世界7大数学难题

第一篇：世界7大数学难题

世界七大数学难题

这七个“千年大奖问题”是： NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜想 千年大奖问题

美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。

其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。）

“千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。可以预期，“千年大奖问题”将会改变新世纪数学发展的历史进程。P问题对NP问题

在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因式分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们于是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。

霍奇(Hodge)猜想

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。庞加莱(Poincare)猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。

在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。

2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。黎曼(Riemann)假设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7„„等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

纳维叶－斯托克斯方程的存在性与光滑性

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。贝赫和斯维讷通－戴尔猜想

第二篇：新闻报道 破解世界数学难题数学新发明 新发现

破解世界数学难题数学新发明 新发现

申喜廷(山西省左权县人)在数学研究上取得如下重大成果：

 成功破解了“哥德巴赫猜想”和“角谷猜想”这两个世界著名的数学难题，其论文“哥德巴赫猜想的证明”和“角谷猜想的证明”均发表于《中国科教创新导刊》2013年1月下旬第3期上。

“哥德巴赫猜想”： 1742年哥德巴赫提出，即任一充分大的偶数都可写成两个素数之和。常见的陈述为，把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和记作”a+b"。在人们努力下，已证明了从“9+9”，“7+7”，„，“2+3”，“1+3”，推进到1966年陈景润的“1+2”成立，距“1+1”只有一步之遥.申喜廷根据自然数数列中的数两两相加之和的性质，用解同余方程组的方法使之得到证明.角谷猜想即人们简称的“3x1”问题：将任一奇数x，“31”（即3x1）后，除以一个适当的偶数2m(m0)，使 3x1 等于一个奇数.不断重复这样的m2

运算，经有限步骤后一定可以得到1.这个问题在20世50年代被提出，在西方称为西拉古斯(syracuse)猜想, 在东方用于1960年将这个问题带到日本的日本学者角谷静夫的名字命名为角谷猜想.对此问题人们曾写过多篇论文未能证明之.申喜廷用数学归纳法使之得到证明。

 发明制作《等弧积线图》，用《等弧积线图》极易将任意角三等分，为“只用尺规作图三等分任意角这个‘不可能问题’”找到了一个巧妙的方法。其论文“等弧积线图的性质及用等弧积线图三等分任意角”发表于《中国科教创新导刊》2013年1月下旬第3期上。

三等分任意角是二千四百年前古希腊人提出的.1837年凡齐尔（1814~1848）用代数方法证明了只用尺规作图三等分任意角的问题是“不可能问题”.申喜廷参照公元前第四世纪希腊数学家捷诺斯特用园积线作出同已知园等积的正方形（即园化方问题）的方法作出的等弧积线图可三等分任意角. 发现一元二次方程的两个根有另外一种表示形式，其论文“一元二次方程两个根的另一种表示形式”发表于《中国科教创新导刊》2012年10月下旬第30期上。

第三篇：国企竞聘上岗的7大难题

国企竞聘上岗的7大难题

2002年伊始，北京同仁堂集团爆出一则新闻：同仁堂总部机关的260名干部被集体解聘，重新竞聘80个岗位。

2002年几乎同一时间，中铁建工集团也爆发出一则新闻：本部机关的213名干部被集体解聘，重新竞聘79个岗位，精简幅度达62％。

2003年3月21日，通过内部网和电子邮件，中国海洋石油总公司、有限公司和中海信托、天然气和发电公司在公司内部对部门经理实行公开竞聘，公司所有人员都要实行竞聘上岗。

2004年12月16日，国资委下发了《关于加快推进中央企业公开招聘经营管理者和内部竞争上岗工作的通知》（国资党委干一[2004]123号），明确要求中央企业加快推进内部竞争上岗工作。

2005年3月14日，中国中旅（集团）公司召开三项制度改革竞聘动员大会，拉开了公开竞聘的序幕。

2005年4月初，三九集团在本部实施全员竞聘上岗，163人次参与角逐50个岗位，4月底结束。

2006年，广东省信用联社广泛开展联社主任竞聘选拔工作，珠海、清远、佛山、河源、揭阳、梅州、韶关、茂名、江门、中山等10个地区的21家联社通过公开竞聘，共选拔推荐44名高管人员，其中，主任19名、副主任18名、主任助理7名。

从上述事件可以看出，企业，尤其是国有企业的人事制度改革正在大踏步向前迈进，而作为人事制度改革的一项重要内容——竞聘上岗，在激活国有企业人力资源、促进企业文化建设方面越来越显示出其独特的优势。

作者认为竞聘上岗就是组织（包括企业、国家机关、非营利机构等组织形式）为了实现人岗匹配、效益最佳，依据公开、公平、公正的原则，根据组织的战略目标和发展规划，挑选竞聘岗位、制定竞聘流程、选择评审办法、公布竞聘结果，并辅以上岗人员的动态管理机制、落聘员工安置机制，以此充分发挥组织人力资源价值和潜力的人才机制。

它是我国国有企业解冻“干部能上不能下”用人机制的一项创举，有助于增强员工的危机意识和竞争意识；扩大企业的招聘视野，挖掘企业的有用人才；帮助员工重新认识岗位职责，丰富工作思路；有利于员工认识自我，重新定位职业发展道路；以此为拐点转变国企员工对企业的依赖观念，调动员工的工作积极性；盘活国有企业的人力资源，优化企业的人力资源配置，推进国有企业进一步改革。

但是由于国有企业的人事制度改革具有一定的历史性、复杂性和特殊性，竞聘上岗在计划、组织、设计和实施的过程中就会出现诸多问题，基于企业管理变 1

革一线的实践体验，作者认为目前国企竞聘上岗存在以下7大难题：

1、随波逐流，生搬硬套

随着企业竞聘风的掀起，竞聘成了国有企业新一轮人事制度改革的宠儿，很多国有企业看到其他企业擂鼓喧天，大搞竞聘上岗，却很容易忽视自身实际情况，为了追赶潮流，就将其他企业的成功方案原封不动地照搬到自己的企业，结果员工对外来的“器官”出现“排斥反应”，竞聘得不到大家的响应，只能走走过场，草草收场。而管理者又往往不愿善罢甘休，继续复制其他成功企业的原版制度，结果不言而喻，管理者陷入了竞聘的循环怪圈，殊不知“南方为橘北方为枳”。长此以往，企业员工对待管理者的改革举措渐渐麻木，管理者只能搭着大台唱独角戏。

就企业制度而言，没有最好的，只有最适合的。世界上不存在完全相同的两片叶子，更何况企业，每个企业都有自己的历史背景、行业领域、企业文化、领导风格、员工特点，以及所处的地域文化，所以，管理者在设计竞聘上岗制定时，应该全面考虑到企业自身的情况，反复斟酌，广泛征求上级以及员工的意见，必要时可以申请外援，引入专家团队，力求制定出带有企业特色、实用的竞聘制度。

2、竞争激烈，破坏团结

国有企业有史以来，无论是工龄、职称、论资排辈还是国有企业的其他特色文化，无不体现了国有企业集体意识强、竞争氛围弱、和睦相处、人情高于厂规的特点，而竞聘上岗的出现却打破了这种吃大锅饭的现状。竞聘上岗的各个选拔环节要求都十分严格，并且要求完全公开，彻底消除传统的关系手段、面子文化问题，要求所有申请者无论职位辈份高低，统一站在同一起跑线上公平竞争。此外，竞聘手段也十分大胆，公开演讲、与高层领导面对面交锋、接受民意评论，无一不给国有企业的干部培养制与传统企业文化带来冲击，使得竞聘过程火药味十足。不可否认竞聘给很多想作为的人带来了机会，但它同时也给在位者带来了危机，容易导致部门内员工之间的合作性下降，人人唯恐，甚至出现了干部不愿意带下属，不愿意帮助下属，并逐渐失去个人威信的现象，破坏了国有企业的和谐团队文化。

所以，实施竞聘上岗前，企业要利用各种可能的手段和途径如开会宣贯、分发宣传手册、内部刊发专家文章等，来发出改革信号，对员工们进行“洗脑”，把压力传递到员工，以增加全体员工对企业生存发展的危机意识和紧迫感，认识到改革的必要性，激发员工的竞争意识。同时，也要给员工以动力，描绘企业未来的战略，公布新的有行业竞争力、更为科学合理的薪酬、绩效考核政策，增强竞聘方案的公正性科学性，从而激发员工的上进心和竞争意识，鼓励一大批有能力有创新精神的员工认同和支持竞聘上岗。

3、技术陈旧，方法单一

目前国有企业竞聘上岗普遍采用笔试、民主投票、演讲、答辩等方式，有的仅选择其中的一两项内容，有的是几项内容全部考察。

笔试可以考察员工的业务知识和理论水平，但对于评价管理人员的战略思考能力、组织协调能力、沟通能力、决策能力却显得力不从心。

群众的眼睛是雪亮的，但是由于信息不对称现象的普遍存在，民主投票时，员工对候选人的背景及个人情况仅限于宣传资料的简单介绍，甚至完全不知情，投票环节往往成了拉选票、走后门的过场，竞聘也只能看上去很民主。

演讲环节中，候选人可以通过陈述自己的施政纲领，表现出自己的语言表达能力、仪态行为举止、思维能力、应变能力以及自己的潜在工作能力，但是十几分钟的竞聘宣讲似乎成了演讲比赛，候选人是否具有煽动力和演讲能力成了评价的标准。

作者在实践中发现，每每提到竞聘，很多国有企业人力资源部门的负责人都会觉得竞聘方式和手段是一大难题，他们觉得传统的手段存在着一定的弊端，国外的先进技术又水土不服，而友泰认为，在使用传统竞聘方法的基础上，引入现代测评技术势在必行。

行为管理学的研究成果证实，由于人与人之间存在着个体差异，所以不同的人对同一工作有着不同的适应性，同时不同的工作也需要具有不同的个性心理特征的人来承担。工作性质与人的自然属性及智力发展水平之间存在着一种镶嵌现象。目前国外的人事考核与选拔方面，除了绩效考核、人事审查与面谈手段之外，已比较普遍地使用心理测试的技术方法，无论企业管理人员还是机关工作人员的选拔和晋升，往往都必须经过各种心理测试来决定取舍。我国国有企业人才选拔也可以采用心理测试进行筛选。此外，无领导小组讨论、公文筐、管理游戏、角色扮演、案例分析、撰写论文等现代测评技术，经过本土化改良，提取出适合竞聘岗位与企业的测评要素，对评价人员进行必要的培训，在测评候选人的工作条理性、计划能力、预测能力、决策能力、沟通能力、组织能力、洞察力、倾听、说服力、感染力、团队意识和成熟度等方面时，尤其是在国有企业中层干部的选拔中，一定会显示出其特有的优势。

4、缺乏制衡，竞聘不公

当前国有企业竞聘上岗过程中，强调一切公开，尽管这样可以增加评价人员操纵竞聘结果或与候选人进行“非正当交易”的风险，但是，必须看到绝大多数竞聘上岗存在着制定、实施、监控集实施主体于一身的问题，与分权制衡原理相违背，这种情况下，评价者容易暗箱操作，即竞聘者通过拉拢关系，或者其他不正当竞争手段达到所谓的内定人员的目的，使得竞聘成了走过场，竞聘过程的公

平性很难得到保证，难以完全让群众信服，竞聘也失去了它应有的作用和意义。

竞聘中，也很容易出现一些其他的不规范现象，如：某企业竞聘岗位为人力资源部部长，竞聘资格要求中明确规定，性别“女”，这种利用门槛将人才置之门外的手段也严重影响了竞聘的公平性和严肃性，此外，竞聘上岗过程中，评价委员会成员可能由于个人评价知识匮乏、评价技术不成熟、思想不端正、主观偏见等因素造成评价结果的误差，因此使得竞聘结果出现隐形不公平和虚假的现象，最终竞聘也只能是看上去很美，听起来很甜，做起来很难。

要保证竞聘上岗的公平性，除了要全部公开竞聘岗位的信息、竞聘方案、评审内容标准、评分等级、统一申请及评价表格，并广泛接受员工的反馈和意见外，竞聘上岗的制度化、规范化、定期化才是解决竞聘公平性问题的根本，企业要通过竞聘上岗制度的建立和有效实施，建立起一套“人——能力——岗位——薪酬——绩效——竞聘/培训”的动态机制，盘活企业的人力资源。

5、考虑不周，制度不全

经过竞聘，胜出者走上领导岗位，这只意味着竞聘工作走完了第一步，而大量的、重要的工作则是在竞聘工作结束之后，就某种意义而言，做好后续工作的重要性甚至超过竞聘工作本身。完善的竞聘上岗配套制度，包括竞聘上岗实施完成后相应的新上任人员的薪酬制度、绩效考核制度、落聘人员调整制度等，有利于竞聘前后企业管理制度的有效对接，保证竞聘结果的切实执行，达到安抚民心、稳定企业经营发展的目的。

而现实中，国有企业的做法往往差强人意，由于竞聘之前考虑的不周全，造成配套制度的缺位或者不完善，企业曾经对所有竞聘者做出的薪酬方面的承诺无法得到兑现，或者新人仍然使用旧制度，穿新鞋走老路，换汤不换药，使得胜出者对企业的诚信感到怀疑，对工作的积极性降低，同时这种负面情绪也会影响到其他员工的工作热情。

在国有企业竞聘过程中，不仅要对竞聘上岗制定方案，还要考虑落聘人员安置办法、上岗人员新的薪酬政策、考核政策等，并要最大范围的得到员工的认可和支持，只有系统性考虑了整盘棋，竞聘上岗才能玩得转。

6、无法胜任，竞聘失效

“逆向选择”和“道德风险”是货币金融学中的两个重要定义，由于现有竞聘方式的局限（如竞聘过程不够透明、竞聘形式重于内容、竞聘评委遴选不当、竞聘制度不够配套等），造成评委和竞聘者之间的信息不对称，国有企业竞聘中也部分存在“逆向选择”和“道德风险”的现象，主要表现为：一些具有良好的外在形象、善于展示自己、却并不具备实干精神和真实胆识的人往往在竞聘中胜出，而一些不善表达的实干家却连连败北，这种“劣币驱逐良币”的现象就是竞

聘中的“逆向选择”，它会诱发更多的应聘者舍弃真实绩效而去追求文凭、口才、虚假信息等外在表现，产生“道德风险”，这种做法的直接后果就是胜出者往往不能胜任自己争取到的岗位。

对于这种问题的解决办法，作者认为企业应该把好“人才进入”这道关，合理应用现代测评技术，提高选拔人才的效率和效果，使真正的有识之士能够脱颖而出，此外，还可以对上岗人员实行岗位动态管理制度，制定相应的考核约束机制，通过绩效管理、任期制、淘汰制等方法实现人力资源的合理配置。

7、落聘人员，安置不妥

对于国有企业竞聘上岗，如果是非竞聘岗位人员参加竞聘落选后，他可以回到原来的岗位继续工作，如果是在竞聘岗位工作的人员参加竞聘后落选，那么他就可能存在如何安置的问题。企业是否能够妥善处理好竞聘中的落聘人员，对于稳定企业，尤其是国有大型企业，至关重要，对于保障企业活力和积极向上的企业文化有着重要的作用。从许多竞聘上岗的实践来看，许多国有企业一竞了之，后续工作十分不完善，对落聘人员的安置尤为不妥，忽视了落聘人员的情绪感受及其个人发展情况。有的员工竞聘失败后被调至新的岗位，由于不能适应新岗位的要求，同时得不到相关的培训以及领导的关怀和支持，落聘人员很容易自暴自弃，安于现状，不仅严重影响了员工的自信心与个人职业发展，同时也让其他在职员工觉得“人走茶凉”，并产生一定的负面情绪和想法，降低员工的忠诚度，给企业的发展带来一定的影响。

企业应该完善退出机制，这里的退出不仅仅指员工无法胜任岗位而提出辞职或者被辞退，还包括员工接受培训待岗、调岗、提前退休、内退、内部创业、买断身份、学习深造等，无论哪种退出方式，企业都一定要与落聘人员深入沟通交流，充分了解其意愿和想法，尽量减少由于对落聘人员的安置不妥而给企业带来的负面效应。

竞聘上岗——解冻国企“干部能上不能下”、盘活企业人力资源的有效手段，实现人力资源的优化配置，国企改革的助推器„„当社会出现竞聘热，当竞聘上岗成为一种潮流时，我们可以做的就是静下心来，进行“冷”思考。

第四篇：世界数学未解难题

世界数学难题

千禧年大奖难题的悬赏题目

克雷数学研究所所设立的千禧年大奖难题悬赏的七个待解问题中仍未得到解决六个题目是：

复霍奇猜想（数学）黎曼猜想（数学）

杨-米尔斯存在性与质量间隙（量子力学）

纳维-斯托克斯存在性与光滑性（计算流体力学）贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（数学）

堆垒数论

哥德巴赫猜想及哥德巴赫弱猜想 华林问题中的和的值

考拉兹猜想（猜想、角谷猜想）吉尔布雷斯猜想

数论：素数 孪生素数猜想

是否存在无穷多个四胞胎质数

是否存在无穷多个三胞胎质数 是否存在无穷多个x²+1素数 是否存在无穷多个表兄弟素数 是否存在无穷多个六质数

是否存在无穷多个梅森素数（OEIS中的数列OEIS:A000688，Lenstra-Pomerance-Wagstaff此问题的等价问题是，是否存在无穷多个偶完全数

是否存在无穷多个规则素数，且其分布密度是

是否存在无穷多个卡伦素数（OEIS中的数列OEIS:A005849）

以10为基数时是否存在无穷多个回文素数（OEIS中的数列OEIS:A002385）当时，是否每个费马数（OEIS中的数列OEIS:A000215）都是合数？ 78,557是否是最小的谢尔宾斯基数（OEIS中的数列OEIS:A076336）？ 509,203是否是最小的黎瑟尔数（OEIS中的数列OEIS:A101036）？ 是否存在无穷多个欧几里得数 普通数论 abc猜想

是否存在奇完全数（OEIS中的数列OEIS:A000396）？ 是否存在拟完全数（quasi-perfect number）？ 是否存在奇的奇异数（weird number）？

证明196是利克瑞尔数

证明10是个孤独数（solitary number）（OEIS中的数列OEIS:A095739）对任意给定的，幸福结局问题的解法 拉姆齐理论

拉姆齐数的值，特别是 范·德·华登数的值 普通代数

希尔伯特第16问题 阿达马猜想

是否存在完美长方体

组合数学

幻方（OEIS中的数列A006052）的数目

通过随机选择的两个元素产生对称群的概率的公式

图论

Erdős-Gyárfás猜想 图的同构问题

关于单位距离的图的色数的Hadwiger-Nelson问题

为逾渗阈值得到一种闭式表达式，特别是（二维方格模型）分析

Schanuel猜想 Lehmer猜想 Pompeiu问题

欧拉-马歇罗尼常数是否无理数

每个被有限表达的周期群是否都是有限的？ 逆伽罗瓦问题

普遍化的星号嵌套深度问题 不变子空间问题 黑洞归并的建模 天使问题

第五篇：世界近代三大数学难题之一----哥德巴赫猜想

世界近代三大数学难题之一----哥德巴赫猜想

哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。1742年6月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。欧拉一直到死也没有对此作出证明。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为

(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠，“在距离哥德巴赫猜想(1＋1)的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……”在他身后，将会有更多的人去攀登这座高峰。

几个未解的题。

1、求(1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=? 更一般地：当k为奇数时 求(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=?欧拉已求出：

(1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6

并且当k为偶数时的表达式。

2、e+π的超越性

此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。

已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。

3、素数问题。

证明：ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + …(s属于复数域)

所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。

引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？

4、存在奇完全数吗？

所谓完全数，就是等于其因子的和的数。

前三个完全数是：

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

目前已知的32个完全数全部是偶数。

1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则：

n>10^505、除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？

这是卡塔兰猜想（1842）。1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。

6、任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？

这角古猜想（1930）。人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。

三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。

1、问题1连续统假设。全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。

1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。

2、问题2 算术公理相容性。

哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。

3、问题7 某些数的无理性和超越性。见上面 二 的

25、问题 8 素数问题。见上面 二 的 36、问题 11 系数为任意代数数的二次型。德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。

7、问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。

此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。

8、问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。

1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。

9、问题15 舒伯特计数演算的严格。

代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。

10、问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。

要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。

11、问题 18 用全等多面体来构造空间。

无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。

12、问题 20 一般边值问题。

偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。

13、问题 23 变分法的进一步发展。

四 千禧七大难题

2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。

1、黎曼猜想。见 二 的 3

透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。

2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass GapHypothesis)

西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。

3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems)

随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd(c、d 为正实数)时间以下就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进来的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是Non deterministic Polynomial time(非决定性多项式时间)的缩写。由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这就是相当著名的PNP 问题。

4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations）

因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–

史托克方程的全时间平滑解？再者就是证明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。解决此问题不仅对数学还有对与航太工程有贡献，特别是乱流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。

5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture)

庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的三维闭流形与三维球面同胚。从数学的意义上说这是一个看似简单却又非常困难的问题，自庞加莱在西元1904 年提出之后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的≥n(n4)维闭流形，如果与n ≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。经过近60 年后，西元1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以巧妙的方法，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的≥广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。经过20年之后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。一直到西元2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「纽约时报」首次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测被证明了，这次是真的！」[14]。数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。

6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-DyerConjecture）一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b，在计算椭圆之弧长时就会遇见这种曲线。自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、几何、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（Wiles）证明费马最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与椭圆曲线有关。

60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余(congruence)这个观念并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与黎曼猜想之Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数ζ(s)= 时取值为0，即ζ(1)；当s1= 0

7.霍奇臆测(Hodge Conjecture)

「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之上同调类的有理组合。」最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾》