八年级数学上册173勾股定理一个独特的几何证明素材冀教版

第一篇：八年级数学上册173勾股定理一个独特的几何证明素材冀教版

一个独特的几何证明

勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．这是平面几何中的一个十分重要的定理，国外称为毕达哥拉斯(约公元前580——500年)定理．可是，据我国古算书《周髀算经》记载，在公元前十一世纪的周朝初年，商高就讲过“勾广三，股修

四、径隅五”．这是我国关于勾股定理的最早陈述，比毕达哥拉斯学派发现勾股定理早了五百多年，不过没有给出证明．到了公元三世纪的三国时期，吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》时，写了一篇《勾股园方图注》，并附了一幅“弦图”(如下图)对勾股定理作出了严格而又简捷的证明：

以勾股为边的长方形可视为被对角线等分成两个直角三角形之和，三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”，四个这样的长方形合成了一个正方形，其面积称为“弦实”，中间突出的小正方形涂上黄色，其面积称为“黄实”，显然这个小正方的边长等于勾、股之差，因为“弦实”等于四个“朱实”与中间“黄实”的和，于是

弦=4212(勾股）（股勾）勾22股

2这个证明不但是勾股定理的最早证明（比国外最先用类似方法来证明的印度数学家婆什迦罗要早900年)，而且也是有史以来勾股定理的四百多种证明中最独特、最巧妙的一个． 应该指出，赵爽证明勾股定理的思想，是把平面几何问题归结为研究平面图形的面积，通过对平面图形面积的代数运算而完成对几何问题的证明．这种几何问题代数化的思想是我国古代数学的一大特点．与古希腊几何学偏重于概念间的逻辑关系，把形与数割裂开来，是完全不同的风格．

还应提到的是，与赵爽大约同时的刘徽，对勾股定理也给出了一个证明，其基本思想是利用平面图形的面积，巧妙地加以移、合、拼、补之后，甚至无须代数运算，而勾、股、弦之间的关系便可一目了然．刘徽把这种方法概括成一个基本原理，称为“出入相补原理”．这个原理是说：一个平面图形从一处移置到另一处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原图形的面积，“出入相补原理”在我国古代几何理论中占有很重要的地位．

第二篇：八年级数学-勾股定理的证明及拓展

八年级数学

勾股定理的证明及其延伸

1.说明

勾股定理是数学中一个重要知识。虽然在教材章节内容中所占篇幅不多，在考试中也往往不会作为一个独立知识点进行命题，但其实其内容及方法常常包含在其他各类题目中，是问题解答过程中一个很重要的手段。所以学生对勾股定理要能够十分熟练地进行使用。本文对勾股定理进行证明及拓展，以使学生对其进行深刻理解。

2.勾股定理的证明

命题：在直角三角形中，a、b为直角边长，c为斜边边长，则有abc。勾股定理一个最简单的证明方法是使用图形证明法。如下图，我们使用4个同样大小的红色直角三角形（a、b为直角边长，c为斜边边长）拼出2个图形： 22

2图1和图2这两个蓝色正方形的面积是相等的（它们的边长都是a+b），而4个红色直角三角形的面积也是相等的，所以2个图形中白色部分的面积也应该相等（都等于蓝色正方

形面积减去4个红色三角形的面积）。而左边图形中白色部分的面积是ab，右边图形中白色部分的面积是c，所以abc。

222222

3.圆与三角形

在讨论勾股定理的延伸之前，我们先来看圆与三角形的关系。

如图3，以BC为直径做圆，圆心为BC的中点O。在圆上任取一点A，则三角形ABC为直角三角形，其中∠A=90°。

如图4，同样做圆。如果A点在圆外，则∠A为锐角。可以这样来证明：连接AO，和圆交与点D。容易得到∠BAC<∠BDC，而∠BDC=90°，故∠A<90°。

如图5，同样做圆。如果A点在圆内，则∠A为钝角。可以这样来证明：连接OA，并延长和圆交与点D。容易得到∠BAC>∠BDC，而∠BDC=90°，故∠A>90°。

综合起来，我们可以得到如下命题：

命题：在三角形ABC中，以BC为直径、BC的中心点为圆心做圆，如果A在圆上，则∠A=90°；如果A在圆外，则∠A<90°；如果A在圆内，则∠A>90°。

注意，这个命题的逆命题也是成立的，即：

命题：在三角形ABC中，以BC为直径、BC的中心点为圆心做圆，如果∠A=90°，则A在圆上；如果∠A<90°，则A在圆外；如果∠A>90°，则A在圆内。

这个逆命题可以利用上面几副图用反证法很容易证得。

4.勾股定理的延伸

现在，我们对勾股定理进行延伸，如下：

命题：在三角形中，a、b、c为其3条边长，其中c为最长边（c≥a、c≥b），如果三角形为直角三角形，则abc；如果三角形为锐角三角形，则abc；如果三角形为钝角三角形，则abc。

请注意上面“c为最长边（c≥a、c≥b）”的条件限定。如果c不是最长边，那么必然是abc，这就不存在任何讨论的必要了。

下面我们来证明这一命题。对于直角三角形的情况，那就是勾股定理，前面我们已经证明了。现在只要证明锐角和钝角三角形的情况。

见下图，仍然如上一节那样，去最长边c为直径做圆（设这条边为BC），那么直径所对应的∠A也会是三角形ABC中最大的角（大角对大边）。

222222222222从上节的讨论中，如果是锐角三角形，A必然在圆外，如图6所示。从A点做直径BC的垂线，交圆于D点。显然AB>BD、AC>DC，而BDDCBC，所以222AB2AC2BC2。

如果是钝角三角形，A必然在圆内，如图7所示。从A点做直径BC的垂线，反向延长交圆于D点。显然AB

命题：在三角形中，a、b、c为其3条边长，其中c为最长边（c≥a、c≥b），如果222222a2b2c2，则三角形为直角三角形；如果a2b2c2，则三角形为锐角三角形；如果

a2b2c2，则三角形为钝角三角形。

5.勾股定理的增强描述

综合以上的讨论，我们可以对勾股定理进行增强型的表述，如下：

在三角形中，a、b、c为其3条边长，其中c为最长边（c≥a、c≥b），则三角形为直角三角形的充分必要条件是abc；三角形为锐角三角形的充分必要条件是222

a2b2c2；三角形为钝角三角形的充分必要条件是a2b2c2。

第三篇：八年级数学几何证明初步1

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几何证明初步复习学案

（一）单位：马兰初中主备：王慧敏审核：黄丽英

课本内容：P114—12

4课前准备：三角板铅笔

复习目标：

1.识别定义、命题、公理、定理，会区分命题的条件和结论，理解原命题和逆命题的关系。

2.学会综合法证明的格式，会使用反证法。

复习过程：

一、复习提纲

1、八条公理：

2、命题是由_______________和______________两部分组成.。请你举一个真命题的例子：； 一个假命题的例子：。

3、请写出互为逆命题的两个命题：___________________________________________________。

4、几何证明的过程包括①②③

二、典型例题

例1 把下列命题写成“如果A，那么B

同角的余角相等

例

2（1）

（2）

（3）c,那么a=c.例3 在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n6n的值都是负数。于是小明猜想：当n为任意正整数时，n6n的值都是负数。小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由。

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例4 如图，AD⊥BC于D,∠ADE+∠B=90,求证：AB∥DE.A

E

BD

三、有效训练

1、下列命题中，正确的是（）

A 任何数的平方都是整数 B C 内错角都相等D2、下列命题：

①如果ab，则②如果a=b，则ab；③大于直角的角是钝角；④一个角的补

A ①③ BD①③⑤

3F是DC上的一点，G是BC的延长线上一点。

(1)∵∠∥_________()222

2A

EDF

G

B(2)∵∠D=∠DCGC

∴_________∥_________()

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(3)∵∠D+∠DFE=180

∴_________∥_________()

四、课堂总结（总结本章前三节内容，你学到了什么）

五、达标检测

（1）下列说法正确的是（）

A 真命题都可以作为定理B 公理不需要证明

C 定理不一定都要证明D 证明只能根据定义、公理进行

（2）下列定理中，没有逆定理的是（）

A 内错角相等，两直线平行B 直角三角形中，两锐角互余

C 相反数的绝对值相等D 同位角相等，两直线平行

（3）如图，B、A、E三点在同一直线上，请你添加一个条件，使AD∥件是____________________（不允许添加辅助线）

E

AD

B

（4）已知：如图，∠1=∠2DE∥AC

DE

F

六、布置作业

BC(3)求证：两直线平行，内错角相等。

第四篇：八年级数学几何题证明技巧

能达培训学校内部资料

能达学校八年级数学讲义

姓名：日期： 2006-1-2

4辅助线的添加技巧

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。

一、角平分线专题

1．角分线，分两边，对称全等要记全。（牢记，角平分线就是一个对称轴，所以可以将其中的一个△翻转180度，构造全等。也可以应用角分线定理作垂直）基本图形

B

图一

圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。

B图二

C

B图三

C

例题：

1．已知，CE、AD是△ABC的角平分线，∠B＝60°。求证：AC＝AE＋CD。

2．已知，AB＝2AC，∠1＝∠2，DA＝DB。求证：DC⊥AC。

B

图二

图三

3．已知，四边形ABCD中，ABCD，∠1＝∠2，∠3＝∠4。求证：BC＝AB＋CD。

4．已知，在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB＝2AC。求证：

（1）∠C＝90°；（2）AE=2CE。

B

图五

5．已知，在RT△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线。求证：BC＝AB＋AD。

6．已知，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠A。求证：AB－AC＝CD。

注意：只要看到平分线上的点，要想到向两边作垂线了（点分线，垂两边）

7．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2。求证：BC＝AB＋AD。

图八

8．已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC

9．已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CE⊥AB，AE＝

2（AB＋AD）。

图十

求证：∠D＋∠B＝180°。

10．已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC。

图十一

2．角平分线＋垂线，角平分线＋平行线，等腰三角形要呈现，线段和差倍分都实现。

G

图

1图2-1

图2-2

例题

1． 已知，∠1＝∠2，AB

＞AC，CD⊥AD于D，H是BC求证：DH＝12

（AB－AC）。

2． 已知，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BE。求证：BD＝2CE。

图2

3． 已知，∠1＝∠2，CF⊥AE于E，BE⊥AE于E，G为BC中点，连接GE、GF。求证：GF＝GE。

图3

第五篇：八年级数学下册 几何证明初步知识点

第十一章 几何证明初步知识点整理

1.定义：用来说明一个名词含义的语句叫做定义.2.命题：对事情进行判断的语句叫做命题.每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.一般地,命题可以写成“如果„„,那么„„”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题:(1)你喜欢数学吗?(2)作线段AB=CD.⑶清新的空气；⑷不许讲话。3.正确的命题称为真命题,不正确的的命题称为假命题.4.反例：要指出一个命题是假命题，只要能举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了。这种例子称为反例。

5.公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据。这些公认为正确的命题叫做公理。

证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.定理:经过证明的真命题称为定理.本套教材以下列基本事实作为公理： 1.两点确定一条直线。

2.过直线外一点可以作且只能作一条直线与已知直线平行。3.两直线平行,同位角相等。

4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。5.判断三角形全等的方法：SAS ASA SSS。6.全等三角形的对应角相等，对应边相等。

7.在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”.判断：

所有的命题都是公理。所有的真命题都是定理。所有的定理是真命题。所有的公理是真命题。

6.在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。Eg:(1)两条直线平行，内错角相等．

(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(4)全等三角形的对应角相等．

注意: 一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题.如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来定理的逆定理！（勾股定理和它的逆定理）

7.三角形内角和定理：三角形三个角的内角和等于180° 推论一：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。推论二：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。8.直角三角形的两个锐角互余。有两角互余的三角形是直角三角形。三角形的外角和等于360°。

9.反证法：先提出与命题的结论相反的假设,推出矛盾,从而证明命题成立.这种证明的方法叫做反证法.反证法的步骤：否定结论—推出矛盾—肯定结论 Eg:

1、“a＜b”的反面应是（）（A）a≠＞b（B）a ＞b（C）a=b（D）a=b或a ＞b

2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？ ___________________________________

3、写出下列各结论的反面：

（1）a//b（2）a≥0（3）b是正数（4）a⊥b(5)至多有一个（6）至少有一个 常用的互为否定的表述方式：

都是——不都是；大于——不大于；至少有一个——一个也没有；至少有三个——至多有两个；至少有n个——至多有(n-1)个；至多有一个——至少有两个