经典初中数学难题 网络上唯一解法

第一篇：经典初中数学难题 网络上唯一解法

在平行四边形abcd中，角BAD的平分线交直线BC于点E，、、、、、、、、、、、、、、、、答案如下： 第一种方法：：

第一步：：连接GE，GC交EF与点h。EC平行Gf且相等，GFCE是平行四边形，因为角ABC=120，所以角DAB=60，AE是角平分线，所以角DAE=30，即角CeF=30,、、、、所以四边形GFCE是菱形。所以 CF=CE 第二步：证明△DGC全等△BGE 延长GE到ad边交与点M。因为 角bAE=角BEA=30 所以BE=AB=CD 角BEG=角DCG=120 因为角CEG=60，EC=EG 所以△EGC是等边三角形 即EG=CG 边角边全等。

第三步：: 证明△DGC全等△BDM △AbM是等边三角形 所以BM=AB=DC mD=cE=CG 角BMD=180-60=120=角DCG 边角边全等

第四步：：因为全等所以△BDG是等边三角形。

答案选C

第二种方法：：

第一步：：连接GE，GC交EF与点h。

EC平行Gf且相等，GFCE是平行四边形，因为角ABC=120，所以角DAB=60，AE是角平分线，所以角DAE=30，即角CeF=30,、、、、所以四边形GFCE是菱形。所以 CF=CE 第二步：证明△DGC全等△BGE 延长GE到ad边交与点M。因为 角bAE=角BEA=30 所以BE=AB=CD 角BEG=角DCG=120 因为角CEG=60，EC=EG 所以△EGC是等边三角形 即EG=CG 边角边全等。

第三步：: 证明△DGC全等△BDM △AbM是等边三角形 所以BM=AB=DC mD=cE=CG 角BMD=180-60=120=角DCG 边角边全等

第四步：：因为全等所以△BDG是等边三角形。答案选C

第二篇：初中数学应用难题

1、甲乙两个小组合作完成一件工作，乙组单独做1天后，由甲乙两组合作了2天就完成了全部工作．问甲乙两组单独完成此项工作，各需多少天？

2、公共汽车每隔x分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔4

钟。2分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x等于分73、在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？

4、今有一个三位数，其各位数字均不相同，如将此三位数的各位数字重新排列，必得一个最大数和一个最小数，且此两数之差恰为原来的那个三位数，求原来的三位数。

5、甲、乙两个同学从A地到B地，甲步行的速度为每小时3千米，乙步行的速度为每小时5千米，两人骑自行车的速度都是每小时15千米。现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发。走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放车处改骑自行车，以后不断交替行进，两人恰好同时到达B地。甲走全程的平均速度是千米/小时。

6、一只狗追一只兔子，在狗跳6次的时间内，兔子跳了5次，狗跳了4次的距离和兔子跳7次的距离相等。问：兔子跳出5.5米后，狗开始在后面追，兔子在跑多少路程就被狗追上了？

7、游泳者在河中逆流而上,与桥A下面将水壶遗失被水冲走,他继续向前游20分钟后,才发现水壶走失,于是立即返回追寻水壶,在桥A下游距桥A2千米处追到了水壶,那么,该河水的水流速度为多少千米每小时?

8、草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛24天可以吃完，30头牛60天可以吃完，20头牛吃多少天?

第三篇：初中数学难题解决策略

初中数学错误原因及解决策略

日常教学中，我们经常能听到这样的对话：“计算怎么还能出错？”“我不是不会，只是太粗心了！”对于学生的计算错误，大多数教师显得很无奈。

讲练并不少，学生的错误为什么还是该怎么犯就怎么犯？甚至教师越强调不要犯某类错误，学生好像与你对着来，偏偏“故意”犯这一类错误。学生也很委屈，明明知道这道题会做，为什么总是这么“粗心”呢？ 经过多年的实践我发现，计算错误并非粗心使然，而是伴随教的过程产生的，与教师的“教”有密切的关系。那么，初中数学常见的计算错误究竟有哪些？

1、“程序跳跃”导致错误及策略

通过观察计算能力较好的学生，你会发现，他们逻辑清晰、步骤明确，第一步做什么，第二步做什么，从不含糊；而计算能力较弱的学生，有时题目倒也会做，但让他说出这道题的解题基本步骤，他竟哑口无言。过去我们常常认为，学生的计算错误都是粗心导致的，而实际上可能是学生的大脑缺少了基本的计算程序，也就是说缺少了程序性知识。所有计算其实都有科学严谨的运算程序。比如，“解一元一次方程”有5个基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一。实践中我发现，严格按照这些步骤计算的学生，犯错的几率就会很小。

因此，我的策略是：对于初中所涉及的所有运算，教师在教学中应该对各种计算进行具体拆解，归纳出基本程序，尽量统一用第一、第二、第三等来描述，要求学生按基本程序逐步计算。尤其是初始教学，教师应该尽量要求学生不能随意省略或合并基本步骤，以此培养学生良好的逻辑思维习惯。比如，我们可以归纳出“有理数加法运算”的基本程序：第一，确定加法运算的类型；第二，确定结果的符号；第三，确定结果的绝对值（绝对值相加还是相减）。同时，要避免计算成为机械的模仿，要重视算理教学（计算的原理或者道理）。学生只有理解了算理，才能克服“做而不思”“会而不对”的现象。我们可以参考几何证明初始教学的经典做法——每一个步骤后面描述推理依据，以此让学生养成 “为什么这么做”“这样做的依据是什么”的思维习惯，从而强化算法与算理的联系。

2、“疏漏”导致错误及策略

教学中我们发现，学生会出现大量因疏漏而导致的错误。比如：利用乘法分配律时漏乘，移项时忘记变号，去负括号时忘记某项变号，不等式变形时忘记改变不等号的方向，解方程去分母时漏乘不含分母的项，提公因式时漏掉某一公因式，开平方时漏解，解分式方程忘记检验，利用根与系数关系时忽略△≥0……这些错误反映出学生学习不扎实，对某一计算法则或概念只是关注重要的操作层面，或者只是关注字面含义而忽略其本质。比如对于移项，有的学生只是关注从等式一边移到另一边，忽略了移项是基于等式的基本性质，需要变号后才能移动。疏漏性错误与教师过多强调运算的模仿及过早地让学生进入机械训练有很大关系，因此教师需要在教学过程中让学生真正感悟而不是直接强调。教师在教学过程中要注重揭示算法的本质，要旗帜鲜明地给出运算的操作要点、应用范围、使用前提、特殊情形、拓展情形等。对于疏漏性错误，教师首先要有预见性，并且要基于这种预见性精心设计教学过程。比如，教师可以从学生的角度出发，让学生解答一些易错题，学生若出错则进行纠正反思，也可以把典型错误当作重要的警示资源直接展示给学生，让学生找错、改错、分析错因。教师设置这些“陷阱”，让学生在真实情境中接受考验，这样他们的选择、辨析、批判能力将会得到很大的提高。

3、“负迁移”导致错误及策略

错误不是凭空出现的，其中必然带有其它所学知识的影子，有一类计算错误就是前后所学知识相互干扰而产生混淆所致。比如，学生学习角平分线性质与中垂线性质时，很容易把点到直线的距离与点到点的距离混淆；学习分式时，会把分式通分与解分式方程去分母混淆；学习乘法分配律后，就会产生“除法分配律”的负迁移；学习方程的多种解法时，受先入为主的影响，最后所学的方法会受到先前方法的干扰；学习完全平方公式，会与平方差公式混淆；所学知识的一般情况与特殊情况，因为不同的编排顺序也会互相干扰……这就是受解方程去分母的影响，在分式通分计算中采用了去分母的方法，破坏了分式计算的等值变形。“负迁移”错误主要是由于学生学习过程中不注重区别与联系，容易孤立理解数学结论，不能从本质上看待数学问题所致。因此，教师在教学过程中要培养学生用发展变化的眼光去看待问题，要注意“瞻前顾后”“纵横比对”，要关注所学数学知识的本质特征。同时，这一类错误也可能与教材的编排顺序有关。所以，教师要站在学生的立场去研究教材，研究学生是怎么学习的，学生的思维到底是如何发展的……只有明白学生是怎么想的，才能有的放矢。教师要整体驾驭教材，适当调整教材中相关易混知识点的呈现方式，避免这类错误的发生。比如，在学习有理数的减法时，教师反复强调减去一个数等于加上它的相反数，因而3-7中7前面的符号“-”是减号。紧接着学习“代数和”，又强调把3-7看成正 3与负7之和，“-”又成了负号，先前学习的有理数减法运算法则就会对“代数和”的理解产生干扰。因为，最终所有减法都要转化为加法“代数和”的形式，所以教学中可以淡化有理数减法运算的训练，只需要让学生明白减法转化为加法“代数和”的道理，快速过渡到加减混合运算的“代数和”形式。这样既节省了课时，又有效避免了减法法则对“代数和”的负迁移影响。

4、“运算顺序颠倒”导致错误及策略

学生做题不注重从整体观察算式结构，容易导致计算中颠倒运算顺序。这主要是由于学生审题意识不强、整体结构感缺失所致。有的学生拿到计算题，还没有看清楚题目包含哪些运算和括号，这道题分为几个层级，就匆忙下手，极易出现只注意题目细节而忽略整体结构导致运算错误的现象。比如，在计算：8-23÷（-4）×（-7＋5）时，学生错解为：原式=8-8÷（-4）×（-7＋5）=0÷（-4）×（-7＋5），看上去这道题的错误是不能正确运用“先算乘除，后算加减”的运算规则，本质上是对题目缺乏整体认知。运算顺序错误属于“无意识”错误，学生非常清楚运算顺序的规则，但仍不知不觉犯错，主要原因是没有养成良好的审题习惯，教师要在解题规范上进行严格要求。比如，要求先分清运算、看清符号、厘清顺序，明确整体与部分关系后再进行计算。对初学者或辨别能力较差的学生，可以要求其使用“圈画标注法”辨别题目中的运算：一级运算可以使用竖线分割，二级运算可以使用横线或方框标注。其实，在标注过程中就落实了仔细审题的要求，同时把复杂的算式结构进行拆解，降低了题目的复杂程度。比如，上述算式整体上可以看作两部分代数和的形式（见下图），第二部分是3个有理数的乘除结构，通过这样的划分，题目结构清晰了，运算顺序明了了，分块处理简单了。苏联心理学家克鲁捷斯基曾指出：“对各种现象进行研究的真正科学途径，是把它们分解为一些比较简单的成分。”对于复杂的数学计算也是如此。

5、“方法单一僵化”导致错误及策略

学生在计算训练中容易形成惯性思维，同一个算式可能有多种计算方法，学生往往只是随便找到其中一种，而不管这种方法是否简便。选取过于复杂的计算方法时，就容易导致中途出错或用时太多。比如，计算：（a+b）2（a-b）2。此题的简单算法是先把（a+b）2（a-b）2转化为［（a+b）（a-b）］2。如果直接转化为（a2+2ab+b2）（a2-2ab+b2），在复杂的计算过程中容易出错或者选择放弃，而简单的算法则会让学生运算起来更为快速便捷。在教学中，教师要随时随地培养学生的计算优化能力，这不仅是运算的准确性、敏捷性要求，也是学生思维深刻性的需要。教师在运算教学中要鼓励学生多角度、多方向、全面地思考问题，并坚持做好从多种方法中选择最佳方法的示范，这种最优化策略的示范，必然会影响学生思考问题的方式。

6、“不良习惯”导致错误及其策略

有些计算错误与学生不良的学习习惯有密切关系，比如书写潦草，做题不喜欢用草稿纸，需要动笔计算却用口算；有的学生对计算存在畏难情绪或排斥心理，当看到计算题数据较大、运算步骤过多时，就会失去解题信心与耐心，从而导致错误出现；有的学生计算后不反思、不验算，甚至出现计算错误后不认真纠正，导致再次犯同样的错误。针对这类现象，教师可以对学生的学习习惯提出明确要求并监督落实。比如，要求学生在计算时一气呵成并记录完成时间，中途不东张西望、左顾右盼；要求每个学生准备一个草稿本，打草稿时要书写工整，不定时检查学生的草稿本；培养学生做题时自我监控、做完后自我反省的意识；同时，为了促使学生养成验算的良好习惯，教师可以在教学中把验算作为运算的标准步骤来要求，在评价中把验算作为评分标准的一个环节进行严格规范。此外，教师可以适当开展一些计算竞赛活动，调动学生学习的主动性和积极性，达到提高计算准确率的目的。美国教育心理学家布鲁纳说：“学生的错误都是有价值的。”错误，是一种宝贵的教学资源。不同的学生有不同的知识背景、认知方式和表达方式，也有参差不齐的思维水平，难免会出现各种各样的错误。上述错误类型虽然难以囊括所有种类，但或许可以给我们一些启发，让我们总结出更多方法教给学生。

第四篇：初中数学难题集锦

．(9分)如图8，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A，B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．

如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

10．(2016南充)如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N． 给出下列结论：

①∠AME＝108°；

2②AN＝AM·AD； ③； ④．

其中正确结论的个数是（）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

[2015·四川南充]关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，y1+y2=﹣2n＜0，x1+x2=﹣2m＜0，这两个方程的根都为负根，①正确；

②由根判别式有：

△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，∵4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0，∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0，m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2，（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确；

③由根与系数关系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）﹣1，由y1、y2均为负整数，故（y1+1）•（y2+1）≥0，故2m﹣2n≥﹣1，同理可得：2n﹣2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）﹣1，得2n﹣2m≥﹣1，即2m﹣2n≤1，故③正确．

[2015·四川南充]如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结PQ，给出如下结论：①DQ=1；②=；③S△PDQ=；④cos∠ADQ=，其中正确结论是（填写序号）

解：正确结论是①②④．

提示：①连接OQ，OD，如图1．

易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．

结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1．

故①正确；

②连接AQ，如图2．

则有CP=，BP=易证Rt△AQB∽Rt△BCP，=． 运用相似三角形的性质可求得BQ=，则PQ=﹣=，∴=．

故②正确；

③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．

易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求得QH=，∴S△DPQ=DP•QH=××=故③错误；

．

④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．

易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得==，则有=，解得：DN=．

由DQ=1，得cos∠ADQ=故④正确．

=．

综上所述：正确结论是①②④．

（2014?天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3



 ①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故①正确； ②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x=-b 2a  ＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；

③∵一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确． 故选：D．

.（2015•四川攀枝花第10题3分）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：

①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．

其中正确的结论个数为（）

CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD

解答： 解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本选项正确；

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），则△CBM≌△CDN（AAS），∴S四边形BCDG=S四边形CMGN，S四边形CMGN=2S△CMG，∵∠CGM=60°，∴GM=CG，CM=CG，∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×③过点F作FP∥AE于P点（如图2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，CG=CG2，故本选项错误；

∴FP：BE=FP：=1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本选项正确；

④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；

⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；

综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选B．

 如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）

A． B． C． D．

 B【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．

【分析】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF=

=

=

2，根据平行线分线段成比例定理得到OH=AE=，由相似三角形的性质得到====，求得AM=，求得AN=

AF=AF=，根据相似三角形的性质得到，即可得到结论．

【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2 ∵BF=2FC，BC=AD=3，∴BF=AH=2，FC=HD=1，∴AF=∵OH∥AE，∴==，=

=2，∴OH=AE=，∴OF=FH﹣OH=2﹣∵AE∥FO，∴△AME∽FMO，=，∴==，∴AM=AF=，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴==，∴AN=AF=，∴MN=AN﹣AM=故选B．

﹣=，（2014•扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． ①求证：△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；

（3）如图2，在（1）的条件下擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

24．在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）．

【考点】作图—相似变换．

【分析】在图1中画等腰直角三角形；在图2、3、4中画有一条直角边为边分别为3，4，2，另一条直角的直角三角形，然后计算出四个直角三角形的周长．

+

； 【解答】解：如图1，三角形的周长=2如图2，三角形的周长=4如图3，三角形的周长=5如图4，三角形的周长=

3+2++；

；

．

 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．

 【解答】解：），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，（1）∵A（1，3∴∴抛物线解析式为y=﹣，解得x2+

4x；，（2）存在三个点满足题意，理由如下：

当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，∵A（1，3），∴D坐标为（1，0）；

当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（31）2+（3）2=36，﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=36，解得d=，∴D点坐标为（0，）或（0，）；

综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；

（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，∴∴MF=3==3PF，在Rt△ABD中，BD=3，AD=3∴tan∠ABD=，∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN=在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，a，∴tan∠PNF=∴FN=PF，=，∴MN=MF+FN=4∵S△BCN=2S△PMN，PF，∴∴a=2∴NC=a2=2××4PF2，PF，a=2PF，∴∴MN==NC=

=×+

+，a=）a，）a），（4﹣a）2+4

（4﹣a）=（+）a，a，∴MC=MN+NC=（∴M点坐标为（4﹣a，（又M点在抛物线上，代入可得﹣解得a=3﹣OC=4﹣a=或a=0（舍去），+1，MC=

2+1，2

+，+）． ∴点M的坐标为（ 如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有

（写出所有正确结论的序号）

①△CMP∽△BPA；

②四边形AMCB的面积最大值为10；

③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线； ④线段AM的最小值为2⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4

；

﹣4．

 【解答】解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∵∠CPN+∠NPB=180°，∴2∠NPM+2∠APE=180°，∴∠MPN+∠APE=90°，∴∠APM=90°，∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPM=∠PAB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，∴△CMP∽△BPA．故①正确，设PB=x，则CP=4﹣x，∵△CMP∽△BPA，∴=，∴CM=x（4﹣x），∴S四边形AMCB= [4+x（4﹣x）]×4=﹣x2+2x+8=﹣∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，当PB=PC=PE=2时，设ND=NE=y，x﹣2）2+10，（在RT△PCN中，（y+2）2=（4﹣y）2+22解得y=∴NE≠EP，故③错误，作MG⊥AB于G，∵AM=∴AG最小时AM最小，=，∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣∴x=1时，AG最小值=3，∴AM的最小值=∵△ABP≌△ADN时，x（4﹣x）=（x﹣1）2+3，=5，故④错误．

∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，∴∠KPA=∠KAP=22.5° ∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，∴∠BPK=∠BKP=45°，∴PB=BK=z，AK=PK=∴z+∴z=4∴PB=4z=4，﹣4，﹣4故⑤正确．

z，故答案为①②⑤．

如图，在Rt△ABC中，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且．⊙O是△BEF的外接圆，的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．

（1）求证：△ABC≌△EBF；

（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若正确答案为：

（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE，在△ABC与△EBF中，求的值．，∴△ABC≌△EBF；

（2）解：BD与⊙O相切，如图1，连接OB，理由：∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，∴∠DBO=90°，∴BD与⊙O相切；

（3）如图2，连接CF，HE，∵∠CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，∵DF垂直平分AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=∴BF=，BF，∵△ABC≌△EBF，∴BE=AB=1，∴EF=∵BH平分∠CBF，∴

∴EH=FH，∴△EHF是等腰直角三角形，∴HF=EF=，∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，∴∴，.

第五篇：初中数学复习专题-旋转难题

1.如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

图13－1

A（G)

B（E)

C

O

D（F)

图13－2

E

A

B

D

G

F

O

M

N

C

（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

图13－3

A

B

D

G

E

F

O

M

N

C

2.（10河北|A

B

C

E

F

G

图15-2

D

A

B

C

D

E

F

G

图15-3

A

B

C

F

G

图15-1）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

（1）在图15-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条

直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于

点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平

移到图15-3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否

仍然成立？（不用说明理由）

3.(2010

梅州)用两个全等的正方形和拼成一个矩形，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合，且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转．

（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形的两边相交于点时，如图甲，通过观察或测量与的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．

（2）当直角三角尺的两直角边分别与的延长线，的延长线相交于点时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．

A

B

G

C

E

H

F

D

图甲

A

B

G

C

E

H

F

D

图乙

4.（09烟台市）如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.5.如图①，四边形和都是正方形，它们的边长分别为（），且点在上（以下问题的结果均可用的代数式表示）．

（1）求；

（2）把正方形绕点按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的；

（3）把正方形绕点旋转一周，在旋转的过程中，是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．

D

C

B

A

E

F

G

G

F

E

A

B

C

D

①

②

（第28题）

6.如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连接交于点．

（1）试证明：无论点运动到上何处时，都有△≌△；

（2）当点在上运动到什么位置时，△的面积是正方形面积的；

（3）若点从点运动到点，再继续在上运动到点，在整个运动过程中，当点

运动到什么位置时，△恰为等腰三角形．

1.解：（1）BM=FN。

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF，又∵∠BOM=∠FON，∴△OBM≌△OFN，∴BM=FN；

（2）BM=FN仍然成立。

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF，∴∠MBO=∠NFO=135°，又∵∠MOB=∠NOF，∴△OBM≌△OFN，∴BM=FN。

2.3.解：（1）BG=EH．

∵四边形ABCD和CDFE都是正方形，∴DC=DF，∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°，∵∠CDG+∠CDH=∠CDH+∠FDH=90°，∴∠CDG=∠FDH，∴△CDG≌△FDH，∴CG=FH，∵BC=EF，∴BG=EH．

（2）结论BG=EH仍然成立．

同理可证△CDG≌△FDH，∴CG=FH，∵BC=EF，∴BC+CG=EF+FH，∴BG=EH．

4.5.6.