文五篇）

第一篇：平面向量图形结合问题

高中复习-平面向量

1．（2016•潍坊一模）在△ABC中，PQ分别是AB，BC的三等分点，且AP=AB，BQ=BC，若则A．

2．（2016•朔州模拟）点O为△ABC内一点，且满足则=（），设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，=（）+ B．﹣+ C．

﹣

D．﹣

﹣

=，=，A． B． C． D．

按向量=（2009，4，27）平移，3．（2009春•成都期中）已知点A（2008，5，12），B（14，2，8），将向量所得到的向量坐标是（）A．（1994，3，4）B．（﹣1994，﹣3，﹣4）C．（15，1，23）D．（4003，7，31）

4．（2013秋•和平区期末）已知向量则向量为（）A．（﹣3，2）B．（4，3）C．（3，﹣2）

D．（2，﹣5）

（1＜x＜4）的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A+）•

=（），若存在向量，使得，5．（2016•吉林三模）函数的直线l与函数的图象交于B，C两点，则（A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 6．（2016•商洛模拟）在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8

=（）

7．（2015•房山区一模）向量=（2，0），=（x，y），若与﹣的夹角等于，则||的最大值为（）

A．4 B．2 C．2 D．

8．（2016•合肥二模）点G为△ABC的重心，设A．

9．（2016•眉山模拟）如图，在△OAB中，点P在边AB上，且AP：PB=3：2．则

=（）﹣B．C．﹣2D．=，=，则

=（）

A． B．C．

D．

10．（2016春•东营校级期中）点O是△ABC所在平面上一点，且满足A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

11．（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，已知，则

++=，则点O为△ABC的（）

=（）

A． B．C．

D．，P是BN上的一点，若，则实数m的值12．（2016•衡水模拟）如图，在△ABC中，为（）

A．B．C．1 D．3

13．（2016•焦作二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（1，2），﹣∥，则x=（）

=（3，1），=（x，3），若（2+）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1

14．（2016•嘉峪关校级模拟）已知向量A．

15．（2016•南昌校级模拟）△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•B．C．D．

为非零向量，则

夹角为（）的取值范围是（）

A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]

16．（2016•潮南区模拟）已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（A．1 B．C．3 D．2

17．（2016•西宁校级模拟）已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角为（A．B．C．D．

巩固与练习：

1．（2011•丰台区一模）已知平面向量，的夹角为60°，||=4，||=3，则|+|等于（）A．37 B． C．13 D．

2．（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，已知，则

=（）））

A． B． C．

D．

3．（2016春•成都校级月考）如图，在△ABC中，线段BE，CF交于点P，设向量，则向量可以表示为（）

A． B． C．

D．

4．（2016•抚顺一模）已知向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，则向量与向量的夹角θ的值为（A． B． C． D．

5．（2015春•临沂期末）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，则下列结论正确的是（）

A．+=B．﹣=C．

+

=

D．

﹣

=

6．（2015•娄星区模拟）如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么

=（A．B．

C．

D．，））

7．（2016•湖南模拟）已知，，点C在AB上，∠AOC=30°．则向量

等于（）

A．B．C．

D．

8．（2016•重庆校级模拟）若||=2，||=4且（+）⊥，则与的夹角是（）A．

9．（2015春•昆明校级期中）如图，点M是△ABC的重心，则

为（）B．C．D．﹣

A．B．4B．

10．（2015秋•厦门校级期中）已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且D的四等分点，则（）

=2，点F是BD上靠近C．4D．4

A．C．

11．（2015•厦门校级模拟）如图，，，若m=，那么n=（）=﹣=﹣﹣B．D．==﹣

﹣﹣

A． B．C．D．

12．（2016•嘉兴一模）如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则

=（）

A．1 B．2 C．t D．2t

答案：

1．（2016•潍坊一模）在△ABC中，PQ分别是AB，BC的三等分点，且AP=AB，BQ=BC，若则A．=（）+ B．﹣+ =C．．

﹣

D．﹣

﹣

=，=，【解答】解：

∵AP=AB，BQ=BC，∴∴故选：A．

2．（2016•朔州模拟）点O为△ABC内一点，且满足则=（），设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，=． =

=，=

=

．

A． B． C． D．

【解答】解：延长OC到D，使OD=4OC，延长CO交AB与E，∵O为△ABC内一点，且满足∴=，∴O为△DABC重心，E为AB中点，∴OD：OE=2：1，∴OC：OE=1：2，∴CE：OE=3：2，∴S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，∵△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，∴=．

故选：B．

3．（2009春•成都期中）已知点A（2008，5，12），B（14，2，8），将向量

按向量=（2009，4，27）平移，所得到的向量坐标是（）A．（1994，3，4）B．（﹣1994，﹣3，﹣4）C．（15，1，23）D．（4003，7，31）【解答】解：∵A（2008，5，12），B（14，2，8），∴又∵=（﹣1994，﹣3，﹣4），按向量平移后不发生变化

=（﹣1994，﹣3，﹣4），∴平移后故选B

4．（2013秋•和平区期末）已知向量则向量为（）A．（﹣3，2）【解答】解：设∵B．（4，3）C．（3，﹣2），，D．（2，﹣5），若存在向量，使得，∴，解得x=3，y=﹣2，∴=（3，﹣2）． 故选：C．

5．（2016•吉林三模）函数的直线l与函数的图象交于B，C两点，则（（1＜x＜4）的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A+）•

=（）

A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 【解答】解：由题意可知 B、C两点的中点为点A（2，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=0 ∴（+）•=（（x1，y1）+（x2，y2））•（2，0）=（x1+x2，y1+y2）•（2，0）=（4，0）•（2，0）=8 故选D．

6．（2016•商洛模拟）在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8

=

cosB=|BC|=8．

2=（）

【解答】解：在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则故选：D．

7．（2015•房山区一模）向量=（2，0），=（x，y），若与﹣的夹角等于A．4 B．2 C．2 D．，则||的最大值为（）

【解答】解：由向量加减法的几何意义可得，（如图），=，=∠OBA 故点B始终在以OA为弦，∠OBA=为圆周角的圆弧上运动，且等于弦OB的长，由于在圆中弦长的最大值为该圆的直径2R，在三角形AOB中，OA==2，∠OBA=

由正弦定理得，解得2R=4，即||的最大值为4 故选A

8．（2016•合肥二模）点G为△ABC的重心，设=，=，则

=（A．﹣B．C．﹣2D．【解答】解：由题意知，+=，即+=，故=﹣2=﹣2，故选C．）

9．（2016•眉山模拟）如图，在△OAB中，点P在边AB上，且AP：PB=3：2．则

=（）

A．B．C．，D．

【解答】解：∵AP：PB=3：2，∴又∴===+，=，+

故选：B．

10．（2016春•东营校级期中）点O是△ABC所在平面上一点，且满足

+

+

=，则点O为△ABC的（）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【解答】解：作BD∥OC，CD∥OB，连结OD，OD与BC相交于G，则BG=CG，（平行四边形对角线互相平分），∴又∵∴++=﹣=+，=，可得：+

=﹣，∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理：BO，CO的延长线也为△ABC的中线． ∴O为三角形ABC的重心．

故选：C．

11．（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，已知，则

=（）

A．B．=，得+，=3（C．）D．

【解答】解：∵∴由已知化简=故选：C

12．（2016•衡水模拟）如图，在△ABC中，为（），P是BN上的一点，若，则实数m的值

A．B．C．1 D．3 【解答】解：∵∴设=λ，（λ＞0）得且==

+

，∴m=故选：A，解之得λ=8，m=

13．（2016•焦作二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（1，2），﹣∥，则x=（）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1 【解答】解：由=（1，2），﹣

=（3，1），得

=（3，1），=（x，3），若（2+）=（1，2）﹣（3，1）=（﹣2，1），则，∴2+=（2，4）+（﹣4，2）=（﹣2，6），又（2+）∥，∴6x+6=0，得x=﹣1． 故选：D．

14．（2016•嘉峪关校级模拟）已知向量A．B．C．D．

；，；

； ；

=

；

；

为非零向量，则

夹角为（）

【解答】解：∴∴∴∴∴∴夹角为．

故选：B．

15．（2016•南昌校级模拟）△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则的取值范围是（）

A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]

【解答】解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴∴=•=[+﹣+]•

=

+

（0≤λ≤1）．

=2×1×cos120°=﹣1．

=﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ =﹣7λ+2． ∵0≤λ≤1，∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]． ∴•的取值范围是[﹣5，2]．

故选：D．

16．（2016•潮南区模拟）已知平面向量与的夹角为A．1 B．C．3 D．2 2，且||=1，|+2|=2，则||=（）

【解答】解：由已知，|+2|=12，即故选D．

17．（2016•西宁校级模拟）已知||=1，||=A．B．C．D． ；，所以||+4||||×+4=12，所以||=2；

2，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角为（）

【解答】解：∵；

∴∴∴向量与的夹角为故选B． ； ． ；

巩固与练习：

1．（2011•丰台区一模）已知平面向量，的夹角为60°，||=4，||=3，则|+|等于（）A．37 B． C．13 D．

【解答】解：由题意得 •=||•||cos60°=4×3×=6，∴||==

=

=，故选B．

2．（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，已知，则

=（）

A． B．=，得+，=3（C．）

D．

【解答】解：∵∴由已知化简=故选：C

3．（2016春•成都校级月考）如图，在△ABC中，线段BE，CF交于点P，设向量，则向量可以表示为（），A． B． C．

D．

【解答】解：因为F，P，C三点共线，∴存在实数λ，使由已知同理，=，所以=，，∴解得

所以故选C．

；

4．（2016•抚顺一模）已知向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，则向量与向量的夹角θ的值为（）A． B． C． D．

【解答】解：向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，∴﹣2+•=4，即16﹣2×9+4×3×cosθ=4，解得cosθ=； 又θ∈[0，π]，∴θ=；

即向量与向量的夹角θ的值为．

故选：B．

5．（2015春•临沂期末）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，则下列结论正确的是（）

A．+=B．﹣=C．

+

=

D．

﹣

=

【解答】解：由已知及图形得到，故A错误；

；故B错误；

；故C 正确；

故D 错误；

故选C．

6．（2015•娄星区模拟）如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么=（）

A．B．

C．

D．

【解答】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴==，∵=，∵，∴=

． 故选D．

7．（2016•湖南模拟）已知，，点C在AB上，∠AOC=30°．则向量

等于（A．B．C．

D．

【解答】解：过点c做CE∥OA CF∥OB 设OC长度为a 有△CEB∽△AFC ∴（1）

∵∠AOC=30° 则CF==OE OF=CE=）

∴BE=2﹣AF=2﹣

=OB，代入（1）中化简整理可解：a=OF=∴故选B．

==OA

OE=8．（2016•重庆校级模拟）若||=2，||=4且（+）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．﹣

【解答】解：设与的夹角是θ． ∵||=2，||=4且（+）⊥，∴（+）•=∴cosθ=．

． =2+2×4cosθ=0，2∵θ∈[0，π]，∴故选：A．

9．（2015春•昆明校级期中）如图，点M是△ABC的重心，则为（）

A．B．4C．4D．4

【解答】解：设AB的中点为F ∵点M是△ABC的重心 ∴故为C

10．（2015秋•厦门校级期中）已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且D的四等分点，则（）

=2，点F是BD上靠近

．

A．=﹣﹣B．=﹣ C．=﹣D．=﹣

﹣

【解答】解：∵=2，点F是BD上靠近D的四等分点，∴=，=，∴==+，∵，∴=+

=﹣．

故选：C．

11．（2015•厦门校级模拟）如图，，，若m=，那么n=（A．B．C．D． 【解答】解：∵，故C为线段AB的中点，故==2，∴=，由，∴，∴=，∵M，P，N三点共线，故=1，当m=时，n=，故选：C）

12．（2016•嘉兴一模）如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则

=（）

A．1 B．2 C．t D．2t 【解答】解：连结BC，CD．则AD⊥CD，AB⊥BC． ∴=AB×AC×cos∠BAC=AB=t+1． =AD×AC×cos∠CAD=AD=t+2．

∵∴•=，=

=1． 22故选：A．

第二篇：专题4平面向量与不等式结合

专题4平面向量与不等式结合考点动向：向量与不等式的交汇是当今高考命题的一个热点.自从新教材实施以来，在高考中，不时考查平面向量与不等式有关知识的结合。这些题实际上是以向量为载体考查不等式的知识，解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为不等式的问题，转化时不要把向量与实数搞混淆，一般来说向量与不等式结合的题目难度不大。

向量与不等式结合，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查。这类题目常常包括向量与不等式的性质、均值不等式、解不等式、求值包括（求最大值、最小值）的交汇等几个方面.可以预测到，明年仍至今后的高考中，还会继续出现向量与不等式结合的题目。

方法范例

例

1、（2005年，上海卷）已知函数f(x)kxb的图象与x,y轴分别相交于点A、B，函数g(x)x2x6。22（,分别是与x,y轴正半轴同方向的单位向量）

（1）求k,b的值；（2）当x满足f(x)g(x)时，求函数g(x)1的最小值。f(x)

[解析]（1）通过交点坐标求出向量的坐标表示，列方程组，求k,b的值；（2）先由f(x)g(x), 得 2x4,再对1g(x)15，然后利用进行化简，得x2x2f(x)

不等式ab2ab求函数的最值.bbb2[答案]（1）由已知得A(,0),B(0,b),则{,b}，于是 k,kkb2k1.b

2（2）由f(x)g(x),得x2x2x6, 即(x2)(x4)0,得2x4,g(x)1g(x)1x2x513，x25, 由于x20,则f(x)f(x)x2x2

其中等号当且仅当x+2=1，即x=－1时成立，∴g(x)1时的最小值是－3.f(x)

例

2、（2005年·黄岗模拟）已知二次函数f(x)对任意xR，都有f(1x)f(1x)成立，设向量a(sinx,2)，b(2sinx,)，c(cos2x,1)，d(1,2)，当x[0,]时，求不等式f(ab)f(cd)的解集.[解析] 二次函数图象开口方向不确定，要分类讨论.由f(1x)f(1x)，知二次函1

2数f(x)关于直线x＝1对称.先求出向量数量积ab与cd，[答案]二次函数图象开口方向不确定，要分类讨论.由f(1x)f(1x)，知二次函数

f(x)关于直线x＝1对称.当二次项系数A＞0时，f(x)在[1,)上递增，当A＜0时，f(x)在[1,)上递减.因为ab(sinx,2)(2sinx,)＝2sin2x1≥1，cd(cos2x,1)(1,2)＝

cos2x2≥1，所以

当A＞0时，由f(ab)f(cd)，得2sinx1＞cos2x2，即cos2x0，又因为0≤x≤，所以



3＜x＜； 4

4当A＜0时，由f(ab)f(cd)，得2sinx1＜cos2x2，即cos2x0，又因为0≤x≤，所以0≤x＜

3

或＜x≤.44

3＜x＜｝；443

当二次函数f(x)二次项系数A＜0时，不等式的解集｛x∣0≤x＜或＜x≤｝.44



例

3、（2005年，浙江卷）已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－

综上所述，当二次函数f(x)二次项系数A＞0时，不等式的解集｛x∣



e|，则（）.(A)a⊥e，(B)a⊥(a－e)，(C)e⊥(a－e)，(D)(a＋e)⊥(a－e).

[解析] 对|a－te|≥|a－e|进行平方，化成关于t的二次不等式，利用二次函数性质，

得0恒成立，从而得ac1.

[答案]解：对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，故两边平方得

222a2tacta2ac1,

即：t2tac2tac10.又上式对任意t∈R，恒成立，即有：0恒成立.2

2即=4（ac）（42ac1）（4ac1）0.

故当ac1时，上式成立，本题应选（C）.[规律小结]

（1）平面向量与不等式结合的问题，经常以向量为载体考查不等式的知识，解题的关键是利用向量的知识将问题转化为不等式的问题：解不等式，求最大值（最小值），转化时不要把向量与实数搞混淆。

（2）向量与不等式的结合，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，这类问题的解决思路通常是将向量的数量积的运算与模用坐标运算后，转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式求解，基中涉及到的有关向量的知识有：①向量的坐标表示及加法、减法、数乘向量；②向量的数量积；③向量平行、垂直

的充要条件；④向量的模、夹角；⑤abab；若a(x1,y1),b (x2,y2)，有

(x1x2y1y2)2(x12x22)(y12y22)；⑥向量不等式：aabab|，

||a||b|||ab||a||b|.（3）可能涉及不等式的内容有：

①解分式不等式fxaa0的一般解题思路：移项通分，分子分母分解因式，x的gx系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回.②含有两个绝对值的不等式：一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化

③解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集.④利用重要不等式ab2ab 以及变式ab()等求函数的最值时，务必注

意a，bR（或a，b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a＋b其中之一应是定值(一正二定三等).(根据目标不等式左右的运算结构选22

2用)a、b、cR，abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）



⑥比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法.⑦含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；

a、b异号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.⑧不等式的恒成立,能成立等问题

1).恒成立问题：若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上

fxminA；若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB.2).能成立问题：若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,即fxA在区间

D上能成立 ,则等价于在区间D上fxmaxA；若在区间D上存在实数x使不等式

fxB成立,即fxB在区间D上能成立 ,则等价于在区间D上的fxminB.考点误区分析：



（1）对于||a||b|||ab||a||b|，要注意：

 b同向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|； ①a、 b反向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|； ②a、

b不共线||a||b|||ab||a||b|.(这些和实数集中类似)③a、（2）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.（3）有些取值范围、最值问题，虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。考生经常没想到而陷入困境.（4）注意对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径，“配方、函数单调性等”对放缩的影响.同步训练：

x2y

21的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当

1、（2000年，全国卷）椭圆9

4∠F1P F2为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。

2、（2005年，江苏卷）在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则



OA（OBOC）的最小值是.3、已知向量a＝（2，2），向量b与a的夹角为，且ab＝－2.osA，2cos2（1）求向量b；（2）若t＝（1，0）且bt，c＝（c

C），其中A、C是ABC

2的内角，若三角形的三个内角依次成等差数列，试求bc的取值范围.224、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)+(y-4)=4上的一动点，求PAPB的2

2最大值和最小值.

5、若a(cos,sin),b(cos,sin)，且k(k0,kR)

（1）试用k表示；



（2）求的最小值，并求出此时a与b的夹角的大小.[参考答案]

1、[解析]解决与角有关的一类问题，总可以从平面向量数量积入手，通过坐标运算列出不等式。F1（－,0）F2（,0）,设P（3cos,2sin），F1PF2为钝角



2－5＋∴

PF =9cosPF（3cos,2sin)3cos,2sin)12

4sin=5 cos－1<0，解得：

5cos∴点P横坐标的取值范围是5

5（

335,）

2图

[答案]（

353）,55



2、[解析]如图设|OA|x,则|OM|2x，（0x2）M为BC的中点，OBOC2OM，OA（OBOC）OA2OM2（x2x）cos180

22x24x（2x1）2（0x2）, 当x1时，取最小值2.[答案]-2.3、[解析]（1）设b＝（x,y），由ab＝－2，得2x2y＝－2，即xy＝－1① 因为向量b与a的夹角为，a＝2222＝22，所以b＝

2ab

＝＝1，因此x2y2＝1.② 2acos22

42

x1,x0,或.所以b＝（－1，0）或b＝（0，－1）.y1y0

联立①、②，解得

（2）根据题意，得B＝

2，A+C＝，由于t＝（1，0）且bt，故b＝（0，－1），3

2b+c＝（cosA，cosC），bc＝cosA+cosC

＝1+

1112

(cos2Acos2C)+1+cos2Acos2A＝1+cos(2A)，22323

因为0＜A＜

25

1，所以＜2A+＜，－1≤cos(2A)＜，333233

.,因此，bc,，bc2422

[答案]（1）b＝（－1，0）或b＝（0，－1）；

15

25

25 ,（2）

22



4、[分析]利用向量把问题转化为求向量OP的最

值。设已知圆的圆心为C，由已知可得

：



OA{1,0},OB{1,0}，OAOB0, OAOB1，由中点公式得222PAPB2PO，所以PAPB(PAPB)2PAPB

2 =(2PO)2(OAOP)(OBOP)

222

=4PO2OAOB2OP2OP(OAOB)=2OP2，又因为OC{3,4} 点P

在圆(x-3)+(y-4)=4上, 所以OC5,CP2,且OPOCCP，所以



OCCPOPOCCPOCCP，即3OP7

2222

2故20PAPB2OP2100，所以PAPB的最大值为100，最小值为20.[答案] 最大值为100，最小值为20.

5、[解析]（1）∵a(cos,sin),b(cos,sin)，∴1，22

又∵k(kab)3(akb)

整理，得

(k)(k0).4k

11111

(k)(k0)，∴(k)，取“=”当且仅当k=14k4k211，∴cos22

（2）由（1）知

时，当k=1时，

1

∵又0，∴，因此当且仅当k=1时，取最小值，此时，a与b的夹

角为

 3

11（2）.(k)(k0)；4k3

[答案]（1）

第三篇：平面图形镶嵌问题

“平面图形镶嵌问题”教学案例分析

一、设计背景

本节课问题的实际背景是日常生活中的铺地砖问题。教材背景是学生刚学完的正多边形知识。教学的主题是把日常生活中的铺地砖问题抽象为数学中的平面图形的完全镶嵌问题。本节课设计的理论支撑点是建构主义的学习理论，这种理论认为学生的学习不是被动的接受，而是一种主动的探究与建构，认为各个个体对知识的理解随个人的经验、经历的不同而不同。根据这一理论，教师在教学设计中充分考虑到学生的差异，设计了开放性的问题，教学中采用合作学习的方式。

二、实施过程

本节课的教学目标是：通过对平面图形镶嵌问题的探究与解决（当然不一定能完全解决）的过程，加深对正多边形的有关概念、性质的理解；了解数学知识在实际生产生活中的应用，培养学生应用数学解决实问题的意识和能力；优化思维品质，培养学生发散性思维能力及由特殊到一般的归纳能力；通过合作学习，培养学生团结协作的团队精神。

在上课的前两天，教师布置给学生一个任务，用纸片做一些正多边形的图片，说是上课要用，学生们都不知道教师葫芦里到底卖的什么药。但因为这个班级每周都有一节数学研究性学习课，同学们都很喜欢这种课，在这种课上，大家可以充分展开想象的翅膀，展现自己的才能。所以，各个学习小组的同学都相互合作，完成了老师布置的任务。

上课开始了，教师问学生： “ 大家见过自己家里地上铺的地砖及马路上人行道上铺的地砖吧？都是什么形状的啊？ ” 这是一个学生非常熟悉的问题，同学们纷纷回答，有的是正方形的，有的是正六边形的。教师接着追问： “ 那么，我们能否用其它正多边形来铺地面呢？要求没有空隙。这就是今天我们要研究的平面图形镶嵌问题。比如用正五边形，大家看行吗？于是同学们分成小组，动手实践，用事先剪好的正五边形纸片进行试验，马上发现不行。教师又问，用正五边形不行，用正八边形行吗？学生通过实践发现也不行。教师问学生，那么我们今天要研究的平面图形镶嵌问题，应该研究什么问题啊？经过思考，一位学生说： “ 我们应该研究用什么样的正多边形可以完成平面的镶嵌而不留空隙。” 另一位学生接着说： “ 我们还应该研究用两种以上的正多边形能不能完成平面的镶嵌。” 教师对这两位学生进行了表扬，说： “ 我们就是要善于提出问题，好，我们今天就一起来研究这两个问题吧！” 对第一个问题，同学们通过实验，很快就得出了结论，只有正三角形，正方形或正六边形这三种正多边形可以完成平面图形的镶嵌。教师引导学生讨论，为什么只有这三种而没有其它正多边形了。很快地，就有学生回答说，因为要使平面完全镶嵌不留空隙，正多边形的内角度数必须能把 360 整除，符合要求的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形三种。第一个问题解决了，接着同学们动手研究第二个问题，大家用两种不同边数的正多边形的纸片拼接在一起进行组合，拼出了各种各样的图形。其中有的能完全镶嵌，例如用正六边形和正三角形，有的则不能完全镶嵌，留下了一些空隙，例如用正八边形和正方形。教师把它们都挂在黑板上，供全班同学欣赏、评论。

这时，下课时间快到了，教师让学生对这节课进行了总结。并提出了第三个问题让同学们课后去进行实践探究：你能否想出一个用同一种多边形（非正多边形）的地砖铺地面的方案？把你想到的方案画成草图。

三、案例分析 ．本节课通过对几个平面图形的镶嵌问题进行研究，学生加深了对正多边的有关性质的理解。例如对正多边的内角度数的理解提高了一个层次。．由于研究的问题来自学生的日常生活实际，同学们一点也不感到陌生，因此兴致盎然，既提高了学习数学的兴趣和积极性，又初步了解了数学在生产生活中有着广泛的应用。．以问题为主线层层深入，通过对问题的探究解决，学生参与了知识的发生过程，初步改变了学生的学习方式，培养了学生的实践能力和探究精神。

四、对案例的反思 ．本节课应用的是正多边的知识，因此在用哪种正多边形可以完成平面图形的完全镶嵌这一个问题上可以进一步深化，可引导学生用数学的方法来证明只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形能达到目的的正确性，从而进一步培养学生逻辑思维的严谨性。．无空隙这一说法如何用数学语言来叙述？可引导学生归结为如下结论：拼接后各正多边形的顶点及边都是公共顶点与公共边。．学生对本课主题很感兴趣，但教学手段略显单一。是否可以设计多媒体教学课件，在演示时会更直观。．留给学生课后研究的问题，应该更具有思考性及可探究性，本节课留给学生探索的问题的可操作性及探究性都有点牵强。可否让学生进一步观察，为什么平常用的地砖一般都是正方形的，而贴在墙上的墙砖却是长方形的，这种长方形墙砖的长与宽的比例是多少？为什么这样设计？让学生在探究过程中体验数学美在生活中的应用。

第四篇：平面向量复习题

平面 向 量

向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题，数量为1-2题，均属容易题，但是向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、导数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。近年考纲又新增“平面向量在几何中的应用”试题进一步要求我们具备多角度、多方向地分析，去探索、去发现、去研究、去创新，而不是去做大量的模仿式的解题。一个问题解决后，不能匆匆而过，回顾与反思是非常有必要的，以充分发挥每一道题目的价值。除了要重视一题多解外，更要重视一题多变，主动探索：条件和结论换一种说法如何？变换一个条件如何？反过来又会怎么样？等等。只有这样才能做到举一反三，以不变应万变。

一、高考考纲要求

1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．

2．掌握向量的加法与减法．

3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．

4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．

5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

6．掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式．

二、高考热点分析

在高考试题中，对平面向量的考查主要有三个方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算。其二考查向量坐标表示，向量的线性运算。

其三是和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力。

数学高考命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交互渗透，在知识网络的交汇点设计试题．由于向量具有代数和几何的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项知识的媒介．因此，平面向量与其他知识的结合特别是与解析几何的交汇、融合仍将是高考命题的一大趋势，同时它仍将是近几年高考的热点内容．

附Ⅰ、平面向量知识结构表

1.考查平面向量的基本概念和运算律

1此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。1．(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

（）

2．(江西卷)已知向量

A．30°

(1,2),(2,4),||

B．60°,若()

C．120°,则与的夹角为

2（）

D．150°

3．(重庆卷)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则

A．

与的夹角为（）

444

4B．arccos C．arccos()D．－arccos()

2555

5

4．(浙江卷)已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则

arccos



（）

A．a⊥e B．a⊥(a－e)



C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)

．(上海卷)在△ABC中，若C90，ACBC4，则BABC 2.考查向量的坐标运算

1．(湖北卷)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超过5，则k的取值范围是

A．[－4，6]

2．(重庆卷)设向量a=（－1，2），b=（2，－1），则（a·b）（a+b）等于

A．（1，1）

B．（－4，－4）

C．－4

D．（－2，－2）

()

（）

B．[－6，4]

C．[－6，2]

D．[－2，6]

（）



3．(浙江卷)已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是

A．{2，3}

B．{－1，6}

C．{2}

D．{6}

例4．(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则OC=。



5．(全国卷)已知向量OA(k,12),OB(4,5),OC(k,10)，且A、B、C三点共线，则k=.6．(湖北卷)已知向量a7．(广东卷)已知向量a

(2,2),b(5,k).若|ab|不超过5，则k的取值范围是

(2,3),b(x,6),且a//b,则x.3.平面向量在平面几何中的应用



ABAC

),[0,),则1.O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(|AB||AC|

P的轨迹一定通过△ABC

A．外心的（）B．内心

C．重心

D．垂心



2．（辽宁卷）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A,C），则AP等于（）

A．(ABAD),(0,1)

B.(ABBC),(0,C.(ABAD),(0,1)

D.(ABBC),(0,

3．已知有公共端点的向量a，b不共线，|a|＝1，|b|=2,则与向量a，b的夹角平分线平行的单位向量是.

4．已知直角坐标系内有三个定点A(2,1)、B(0,10)、C(8,0)，若动点P满足：OPOAt(ABAC),tR，则点P的轨迹方程。

4.平面向量与三角函数、函数等知识的结合当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：

①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.1．(江西卷)已知向量(2cos

xxxx,tan()),(2sin(),tan()),令f(x).224242

4求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.2．(山东卷)已知向量



m(cos,sin)

和

n

sin,cos,,2

，且

mn求



cos的值.28

3．(上海卷)已知函数

f(x)kxb的图象与x,y轴分别相交于点

A、B，22（,分别是与x,y轴正半

轴同方向的单位向量），函数g(x)

x2x6.f(x)g(x)时，求函数

（1）求k,b的值；（2）当x满足

g(x)

1的最小值.f(x)

【反思】这类问题主要是以平面向量的模、数量积、夹角等公式和相互知识为纽带，促成与不等式知识的相互迁移，有效地考查平面向量有关知识、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用及综合解题能力。

5.平面向量与解析几何的交汇与融合由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。

平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：

1、运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题

运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问

题要简捷的多。

2、运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题

运用向量的数量积，可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果。

3、运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。

1．(江西卷)以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA||PB|k，则动点P的轨迹为双曲线；



(),则动点P的轨迹为椭圆； 2

②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若③方程2x

5x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

x2y2x2

1与椭圆y21有相同的焦点.④双曲线

25935

其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）



2．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1),B(1,3)，若点C满足OC0AOB，其中,R，且

1，则点C的轨迹方程为()

A.C.3x2y110B.(x1)2(y2)25 2xy0D.x2y50

2．已知平面上一个定点C（－1，0）和一条定直线l：x＝－4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，

（PQ＋2PC）（PQ－2PC）＝0.（1）求点P的轨迹方程；



PC的取值范围．（2）求PQ·

第五篇：平面向量共线问题的深入研究

库尔勒市实验中学高一数学组编写人：史蕾

平面向量共线问题的深入研究

【学习目标】

1、掌握三点共线的证明方法。

2、两向量共线时，能根据题意选择合适的方法解决问题。

【前置研究】

1探究

一、假设A（1,5），B（，4），C（0,3），你能想出几种方法能证明它们三2

点共线？哪种方法最简便？

探究

二、只读题，不做题。看看下面两题三问各有几种方法解答。

1、已知a=(1,2),b=(-3,2),① 当k为何值时，ka+b与a-3b平行？

②平行时它们是同向还是反向？

2、已知a=(3,2-m)与b=(m,-m)平行，求m的值。

【我的例题】请根据以上两个探究的发现，自拟一道类似的题目并解答。