推理与证明——以几何教学为例 拓展阅读6： 镶 嵌

第一篇：推理与证明——以几何教学为例 拓展阅读6： 镶 嵌

镶 嵌（第一课时）

教材：义务教育课程标准实验教科书人教版七年级（下册）第七章第四节

宁夏吴忠市第一中学 马秀丽

一、教学目标

1、在实验与探究的学习活动中，使学生了解镶嵌的含义，认识到正三角形、正四边形和正六边形可以镶嵌平面，并能理解其中的道理。

2、通过探索多边形覆盖平面的条件，发展学生的合情推理能力，在活动中使学生的观察、猜想、归纳及动手操作的能力得以提升。

3、通过现实情境，让学生体会到数学的应用价值；经历对平面镶嵌条件的探索活动，提高数学学习的兴趣，建立良好的自信心。

二、教学重点、难点：教学重点：镶嵌的含义及平面镶嵌条件的探究。教学难点：探究平面镶嵌的条件。

三、课前准备:

1、学生准备： ① 每位同学分别准备好6-8个边长为5厘米长的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形。② 搜集有关镶嵌图片。

2、教师准备： ① 生活中有关镶嵌图片。② 多媒体课件。

四、教学过程： 教学环节教学内容 学生活动设计意图创设情境 引出课题大千世界中蕴涵着大量的数学信息，观看屏幕上一组生活中的地砖图片（电脑演示）教师提出问题：同学们仔细观察这些图片中都有那些图形？这些图形的共同特点是什么？你知道铺地砖时有什么要求？ 教师点评，明确镶嵌含义：用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖。从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题。引出课题：镶嵌（第一课时）学生欣赏图片。学生观察后，在独立思考的基础上，分组交流，然后派代表发表见解。从普通、熟悉的现象中探求数学概念，易使学生产生亲切感，容易较快地进入角色。通过一系列图片的展示下引出课题，使学生感受到生活中处处有数学，让学生亲身经历体会从具体情景中发现数学问题，进而寻求解决问题的方法的全过程。合作交流 探索新知在前面学生了解了镶嵌的含义的基础上依次提出下列问题： 问题1：请你动手拼拼看能否用正三角形镶嵌成一个平面图案？ 学生四人一组,由组长负责分工，开始实验。学生以小组合作的形式动手拼图。给学生充分的时间在组内进行交流。交流后展示每组的作品。形成结论： 正三角形能镶嵌成一个平面图案。正三角形是多边形中的特殊图形，因此，从正三角形入手，使学生会感到既熟悉，又轻松，为结论的得出奠定了基础。教学环节教学内容学生活动设计意图合作交流 探索新知问题2：动手拼拼看，分别用正四边形和正六边形能否镶嵌成一个平面图案？ 问题3：拼拼看，用正五边形能否镶嵌成一个平面图案？ 教师将学生的这四种拼图过程利用多媒体演示给学生。镶嵌条件的探究： 通过前面的实验，学生会急于知道：镶嵌成一个平面图案的条件到底是什么？教师顺势提出问题： 为什么正三角形、正四边形、正六边形能够能够镶嵌成一个平面图案，而正五边形却不能？同一种正多边形能够镶嵌成一个平面图案的条件是什么？给学生足够的时间，让他们充分活动后，在黑板上展示作品。形成结论： 正三角形、正四边形和正六边形都能镶嵌成一个平面图案，正五边形不能。学生观察教师的动态演示。学生先独立思考2-3分钟。以组为单位，研究解决问题的方法，从已有经验出发，试从不同角度寻求解决问题的方法。教师深入到各小组，倾听学生们的讨论，鼓励学生大胆猜想，畅所欲言，对其中合理的回答给予肯定，对有困难的组要及时进行指导。学生亲自操作实验，再次感受镶嵌的含义，并会产生探究的欲望，学生会思考：为什么正三角形、正四边形、正六边形能够能够镶嵌成一个平面图案，而正五边形却不能？这些内容中蕴涵什么数学规律？从而引出探究的问题。这样的教学设计将促进学生主动探究、乐于探究。在前面学生动手做的基础上，比较几种图形的共性，以学生的眼观、脑想、口说，用比较归纳的方法得出平面镶嵌的条件,并以正五边形为反例，强化镶嵌条件。在合作中学习与人交流，集思广益，通过交流，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，提高语言表达能力。教学环节教学内容 学生活动设计意图 合作交流 探索新知教师利用多媒体展示。在全班同学的互相补充和完善下，教师加以总结概括，得到： 结论：多边形能覆盖平面需要满足：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°。推论：同一种正多边形能进行平面镶嵌的条件是：这个正多边形内角度数能整除360°。学生观看教师的动态演示。与教师一起总结归纳镶嵌条件。阅读结论，加深理解。通过镶嵌条件的归纳过程，使不同层次的学生在独立思考的前提下，在交流与合作过程中感受新知，建立新的知识体系，为学生的进一步探索提供可能。应用推广 巩固提高教师提出问题： 你还能找出其它能作镶嵌的正多边形吗？说说你的理由。教师进行总结概括： 要使同一种正多边形能覆盖平面，必须要求这个正多边形内角度数能整除360°。事实上除了正三角形、正四边形、正六边形外，其他正多边形都不可以镶嵌，并说明这一结论的证明有待于今后知识的学习来获得。学生通过计算正七边形、正八边形、正九边形的内角后进行归纳，然后小组交流。在不提供其他正多边形图片的情景下，让学生去思辨得出：不存在其它正多边形的镶嵌，旨在培养学生的抽象推理能力，使学生由感性认识上升到理性认识，从而使所学知识得到推广和应用，获得更具体更坚实的数学经验。教学环节教学内容 学生活动设计意图课堂小结 体验收获（1）学生谈谈通过本节课的学习有什么收获？还有哪些疑惑？ 教师对个别学生富有个性的学习表现给予肯定和激励，使他们感受到成功的喜悦，并对有疑惑的地方进行补答。（2）学生例举生活中见过的镶嵌实例。（3）教师展示更多实例回归生活。学生反思解决问题的过程并发表个人看法。学生举出镶嵌实例，并展示课前搜集好的镶嵌图片。观看教师展示的图片。通过回顾与反思，使学生养成反思学习过程的习惯，初步学会自我评价学习效果，通过谈收获，让学生看到自己的进步，激励学生，促进学生形成良好的心理品质，同时有些学生可能会提出心中的疑问，通过学生相互间解惑，既消除了学生心中的疑惑，又培养了学生口头表达能力。通过让对学生举例，并且观看教师展示的各种生活图片，让学生再次感受几何美与生活美，激发学生的创作欲望，让数学再次回归生活。课 后 拓 展

1、分别剪出几个形状、大小相同的任意三角形和任意四边形，拼拼看能否镶嵌成平面图案？

2、试用多种正多边形组合进行镶嵌设计。

3、创造是人生命中的一个重要使命，充分发挥你的聪明才智和丰富的想象力，设计一个多姿多彩的地板图案吧。学生利用当堂所学知识，自检掌握情况。这组课后拓展题的设计，是为了更好的促进每一位学生得到不同的发展，培养学生的实践能力和创新能力，同时促进学生对自己的学习进行反思，为后续知识的学习起到承上启下的作用。教学设计说明 《镶嵌》在教材中是以课题学习的形式呈现的，属于课程改革的新增内容。我在设计本课时，力求突出课题学习的特点，以问题为主线，以学生的动手操作实验活动为主，设计了丰富的拼图活动，让学生经过自己的操作和思考，体验和感受知识的形成过程，既激发了学生数学学习的兴趣，积累了数学活动的经验，又使学生的观察、猜想、归纳等动手操作能力得到提升。本节课以“问题情境--自主探究--拓展应用”的模式展开教学。首先，给学生展示生活中铺地砖、墙面设计等精美的图片，创设问题情境，激发学生的学习兴趣和动机;之后，从简单的正多边形(正三角形、正方形、正五边形、正六边形)入手，让学生经过充分的拼图实验，获得一些感性认识，在此基础上经过认真思考、讨论交流，上升到理性认识，得到同一种正多边形镶嵌平面的条件，并以正五边形为反例，强化平面镶嵌的条件；最后，为了让学生对所学知识有更好的应用，拓宽思路，初步培养学生的创新能力和实践能力，我设计了几个课后拓展题结束本课。这个学习过程体现让学生从生活中学数学、让学生感受到生活中的数学美，引发和激活学生的创作欲望，让数学再次回归生活，使学生走出课本课堂进入生活实践，进入一个更加广阔的思考空间。

第二篇：推理与证明——以几何教学为例 拓展阅读4：数学证明的教育价值

数学证明的教育价值

北京师范大学数学系王申怀

目前，数学教育界都在关注《国家数学课程标准(初稿)－－目标体系》的研讨，其中一个热门的话题是如何处理中学几何课程的改革。争论焦点之一是如何看待几何中逻辑推理的教育价值。为此，笔者认为首先应该探讨一下数学证明的教育价值。?

一、问题的提出

从一组原始概念和命题(即公理)出发，经过逻辑推理得到一系列的定理和证明，这就是几千年来数学学科所遵循的研究模式。但随着数学的发展，特别是电子计算机的出现，人们对上述研究模式产生了怀疑。其中最典型的一个例子就是所谓“四色问题”的证明。下面详细谈一下由“四色问题”所引起的争论。?1852年，英国数学家F.Guthrie(格思里)在给他弟弟的一封信中说：“看来每幅地图若用不同颜色标出邻国，只要用四种颜色就够了。”这就是“四色问题”的由来。一百多年来数学家们不断努力企图用数学方法来证明这个结论。直至1970年左右，问题归结为计算几千个不可约构形的问题〔1〕，但其计算量之大是难以想像的，因此人们望而生畏。1976年美国两位计算机专家K.Appel(阿佩尔)和W.Haken(哈肯)找到了一种新的计算方法。他们用了三台IBM计算机经过1000多个小时(约52天)的运算，“证明”了格思里提出的结论是正确的。因此，“四色问题”得到了“证明”。?

阿佩尔和哈肯的“证明”引起了人们的争论。首先，他们的“证明”，其计算机程序就达400多页，要用人工去检验其程序有无问题是十分吃力的。因此，似乎无人愿意再去重复阿－哈的“证明”。其次，能否保证计算机在计算过程中绝对不出错误？第三，人们无法确定计算出现错误是计算机本身的机械或电子方面的毛病，还是“证明”过程本身逻辑有问题。? 于是就引起了什么是“数学证明”的争论。?

有些数学家认为数学证明只能是以人工可重复检验的逻辑演绎(计算也是一种演绎)过程，否则只能称为计算机证明，二者不能混为一谈。因此，按这种观点，“四色问题”只能称已得到了计算机证明，而不能称已得到了数学证明。?但是，另一些数学家反驳说，用人工来检验也可能产生错误。例如，数学史上曾有不少数学家(如意大利的Saccheri，法国的Legendre)声称他们已“证明”了欧几里得第五公设(即欧氏平行公理)。但后来发现他们的“证明”均有问题，其主要错误在于他们利用了与第五公设等价的命题，因此从逻辑上说他们都犯了循环论证的错误。?

另外人工逻辑演绎证明可以重复吗??

众所周知，群论中有一个著名的所谓有限单群的分类定理，单群的概念是由Galois(伽罗华)在1830年最初给出的。一百多年来数学家企图对单群进行分类。直至20世纪80年代，由100多位数学家组成的非正规“队伍”，他们共同努力列出所有的单群并证明这样的列举是完全的。在花费了成千上万个小时以及发表了几百篇论文之后，这项工作才得以完成，证明长达15000多页!〔2〕试问谁还愿意(或说可能)去重复他们长达15000多页的证明?(恐怕连读一遍都不愿意。)?于是问题就不集中在“证明”是否可检验的问题上了，而在于人们如何来理解“证明”的真正含义。数学证明的功能到底是什么??

二、数学家们对数学证明的看法

国际数学教育委员会(ICMI)在《计算机对数学和数学教学的影响》报告中指出：“借助于计算机的证明不应该比人工证明加以更多的怀疑„„，我们不能认为计算机将增加错误证明的数目，恰恰相反对计算机证明的批评，例如四色问题的证明，主要集中在它仅依靠蛮力和缺乏思考的洞察力。„„计算机证明会给人们带来一些新启示，会激励人们去寻找更好的、更短的、更富有说服力的证明，会鼓励数学家去更准确地把握形式化的想法。”?

英国数学家Atiyah(阿蒂亚)在评论“四色问题”的证明时说：“这证明是一大成功，但在美学观点上看极令人失望。完全不靠心智创造，全靠机械的蛮力。科学活动的目的是理解客观世界并进而驾驭客观世界，然而我们能说‘理解’了四色问题的证明了吗?”“数学是一种艺术，一种使人摆脱蛮力计算，而且成熟概念和技巧，使人更轻松地漫游。”〔3〕

Bourbaki(布尔巴基)在《数学的建筑》一书中说：“单是验证了一个数学证明的逐步逻辑推导，都没有试图洞察获得这一连串推导的背后的意念，并不算理解了那个数学证明。”“电子计算机证明不满意者并非它没有核实命题，难道用人工花几个月检验几百页证明便更可靠了吗?而是它没有使我们通过证明获得理解。”?

C.Hanna说：“证明是一种透明的辩论，其中用到的论据、推理过程„„都清楚地展示给读者，任由人们公开批评，不必向权威低头。”?

J.Horgen在《科学的美国》杂志上发表一篇题为《证明的死亡》中指出：“用计算机作实验，来证明建立定理，如四色问题，任何人不能执行如此长的计算，也不能指望用其他办法验证它。„„因此这就突破了传统证明的观念，所以，不能再以逻辑推理作为证明数学命题的惟一手段。”?

R.Wilder(怀特)说：“我们不要忘记，所谓证明不只在不同的文化有不同的含义，就连在不同的时代也有不同的含义。”“很明显，我们不会拥有而且极可能永远不会有一个这样的证明标准独立于时代，独立于所要证明的东西，并且独立于使用它的个人或某个思想学派。”

更有甚者，英国数学家哈代(G.H.Hardy)说：“严格说起来根本没有所谓数学证明„„，归根到底我们只是指出一些要点，„„李特伍德(是和哈代长期合作的一位数学家?笔者注)和我都把证明称之为废话，它是为打动某些人而编造的一堆华丽辞藻，是讲演时来演示的图片，是激发小学生想像力的工具。”〔4〕从以上一些数学家对“证明”的看法，我们可以得出这样的结论：证明的真正含义并不在于检验核实命题，而在于理解命题，启迪思维，交流思想，导致发现。?

很明显，如果你能给出某一命题的一个证明，那么你可以说你理解了(或说你懂了)这个命题。如果你能用这个命题的证法去解决另一个问题，例如，学生用一个定理的证法去做一道习题，那么，你在解决这个问题的思维过程中必然是受到原来命题证法的启发。为了你和其他人交流对某一命题的理解，最好的办法就是你们共同商讨对此命题的证明。下面我们再来较详细地讨论一下证明能够导致发现的功能。?

前面已经说过，意大利数学家Saccheri和法国数学家Legendre对第五公设的“证明”，显然他们都没能证明欧氏平行公理，但是通过他们的证明使后来的数学家对欧氏平行公理有了更为深刻、更为清楚的理解，并最后导致了非欧几何的发现。因此，Saccheri和Legendre等人被公认为发现非欧几何的先驱者。事实上，Saccheri和Legendre等人的思想方法已经打开了一条通向非欧几何的大门。因为他们从第五公设不成立这一假定下推出的许多事实，恰恰就是非欧几何中的定理。?

计算机证明同样有导致发现的功能，其中一个较为典型的例子是分形几何的创立。早在20世纪20年代，法国数学家Julia就开始着手研究分形几何，但是由于这种几何图形的惊人复杂性，Julia的研究沉寂了几十年。直到60年代以后，美国数学家B.Mandelbrot(曼德勃罗)开始用计算机来画图，才使分形几何得到了真正的发展。因此人们普遍认为分形几何是由曼德勃罗创始的。〔5〕由于计算机的介入，新一代的数学家已经开始在计算机上实验自己的各种思想。甚至他们宣布自己是实验数学家，着手建立数学实验室，创办《实验数学》杂志。同时他们对数学提出了一些新的看法：

1.对数学追求的是理解，而不是证明；?

2.重视发现与创造，数学的本质在于思想的充分自由与发挥人的创造能力；?

3.追求对解决问题的数学精神，利用数学更好地解决、处理复杂的自然现象。?

三、数学证明教学价值的新理解

如前所述数学证明的真谛不在于能证明命题的真假，而在于它能启发人们对命题有更深刻的理解，并能导致发现，因此这就突破了传统教学中对数学证明的观念。特别是由于计算机介入了证明之中，用机器证明产生定理(如四色问题等)，所以人们不再以逻辑推理作为证明数学命题的惟一手段，于是提出“实验证明”的想法，即实验也应该成为判断数学命题真假的一种手段。人们不再一味地追求证明所得出的结论，而在于通过证明的过程去追求对数学知识的真正理解。?另外，从认知理论的观点来看，数学知识不能简单地由教师传递给学生，而应该通过学生自己认知结构的改变去建构学生自己对数学的理解。因此，在数学中如果只重视逻辑演绎式的数学证明将无助于学生真正掌握数学知识，无助于学生形成良好的认知结构。命题教学的目的不应是去核实命题的正确性，而是要让学生通过证明去理解命题，并能重新构建学生自己的新认知结构。?

综合以上观点，我们认为数学证明的教育价值在于：?

1.通过证明的教与学，使学生理解相关的数学知识；?

2.通过证明，训练和培养学生的思维能力(包括逻辑的和非逻辑的思维)以及数学交流能力；

3.通过证明，帮助学生寻找新旧知识之间的内在联系，使学生获得的知识系统化；?

4.通过证明，使学生更牢固地掌握已学到的知识，并尽可能让学生自己去发现新知识。

根据以上观点，我们在数学教学中应该重视非逻辑证明的教学；适当降低和减少逻辑演绎在数学教学中的地位与时间，加强实验、猜测、类比、归纳等合情推理在数学教学中的地位与作用。这里需要注意的是要合理选择学生能够接受的逻辑证明与非逻辑证明的方法，强调一种、排斥另一种证明方法都会妨碍学生对数学的认识与理解。

?注：

〔1〕K.Devlin著、李文林等译：《数学：新的黄金时代》，上海教育出版社版。?

〔2〕申大维等译：《数学的原理与实践》，高等教育出版社1998版。?〔3〕M.阿蒂亚著：《数学的统一性》，江苏教育出版社版。

〔4〕G.H.哈代著：《一个数学家的辩白》，江苏教育出版社版。?〔5〕王健吾著：《数学思维方法引论》，安徽教育出版社版。

第三篇：浅谈初中几何的推理与证明

浅谈初中几何的推理与证明

什么是推理呢？推理是根据已知判断得出新判断的思维过程，推理由题设和结论两部分所组成，学习几何对培养学生逻辑思维及逻辑推理能力有特殊的作用，但面对许多而不同的证明题，往往很多学生都感到束手无策，无从下手，因此，帮助学生寻找证题方法，探求规律，是我们初中数学教师教学的一个重要教学任务，它对培养学生的证题能力，有较好的积极作用，下面就如何培养学生的推理证明能力，谈谈我在教学中的具体做法。

一、首先培养学生学会划分几何命题的“题设”和“结论”

1、任何一个命题都是由题设和结论两部分组成的，通常的形式为“如果……那么……”“若……则”等等，“如果”或“若”开头的部分就是题设，“那么”或“则”开始的部分就是结论，要求学生掌握这些重要的关联词语进行划分，有的命题，题设，结论较为明显，如：如果两条直线都与第三条直线平行（题设），那么这两条直线也互相平行（结论）。但也有的命题，题设与结论不太明显，例如“等角的补角相等”对这样的命题，最好要求将它改写成“如果……那么……”的形式，等角的补角相等“可改写为：如果两个角是等角的补角（题设），那么这两个角相等（结论）。

2、使学生正确划分命题的“题设”和结论，必须使学生理解每个命题，它都是一个完整的整体，是判断一件事情的语句，每个命题都由题设和结论两部分组成，一个命题中，题设就是已知条件，即被判断的对象，结论就是由已知条件判断出来的结果，也就是“求证”部分，在教学中，要在平时不断的训练中加强学生对几何命题的理解。

二、其次要培养学生将文字叙述的命题改写成数学式子并画出图形的能力。

1、按命题题意，画出相应的几何图形，并标注字母。

2、根据命题题意，结合相应图形，将题设与结论用数学符号或数学式子具体化，即具体地写出“已知”和“求证”。

3、对于初一刚学几何的学生，还要注意加强几何符号语言的培养与训练。例如：（人教版七年级下册P24，练习第8题）用式子表示下列语句。

因为∠1和∠2相等，根据“内错角相等，两直线平行”所以AB和EF平行。用式子表示为 ∵ ∠1=∠2（已知）

∴ AB//EF（内错角相等，两直线平行）

三、培养学生学会推理说明。

1几何证明的意义和要求

推理论证的过程要符合客观实际，论证要有充分的根据，不能主观猜想，证明中的每一步推理论证的根据就是命题中给出的题和已证事项，定义、公理和定理，这也就是说几何命题的证明，就是要把给出的结论用充分的根据，严密的逻辑推理加以说明。

2、加强分析训练，培养逻辑推理能力。

几何中命题复杂，类型繁多，要培养学生分析与综合的逻辑推理能力，特别要重视对问题的分析，在初中几何中常用的分析方法有：

（1）综合法：即由命题的题设至结论的定向思考方法，我们从已知条件出发进行推理，顺次逐步推向结论，达到目标的思考过程。

例如：求证:等腰梯形的对角线成相等已知：梯形ABCD为等腰梯形

求证：AC=BD

证明：∵梯形ABCD为等腰梯形

∴AB=CD

∠ABC=∠DCB（等腰梯形两底角相等）

又∵BC=CB（公共边）

∴△ABC≌△DCB（SAS）

∴AC=BD（全等三角形对应边相等）

（2）分析法：即由命题的结论至题设的定向思考方法，在探究证题途经时，我们不是从已知条件入手，而是从求证着手进行分析推理，要获得这个结果，需要什么条件，这个条件又由什么可获得，一步一步往前找，直至推究的条件与已知条件相合为止。

例如：如图□ABCD的对角成AC和BD相交于点O，点E、F是AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。

分析：综合平行四边形的几种判定方法要证四边形BFDE是平行四边形，只需证BD与EF互相平分，即EO=FO，3、培养学生学会添辅助成分析

要使学生认识到在几何证明题中，辅助线引导恰当，可使较难证明题转化为较易证明题，但辅助线的引导要有一定目的，在一定分析基础上进行的，怎样引辅助成要根据具体的命题分析后再确定，但在平时的教学中教师要强调常用辅助线的和作法应用。例如：有直径出现，往往构造直径所对的圆周角是直角。过圆心作弦的垂线从而运用垂经定理，有中点出现常构造出三角形或梯形的中位线等等。

四、最后，要培养学生证题时养成规范的书写习惯。

对于初学几何的学生，可用填充形式来训练学生证题的书写格式和逻辑推理过程，使书写规范，推理有理有据，训练的时间久了，学生也就在潜移默化中转入了独立书写这样一个规范的过程当中。

求证AB//CD

证明：∵AD//BC（）

∴∠1=（）

又∵∠BAD=∠BCD（）

∴∠BAD－∠1=∠BCD－∠2

即：∠3=∠4

∴AB//（）

总之：几何推理证明的分析和书写是一个重要而学生又难以掌握的过程，它需要教师较长时间的引导和帮助，才能逐步形成学生自己的技能和技巧，但不管怎样，教师在教学中要反复强调这样一个模式：要证什么→需要什么→题目有了什么→还缺什么→需补什么，按照这种模式反复训练，学生是能够学好几何推理证明的。

第四篇：初中数学几何教学中推理与证明能力的培养

初中数学几何教学中能力的培养

初中学生要学好几何，对能力的训练和培养十分重要，教师要循序渐进，不要急于求成。真正让学生把握知识的来龙去脉，让学生在主动获得知识的过程中，学会有关数学思想方法，形成良好思维习惯，从而为能力发展奠定基础。

1、识图能力先要由简到繁，再由繁到简，反复训练感知，提高识别抗干扰能力

2、几何语言能力应着手从以下三点培养：①定义、概念、定理的文字语言与图形和符号语言互转能力；②由图形抽象文字语言；③准确、简练的文字语言概括能力

3、逻辑推理能力，推理是几何教学的核心，必须以正确的概念和一定的识图，语言能力为基础。教学中必须有计划、有目的地进行推理能力的渗透训练，拓展训练，

第五篇：设计与材料—以水杯为例

水杯的材料选用

杯子的类别很多.可以根据材料分类，比如陶瓷杯,玻璃杯，塑料杯,不锈钢杯，木鱼石杯,景泰蓝杯等，可以根据功能分为日用杯,广告杯 ,促销杯，保健杯等,可以根据寓意分为合欢杯，情侣杯,夫妻杯等，根据结构工艺分为单层杯,双层杯 ,真空杯，纳米杯,能量杯，生态杯等.。

1.陶瓷水杯

陶瓷的应用源远流长，在古代的茶具中占有主要的地位，现在陶瓷的应用虽不如古代那么流行，但是由于陶瓷的特殊性能，往往加入新的材料，使陶瓷具有某些特殊的性能成为新型陶瓷。陶瓷的熔点很高，大多在2000摄氏度以上，因此具有很高的耐热性能。陶瓷的线胀系数小，导热性和抗热震性都较差，受热冲击时容易破裂。但是在水杯的应用时陶瓷对于100摄氏度左右的热冲击还是不在话下的，导热性较差，使得盛着热水的陶瓷水杯不是很烫。陶瓷的价格不是很贵，因此大多数人都能消费，在水杯设计中应用广泛，现在往往用陶瓷做一些有特殊趣味的水杯，陶瓷这种材料经常被一些著名的设计师采用。陶瓷用作水杯的缺点就是容易摔碎，但这并不能影响陶瓷在水杯中的应用。因为陶瓷的加工特性是陶瓷水杯绝大多数都是敞口外形，附加造型很少。

上图中的陶瓷水杯，网上售价仅为十元，开口比底部略大，心形的设计十分简洁，附加的造型仅为把手，符合大多数陶瓷水杯的造型式样。

2.塑料水杯

塑料水杯占据了水杯市场的大部分份额，特别是在经常携带的水杯使用场合，如现在学生上课时带水所用的水杯95%为塑料水杯，5%为不锈钢水杯，原因在于塑料水杯质量小，容易密封不漏水，一般的价格处于水杯价格的最底端。塑料之所以应用广泛是因为相对其他材料而言，塑料易成型、成本低，水杯的形状可以不受其形态和线性的限制，基本上都可以在注射机上一次成型，且批量生产数量一次性产量高，单件产品成本很低；有一定的强度，足以满足盛水的需要；透明性好、着色性强，因此水杯的颜色可以千变万化以供选择；耐磨性高，水杯不易变花；透光保温；耐热性较差，对于100摄氏度左右的温度没有问题；部分塑料在热水作用下产生有毒物质。采用塑料进行水杯设计，水杯的造型几乎能够随心所欲，能够给设计师提供充分的想象任意发挥。

上图的两个水杯采用的是双层印花，材质为PS塑料，双层结构，不易损坏，重90g，高13.5cm，满水容量0.4L。

3.玻璃水杯

玻璃的透明性往往给人以干净的感觉，因此玻璃水杯与陶瓷水杯经常作为家居物品使用。玻璃材料在水杯设计时的优点有透光性好，有种高雅的感觉，整体着色，颜色变化奇特；硬度高，比一般金属都硬；化学稳定性极高，是所有材料中最稳定的材料；导热性差，只有钢的1/400。玻璃材料在水杯设计时的缺点是热稳定性极差，温度急变时玻璃内部产生的内应力很容易超过了玻璃的强度在急冷急热情况下很容易炸裂，造成危险。在水杯的制造中最常采用的成型工艺是吹制法和压制法。

4.不锈钢杯

不锈钢指耐空气、蒸汽、水等弱腐蚀介质和酸、碱、盐等化学浸蚀性介质腐蚀的钢，又称不锈耐酸钢。实际应用中，常将耐弱腐蚀介质腐蚀的钢称为不锈钢，而将耐化学介质腐蚀的钢称为耐酸钢。一般说来，含硌量大于12%的钢就具有了不锈钢的特点 不锈钢按热处理后的显微组织又可分为五大类：即铁素体不锈钢、马氏体不锈钢、奥氏体不锈钢、奥氏体-铁素体不锈钢及沉淀碳化不锈钢文字。

由于钢的导热性能极好，所以以上两个杯子都是，双层不锈钢真空构造。不锈钢的延展性能又很好，做成双层不锈钢工艺仍然不是很复杂。附加把手等多用其他材料如塑料等进行设计，因为在大批量生产时，不规则的把手等形状不容易成形，而塑料等则很容易进行变形加工。所以在设计将不同材料结合起来使用能将各自的优点充分发挥出来，并且不会使成本太高。以上两个杯子的杯盖设计也是将不锈钢和橡胶塑料结合起来，是因为不锈钢不容易做到密封效果，而相对不锈钢橡胶塑料比较容易，同时，杯盖的设计既可以做杯盖，又可以做杯子来使用。

不锈钢杯子的使用场合多为外出旅游时，因其的重量问题使得它在平时生活中不常使用。

5.木杯

木质杯子的材料大多是竹子，而且经常是直接利用。因为竹子的特点恰好和杯子的特征相似，中空外直，有节（有底），正可以直接就用来做杯子使用。如上图所示，这两个杯子的设计均是取了竹子的一节，进行打磨，口部设计成椭圆形状，更富有动态变化。把手的设计也是直接从竹子上取成条状直接热弯嵌入杯子之中。木质材料的使用往往使人觉着更贴近自然，在设计时几乎不采用任何装饰，充分表现木材自然质感特征。

6.纸杯

把用化学木浆制成的原纸（白纸板）进行机械加工、粘合所做得的一种纸容器，外观呈口杯形。供冷冻食品使用的纸杯涂蜡，可盛装冰淇淋、果酱和黄油等。供热饮使用的纸杯涂塑料，耐90℃ 以上温度，甚至可盛开水。纸杯分为单面PE淋膜纸杯和双面PE淋膜纸杯：单面PE淋膜纸杯用单面PE淋膜纸张生产，(国内常见的市场纸杯,广告纸杯大多数都是单面PE淋膜纸杯),其表现形式为: 纸杯装水的那一面有光滑的PE淋膜；双面PE淋膜纸杯用双面PE淋膜纸张生产，表现形式为纸杯内面和外面都有PE淋膜。纸杯的特点是安全卫生、十分轻巧方便。最常见的适用场合使公共场所、饭店、餐厅，绝大多数作为一次性用品。

上图纸杯的设计加入所用场所的标识，因为容易在纸质的表面进行图案喷涂。巧妙地把手设计，使杯子更容易被端起来，避免经常发生的捏瘪烫伤。杯壁也是采用的双层纸质设计，提高隔热效果。

7：磁化杯

磁化杯是水磁化器的一种，将自然水放入磁化杯磁化后而成为磁化水的一种装置。在我国磁化水治病有悠久历史，早在1400年前，南北朝(420-589)医学家陶弘景(452一536)在《名医别录》中记载，饮用磁石“炼水治病”。现代生物磁学及磁医学大量研究证实，磁化水(磁化酒)具有良好的磁效应。

普通水在磁化器内，以一定量，流速流过磁场时(或在磁场中停留)水体垂直切割线(或由水的热运动切割磁力线)产生电磁感应，在磁场作用下，使水体的理化性质发生变化，就可成为有生物效应的磁化水。磁化水分子中的原子结构也发生了变化。水分了中的三个原子，并不在一条直线上。用X线衍射法对冰的结构进行测定，表明二个0一H键之间构成104.5度的夹角。氧原子在水中吸引电子的能力比氢原子大得多。磁化杯处于水分子一端的氧原子带部份负电荷，另一端的两个氢原子带部份正电荷。从微观理化特性上确有多方面的改变。从而产生了特异效应。

随着水的磁化过程，逐渐改变了水分子的排列，破坏了水分子之间的氢键，使缔合的水分子变成了单散的分子，长键变成短键，从而促进其渗透能力和溶解能力增加，比较容易地渗透人体结石之中以及机体内部脏层与壁层之间。加之磁化水可能激活机体内某些酶的活性;有力地促进了营养物质的代谢。