数学师范生毕业论文--浅析新课改下初高中数学衔接问题

第一篇：数学师范生毕业论文--浅析新课改下初高中数学衔接问题

浅析新课改下初高中数学衔接问题

内容提要 初高中衔接是历年来受到高度重视的问题，也是学生进入高中面临的第一个难题。不少初中毕业生以较高的数学成绩升入高中后，因为不适应高中数学教学，导致数学不及格，少数学生甚至对学习失去了信心。在新课改后，初高中的衔接问题就显得更为突出。这就要求我们要重新认识学生，分析在新课标下学生出现的初高中数学衔接上问题，针对这些问题改变教师的教学内容与方法，同时对学生的学习习惯、思维习惯进行引导，从而平稳的度过衔接期。为此，本文对初高中数学衔接问题出现的可能原因及应对方法进行了一些浅薄的探究。

关键词 初高中衔接 高中数学教育 新课程改革

the Connected Problems of Mathematics

Abstract The connection between the junior high school and the senior high school is always a problem that the public had given a lot attention to.At the same time, it is also the first puzzle for the new high school students.Students passed the senior entrance examination with a comparable higher math mark, however, because of the maladjustment of the senior math teaching ways, some of them will flunk in their first year, what’s more worse is few of them will lose their learning confidence.After the reformation of the curriculum, the connection became more serious.Under these surroundings, it is required as a teacher that we must understand those students, and analyse the connected problems.Then according to the analysis, we should adapt and adjust the contents and the ways of our teaching.More importantly, giving guidance to those students in learning and thinking habits or modes is also a good way to help them get though this hard connection period smoothly.Based on this logic, this article is going to discover and deplore the possible causes and the practical solutions to the transaction problems between the junior to senior high school.Key words Transaction High school math education New curriculum reform

目录 新课改后衔接问题分析...............................................4

1.1新课改后初高中数学知识的衔接问题................................4

1.2学习习惯、思维习惯、教学方式的衔接问题..........................4

1.3学生心理的衔接问题..............................................5 2初高中数学衔接的方法与策略..........................................5

2.1教材内容的衔接策略..............................................5

2.2学习习惯、思维习惯、教学方式的衔接策略..........................7

2.2.1改进学法、培养良好的学习习惯...............................7

2.2.2 数学思维方法的训练........................................7

2.2.3注重45分钟的课堂效率.......................................16

2.3学生心理的衔接策略..............................................16

2.3.1情感投入...................................................16

2.3.2创新与成功的体验...........................................17

2.3.3训练要高质适度.............................................17

2.3.4教学评价需要科学性与客观性.................................17 3总结................................................................17 参考文献.............................................................17 致谢.................................................................18

新课程下初高中数学衔接问题

很多学生在高一的时候常常感叹，高中数学实在太难了。初中数学成绩还不错，为什么到了高中下滑的这么厉害？其实初高中数学衔接问题一直是大家关注的重点，而在新课改后，这个问题又有了新的变化。新课改后学生在学习习惯、思维方式、性格特点等方面都有了较大改变。他们具有强烈的表现欲，敢于发表不同的观点，动手能力强，但是运算能力却较弱，书写不规范，有很强的随意性。初中升入高中后将面临很多变化，若高一学生不能很快进入高中学习状态，随着学习内容的增多，学生的数学能力也会出现较大的分化。那么到底导致初高中数学衔接难的原因是什么？ 新课改后衔接问题分析

1.1 新课改后初高中数学知识的衔接问题

新课标在义务教育阶段删减了很多内容，而这些内容在高中阶段却有着重要作用。例如乘法公式只有平方差、完全平方公式，没有立方和与立方差公式。多项式相乘仅指一次式相乘。因式分解，只要求提公因式、公式法，导致学生数式化简的能力不够。从而使教师在高中数学的函数、数列、不等式、平面解析几何初步的教学中会感到很吃力，学生也会感到困难重重。在义务教育阶段，新课标对一元一

（二）次方程中含字母系数的方程、可化为一元二次方程的分式方程、无理方程、二元二次方程组、一元二次方程根与系数的关系不作要求，导致学生解方程能力不足，大

大影响学生在高中函数、数列、不等式、圆锥曲线、三角函数等方面的学习。新课标在义务教育阶段，对配方法要求较低，对运算能力要求也比较低，而高中课程标准中，对配方法要求较高，在学习函数的单调性、最值、指数对数运算、圆和圆锥曲线的方程等时，遇到的不仅仅是简单的数字系数的一元二次方程和二次函数的配方法问题，所以对运算能力的要求也比较高。除此之外初中教材坡度较缓，直观性强，对每一个概念都配备了足够的例题和习题。而高一教材第一章就是集合、映射等近世代数知识，紧接着就是幂函数的分类问题。函数单调性的证明又是一个难点，立体几何对空间想象能力的要求又很高。教材概念多、符号多、定义严格，论证要求又高，导致高一新生学习起来相当困难。并且高中数学内容也多，每节课容量远大于初中数学。这都是学生进入高中后数学成绩大幅度的下降的客观原因。1.2 学习习惯、思维能力、教学方式的衔接问题

在新课程改革后学生的应用能力、几何变换能力、合情推理能力都有较大提高，这为学生灵活运用知识，掌握图像变换，以及培养严密的数学思维与推理打下了良好的基础。但同时，学生的作业却缺乏规范，质量不高，运算能力、演绎推理能力较差，这些将影响学生在高中学习分析问题的能力和解答过程的条理性、严密性与完整性。运算能力的减弱也导致学生不敢面对较为复杂的思维过程。而高中数学，正因为有数学思维的灵活性与多样性才造就了数学思维的简洁美与和谐美。新课标在初中教育阶段更注重探索过程以及对证明本身的理解，而不追求证明方法的数量和技巧，不控制证明的格式要求。这样导致了学生对高中很多知识也不求甚解，不太追求思维的逻辑性与严谨性。初中时期数学教师对知识讲解很细，数学题型归类全面，强化学生进行数学习题练习，不注重学生的独立思考。而高中教师在授课时强调的是数学思想和方法，注重举一反三，要求严格的论证和推理。在上课时除了分析书上的知识点外，还要剖析概念的内涵外延，分析重点难点，突出思想方法。这就要求学生在课堂上要积极思考，做好课前预习课后复习。而一部分同学上课时思维不够集中，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题却越来越多，下课后又没有对知识及时的进行巩固、总结，寻找知识间的联系，只是忙于赶作业，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背，也有的晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。除此之外，有的学生自我感觉良好，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“ 水平”，好高骛远，重“ 量” 轻“ 质”，陷入题海，到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“ 卡壳”。1.3 学生心理的衔接问题

高中教育不是义务教育，学生都是经过了中考，通过了一定选拔才进入高中学习的。有不少学生在初中是班上的尖子生，进入高中后班上的同学都很优秀，竞争压力增大，初中的荣耀与成绩能否继续保持就要看他是否能很好的进行心理调试。学生成绩好能激发他的学习热情，增强信心，更加喜欢学习，从而形成了良性循环。而数学成绩的大幅度下降也会打击学生的学习热情，丧失了学习数学的自信心，从而产生对数学的厌学情绪，形成恶性循环。在成绩下滑的初期若能很好的进行心理调试，找到自己的定位，及时的总结，改变学习方法，那么经过努力还是会提高的。如果任其发展，不思改进，陷入这个恶性循环中，想要学好数学就会变成幻想。除此之外还有部分学生经历了紧张的中考，进入高中后心态有所放松，认为高考离自己还很遥远，学习不必要那么紧张，因而对数学没有足够的重视。高一教材第一章

前几课时的内容又往往会让学生觉得很简单，更加放松了，导致数学成绩越来越差。同时在初中时有学生就听闻高中数学很难，产生了畏惧心理，看到成绩下降就认为理所当然。这些心态都是不利于高中数学学习的。初高中数学衔接的方法与对策

2.1 教材内容的衔接策略

俗话说：“课本课本，一课之本”，教材是课程设计的具体体现。教师赖以进行教学、学生籍此学习新知，其重要性不言而喻。由于近几年教材内容的调整，初中教材难度降低的幅度较大，而高中教材实际难度没有降低，因此，从一定意义上讲，初高中之间衔接差距不但没有缩小反而拉大了。在对于存在如此多的问题的高一新生的启蒙教学中，每一个知识的教学更应注重新旧联系，了解学生的思维过程，突破新旧知识的衔接点，摒弃学生原有的错觉，提高学生的认知水平，优化学生的认知结构。其实只要教师认真研究初、高中教材，都不难发现初中课本中的许多例习题和考题都为高中的教学理下了很好的伏笔。例如高一数学第一册的第一章集合，初中几何中垂直平分线、角平分线两个点的集合，就为集合的定义给出了几何模型.此外，初中的正、反比例函数、二次函数等基本知识为研究指数函数、一元二次不等式的解法等问题架起了桥梁，解直角三解形则为三角函数的推广提供了依据，正整数指数幂为小数指数幂的引入提供了前提，而初中教材中，二次函数定义的出现，使学生对函数的“变化”有了感性的认识，为高中数学在映射的基础上给出抽象的定义奠定了基础。而平面几何中的“等角定理”不正是立体几何的“空间等角定理”的基础吗？同时平面几何中的“等角定理”又为平面解析几何中求椭圆的轨迹方程提供了现实的模型。初中代数中“想一想”中的钱币组合问题，则为排列组合的引入提供了事实模型。诸如此类的新旧知识衔接不胜枚举，可以说高中数学知识是初中数学知识的延拓和提高，因此，在教学中只要高中教师能深入钻研教材，做到熟悉初中数学教材和课程标准，对初中的数学概念和知识的要求做到心中有数，在高中数学新授课时，就可以用学生己熟悉的知识进行铺垫和引入，以旧引新，由浅入深，循序渐进，必能让学生积极地参与到教学过程中来，顺利地走过“知识坡”，度过内容与教材的适应性难关。下面就以代数的初高中衔接知识点为例谈谈：

关于绝对值。初中的绝对值符号内不含字母，而高中第一章就要求解含字母的绝对值方程x13，并且在以后不等式、函数、方程等含参数问题的学习中也会使用到相关的知识。所以在这里教师应重点强调绝对值的字母表达式：aaa0aa0

关于根式的运算。初中根式的运算（特别是根号内含字母的）比较薄弱，值得一提的是分母（子）有理化已不做要求，但这种变形在判断函数单调性时会用到。如果不加强根式运算，以后求圆锥曲线方程也会受到影响。所以老师在这里应该补充有关根式的概念及运算，特别是分母（子）有理化：一般地，形如aa0的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式。例如a2b2等是无理式，而2x27x,x2等式子称为有理式。把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化。为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念。两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们

就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，2a与a，23与23，等等。一般的，ax与x，axby与axby，axb与axb互为有理化因式。分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ababa0,b0；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。

关于整式的运算。初中乘法公式只有两个（即平方差、完全平方公式）：（1）平方差公式，ababa2b2；（2）完全平方公式，aba22abb2，没有

2立方和（差）和和（差）的立方公式。而高中教材第二章函数的应用第一节就用到了和的立方公式。所以老师在这里应该补充：立方和公式aba2abb2a3b3，立方差公式aba2abb2a3b3，和的立方公式ab3a33a2b3ab2b3，差的立方公式ab3a33a2b3ab2b3。初中多项式相乘仅只一次式相乘，这会影响到今后二项式定理及其相关内容的教学。因为一次式相乘和高次式相乘道理相通，所以教师可利用课余时间给同学们出一些高次式相乘的题目加以练习，最后稍加点评即可。初中因式分解只要求提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式），而十字相乘法、分组分解法新课标不做要求，高中要经常用到这两种方法，需补充，例如高中教材第二章求函数零点就用到分组分解法。

关于方程（组）及不等式。一元一

（二）次方程中含字母系数的方程，初中新课标不做要求。而高中教学中出于对数学思想考察的目的，经常需要解此类方程。而又因为它和高中重点内容二次函数的特殊关系，所以教师应让学生练一练解一元一

（二）次方程，不只是补充字母系数的，还应复习各种数字系数的。可化为一元二次方程的分式方程、无理方程、二元二次方程组，初中都已经不做要求，而用待定系数法求圆的标准方程时就会用到解二元二次方程组。在初中新课标中不要求一元二次方程根的判别式，更没出现根与系数的关系（韦达定理）。今后在教直线与圆锥曲线综合应用时常常用到，在涉及到函数图像交点问题也时常用到，这无疑是一个障碍。三元一次方程组初中新课标不做要求，而高中教材第二章，在用待定系数法求二次函数解析式时，就需要解三元一次方程组，以后求圆的一般方程时也会用到。解一元二次不等式在高中经常需要用到，而初中没做要求。高中新课标教材到了必修 5 不等式一章才作讲解。使得在前 4 册必修中的许多问题，例如求函数的定义域，无法解决，教师需要在必修 1 讲函数前提前讲解。2.2 学习习惯、思维能力、教学方式的衔接策略 2.2.1 改进学法、培养良好的学习习惯

不同学习能力的学生有不同的学法，应尽量学习比较成功的同学的学习方法。改进学法是一个长期性的系统积累过程，一个人不断接受新知识，不断遭遇挫折产

生疑问，不断地总结，才有不断地提高。“ 不会总结的同学，他的能力就不会提高，挫折经验是成功的基石。” 自然界适者生存的生物进化过程便是最好的例证。学习要经常总结规律，目的就是为了更进一步的发展。通过与老师、同学平时的接触交流，逐步总结出一般性的学习步骤，它包括：制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面，简单概括为四个环节（预习、上课、整理、作业）和一个步骤（复习总结）。每一个环节都有较深刻的内容，带有较强的目的性、针对性，要落实到位。在课堂教学中培养听课习惯。听是主要的，听能使注意力集中，把老师讲的关键性部分听懂、听会，听的时候注意思考、分析问题，但是光听不记，或光记不听必然顾此失彼，课堂效益低下，因此应适当地笔记，领会课上老师的主要精神与意图，五官能协调活动是最好的习惯。在课堂、课外练习中培养独立完成作业的习惯。做作业时不但要做得整齐、清洁，培养一种美感，还要有条理，这有利于培养逻辑能力、独立思考和解题正确的责任感。在作业时要提倡效率，应该十分钟完成的作业，不拖到半小时完成，疲疲惫惫的作业习惯使思维松散、精力不集中，这对培养数学能力是有害而无益的。抓数学学习习惯必须从高一年级抓起，无论从年龄增长的心理特征上讲，还是从学习的不同阶段的要求上讲都应该进行学习习惯的指导。2.2.2数学思维能力的训练

数学学科担负着培养运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力以及创新思维能力的重任，它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性与广泛的适用性，对能力的要求较高。数学能力只有在数学思想方法不断地运用中才能培养和提高。而在初中时期对数形结合、函数与方程、化归与转化、分类与讨论这四大思想方法要求不高，甚至没有涉及。在高中的数学学习过程中又着重要求这四大思想方法。所以在教学与学习过程中应注意这些方法的运用，提高数学思维能力。2.2.2.1数形结合

所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合。数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。数形结合思想解决的问题常有以下几种：构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；构建立体几何模型研究代数问题；构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；构建方程模型，求根的个数；研究图形的形状、位置关系、性质等。以数形结合求根的个数为例分析：

已知：（1）函数fx满足下面关系：①fx1fx1；②当x1,1时，fxx2,则方程fxlgx解的个数是（）。

(A)5(B)7(C)9(D)10

（2）设有函数fxax24x和gxfxgx，求实数a的范围。

4x1,已知x4,0时，恒有3思路分析：（1）画出fx的图象→画出ylgx的图象→数出交点个数。

4x1a→画出yx24x的图象→344画出yx1a的图象→寻找x24xx1a成立的位置。

33（2）fxgx变形为x24x解析：（1）选C由题可知，fx是以2为周期，值域为0,1的函数。又fxlgx，则x(0,10]，画出两函数图像，则交点个数即为解的个数。由图像可知共9个交点。

（2）fxgx，即ax24x44x1，变形得x24xx1a，令33yx24x„„„„①，y24x1a„„„„„„② 3①变形得x2y24y0，即表示以2,0为圆心，2为半径的圆的上半圆；

4②表示斜率为，纵截距为1a的平行直线系。设与圆相切的直线为AT，其倾斜角3为，则有tan4,032sin43,cos,554211cos901sin590βΟΑ2tan26 232sin90cos5要使fxgx在x4,0时恒成立，则②成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1a6,a5。

需要注意的是：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数的方法是一种重要的思想方法，其基本思想是先

把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数。（2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答。（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标。2.2.2.2函数与方程

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程，就是求函fx0，就是求函数yfx的零点；解不等式fx0（或fx0）数yfx的正负区间；再如方程fxgx的交点问题，也可以转化为函数yfxgx与x轴交点问题；方程fxa有解，当且公当a属于函数fx的值域。函数与方程的这种相互转化思维方式在高中数学中十分重要。通过以下例题分析高中数学中函数与方程思想的具体体现：

例1：若a、b是正数，且满足abab3，求ab的取值范围。

思路精析：用a表示b→根据b0，求a的范围→把ab看作a的函数→求此函数的值域。

解析：方法一：（看成函数的值域）

abab3,a1, a3a3b,而b0,0a1a1即a1或a3，又a0,a1,故a10。

a3a15a144abaa159

a1a1a12当且仅当a1增函数, 445 是关于a的单调，即a3时取等号。又a3时,a1a1a1ab的取值范围是[9,)。

方法二(看成不等式的解集)a,b为正数, ab2ab,又abab3

ab2ab3 即ab22ab30，解得ab3或ab1（舍去），ab9。

方法三:若设abt,则abt3, a,b可看成方程x2t3xt0的两个正根。

t324t0t1或t9从而有abt30,即t3解得t9,即ab9。

t0abt0注(1)求字母(或式子)的值问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组),然后由方程(组)求得。(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等知识中的重要问题。解决这类问题一般有两条途径，其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组）求解；其二，充分应用题设是的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域。

(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信号，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决。

(4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数,如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决。

x11例2：已知函数fx2cosxcos2cos2x，gxcos2xa1cosxcos3

222yfx 与ygx的图象在0,内至少有一个公共点，试求a的取值范围。

思路分析：化简fx的解析式→令fxgx→分离a→求函数的值域→确定a的范围

解析：fx2cosxcos2x1111cos2xcosxcosx12cos2x12cos2xcosx122222yfxyfx与ygx的图象在0,内至少有一个公共点，即有解，即令

ygxfxgx，cos2xa1cosxcosx32cos2xcosx1

a1cosxcosx11，10

x0,,01cosx2 a1cosx12

1cosx1，即cosx0时等式成立。

1cosx

当且仅当1cosx当a2时，yfx与ygx所组成的方程组在0,内有解，即yfx与ygx的图象至少有一个公共点。

注：（1）本例中把两函数图象至少有一个公共点问题转化为方程有解问题。即把函数问题用方程的思想去解决。

（2）与本例相反的一类问题是已知方程的解的情问题，求参数的取值范围。研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题的，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程；进而利用二次方程解的分布情况构建不等式（组）或构造函数加以解决。

2.2.2.3化归与转化思想

数学中的化归与转化思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。化归与转化的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决。在化归思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决。因此，我们化归的方向应该是由未知到已知，由难到易，由繁到简。在化归与转化的过程中要遵从目标简单化原则、和谐统一性原则、具体化原则、低层次原则、正难则反原则五个原则。而化归与转化的方法主要包括直接转化法、换元法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法、等价问题法、加强命题法、补集法等。以补集法和等价问题法为例分析化归与转化思想。

例1：有9张卡片分别写着数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次从中抽取一张卡片（不放回），试求：

（1）甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率。（2）甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率。思路分析：（1）甲、乙二人依次各抽一张的可能结果→甲抽到含奇数，乙抽到含偶数数字卡片的结果→求概率。

（2）找对立事件→求对立事件概率→求出原事件概率．

11解答：（1）甲、乙二人依次从九张卡片中各抽取一张的可能结果有C9，甲抽到C811写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的结果有C5种，设甲抽到写有C411C5C4205奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率为P1，则P 111C9C87218 11

（2）设甲、乙二人至少抽到一张奇数数字的概率为P2，甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的对立事件为两人均抽到写有偶数数字卡片．设为P2，则11C4C5 P21P21131C9C86注意：一般地，一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，宜从反而考虑，多使用于“至多”“至少”这种情形。例2：已知fx为定义在实数R上的奇函数，且fx在[0,)上是增函数。当02时，是否存在这样的实数m，使fcos23f4m2mcosf0 对所有的0,均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明2理由。

思路分析：由奇偶性及单调性→fx单调性→关于cos的不等式→一元二次不等式恒成立→函数最值→m的范围。

解析：由fx是R上的奇函数可得f00。又在[0,)上是增函数，故fx在R上为增函数。由题设条件可得fcos23f4m2mcos0又由fx为奇函数，可得fcos23f2mcos4m，fx在R上为增函数，cos232mcos4m即cos2mcos2m20。令cost，022,0t1于是问题转化为对一切0t1,不等式t2mt2m20恒

t22成立。而t2mt2，2t21，则m

t2t222t24422，又t2t2m422

所以存在实数m满足题设的条件，m422。

注意：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关，易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思路，常见的有：

（1）在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题

转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式化的“三用”（顺用、逆用、变形用）、角度的转化、函数的转化等。

（2）换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要方法。

（3）在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数，平面几何、解析几何语言进行转化。

（4）在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解。（5）在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值（最值）、切线问题，转化为其导函数f'x构成的方程、不等问题求解。

（6）在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化。（7）实际问题与数学模型之间的转化。2.2.2.4分类与讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如a的定义分a0、a0、a0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q1和q1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax2时分a0、a0、a0三种情况讨论。这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。以①、②两种类型的分类讨论为例分析分类讨论在高中数学中的体现：

例1：设0x1，a0且a1，比较loga1x与loga1x的大小。解析：ox1 01x1，1x1

①当0a1时，loga1x0，loga1x0，所以

loga1xloga1xloga1xloga1xloga1x20



②当a1时，loga1x0，loga1x0，所以loga1xloga1xloga1xloga1xloga1x20 由①、②可知，loga1xloga1x。

注意：本例是由对数函数的概念内涵引发的分类讨论，称为概念分类型。由概念内涵分类的还有很多，如直线的斜率分为：倾斜角90，斜率k存在，倾斜角90，斜率不存在；指数、对数函数：yaxa0且a1与ylogaxa0且a1，可分为a1,0a1两种类型；直线的截距式分：直线过原点时为ykx，不过原点时为xx1等。ab例2：设等比数列an的公比为q，前n项和sn0n1,2,3,。（1）求q的取值范围；

3（2）设bnan2an1,记bn的前n项和为Tn，试比较sn与Tn的大小.2思路分析：要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q1和q1两种情况。解析：（1）由an是等比数列且sn0，可得a1s10,q0，当q1时，snna10；

a11qn1qn当q1时，sn0，即 0n1,2,3，1q1q1q01q0上式等价于①或②n1,2,3, nn1q01q0由①得q1，由②得1q1

q的取值范围是1,00,

333（2）由bnan2an1，得bnanq2q,Tnq2qsn

22231Tnsnsnq2q1snqq2，又sn0,1q0或q0，所以当22

1111q或q2时，Tnsn；当q0或0q2时Tnsn；当q时222Tnsn。

注意：（1）一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理、等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论。

（2）分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的。比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题、差值比较中的正负的讨论；有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等。（3）在构建数学模型解决实际问题的过程中，往往由于实际问题中存在的诸多情况而引起分类讨论，特别在近几年高考中概率的计算有很多题目渗透了分类讨论的思想，解题目时要注意分类的原则是“不重不漏”。2.2.3 注重45分钟的课堂效率

要提高数学能力，当然是通过课堂来提高，要充分利用好这块阵地。那么在这45分钟内我们应该注意以下几个方面。2.2.3.1 教材处理

学习数学的过程是活的，老师教学的对象也是活的，都在随着教学过程的发展而变化，尤其是当老师注重能力教学的时候，教材是反映不出来的。数学能力是随着知识的发生而同时形成的，无论是形成一个概念，掌握一条法则，会做一个习题，都应该从不同的能力角度来培养和提高。通过老师的教学，理解所学内容在教材中的地位，弄清与前后知识的联系等，只有把握住教材，才能掌握学习的主动。2.2.3.2 知识形成

数学的一个概念、定义、公式、法则、定理等都是数学的基础知识，这些知识的形成过程容易被忽视。事实上，这些知识的形成过程正是数学能力的培养过程。一个定理的证明，往往是新知识的发现过程，在掌握知识的过程中，就培养了数学能力的发展。因此，要改变重结论轻过程的教学方法，要把知识形成过程看作是数学能力培养的过程。2.2.3.3 学习节奏

数学课没有一定的速度是无效学习，慢腾腾的学习是训练不出思维速度，训练不出思维的敏捷性，是培养不出数学能力的，这就要求在数学学习中一定要有节奏，这样久而久之，思维的敏捷性和数学能力会逐步提高。2.2.3.4 课堂问题

在数学课堂中，老师一般少不了提问与板演，有时还伴随着问题讨论，因此可以听到许多的信息，这些问题是现场的，对于那些典型问题，带有普遍性的问题都必须及时解决，不能把问题的结症遗留下来，甚至沉淀下来，现场问题及时抓，遗留问题有针对性地补，注重实效。

2.2.3.5课堂练习、练习课、复习课、测试分析课的教学

数学课的课堂练习时间每节课大约占1 / 4-1 / 3，有时超过1 / 3，这是对数学知识记忆、理解、掌握的重要手段，坚持不懈，这既是一种速度训练，又是能力的检测。学生做题是无心的，而教师所寻找的例题是有心的，哪些知识需要补救、巩固、提高，哪些知识、能力需要培养、加强应用。上课应有针对性。

2.2.3.6解题指导

要合理选择简捷运算途径，这不仅是迅速运算的需要，也是运算准确性的需要，运算的步骤越多，繁度就越大，出错的可能性就会增大。因而根据问题的条件和要求合理地选择简捷的运算途径不但是提高运算能力的关键，也是提高其它数学能力的有效途径。

2.3 学生心理的衔接策略 2.3.1情感投入

教学是师生双边活动的过程，是在教师指导下学生培养学习能力和不断发展创新能力的过程.在这个过程中，师生不断进行着情感、知识、思想等交流，通过有计划、有目的、有意识的交流，进行学习信息的传送和反馈。在这些交流中情感交流是基础和起点，学生总是“亲其师，信其道”。教学中教师要注重情感投入，热爱关心学生，想学生之所想，及时给予理解、信任、鼓励，在师生间建立起情感交融的意境。只有这样才能使师生交流畅通无阻，使教学在轻松愉快的氛围中顺利进行。2.3.2 创新与成功的体验

学习的兴趣在于创新，学习的动力在于不断获得成功体验。但是兴趣的形成不可能一蹴而就，也不是一劳永逸的。兴趣能否持久要看学生是否总会得到成功的体验.一、二次的失败影响不大，但多次失败会使学生失去信心。因而在教学中教师要把握好知识的难度与梯度，要使每个学生通过个人努力而获得成功。而每一次成功又会激发他们更大的学习热情。要使学生实现成功的体验须注意两点：一是不要太易成功，二是在失败中帮助学生体验成功。成功需要体验，只有体验到其中的苦与乐，体验到为获取成功而付出的艰辛劳动和获得成功的喜悦，才能使成功变为动力。而太容易的成功则达不到这种意境，就会变得毫无意义。另一方面，学习是曲折的，由于知识、能力各方面的差异，每次都成功是不可能的。这时要注意积极捕捉学生的闪光点，因势利导，帮助他们实现成功的体验，使其劳动得到认同。比如在求二次函数y2x2x-1的值域时，有的同学作如下解答：因为二次函数yax2bxc的对称轴由a、b确定，而左右平移不改变函数的值域，所以y2x2x-1与y2x2-1的值域相同，所以值域为[1,)。这种错误解法让人感到很可笑，但其“左右平移不改变值域”却闪现出思维灵活性与创造性的火花，体现了数形结合的思想和运动的哲学观点。及时抓住这一闪光点，引导学生共同讨论，能很好地解决平移中变与不变的问题及两个函数的关系问题。这样不仅使问题得以解决和延伸，也使同学们认同了他的观点，纠正了其思维编差，同时每个同学也都学到了分析研究问题的方法。从某种意义上看，其效果远比做对该题还要好。2.3.3 训练要高质适度

训练是不可缺少的教学手段，是学生主体作用体现的重要方面。好的训练题可激发学生不断进取，而过多简单、重复的训练，会使学习索然无味，这也是产生厌学的重要因素之一。一个好的教师总是充分注意学生的心理，通过恰当练习促进学生对知识的理解，查找学习的不足，培养学生的进取心和好胜心，调动他们的积极性和创造性，使其自我成就感和成功的体验得以满足。因此在教学中教师要认真对待训练，要精选习题，布置适当思考题，促进教学效果的落实。2.3.4 教学评价需要科学性与客观性

在应试教育下，过分的夸大了考试的功能，学校考核教师看分数，老师家长评价学生看分数，致使学校教育以分数为中心，这显然与教育目的和新世纪教育发展相悖。学校教学的目的是培养学生的自学能力和创造能力，教学不仅是为了学会而是会学。因而考试只是一种手段而不是目的。教学中我们要克服唯分数论，要根据新世纪教育发展的要求，更新观念，要对学生进行评价教育，要采用科学、客观的方法，把能力发展、是否会学习和考试有机结合起来，使教学评价科学化，更具客观性。只有这样才能有利于教学创新，才会保护学生的积极性，促进他们全面发展，使教育步入素质教育的轨道。

3总结

总之，高中与初中的数学衔接应立足于学生的认知基础，和对学生能力的要求，选择与高中知识联系较密切的初中知识和初中删节知识，按照所选内容，内在的关联顺序，及遵循循序渐进的原则，使学生的思维层层展开，逐步深入。指导学生学习方法，培养良好的阅读理解、主动学习和质疑的习惯。力求通过教师的指导，尽快达成学生从初中学生到高中学生的角色转变。同时我们也要知道提高学生数学能力的过程是循序渐进的过程，要防止急躁心理。有的同学贪多求快，囫囵吞枣，有的同学想靠几天冲刺一蹴而就，有的取得一点成绩沾沾自喜，遇到挫折又一蹶不振，针对这些实际问题要有针对性的教学。知识的积累、能力的培养是长期的过程，正如华罗庚先生倡导的“ 由薄到厚” 和“ 由厚到薄” 的学习过程就是这个道理。只要领会了新课程理念的本质，大胆地破旧立新，在学生的个性发展的同时，学生的成绩也会大幅提升。

参考文献：

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第二篇：初高中数学衔接问题初探

初高中数学衔接问题初探

李俊林

摘要:学生由初中升入高中将面临许多变化，受这些变化的影响，许多学生不能尽快适应高中学习，学习成绩大幅度下降，过早地失去学数学的兴趣，甚至打击他们的学习信心。如何搞好初高中数学教学的衔接，帮助学生尽快适应高中数学教学特点和学习特点，度过“难关”，就成为高一数学教学的首要任务。

关键词: 成绩分化;差异;衔接;措施

一、关于初高中数学成绩分化原因的分析

（一）环境与心理的变化

对高一新生来讲，学习环境是全新的，新教材、新同学、新教师、新集体，学生需要有一个由陌生到熟悉的适应过程。另外，考取了高中，有些学生会产生“松口气”的想法，入学后无紧迫感。也有些学生有畏惧心理，他们在入学前就耳闻高中数学很难学，高中数学课一开始也确有些难理解的抽象概念，如集合、充要条件等，使他们从开始就处于被动局面。

（二）教材的变化

首先，初中教材偏重于实数集内的运算，缺少对概念的严格定义或对概念的定义不全，如函数的定义，三角函数的定义就是如此；对不少数学定理没有严格论证，或直接用公理形式给出而回避了证明，比如不等式的许多性质就是这样处理的；教材坡度较缓，直观性强，对每一个概念都配备了足够的例题和习题。高中教材从知识内容上整体数量较初中剧增；在知识的呈现、过程和联系上注重逻辑性，在数学语言在抽象程度上发生了突变，高一教材开始就是集合、函数定义及相关证明、逻辑关系等，概念多而抽象，符号多，定义、定理严格、论证严谨逻辑性强，教材叙述比较严谨、规范，抽象思维明显提高，知识难度加大，且习题类型多，解题技巧灵活多变，计算繁冗复杂，体现了“起点高、难度大、容量多”的特点。另外，初中数学教材中每一新知识的引入往往与学生日常生活实际很贴近，比较形象，并遵循从感性认识上升到理性认识的规律，学生一般都容易理解、接受和掌握。

（三）课时的变化

在初中，由于内容少，题型简单，课时较充足。因此课容量小，进度慢，对重难点内容均有充足时间反复强调，对各类习题的解法，教师有足够的时间进行举例示范，学生也有足够的时间进行巩固。而到高中，由于知识点增多，灵活性加大，自习辅导课减少，课容量增大，进度加快，对重难点内容没有更多的时间强调，对各类题型也不可能讲全讲细以及巩固强化。这也使高一新生开始不适应高中学习而影响成绩的提高。

（四）教学方法的变化

初、高中教学方法上的差异也是高一新生成绩下降的一个重要原因。初中数学教学中重视直观、形象教学，一些重点题目学生可以反复练习，强化学习效果。而高中数学教学则更强调数学思想和方法，注重举一反三，在严格的论证和推理上下工夫。高中数学的课堂教学

往往采用粗线条模式，为学生构建一定的知识框架，讲授一些典型例题，以落实“双基”培养能力。刚进入高中的学生不容易适应这种教学方法．听课时存在思维障碍，难以适应快速的教学推进速度，从而产生学习障碍，影响学习成绩。

（五）学习方法的变化

在初中，教师讲得细，类型归纳得全，练得熟。考试时学生只要记准概念、公式及教师所讲例题类型，一般均可对号入座取得好成绩。因此，学生习惯于围着教师转，不注重独立思考和对规律的归纳总结。到高中，由于内容多时间少，教师不可能把知识应用形式和题型讲全讲细，只能选讲一些具有典型性的题目。因此，高中数学学习要求学生勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思想方法，做到举一反三，触类旁通。然而，刚入学的高一新生往往继续沿用初中学法，致使学习困难增多，完成当天作业都很困难，更别提预习、复习及总结等自我消化自我调整的时间。这显然不利于良好学法的形成和学习质量的提高。

二、搞好初高中衔接所采取的主要措施

高中数学教学中要突出四大能力，即运算能力，空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力。要渗透四大数学思想方法，即数形结合，函数与方程，等价与变换，划分与讨论。这些虽然在初中教学中有所体现，但在高中教学中才能充分反映出来。这些能力、思想方法也正是高考命题的要求。

（一）做好准备工作，为搞好衔接打好基础

1.搞好入学教育

这是搞好衔接的基础工作，也是首要工作。通过入学教育提高学生对初高中衔接重要性的认识，增强紧迫感，消除松懈情绪，初步了解高中数学学习的特点，为其它措施的落实奠定基础。这里主要做好几项工作：一是给学生讲清高一数学在整个中学数学中所占的位置和作用；二是适当在刚开学时用一定时间复习初中数学中比较重要的基础知识、重点题型、重要方法；三是结合实例，采取与初中对比的方法，给学生讲清高中数学内容体系特点和课堂教学特点；四是结合实例给学生讲明初高中数学在学法上存在的本质区别，并向学生介绍一些优秀学法，指出注意事项，尽快适应高中学习。

2.摸清底细，规划教学

为了搞好初高中衔接，教师首先要摸清学生的学习基础，然后以此来规划自己的教学和落实教学要求，以提高教学的针对性。在教学实际中，我们一方面通过进行摸底考试和对入学成绩的分析，了解学生的基础；另一方面，认真学习和比较初高中教学大纲和教材，以全面了解初高中数学知识体系，找出初高中知识的衔接点、区别点和需要铺路搭桥的知识点，以使备课和讲课更符合学生实际，更具有针对性。

（二）优化课堂教学环节，搞好初高中衔接

立足于大纲和教材，尊重学生实际，实行层次教学。重视新旧知识的联系与区别，建立知识网络。展示知识的形成过程和方法探索过程，培养学生创造能力。培养学生自我反思自

我总结的良好习惯，提高学习的自觉性。重视专题教学。利用专题教学，集中精力攻克难点，强化重点和弥补弱点，系统归纳总结某一类问题的前后知识、应用形式、解决方法和解题规律。并借此机会对学生进行学法的指点，有意渗透数学思想方法。

（三）加强学法指导，培养良好学习习惯

良好学习习惯是学好高中数学的重要因素。它包括：制定计划、课前自习、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习这几个方面。改进学生的学习方法，可以这样进行：引导学生养成认真制定计划的习惯，合理安排时间，从盲目的学习中解放出来；引导学生养成课前预习的习惯。可布置一些思考题和预习作业，保证听课时有针对性。还要引导学生学会听课，要求做到“心到”，即注意力高度集中；“眼到”，即仔细看清老师每一步板演；“手到”，即适当做好笔记；“口到”，即随时回答老师的提问，以提高听课效率。引导学生养成及时复习的习惯，下课后要反复阅读书本，回顾堂上老师所讲内容，查阅有关资料，或向教师同学请教，以强化对基本概念、知识体系的理解和记忆。引导学生养成独立作业的习惯，要独立地分析问题，解决问题。切忌有点小问题，或习题不会做，就不加思索地请教老师同学。引导学生养成系统复习小结的习惯，将所学新知识融入有关的体系和网络中，以保持知识的完整性。

（四）培养学生的数学兴趣

心理学研究成果表明：推动学生进行学习的内部动力是学习动机，而兴趣则是构建学习动机中最现实、最活跃的成份。浓厚的学习兴趣无疑会使人的各种感受尤其是大脑处于最活泼的状态，使感知更清晰、观察更细致、思维更深刻、想象更丰富、记忆更牢固，能够最佳地接受教学信息。不少学生之所以视数学学习为苦役、为畏途，主要原因还在于缺乏对数学的兴趣。因此，教师要着力于培养和调动学生学习数学的兴趣。课堂教学的导言，需要教师精心构思，一开头，就能把学生深深吸引，使学生的思维活跃起来。在教学过程中，教师还要通过生动的语言、精辟的分析、严密的推理、让学生从行之有效的数学方法和灵活巧妙的解题技巧中感受数学的无穷魅力，从枯燥乏味中解放出来，进入其乐无穷的境地，以保持学习兴趣的持久性。平时多注意观察学生情绪变化，开展心理咨询，做好个别学生思想工作。学生学不好数学，少责怪学生，要多找自己的原因。要深入学生当中，从各方面了解关心他们，特别是差生，帮助他们解决思想、学习及生活上存在的问题。使学生提高认识，增强学好数学的信心。在提问和布置作业时，从学生实际出发，多给学生创设成功的机会，以体会成功的喜悦，激发学习热情。

（五）培养学生的自学能力

培养学生自学能力，是初高中数学衔接非常重要的环节，在高一年级开始，可选择适当内容在课内自学。教师根据教材内容拟定自学提纲──基本内容的归纳、公式定理的推导证明、数学中研究问题的思维方法等。学生自学后由教师进行归纳总结，并给以自学方法的指导，以后逐步放手让学生自拟提纲自学，并向学生提出预习及进行章节小结的要求。应要求

学生把每条定理、每道例题都当作习题，认真地重证、重解，并适当加些批注，特别是通过对典型例题的讲解分析，最后要抽象出解决这类问题的数学思想和方法，并做好书面的总结，以便推广和灵活运用。

（六）培养学生良好心理素质

重视培养学生正确对待困难和挫折的良好心理素质。由于高中数学的特点，决定了高一学生在学习中的困难大挫折多。为此，我们在教学中注意培养学生正确对待困难和挫折的良好心理素质，使他们善于在失败面前，能冷静地总结教训，振作精神，主动调整自己的学习，并努力争取今后的胜利。

三、结束语

总之，在高一数学的起步教学阶段，分析清楚学生学习数学困难的原因，抓好初高中数学教学衔接，便能使学生尽快适应新的学习模式，从而更高效、更顺利地接受新知和发展能力，为他们的高中学习奠定坚实的基础。

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[3]张筱玮.《中学数学理论与实践》.修订版.吉林:东北师范大学出版,2000年.125页

[4]钟以俊.《中外实用教学方法手册》.广西教育出版社,1990年10月.98页

作者简介：中学一级教师，专科，从事初高中数学教育多年，研究方向为数学教学。

第三篇：2014初高中数学衔接材料04

第四讲 不 等 式

【例1】解不等式xx60． 【例2】解下列不等式：(1)(x2)(x3)6【例3】解下列不等式：

(1)x2x80

(2)(x1)(x2)(x2)(2x1)

(3)xx20

(2)x4x40

【例4】已知对于任意实数x，kx2xk恒为正数，求实数k的取值范围． 【例5】已知关于x的不等式kx2(k21)x30的解为1k3，求k的值． 【例6】解下列不等式：

(1)

2x3

0x1

(2)

x3

0 2

xx1

3 x2

【例8】求关于x的不等式mx22mxm的解．

【例7】解不等式

【例9】已知关于x的不等式kkxx2的解为x，求实数k的值． 2

A组

1．解下列不等式：

(1)2xx0

(2)x3x180(4)x(x9)3(x3)

(3)xx3x12．解下列不等式：

x1

0 x12

(3)1

x

(1)

3x1

2 2x12x2x1

0(4)

2x1

(2)(2)

3．解下列不等式：

1211xx0 235

4．已知不等式xaxb0的解是2x3，求a,b的值． 5．解关于x的不等式(m2)x1m．

6．已知关于x的不等式kx2kk2x的解是x1，求k的值．

7．已知不等式2xpxq0的解是2x1，求不等式pxqx20的解．

(1)x2x2x2

B组

1．已知关于x的不等式mxxm0的解是一切实数，求m的取值范围．

x2x3

12的解是x3，求k的值． kk

3．解关于x的不等式56xaxa．

4．a取何值时，代数式(a1)2(a2)2的值不小于0？

2．若不等式

c0的解是x，其中0，求不等式5．已知不等式axbxcx2bxa0的解．

第四篇：2014初高中数学衔接材料06

第六讲 简单的二元二次方程组

2xy0(1)xy11(1)

【例1】解方程组2【例2】解方程组 2

xy28(2)xy30(2)

222xy5(xy)(1)xxy12(1)

【例3】解方程组2【例4】解方程组 22

xxyy43(2)xyy4(2)x2y226(1)xyx3(1)

【例5】解方程组【例6】解方程组

3xyy8(2)xy5(2)

1．解下列方程组：

(1)xy26

yx



(3)xy12 2x3xyy2

52．解下列方程组：

(1)xy3

xy2

3．解下列方程组：

(1)x(2x3)0



yx2

1

(3)(xy2)(xy)0 x2y2

8

4．解下列方程组： 22(1)xy3

x2y2

0

1．解下列方程组：

(1)x2y3x22y3x20

2．解下列方程组：

(1)

xy3



xy2

3．解下列方程组：

(1)22

3xy8x2xyy2

4

4．解下列方程组：(1)x2y25

xy2

A组

(2)x22y28

y2

x

(4)x2y03x22xy10

(2)xy1

xy6

(2)(3x4y3)(3x4y3)0

3x2y5

(4)

(xy)(xy1)0



(xy)(xy1)0

(2)

xyx16

xyx8

B组

(2)2x3y12x23xyy2

4x3y30

(2)

x2y4



2xy21

(2)xy24

xy21

2

(2)xy4x2y2

10

第五篇：初高中数学衔接练习题

初中升高中衔接练习题（数学）

乘法公式1．填空：（1）（）；

（2）；

(3)

．

2．选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于（）

（A）

（B）

（C）

（D）

（2）不论，为何实数，的值（）

（A）总是正数

（B）总是负数

（C）可以是零

（D）可以是正数也可以是负数

因式分解

一、填空题：1、把下列各式分解因式：

（1）__________________________________________________。

（2）__________________________________________________。

（3）__________________________________________________。

（4）__________________________________________________。

（5）__________________________________________________。

（6）__________________________________________________。

（7）__________________________________________________。

（8）__________________________________________________。

（9）__________________________________________________。

（10）__________________________________________________。

2、若则。

二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）

1、在多项式（1）（2）（3）（4）

（5）中，有相同因式的是（）

A.只有（1）（2）

B.只有（3）（4）

C.只有（3）（5）

D.（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）

2、分解因式得（）

A

B

C

D3、分解因式得（）

A、B、C、D、4、若多项式可分解为，则、的值是（）

A、，B、，C、，D、，5、若其中、为整数，则的值为（）

A、或

B、C、D、或

三、把下列各式分解因式1、2、3、4、提取公因式法

一、填空题：1、多项式中各项的公因式是_______________。

2、__________________。

3、____________________。

4、_____________________。

5、______________________。

6、分解因式得_____________________。

7．计算=

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×”）

1、…………………………………………………………

（）

2、……………………………………………………………

（）

3、……………………………………………

（）

4、………………………………………………………………

（）

公式法

一、填空题：，的公因式是___________________________。

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×”）

1、…………………………

（）

2、…………………………………

（）

3、…………………………………………………

（）

4、…………………………………………

（）

5、………………………………………………

（）

三、把下列各式分解1、2、3、4、分组分解法

用分组分解法分解多项式（1）

（2）

关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

1．选择题：多项式的一个因式为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

2．分解因式：（1）x2＋6x＋8；

（2）8a3－b3；

（3）x2－2x－1；

（4）．

根的判别式

1．选择题：（1）方程的根的情况是（）

（A）有一个实数根

（B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根

（D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2＋

(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）（A）m＜

（B）m＞－

（C）m＜，且m≠0

（D）m＞－，且m≠0

2．填空:（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝

．

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是

．

（3）以－3和1为根的一元二次方程是

．

3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？

4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)（x2－3)的值．

习题2.1

A

组1．选择题:（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）

（A）－3

（B）3

（C）－2

（D）2

（2）下列四个说法：

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3

x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；

④方程3

x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是（）

（A）1个

（B）2个（C）3个

（D）4个

（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）

（A）0

（B）1

（C）－1

（D）0，或－1

2．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝

．

（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝

．

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是

．

（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|

x1－x2|＝

．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)

x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

B

组1．选择题:若关于x的方程x2＋(k2－1)

x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为（）.（A）1，或－1

（B）1

（C）－1

（D）0

2．填空:（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于

．

（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2是

．

3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．

4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：

（1）|

x1－x2|和；

（2）x13＋x23．

5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|

x1－x2|＝2，求实数m的值．

C

组1．选择题：

（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）

（A）

（B）3

（C）6

（D）9

（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值为（）

（A）6

（B）4

（C）3

（D）

（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（）

（A）α＋β≥

（B）α＋β≤

（C）α＋β≥1

（D）α＋β≤1

（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是（）

（A）没有实数根

（B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根

（D）有两个异号实数根

2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝

．

3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．(1）是否存在实数k，使(2x1－x2)（x1－2

x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

(2)求使－2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k＝－2，试求的值．

4．已知关于x的方程．

（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．

5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）

（A）y＝2x2

（B）y＝2x2－4x＋2

（C）y＝2x2－1

（D）y＝2x2－4x

（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（）

（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题

（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝，n＝

．

（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝

时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝

时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝

时，函数图象经过原点．

（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为

；当x＝

时，函数取最

值y＝

；当x

时，y随着x的增大而减小．

3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；

（2）y＝1＋6

x－x2．

4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：

（1）x≤－2；

（2）x≤2；

（3）－2≤x≤1；

（4）0≤x≤3．

二次函数的三种表示方式

1．选择题:

（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）

（A）0个

（B）1个

（C）2个

（D）无法确定

（2）函数y＝－(x＋1)2＋2的顶点坐标是（）

（A）(1，2)

（B）(1，－2)

（C）(－1，2)

（D）(－1，－2)

2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a

(a≠0)

．

（2）二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为

．

二次函数的简单应用

选择题：（1）把函数y＝－(x－1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为（）

（A）y＝

(x＋1)2＋1

（B）y＝－(x＋1)2＋1

（C）y＝－(x－3)2＋4

（D）y＝－(x－3)2＋1